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難
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所有知識點（91）
整數四則與運算順序
位值、概數與估算
單位換算與時間計算
分數與小數運算
數論基礎（整除、質因數、餘數）
質因數分解與標準分解式
最大公因數與最小公倍數
餘數循環與週期規律
進位制與位數表示
數字與位數問題
整數解與不定方程
模運算與同餘
中國剩餘定理
因數個數與因數和
階乘的質因數次數
代數技巧（方程、不等式、數列）
巧設未知數與一次方程應用
等差數列與規律延伸
對稱式與代數恆等式
因式分解技巧（SFFT）
速率與工作問題
一次函數與圖形
指數與根式
二次函數與拋物線
多項式與因式餘式定理
不等式與絕對值
比例、速率與百分比
對數
複數
等比數列與無窮級數
函數概念與圖形變換
高斯取整函數
望遠鏡級數與裂項
遞迴數列
指數函數與指數方程
對數函數與對數方程
多項式函數與圖形
數列與級數
矩陣與線性變換
複數與多項式方程
幾何：角度與面積
角度追蹤
面積切割與補形
相似形與比例線段
畢氏定理與特殊直角三角形
幾何推理與證明
圓的性質
多邊形與正多邊形
立體幾何
坐標幾何
三角比與正餘弦定理
對稱與幾何變換
圓冪定理
圓錐曲線（截痕概念）
平面上的比例
二次曲線標準式
計數與機率
加法與乘法原理
系統列舉與分類討論
基礎機率
排列組合進階
容斥原理
期望值
幾何機率
遞迴與路徑計數
鴿籠原理與最壞情況
奇偶性與不變量
隔板法與重複組合
條件機率與貝氏
條件機率與貝氏定理
離散隨機變數
二項分布
幾何分布
邏輯推理與規律
統計圖表與資料判讀
平均數與加權平均
二維數據與相關
三角比與正餘弦定理
三角函數與和差角
三角函數建模
平面向量
空間向量
空間中的直線與平面
數列極限與收斂
無窮等比級數
函數極限與連續
導函數與微分法
微分應用（極值與圖形）
黎曼和與定積分
積分應用（面積與體積）
數線與絕對值
共
50
題
・第 1／2 頁
清除全部篩選
分科測驗（數學甲）
導函數與微分法
開始練習 →
設
f
(
x
)
=
(
x
2
+
1
)
(
3
x
−
2
)
f(x)=(x^2+1)(3x-2)
f
(
x
)
=
(
x
2
+
1
)
(
3
x
−
2
)
，其函數圖形如圖，點
P
P
P
為圖形上
x
=
2
x=2
x
=
2
所對應的點。則圖形在點
P
P
P
的切線斜率為何？
‹
1
2
›
分科測驗（數學甲）
導函數與微分法
開始練習 →
設實數
a
a
a
使得函數
f
(
x
)
=
x
3
−
6
x
2
+
a
x
+
4
f(x)=x^{3}-6x^{2}+ax+4
f
(
x
)
=
x
3
−
6
x
2
+
a
x
+
4
的圖形在
x
=
1
x=1
x
=
1
處的切線為水平線。試問
a
a
a
的值為何？
分科測驗（數學甲）
三角比與正餘弦定理
開始練習 →
社區公園裡有一塊三角形花圃
A
B
C
ABC
A
B
C
，如圖。花圃的頂點
A
A
A
位在兩條步道的交會處，其中
A
B
‾
=
7
\overline{AB}=7
A
B
=
7
公尺，
A
C
‾
=
8
\overline{AC}=8
A
C
=
8
公尺，且
∠
B
A
C
=
120
∘
\angle BAC=120^\circ
∠
B
A
C
=
12
0
∘
。園方打算沿著
B
C
‾
\overline{BC}
B
C
架設一道木柵欄，則這道柵欄的長度是多少公尺？
分科測驗（數學甲）
基礎機率
開始練習 →
小庭在台北一家手搖飲料店消費後，可以從抽獎箱中抽券。箱中共有
5
5
5
張券，其中
3
3
3
張是「免費加料」券（記為
A
A
A
），另外
2
2
2
張是「買一送一」券（記為
B
B
B
），每張券被抽中的機會都相同。小庭一次抽一張、連續抽兩張，且抽出後不放回。若把抽出的先後順序記錄下來，兩次抽取的所有可能情形如圖的樹狀圖（圖上分數為各分支發生的機率）。則小庭至少抽到一張「買一送一」券的機率為何？
