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難
知識點
所有知識點（90）
整數四則與運算順序
位值、概數與估算
單位換算與時間計算
分數與小數運算
數論基礎（整除、質因數、餘數）
質因數分解與標準分解式
最大公因數與最小公倍數
餘數循環與週期規律
進位制與位數表示
數字與位數問題
整數解與不定方程
模運算與同餘
中國剩餘定理
因數個數與因數和
階乘的質因數次數
代數技巧（方程、不等式、數列）
巧設未知數與一次方程應用
等差數列與規律延伸
對稱式與代數恆等式
因式分解技巧（SFFT）
速率與工作問題
一次函數與圖形
指數與根式
二次函數與拋物線
多項式與因式餘式定理
不等式與絕對值
比例、速率與百分比
對數
複數
等比數列與無窮級數
函數概念與圖形變換
高斯取整函數
望遠鏡級數與裂項
遞迴數列
指數函數與指數方程
對數函數與對數方程
多項式函數與圖形
數列與級數
矩陣與線性變換
複數與多項式方程
幾何：角度與面積
角度追蹤
面積切割與補形
相似形與比例線段
幾何推理與證明
畢氏定理與特殊直角三角形
圓的性質
多邊形與正多邊形
立體幾何
坐標幾何
三角比與正餘弦定理
對稱與幾何變換
圓冪定理
圓錐曲線（截痕概念）
平面上的比例
二次曲線標準式
計數與機率
加法與乘法原理
系統列舉與分類討論
基礎機率
排列組合進階
容斥原理
期望值
幾何機率
遞迴與路徑計數
鴿籠原理與最壞情況
奇偶性與不變量
隔板法與重複組合
條件機率與貝氏
條件機率與貝氏定理
離散隨機變數
二項分布
幾何分布
邏輯推理與規律
統計圖表與資料判讀
平均數與加權平均
二維數據與相關
三角比與正餘弦定理
三角函數與和差角
三角函數建模
平面向量
空間向量
空間中的直線與平面
數列極限與收斂
無窮等比級數
函數極限與連續
導函數與微分法
微分應用（極值與圖形）
黎曼和與定積分
積分應用（面積與體積）
共
24
題
清除全部篩選
AIME
整數解與不定方程
開始練習 →
台南安平一家小店整理集點帳本。某天兩種券的淨變動數分別記為整數
x
x
x
與
y
y
y
，其中退回或作廢記為負數。已知
−
8
≤
x
≤
25
-8 \le x \le 25
−
8
≤
x
≤
25
、
−
12
≤
y
≤
18
-12 \le y \le 18
−
12
≤
y
≤
18
，且當天帳面金額變動滿足
7
x
+
11
y
=
43
7x+11y=43
7
x
+
11
y
=
43
。共有多少組整數序對
(
x
,
y
)
(x,y)
(
x
,
y
)
符合條件？
AIME
相似形與比例線段・面積切割與補形
開始練習 →
台南孔廟旁的文創市集有一面三角形帆布看板
A
B
C
ABC
A
B
C
。在邊
A
B
AB
A
B
上，從
A
A
A
到
B
B
B
依序取點
D
D
D
、
F
F
F
，且
A
D
=
9
AD=9
A
D
=
9
、
D
F
=
6
DF=6
D
F
=
6
、
F
B
=
10
FB=10
F
B
=
10
。在邊
A
C
AC
A
C
上取點
E
E
E
、
G
G
G
，使得
D
E
∥
F
G
∥
B
C
DE\parallel FG\parallel BC
D
E
∥
F
G
∥
B
C
。若夾在兩條縫線
D
E
DE
D
E
與
F
G
FG
F
G
之間的四邊形
D
E
G
F
DEGF
D
E
GF
面積為
144
144
144
，求三角形
A
B
C
ABC
A
B
C
的面積。
AIME
等差數列與規律延伸
開始練習 →
高雄鹽埕一間冰店在暑假集點活動中，每天新增送出的貼紙數構成等差數列。已知第
8
8
8
天結束時累計送出
236
236
236
張；從第
9
9
9
天到第
33
33
33
天（含兩端）共新增
2800
2800
2800
張。求第
50
50
50
天新增送出的貼紙數。
AIME
對數・對稱式與代數恆等式
開始練習 →
台南夜市的飲料攤把兩個正整數
m
m
m
、
n
n
n
設為收據密碼，且
m
<
n
m<n
m
<
n
。已知
log
2
(
m
+
n
)
=
3
+
log
2
5
\log_2(m+n)=3+\log_2 5
lo
g
2
(
m
+
n
)
=
3
+
lo
g
2
5
，且
log
4
m
+
log
4
n
=
4
\log_4 m+\log_4 n=4
