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所有知識點（91）
整數四則與運算順序
位值、概數與估算
單位換算與時間計算
分數與小數運算
數論基礎（整除、質因數、餘數）
質因數分解與標準分解式
最大公因數與最小公倍數
餘數循環與週期規律
進位制與位數表示
數字與位數問題
整數解與不定方程
模運算與同餘
中國剩餘定理
因數個數與因數和
階乘的質因數次數
代數技巧（方程、不等式、數列）
巧設未知數與一次方程應用
等差數列與規律延伸
對稱式與代數恆等式
因式分解技巧（SFFT）
速率與工作問題
一次函數與圖形
指數與根式
二次函數與拋物線
多項式與因式餘式定理
不等式與絕對值
比例、速率與百分比
對數
複數
等比數列與無窮級數
函數概念與圖形變換
高斯取整函數
望遠鏡級數與裂項
遞迴數列
指數函數與指數方程
對數函數與對數方程
多項式函數與圖形
數列與級數
矩陣與線性變換
複數與多項式方程
幾何：角度與面積
角度追蹤
面積切割與補形
相似形與比例線段
畢氏定理與特殊直角三角形
幾何推理與證明
圓的性質
多邊形與正多邊形
立體幾何
坐標幾何
三角比與正餘弦定理
對稱與幾何變換
圓冪定理
圓錐曲線（截痕概念）
平面上的比例
二次曲線標準式
計數與機率
加法與乘法原理
系統列舉與分類討論
基礎機率
排列組合進階
容斥原理
期望值
幾何機率
遞迴與路徑計數
鴿籠原理與最壞情況
奇偶性與不變量
隔板法與重複組合
條件機率與貝氏
條件機率與貝氏定理
離散隨機變數
二項分布
幾何分布
邏輯推理與規律
統計圖表與資料判讀
平均數與加權平均
二維數據與相關
三角比與正餘弦定理
三角函數與和差角
三角函數建模
平面向量
空間向量
空間中的直線與平面
數列極限與收斂
無窮等比級數
函數極限與連續
導函數與微分法
微分應用（極值與圖形）
黎曼和與定積分
積分應用（面積與體積）
數線與絕對值
共
50
題
・第 2／2 頁
清除全部篩選
分科測驗（數學甲）
矩陣與線性變換
開始練習 →
新竹某高中的畢業紀念冊小組用繪圖軟體處理封面圖案。軟體會對圖案上的每一點依序執行兩個以原點為中心的線性變換：變換
S
S
S
把水平方向（
x
x
x
方向）拉長為原來的
3
3
3
倍、鉛直方向（
y
y
y
方向）拉長為原來的
2
2
2
倍；變換
T
T
T
則是繞原點逆時針旋轉
90
∘
90^\circ
9
0
∘
。如圖，圖案上有一點
P
P
P
，先做
S
S
S
再做
T
T
T
之後，恰好落在點
Q
(
−
12
,
18
)
Q(-12,18)
Q
(
−
12
,
18
)
。則點
P
P
P
的座標為下列何者？
‹
1
2
›
分科測驗（數學甲）
積分應用（面積與體積）・黎曼和與定積分
開始練習 →
某高中數學研究社為校慶製作壓克力立牌，立牌側面的輪廓畫在座標平面上（單位：公分）：它是由曲線
y
=
x
2
−
3
x
+
2
y=x^2-3x+2
y
=
x
2
−
3
x
+
2
、
x
x
x
軸，以及兩條鉛直線
x
=
0
x=0
x
=
0
與
x
=
3
x=3
x
=
3
所圍成的區域（如圖中的灰色部分）。若要估算所需的壓克力板材，須先知道這塊輪廓的面積。試問灰色部分的總面積為多少平方公分？
分科測驗（數學甲）
矩陣與線性變換・對稱與幾何變換
開始練習 →
台南一間手作皮件工作室用雷射雕刻機在皮革上刻圖樣。機器會把平面上的每一點
(
x
,
y
)
(x,y)
(
x
,
y
)
依序做三個動作：第一步對直線
y
=
x
y=x
y
=
x
鏡射，第二步繞原點逆時針旋轉
90
∘
90^\circ
9
0
∘
，第三步把
x
x
x
坐標放大為
2
2
2
倍、
y
y
y
坐標放大為
3
3
3
倍。今有一個原始點
P
P
P
，經過這三個動作後落在點
Q
(
6
,
−
12
)
Q(6,-12)
Q
(
6
,
−
12
)
（如圖），則
P
P
P
的坐標為何？
分科測驗（數學甲）
複數
開始練習 →
台中歌劇院外牆有一盞可移動的投射燈，工程師用複數平面上的點來記錄它的位置（單位：公尺），中心控制台設在原點
O
O
O
。目前燈位在
z
0
=
3
+
i
z_0=\sqrt{3}+i
z
0
=
3
+
i
的位置。每按一次「轉場」鍵，燈的位置就變成原來的複數乘上
1
+
i
1+i
1
+
i
，也就是按了
n
n
n
