台中逢甲夜市有一串互動燈，設計師用多項式記錄第 $x$ 段的亮度校正。令 $\alpha=1+\sqrt3 i$，並令 $P(x)=\prod_{k=0}^{5}(x-(\alpha^k+\overline{\alpha}^k))$。將 $P(x)$ 展開為 $x^6+a_5x^5+a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0$。求 $a_2+a_0$ 除以 $1000$ 的餘數。