分科測驗（數學甲）
二次曲線標準式
開始練習 →
校慶前夕，小澄在體育館舞台後方設計一條雙曲線造型的燈帶。她以舞台中央為原點建立座標系（單位：公尺），量得燈帶所在的雙曲線滿足方程式
9
x
2
−
16
y
2
−
54
x
−
64
y
−
127
=
0
9x^2-16y^2-54x-64y-127=0
9
x
2
−
16
y
2
−
54
x
−
64
y
−
127
=
0
，其圖形如圖（虛線為兩條漸近線，
C
C
C
為此雙曲線的中心）。試問這條雙曲線的兩個焦點座標為何？
分科測驗（數學甲）
三角函數與和差角
開始練習 →
高雄某漁港的水深受潮汐影響而呈週期性變化。以某日凌晨
0
0
0
時為起點，經過
t
t
t
小時後，港口的水深
h
(
t
)
h(t)
h
(
t
)
（單位：公尺）可用
h
(
t
)
=
5
+
2
sin
π
t
6
+
2
3
cos
π
t
6
h(t)=5+2\sin\frac{\pi t}{6}+2\sqrt{3}\cos\frac{\pi t}{6}
h
(
t
)
=
5
+
2
sin
6
π
t
+
2
3
cos
6
π
t
描述，其中
0
≤
t
≤
24
0\le t\le 24
0
≤
t
≤
24
，其圖形如圖。試問這一天港口的最大水深為幾公尺？且第一次達到最大水深是在
t
t
t
等於多少的時候？
分科測驗（數學甲）
二次曲線標準式
開始練習 →
台南某社區公園整修，工程圖以公尺為單位建立坐標系。橢圓形生態池的邊界方程式為
9
x
2
+
25
y
2
−
54
x
+
50
y
−
119
=
0
9x^2+25y^2-54x+50y-119=0
9
x
2
+
25
y
2
−
54
x
+
50
y
−
119
=
0
（如圖）。園方打算在這個橢圓的兩個焦點位置各裝一盞造景燈，則這兩盞燈的坐標為何？
分科測驗（數學甲）
空間中的直線與平面
開始練習 →
台中某物流倉庫裡有一條直線型的輸送管與一片傾斜的隔板。以倉庫地面上的一個參考點為原點建立空間坐標系（單位：公尺），輸送管所在的直線
L
L
L
通過點
A
(
1
,
−
2
,
4
)
A(1,-2,4)
A
(
1
,
−
2
,
4
)
，方向向量為
d
⃗
=
(
2
,
3
,
−
1
)
\vec{d}=(2,3,-1)
d
=
(
2
,
3
,
−
1
)
；隔板所在的平面
E
E
E
的方程式為
x
+
y
+
z
=
11
x+y+z=11
x
+
y
+
z
=
11
。如圖，輸送管恰好穿過隔板。試問直線
L
L
L
與平面
E
E
E
的交點坐標為何？
分科測驗（數學甲）
平面向量・平面上的比例
開始練習 →
如圖，在座標平面上，某社區公園的三座涼亭分別位於
A
(
1
,
2
)
A(1,2)
A
(
1
,
2
)
、
B
(
7
,
5
)
B(7,5)
B
(
7
,
5
)
、
C
(
2
,
9
)
C(2,9)
C
(
2
,
9
)
。園方沿著連接
A
A
A
與
B
B
B
的直線步道設置一盞路燈
P
P
P
，使得
P
P
P
在線段
A
B
AB
A
B
上且
A
P
‾
:
P
B
‾
=
2
:
1
\overline{AP}:\overline{PB}=2:1
A
P
:
P
B
=
2
:
1
。試求
C
A
⃗
⋅
C
P
⃗
\vec{CA}\cdot\vec{CP}
C
A
⋅
C
P
之值。
分科測驗（數學甲）
平面向量・坐標幾何
開始練習 →
某高中校園的規劃圖以公尺為單位建立坐標系，一塊三角形草地的三個頂點為
A
(
1
,
2
)
A(1,2)
A
(
1
,
2
)
、
B
(
7
,
4
)
B(7,4)
B
(
7
,
4
)
、
C
(
3
,
8
)
C(3,8)
C
(
3
,
8
)
。園藝社想在
B
C
‾
\overline{BC}
B
C
上取一點
D
D
D
，使