次之後的位置為
z
n
=
(
1
+
i
)
n
z
0
z_n=(1+i)^n z_0
z
n
=
(
1
+
i
)
n
z
0
。如圖標出了按前兩次後的位置
z
1
z_1
z
1
與
z
2
z_2
z
2
。請問按了
6
6
6
次之後，燈的位置
z
6
z_6
z
6
為下列何者？
分科測驗（數學甲）
二次曲線標準式・矩陣與線性變換
開始練習 →
小澔在設計課用繪圖軟體做捷運站的裝置藝術草圖，原始圖案是雙曲線
C
:
x
2
9
−
y
2
4
=
1
C:\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1
C
:
9
x
2
−
4
y
2
=
1
（如圖）。他先把整個圖案對直線
y
=
x
y=x
y
=
x
作鏡射，接著把鏡射後的結果沿
y
y
y
軸方向拉伸為原來的
2
2
2
倍（也就是
(
x
,
y
)
↦
(
x
,
2
y
)
(x,y)\mapsto(x,2y)
(
x
,
y
)
↦
(
x
,
2
y
)
），得到新曲線
C
′
C'
C
′
。則
C
′
C'
C
′
的離心率為何？
分科測驗（數學甲）
複數・等比數列與無窮級數
開始練習 →
台中一家手作燈飾店的師傅在複數平面上設計一串「螺旋燈」：第
0
0
0
顆燈掛在
z
0
=
4
3
+
4
i
z_0=4\sqrt{3}+4i
z
0
=
4
3
+
4
i
的位置，之後每一顆燈的位置都由前一顆乘上同一個複數
w
=
1
−
1
+
i
w=\dfrac{1}{-1+i}
w
=
−
1
+
i
1
得到，也就是
z
n
+
1
=
z
n
w
z_{n+1}=z_n\,w
z
n
+
1
=
z
n
w
（
n
=
0
,
1
,
2
,
…
n=0,1,2,\ldots
n
=
0
,
1
,
2
,
…
）。如圖標出了第
0
0
0
顆到第
3
3
3
顆燈的位置。試求第
6
6
6
顆燈的位置
z
6
z_6
z
6
為下列何者？
分科測驗（數學甲）
複數與多項式方程
開始練習 →
新竹某高中的數學研究社在社課上，指導老師在白板寫下一個實係數四次多項式
f
(
x
)
=
x
4
+
a
x
3
+
b
x
2
+
c
x
+
d
f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d
f
(
x
)
=
x
4
+
a
x
3
+
b
x
2
+
c
x
+
d
其中
a
,
b
,
c
,
d
a,b,c,d
a
,
b
,
c
,
d
皆為實數，並公布三個線索： (1)
f
(
2
+
i
)
=
0
f(2+i)=0
f
(
2
+
i
)
=
0
，其中
i
i
i
為虛數單位； (2) 方程式
f
(
x
)
=
0
f(x)=0
f
(
x
)
=
0
的四個根（重根依重數計算）之和為
9
9
9
； (3)
f
(
0
)
=
40
f(0)=40
f
(
0
)
=
40
。 請問
f
(
1
)
f(1)
f
(
1
)
之值為何？
分科測驗（數學甲）
空間向量
開始練習 →
桃園某文創工作室要製作四面體造型的實心玻璃紙鎮。以工作檯的一角為原點建立空間坐標系（單位：公分），紙鎮的四個頂點分別位於
P
(
1
,
0
,
2
)
P(1,0,2)
P
(
1
,
0
,
2
)
、
Q
(
3
,
1
,
2
)
Q(3,1,2)
Q
(
3
,
1
,
2
)
、
R
(
0
,
2
,
3
)
R(0,2,3)
R
(
0
,
2
,
3
)
、
S
(
2
,
−
1
,
5
)
S(2,-1,5)
S
(
2
,
−
1
,
5
)
，如圖。試問這個四面體紙鎮的體積為多少立方公分？
分科測驗（數學甲）
空間向量・立體幾何
開始練習 →
台南某廣場有一件三角錐形的玻璃裝置藝術，內部要灌入透明樹脂。以廣場地面的某個角落為原點建立空間坐標系（單位：公尺），四個頂點的座標為
A
(
1
,
1
,
4
)
A(1,1,4)
A
(
1
,
1
,
4
)
、
B
(
3
,
3
,
3
)
B(3,3,3)
B
(
3
,
3
,
3
)
、
C
(
3
,
0
,
6
)
C(3,0,6)
C
(
3
,
0
,
6
)
、
P
(
3
,
1
,
1
)
P(3,1,1)
P
(
3
,
1
,
1
)
，如圖。則四面體
P
A
B
C