lo
g
4
m
+
lo
g
4
n
=
4
。求
n
−
m
n-m
n
−
m
。
AIME
三角比與正餘弦定理・面積切割與補形
開始練習 →
高雄港邊有四個裝置點
A
,
B
,
C
,
D
A,B,C,D
A
,
B
,
C
,
D
依序形成凸四邊形，對角線
B
D
BD
B
D
把它分成兩個三角形。已知
A
B
=
18
AB=18
A
B
=
18
、
A
D
=
12
AD=12
A
D
=
12
、
∠
B
A
D
=
120
∘
\angle BAD=120^\circ
∠
B
A
D
=
12
0
∘
，且
∠
C
B
D
=
30
∘
\angle CBD=30^\circ
∠
C
B
D
=
3
0
∘
、
∠
C
D
B
=
45
∘
\angle CDB=45^\circ
∠
C
D
B
=
4
5
∘
。若四邊形
A
B
C
D
ABCD
A
B
C
D
的面積可寫成
p
3
−
q
p\sqrt3-q
p
3
−
q
，其中
p
,
q
p,q
p
,
q
為正整數，求
p
+
q
p+q
p
+
q
。
AIME
立體幾何・整數解與不定方程
開始練習 →
台中一間糕餅店要用長方體鐵盒裝太陽餅，盒子的三邊長都是整數公分且互不相同。已知盒子的體積為
480
480
480
立方公分，表面積為
476
476
476
平方公分。若一條細緞帶要貼著盒子的外表面，從某一頂點連到與它相對的頂點，且路徑最短，設最短長度為
d
d
d
。求
d
2
d^2
d
2
。
AIME
坐標幾何・圓的性質
開始練習 →
在台南某夜市的平面地圖上，每單位代表
1
1
1
公尺。兩個攤位位於
A
(
0
,
−
2
)
A(0,-2)
A
(
0
,
−
2
)
與
B
(
6
,
−
2
)
B(6,-2)
B
(
6
,
−
2
)
。圓形動線
C
C
C
通過
A
,
B
A,B
A
,
B
，且與水平消防通道
y
=
7
y=7
y
=
7
相切；圓心
O
O
O
位於
A
,
B
A,B
A
,
B
的上方。過
A
A
A
與
B
B
B
分別作
C
C
C
的切線，兩切線交於
T
T
T
。若
O
T
2
=
m
n
OT^2=\frac{m}{n}
O
T
2
=
n
m
，其中
m
,
n
m,n
m
,
n
為互質正整數，求
m
+
n
m+n
m
+
n
。
AIME
排列組合進階・容斥原理
開始練習 →
某夜市有
10
10
10
個攤位圍成一圈，主辦單位要放入攤車：
3
3
3
輛鹽酥雞、
2
2
2
輛珍珠奶茶、
2
2
2
輛滷味，以及地瓜球、蚵仔煎、刈包各
1
1
1
輛。同品項攤車視為相同。規定
3
3
3
輛鹽酥雞中任兩輛不得相鄰，且
2
2
2
輛珍珠奶茶必須相鄰。若整圈旋轉或翻面後相同的配置視為同一種，問符合條件的配置數為多少？
AIME
條件機率與貝氏・排列組合進階
開始練習 →
台南國華街某果茶攤有
12
12
12
箱抽獎貼紙，其中
5
5
5
箱來自供應商
A
A
A
，
4
4
4
箱來自供應商
B
B
B
，
3
3
3
箱來自供應商
C
C
C
。每箱內貼紙顏色如下：
A
A
A
箱有
5
5
5
張紅、
3
3
3
張藍、
2
2
2
張綠；
B
B
B
箱有
4
4
4
張紅、
4
4
4
張藍、
2
2
2
張綠；
C
C
C
箱有
3
3
3
張紅、
5
5
5
張藍、
2
2
2
張綠。店員先從
12
12
12
箱中等機率選一箱，再從該箱不放回依序抽出
4
4
4
張貼在杯身上。已知第
1
1
1
張是紅色，且這
4
4
4
張中恰有
2
2
2
張紅色、恰有
1
1
1
張綠色。若所選箱來自
A
A
A
的條件機率為最簡分數
m
/
n
m/n
m
/
n
，求
m
+
n
m+n
m
+
n
。
AIME
高斯取整函數・模運算與同餘
開始練習 →
台中一間飲料店的集點機把第
n
n
n
張發票的兌換碼定義為
C
(
n
)
=
∑
i
=
0
9
⌊
n
7
+
i
10
⌋
+
∑
j
=
0
6
⌊
n
10
+
j
7
⌋
C(n)=\sum_{i=0}^{9}\left\lfloor \frac{n}{7}+\frac{i}{10}\right\rfloor+\sum_{j=0}^{6}\left\lfloor \frac{n}{10}+\frac{j}{7}\right\rfloor