B
D
‾
:
D
C
‾
=
1
:
3
\overline{BD}:\overline{DC}=1:3
B
D
:
D
C
=
1
:
3
，再沿著
A
D
‾
\overline{AD}
A
D
鋪一條步道，把草地分成兩塊（如圖）。則
△
A
B
D
\triangle ABD
△
A
B
D
的面積為多少平方公尺？
分科測驗（數學甲）
指數函數與指數方程
開始練習 →
彰化一家觀賞魚養殖場在水池中投入除藻劑後，池水中除藻劑的殘留量
A
A
A
（公克）與投藥後經過的天數
t
t
t
之間滿足
A
=
160
(
1
2
)
t
5
A=160\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{5}}
A
=
160
(
2
1
)
5
t
，其圖形如圖（虛線為
A
=
10
A=10
A
=
10
）。依規定，必須等殘留量降到
10
10
10
公克以下（含
10
10
10
公克）才能把魚放回池中。若
t
≥
0
t\ge 0
t
≥
0
，則符合此規定的
t
t
t
範圍為下列何者？
分科測驗（數學甲）
積分應用（面積與體積）
開始練習 →
小柏在製圖課上，把拋物線
y
=
6
x
−
x
2
y=6x-x^2
y
=
6
x
−
x
2
與直線
y
=
2
x
y=2x
y
=
2
x
畫在同一個座標平面上（如圖），兩線圍出一塊有界的區域（圖中灰色部分）。試求此區域的面積。
分科測驗（數學甲）
空間中的直線與平面
開始練習 →
某高中在教學大樓屋頂加裝太陽能板，屋頂所在的平面為
E
:
2
x
−
y
+
2
z
=
5
E: 2x-y+2z=5
E
:
2
x
−
y
+
2
z
=
5
（座標的長度單位為公尺）。總務處派空拍機沿著直線
L
:
x
−
4
1
=
y
−
2
4
=
z
−
4
1
L:\frac{x-4}{1}=\frac{y-2}{4}=\frac{z-4}{1}
L
:
1
x
−
4
=
4
y
−
2
=
1
z
−
4
等速飛行，以拍攝屋頂的施工情形。如圖，飛行過程中空拍機始終在屋頂上方且未穿過屋頂。試問空拍機與屋頂平面
E
E
E
的距離為多少公尺？
分科測驗（數學甲）
排列組合進階
開始練習 →
某高中熱音社的七位幹部（社長、副社長、財務長、器材長，以及三位一般幹部）晚上到夜市聚餐，七人圍坐在一張圓桌旁（如圖）。座位不編號，凡是可以經由整桌旋轉而互相重合的坐法都視為同一種。若社長與副社長必須相鄰而坐，且財務長與器材長不可相鄰，則不同的坐法共有幾種？
分科測驗（數學甲）
二次函數與拋物線
開始練習 →
設
a
a
a
為實數，坐標平面上的拋物線
y
=
x
2
−
2
a
x
+
a
+
6
y=x^2-2ax+a+6
y
=
x
2
−
2
a
x
+
a
+
6
與
x
x
x
軸恰有一個交點。滿足此條件的拋物線恰有兩條，分別記為
Γ
1
\Gamma_1
Γ
1
與
Γ
2
\Gamma_2
Γ
2
，且兩者相交於一點
P
P
P
（如圖）。則
P
P
P
的
y
y
y
座標為何？
分科測驗（數學甲）
導函數與微分法・坐標幾何
開始練習 →
如圖，某科技園區內有一條拋物線形的景觀步道，在座標平面上可表示為
y
=
x
2
−
4
x
+
7
y=x^2-4x+7
y
=
x
2
−
4
x
+
7
（長度單位皆為十公尺）；園區內另有一座圓形草坪，圓心為
C
(
4
,
1
)
C(4,1)
C
(
4
,
1
)
。已知步道在點
P
(
3
,
4
)
P(3,4)
P
(
3
,
4
)
處的切線，恰好與草坪的圓形邊緣相切，則此草坪的半徑為何？
分科測驗（數學甲）
指數函數與指數方程・對數函數與對數方程
開始練習 →
台中一家手搖飲品牌在
2020
2020
2020
年的年營業額為
a
a
a
元（
a
>
0
a>0
a
>
0
）。此後每一年的年營業額都是前一年的
1.2
1.2
1.2
倍。若要讓某一年的年營業額超過
2020
2020
2020
