台南安平碼頭旁的三支路燈標成 $A,B,C$，形成三角形 $ABC$。已知 $\angle BAC$ 為鈍角，且 $\sin\angle BAC=\frac{\sqrt3}{2}$。從 $A$ 向 $BC$ 作內角平分線交 $BC$ 於 $D$，令 $M$ 為 $BC$ 的中點。若 $AD=24$ 且 $DM=6\sqrt7$，三角形 $ABC$ 的面積可寫成 $K\sqrt3$，求整數 $K$。