C
(
n
)
=
∑
i
=
0
9
⌊
7
n
+
10
i
⌋
+
∑
j
=
0
6
⌊
10
n
+
7
j
⌋
。在
1
≤
n
≤
999
1\le n\le 999
1
≤
n
≤
999
的整數
n
n
n
中，有多少個使得
C
(
n
)
−
2
n
C(n)-2n
C
(
n
)
−
2
n
是
9
9
9
的倍數？
AIME
對數・二次函數與拋物線
開始練習 →
高雄六合夜市的一家飲料攤把兩種口味當天賣出的杯數記為正整數
a
a
a
與
b
b
b
，且
a
<
b
a<b
a
<
b
。店長留下兩條提示：
log
2
(
a
+
b
)
+
log
a
+
b
64
=
7
\log_2(a+b)+\log_{a+b}64=7
lo
g
2
(
a
+
b
)
+
lo
g
a
+
b
64
=
7
，且
log
2
a
+
log
2
b
=
log
2
768
\log_2 a+\log_2 b=\log_2 768
lo
g
2
a
+
lo
g
2
b
=
lo
g
2
768
。求
b
−
a
b-a
b
−
a
。
AIME
對稱式與代數恆等式・模運算與同餘
開始練習 →
台南夜市某攤的電子號碼牌會用兩個隱藏數產生驗證碼。設
x
,
y
x,y
x
,
y
為方程式
3
t
2
−
21
t
+
33
=
0
3t^2-21t+33=0
3
t
2
−
21
t
+
33
=
0
的兩根，並令
C
=
x
4
+
y
4
+
11
(
x
3
+
y
3
)
(
1
x
+
1
y
)
C=x^4+y^4+11(x^3+y^3)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)
C
=
x
4
+
y
4
+
11
(
x
3
+
y
3
)
(
x
1
+
y
1
)
。驗證碼定為
C
C
C
除以
1000
1000
1000
的餘數，求此驗證碼。
AIME
複數・對稱式與代數恆等式
開始練習 →
台中逢甲夜市有一串互動燈，設計師用多項式記錄第
x
x
x
段的亮度校正。令
α
=
1
+
3
i
\alpha=1+\sqrt3 i
α
=
1
+
3
i
，並令
P
(
x
)
=
∏
k
=
0
5
(
x
−
(
α
k
+
α
‾
k
)
)
P(x)=\prod_{k=0}^{5}(x-(\alpha^k+\overline{\alpha}^k))
P
(
x
)
=
∏
k
=
0
5
(
x
−
(
α
k
+
α
k
))
。將
P
(
x
)
P(x)
P
(
x
)
展開為
x
6
+
a
5
x
5
+
a
4
x
4
+
a
3
x
3
+
a
2
x
2
+
a
1
x
+
a
0
x^6+a_5x^5+a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0
x
6
+
a
5
x
5
+
a
4
x
4
+
a
3
x
3
+
a
2
x
2
+
a
1
x
+
a
0
。求
a
2
+
a
0
a_2+a_0
a
2
+
a
0
除以
1000
1000
1000
的餘數。
AIME
圓冪定理・面積切割與補形
開始練習 →
台南安平運河旁有一個圓形地燈圖樣，在平面圖中以
O
O
O
為圓心。維修點
P
P
P
在圓外，射線
P
O
PO
P
O
依序交圓於
C
,
D
C,D
C
,
D
。從
P
P
P
向圓作兩條切線，切點為
A
,
B
A,B
A
,
B
，且
A
,
B
A,B
A
,
B
在直線
P
O
PO
P
O
的兩側。已知
P
A
=
12
PA=12
P
A
=
12
、
P
C
=
8
PC=8
P
C
=
8
。若凸四邊形
A
D
B
C
ADBC
A
D
B
C
的面積為最簡分數
m
n
\frac{m}{n}
n
m
，求
m
+
n
m+n
m
+
n
。
AIME
容斥原理・遞迴與路徑計數
開始練習 →
台中車站附近的步道畫成方格，小禾從西南角
S
=
(
0
,
0
)
S=(0,0)
S
=
(
0
,
0
)
走到東北角
T
=
(
8
,
6
)
T=(8,6)
T
=
(
8
,
6
)
，每一步只能往東或往北，因此只走最短路。三個集章攤位分別在
A
=
(
2
,
2
)
A=(2,2)
A
=
(
2
,