年營業額的
3
3
3
倍，則從
2020
2020
2020
年起至少要經過幾年？（已知
log
2
≈
0.3010
\log 2 \approx 0.3010
lo
g
2
≈
0.3010
，
log
3
≈
0.4771
\log 3 \approx 0.4771
lo
g
3
≈
0.4771
，其中
log
\log
lo
g
表示以
10
10
10
為底的常用對數）
分科測驗（數學甲）
幾何分布・期望值
開始練習 →
園遊會的投籃攤位規定：每投一球要付
18
18
18
元，每球命中的機率都是
1
3
\frac{1}{3}
3
1
，且各球的結果互相獨立。小澄從第一球開始投，一旦命中就立刻停止；此外攤主規定最多只能投三球，也就是第三球投完後不論命中與否都結束。如圖為這個過程的樹狀圖，其中
H
H
H
表示命中、
M
M
M
表示未命中。試問小澄付出金額的期望值為多少元？
分科測驗（數學甲）
坐標幾何・圓的性質
開始練習 →
社區公園裡有一座圓形噴水池。以公園入口為原點建立坐標系（單位：公尺）後，池緣所在的圓為
x
2
+
y
2
−
4
x
+
2
y
−
20
=
0
x^2+y^2-4x+2y-20=0
x
2
+
y
2
−
4
x
+
2
y
−
20
=
0
。園方要沿著池緣上的一點
P
(
5
,
3
)
P(5,3)
P
(
5
,
3
)
鋪一條筆直的木棧道，使木棧道所在的直線與池緣的圓恰好相切於
P
P
P
（如圖）。則這條直線的方程式為下列何者？
分科測驗（數學甲）
三角函數與和差角・函數概念與圖形變換
開始練習 →
高雄某漁港設有水位監測站，港內從港底量到水面的水深
h
h
h
（單位：公尺）隨時間變化（如圖）。若以清晨
6
6
6
點為起點，經過
t
t
t
小時後的水深可用
h
(
t
)
=
2
sin
π
t
6
−
2
3
cos
π
t
6
+
9
h(t)=2\sin\dfrac{\pi t}{6}-2\sqrt{3}\cos\dfrac{\pi t}{6}+9
h
(
t
)
=
2
sin
6
π
t
−
2
3
cos
6
π
t
+
9
描述，其中
0
≤
t
≤
12
0\le t\le 12
0
≤
t
≤
12
。試問在這段時間內，港內水深的最大值是多少公尺？且第一次出現這個最大值是在
t
t
t
等於多少的時候？
分科測驗（數學甲）
排列組合進階
開始練習 →
新竹某高中「數理探究社」期末聚餐訂了一張圓桌，桌邊共有
8
8
8
個座位（如圖），社員
5
5
5
位學長與
3
3
3
位學弟每人各坐一個座位。這裡只考慮各人的相對位置，也就是整桌一起旋轉後看起來相同的坐法視為同一種。若要求任兩位學弟都不相鄰，則共有多少種不同的坐法？
分科測驗（數學甲）
空間中的直線與平面・空間向量
開始練習 →
高雄某展覽館的中庭裝有一條斜拉鋼索，旁邊是一片傾斜的玻璃帷幕。以中庭地面的一角為原點建立空間坐標系（單位：公尺），鋼索所在的直線
L
L
L
的方向向量為
d
⃗
=
(
1
,
1
,
0
)
\vec{d}=(1,1,0)
d
=
(
1
,
1
,
0
)
；玻璃帷幕所在的平面
E
E
E
的方程式為
x
+
z
=
6
x+z=6
x
+
z
=
6
。如圖，試問鋼索
L
L
L
與帷幕平面
E
E
E
所成的角為多少度？
分科測驗（數學甲）
期望值・離散隨機變數
開始練習 →
臺中某高中園遊會的攤位上放了一個不透明箱子，裡面裝有
4
4
4
顆紅球與
3
3
3
顆白球（同色球視為完全相同）。玩家把箱中
7
7
7
顆球以不放回的方式一顆一顆取出，並依取出的先後由左至右排成一列。這一列
7
7
7
顆球共形成
6
6
6
個相鄰位置，令隨機變數
X
X
X
表示其中「左右兩球顏色不同」的相鄰位置個數。如圖為其中一種可能的排列（
R
R
R
表紅球、
W
W
W
表白球），圖中以粗線標記的相鄰位置即為顏色不同者，此時
X
=
4
X=4
X
=
4
。試求
X
X
X
的期望值
E
(
X
)
=
?