PABC
P
A
B
C
的體積為多少立方公尺？
分科測驗（數學甲）
複數・等比數列與無窮級數
開始練習 →
小婕在高雄駁二的手作工作坊折鋁線螺旋掛飾。她把設計圖畫在複數平面上：第
0
0
0
個折點
P
0
P_0
P
0
對應複數
1
1
1
，其後每一個折點都由前一個折點所對應的複數乘上
w
=
3
4
+
3
4
i
w=\frac{3}{4}+\frac{\sqrt{3}}{4}i
w
=
4
3
+
4
3
i
而得，也就是折點
P
n
P_n
P
n
對應複數
w
n
w^{n}
w
n
（
n
=
0
,
1
,
2
,
…
n=0,1,2,\ldots
n
=
0
,
1
,
2
,
…
）。她再依序用鋁線把
P
0
,
P
1
,
P
2
,
…
P_0,P_1,P_2,\ldots
P
0
,
P
1
,
P
2
,
…
連成一條折線（如圖）。若這個折法無限做下去，則所需鋁線的總長
P
0
P
1
‾
+
P
1
P
2
‾
+
P
2
P
3
‾
+
⋯
\overline{P_0P_1}+\overline{P_1P_2}+\overline{P_2P_3}+\cdots
P
0
P
1
+
P
1
P
2
+
P
2
P
3
+
⋯
為何？
分科測驗（數學甲）
微分應用（極值與圖形）
開始練習 →
高三生阿哲在準備分科測驗時，複習講義上出現函數
f
(
x
)
=
3
x
5
−
20
x
4
+
40
x
3
+
7
f(x)=3x^5-20x^4+40x^3+7
f
(
x
)
=
3
x
5
−
20
x
4
+
40
x
3
+
7
，定義域為全體實數。他想弄清楚這個函數的圖形長什麼樣子。關於
y
=
f
(
x
)
y=f(x)
y
=
f
(
x
)
的圖形，下列敘述何者正確？
分科測驗（數學甲）
等比數列與無窮級數・對數函數與對數方程
開始練習 →
小婕從 2027 年起理財，每年年底存入
2
2
2
萬元到一個年利率
5
%
5\%
5%
、每年複利一次的帳戶（如圖，每個向下的箭頭代表該年年底存入的
2
2
2
萬元）。設第
n
n
n
年年底（該年這筆錢剛存入後）帳戶內的本利和為
S
n
S_n
S
n
萬元。已知
log
2
=
0.3010
\log 2 = 0.3010
lo
g
2
=
0.3010
、
log
3
=
0.4771
\log 3 = 0.4771
lo
g
3
=
0.4771
、
log
7
=
0.8451
\log 7 = 0.8451
lo
g
7
=
0.8451
，則使
S
n
>
40
S_n > 40
S
n
>
40
的最小正整數
n
n
n
為何？
分科測驗（數學甲）
複數與多項式方程・微分應用（極值與圖形）
開始練習 →
某科技大學機械系的小昀用電腦繪圖設計一段凸輪的側面輪廓，其形狀為三次多項式函數
y
=
f
(
x
)
=
x
3
+
a
x
2
+
b
x
+
c
y=f(x)=x^3+ax^2+bx+c
y
=
f
(
x
)
=
x
3
+
a
x
2
+
b
x
+
c
（其中
a
a
a
、
b
b
b
、
c
c
c
均為實數）的圖形，如圖。已知方程式
f
(
x
)
=
0
f(x)=0
f
(
x
)
=
0
有一根為
5
+
3
i
5+3i
5
+
3
i
（
i
i
i
為虛數單位），且圖形的反曲點
I
I
I
的
x
x
x
坐標為
3
3
3
。試問
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
的極大值為何？
分科測驗（數學甲）
積分應用（面積與體積）
開始練習 →
南投一家木工坊用車床製作實心木質檯燈底座。在座標平面上（長度單位：公分），第一象限中由拋物線
y
=
x
2
y=x^2
y
=
x
2
、直線
x
+
y
=
6
x+y=6
x
+
y
=
6
與
y
y
y
軸所圍成的區域
R
R
R
（如圖），繞
y
y
y
軸旋轉一圈。所得旋轉體的體積為多少立方公分？
分科測驗（數學甲）
平面向量・三角比與正餘弦定理
開始練習 →
某社區中庭有一塊三角形花圃
A
B
C
ABC
A
B
C
，如圖。已知
A
B
‾
=
6
\overline{AB}=6
A
B
=
6
公尺、
A
C
‾
=
4
\overline{AC}=4
A
C
=
4
公尺，且
∠
B
A
C
=
120
∘