2
)
、
B
=
(
4
,
3
)
B=(4,3)
B
=
(
4
,
3
)
、
C
=
(
6
,
5
)
C=(6,5)
C
=
(
6
,
5
)
，施工中的路口
X
=
(
3
,
3
)
X=(3,3)
X
=
(
3
,
3
)
不能經過。問小禾有多少條最短路徑會經過恰好一個集章攤位？
AIME
坐標幾何・圓的性質
開始練習 →
台南花園夜市的簡化平面圖上，兩個攤位在
A
=
(
15
,
20
)
A=(15,20)
A
=
(
15
,
20
)
與
B
=
(
22
,
13
)
B=(22,13)
B
=
(
22
,
13
)
。一條圓形動線
Γ
\Gamma
Γ
通過
A
A
A
、
B
B
B
，且圓心在直線
2
x
+
y
=
28
2x+y=28
2
x
+
y
=
28
上。直線
x
+
y
=
11
x+y=11
x
+
y
=
11
與
Γ
\Gamma
Γ
交於兩點，其中
C
C
C
的
x
x
x
坐標較小，
D
D
D
的
x
x
x
坐標較大。將
A
,
C
,
D
,
B
A,C,D,B
A
,
C
,
D
,
B
依序連成四邊形，求其面積。
AIME
遞迴與路徑計數
開始練習 →
台南中西區有一片棋盤狀小巷，交叉口以座標
(
x
,
y
)
(x,y)
(
x
,
y
)
表示，其中
0
≤
x
≤
8
0\le x\le 8
0
≤
x
≤
8
且
0
≤
y
≤
6
0\le y\le 6
0
≤
y
≤
6
。阿澤要從早餐店
S
=
(
0
,
0
)
S=(0,0)
S
=
(
0
,
0
)
走到補習班
T
=
(
8
,
6
)
T=(8,6)
T
=
(
8
,
6
)
，每一步只能沿一小段路向東或向北，且必須走最短路。因廟會搭棚，交叉口
(
2
,
1
)
(2,1)
(
2
,
1
)
、
(
3
,
3
)
(3,3)
(
3
,
3
)
、
(
5
,
2
)
(5,2)
(
5
,
2
)
、
(
6
,
4
)
(6,4)
(
6
,
4
)
不能經過。合法的最短路線共有幾條？
AIME
圓的性質・坐標幾何
開始練習 →
台南某夜市的平面導覽圖以公尺為單位，入口設為原點
O
O
O
。圓形水池
Γ
\Gamma
Γ
的邊界滿足
x
2
+
y
2
−
8
x
−
12
y
−
92
=
0
x^2+y^2-8x-12y-92=0
x
2
+
y
2
−
8
x
−
12
y
−
92
=
0
。攤位
P
=
(
13
,
22
)
P=(13,22)
P
=
(
13
,
22
)
往水池拉出兩條直線棚架，分別與
Γ
\Gamma
Γ
相切於
A
A
A
、
B
B
B
。直線
A
B
AB
A
B
分別與
x
x
x
軸、
y
y
y
軸交於
E
E
E
、
F
F
F
。求三角形
O
E
F
OEF
O
E
F
面積的兩倍。
AIME
三角比與正餘弦定理・圓的性質
開始練習 →
台南夜市攤位示意圖中，從路口
A
A
A
到兩攤
B
,
C
B,C
B
,
C
的直線距離分別為
12
12
12
公尺與
6
6
6
公尺，且
∠
B
A
C
=
120
∘
\angle BAC=120^\circ
∠
B
A
C
=
12
0
∘
。攤車連線
B
C
BC
B
C
上有兩個掛燈點
D
,
E
D,E
D
,
E
，其中
∠
B
A
D
=
30
∘
\angle BAD=30^\circ
∠
B
A
D
=
3
0
∘
，且
A
E
AE
A
E
垂直於
A
B
AB
A
B
。設通過
A
,
D
,
E
A,D,E
A
,
D
,
E
的圓半徑為
R
R
R
。若
R
2
=
m
n
R^2=\frac{m}{n}
R
2
=
n
m
為最簡分數，求
m
+
n
m+n
m
+
n
。
AIME
中國剩餘定理・模運算與同餘
開始練習 →
台南轉運站旁的飲料店把第
j
j
j
張收據的檢查值設為
2
j
+
1
2j+1
2
j
+
1
。某天從
j
=
0
j=0
j
=
0
到
j
=
998
j=998
j
=
998
共
999
999
999
張收據，結帳機的日終碼
C
C
C
定義為下列整數除以
1000
1000
1000
的餘數：
∑
j
=
0
998
(
2
j
+
1
)
2026
\sum_{j=0}^{998}(2j+1)^{2026}
∑
j
=
0