\angle BAC=120^{\circ}
∠
B
A
C
=
12
0
∘
。園藝志工在
B
C
‾
\overline{BC}
B
C
上取一點
D
D
D
，使
B
D
‾
:
D
C
‾
=
2
:
1
\overline{BD}:\overline{DC}=2:1
B
D
:
D
C
=
2
:
1
，並取
A
C
‾
\overline{AC}
A
C
的中點
E
E
E
；接著沿
A
D
‾
\overline{AD}
A
D
與
B
E
‾
\overline{BE}
B
E
各鋪一條直線碎石步道，兩條步道交於
P
P
P
點。若要在
P
P
P
處裝設一座灑水器，則
A
P
‾
\overline{AP}
A
P
的長度為多少公尺？
分科測驗（數學甲）
矩陣與線性變換・對稱與幾何變換
開始練習 →
高雄駁二特區的光雕表演中，工程師以矩陣控制雷射光點在牆面座標平面上的位置。設
M
M
M
為「對直線
y
=
3
x
y=\sqrt{3}x
y
=
3
x
鏡射」的變換矩陣，
R
R
R
為「繞原點逆時針旋轉
30
∘
30^\circ
3
0
∘
」的變換矩陣，光點的起始位置為
P
(
6
,
0
)
P(6,0)
P
(
6
,
0
)
（如圖）。程式甲讓光點先做
M
M
M
再做
R
R
R
，落點記為
P
1
P_1
P
1
；程式乙讓光點先做
R
R
R
再做
M
M
M
，落點記為
P
2
P_2
P
2
。則線段
P
1
P
2
‾
\overline{P_1P_2}
P
1
P
2
的長度為何？
分科測驗（數學甲）
積分應用（面積與體積）・微分應用（極值與圖形）
開始練習 →
社區木工班要在木板上裁出一片裝飾板。在木板上建立坐標系（長度單位為公分），裝飾板的邊界由三次曲線
C
:
y
=
x
3
−
3
x
2
−
9
x
C: y=x^3-3x^2-9x
C
:
y
=
x
3
−
3
x
2
−
9
x
與一條水平直線
L
L
L
圍成，其中
L
L
L
恰好通過
C
C
C
的相對極大點
P
P
P
，並與
C
C
C
另外交於點
Q
Q
Q
（如圖）。求此裝飾板的面積（單位：平方公分）。
分科測驗（數學甲）
排列組合進階
開始練習 →
台南某社區在中秋節辦烤肉聚餐，
10
10
10
位參加者圍同一張圓桌入座（如圖）。這
10
10
10
人中有
6
6
6
位大人（其中包含里長與里長夫人）與
4
4
4
位小孩，且
10
10
10
人彼此都分得出來。若座位安排必須同時滿足下列兩個規定：(i) 里長與里長夫人一定要相鄰；(ii) 任兩位小孩都不可以相鄰。座法只論相對位置（把整張座位圖轉一個角度後看起來一樣的，算同一種）。則共有幾種座法？
分科測驗（數學甲）
離散隨機變數・期望值
開始練習 →
桃園某高中熱音社在成果發表會後拍紀念照。社員共
12
12
12
人，其中男生
5
5
5
人、女生
7
7
7
人，以完全隨機的方式排成一列（每一種排法出現的機會均等），座位由左至右編號
1
1
1
到
12
12
12
，如圖。社長設計了一個「和諧分數」
S
S
S
：把左右相鄰的兩個座位視為一組，總共
11
11
11
組；每一組若兩人性別不同就得
3
3
3
分，性別相同就扣
1
1
1
分（即得
−
1
-1
−
1
分），而
S
S
S
是這
11
11
11
組分數的總和。試求
S
S
S
的期望值
E
(
S
)
E(S)
E
(
S
)
。
分科測驗（數學甲）
立體幾何・空間中的直線與平面
開始練習 →
宜蘭一家豆腐工坊把整塊豆腐做成長方體
A
B
C
D
ABCD
A
B
C
D
-
E
F
G
H
EFGH
E
F
G
H
（如圖），其中
A
B
=
8
AB=8
A
B
=
8
、
A
D
=
6
AD=6
A
D
=
6
、
A
E
=
4
AE=4
A
E
=
4
（單位：公分），且
E
E
E
、
F
F
F
、
G
G
G
、
H
H
H
分別在
A
A
A
、
B
B
B
、
C
C
C
、
D
D
D
的正上方。師傅用一片平面刀面通過
B
B
B
、
D
D
D
兩點切下一刀，刀面與稜
C
G
CG
C
G
交於點
K
K
K
。若切下來含頂點
C
C
C
的那一塊，體積恰為整塊豆腐體積的
1
12
\frac{1}{12}
12
1
，則頂點
A
A
A
到刀面（即平面
B
D
K
BDK
B
D
K
）的距離為多少？