998
(
2
j
+
1
)
2026
。求
C
C
C
。
AIME
複數・多項式與因式餘式定理
開始練習 →
台南花園夜市的燈飾設計圖畫在複數平面上。第
k
k
k
盞燈的位置為
L
k
=
3
+
2
i
+
(
1
−
i
)
ζ
k
L_k=3+2i+(1-i)\zeta^k
L
k
=
3
+
2
i
+
(
1
−
i
)
ζ
k
，其中
k
=
0
,
1
,
…
,
8
k=0,1,\ldots,8
k
=
0
,
1
,
…
,
8
，且
ζ
=
cos
2
π
9
+
i
sin
2
π
9
\zeta=\cos\frac{2\pi}{9}+i\sin\frac{2\pi}{9}
ζ
=
cos
9
2
π
+
i
sin
9
2
π
。攤位
P
P
P
的位置是
6
+
i
6+i
6
+
i
。設
N
=
∏
k
=
1
8
∣
P
−
L
k
∣
2
N=\prod_{k=1}^{8}|P-L_k|^2
N
=
∏
k
=
1
8
∣
P
−
L
k
∣
2
。求
N
N
N
除以
1000
1000
1000
的餘數。
AIME
等比數列與無窮級數・幾何：角度與面積
開始練習 →
高雄駁二的一個週末市集要拉三角形遮陽棚，三個固定柱為
A
A
A
、
B
B
B
、
C
C
C
。設計圖上三邊長（單位：公尺）分別標成
A
B
=
∑
n
=
1
∞
3
n
+
1
2
n
AB=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3n+1}{2^n}
A
B
=
∑
n
=
1
∞
2
n
3
n
+
1
、
A
C
=
∑
n
=
0
∞
(
3
n
+
13
)
(
−
1
2
)
n
AC=\sum_{n=0}^{\infty}(3n+13)\left(-\frac{1}{2}\right)^n
A
C
=
∑
n
=
0
∞
(
3
n
+
13
)
(
−
2
1
)
n
、
B
C
=
∑
n
=
1
∞
6
n
+
1
2
n
BC=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{6n+1}{2^n}
B
C
=
∑
n
=
1
∞
2
n
6
n
+
1
。若
K
K
K
為遮陽棚的面積，求
K
2
K^2
K
2
。
AIME
高斯取整函數・模運算與同餘
開始練習 →
淡水夜市有一台集點機，對每個正整數
n
n
n
定義驗證碼
C
(
n
)
C(n)
C
(
n
)
為
C
(
n
)
=
∑
k
=
0
46
⌊
3
n
+
19
k
−
5
47
⌋
+
∑
k
=
0
42
⌊
2
n
+
17
k
+
8
43
⌋
C(n)=\sum_{k=0}^{46}\left\lfloor\frac{3n+19k-5}{47}\right\rfloor+\sum_{k=0}^{42}\left\lfloor\frac{2n+17k+8}{43}\right\rfloor
C
(
n
)
=
∑
k
=
0
46
⌊
47
3
n
+
19
k
−
5
⌋
+
∑
k
=
0
42
⌊
43
2
n
+
17
k
+
8
⌋
。 若
1
≤
n
≤
900
1\le n\le 900
1
≤
n
≤
900
，且
n
+
30
n+30
n
+
30
整除
C
(
n
)
C(n)
C
(
n
)
，求所有符合條件的
n
n
n
之和。
AIME
三角比與正餘弦定理・對稱式與代數恆等式
開始練習 →
台南安平碼頭旁的三支路燈標成
A
,
B
,
C
A,B,C
A
,
B
,
C
，形成三角形
A
B
C
ABC
A
B
C
。已知
∠
B
A
C
\angle BAC
∠
B
A
C
為鈍角，且
sin
∠
B
A
C
=
3
2
\sin\angle BAC=\frac{\sqrt3}{2}
sin
∠
B
A
C
=
2
3
。從
A
A
A
向
B
C
BC
B
C
作內角平分線交
B
C
BC
B
C
於
D
D
D
，令
M
M
M
為
B
C
BC
B
C
的中點。若
A
D
=
24
AD=24
A
D
=
24
且
D
M
=
6
7
DM=6\sqrt7
D
M
=
6
7
，三角形
A
B
C
ABC
A
B
C
的面積可寫成
K
3
K\sqrt3
K
3
，求整數
K
K
K
。