E(X)=?
E
(
X
)
=
?
分科測驗（數學甲）
二次曲線標準式・矩陣與線性變換
開始練習 →
高雄某捷運站的地面磚以橢圓圖樣設計。原始圖樣是坐標平面上的橢圓
C
:
x
2
9
+
y
2
4
=
1
C:\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1
C
:
9
x
2
+
4
y
2
=
1
（如圖）。設計師在繪圖軟體中，先把
C
C
C
對直線
y
=
x
y=x
y
=
x
鏡射，得到的圖形再水平拉伸為原來的
2
2
2
倍（鉛直方向不變）。已知鏡射的矩陣為
M
=
(
0
1
1
0
)
M=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}
M
=
(
0
1
1
0
)
，水平拉伸的矩陣為
S
=
(
2
0
0
1
)
S=\begin{pmatrix}2&0\\0&1\end{pmatrix}
S
=
(
2
0
0
1
)
，平面上的點
P
(
x
,
y
)
P(x,y)
P
(
x
,
y
)
以
2
×
1
2\times 1
2
×
1
矩陣
(
x
y
)
\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}
(
x
y
)
表示，作變換時將矩陣乘在左邊。則最後得到的曲線，其離心率為下列何者？
分科測驗（數學甲）
三角函數與和差角・無窮等比級數
開始練習 →
小昀在校內科展做一個「風擺衰減」模型（如圖）：一顆小球用長
60
60
60
公分的細繩懸掛在固定點
O
O
O
，第一次由與鉛直線夾
π
3
\frac{\pi}{3}
3
π
的位置靜止放開。設風向角為
θ
\theta
θ
，其中
0
≤
θ
≤
π
2
0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}
0
≤
θ
≤
2
π
，且每一次擺動的最大偏角都是前一次的
r
r
r
倍，其中
r
=
3
sin
θ
+
cos
θ
6
r=\frac{\sqrt{3}\sin\theta+\cos\theta}{6}
r
=
6
3
s
i
n
θ
+
c
o
s
θ
。以
α
n
\alpha_n
α
n
（弧度）表示第
n
n
n
次的最大偏角，則
α
1
=
π
3
\alpha_1=\frac{\pi}{3}
α
1
=
3
π
且
α
n
+
1
=
r
α
n
\alpha_{n+1}=r\,\alpha_n
α
n
+
1
=
r
α
n
；小球每次從最大偏角
α
n
\alpha_n
α
n
擺到最低點，會掃過長
60
α
n
60\alpha_n
60
α
n
公分的圓弧。若調整風向使
r
r
r
達到最大值，則這些圓弧的長度總和為多少公分？
分科測驗（數學甲）
幾何分布・期望值
開始練習 →
夜市的夾娃娃機前，小妤每投一枚代幣就夾一次，每次夾中的機率都相同，且各次互相獨立。設
X
X
X
表示她第一次夾中娃娃時所投的代幣數（含夾中的那一次），如圖為前幾次結果的樹狀圖（
S
S
S
表示夾中，
F
F
F
表示沒夾中）。已知她「在兩枚代幣以內就夾中」的機率為
5
9
\frac{5}{9}
9
5
。今天她已經連續投了
3
3
3
枚代幣都沒夾中，若她打算一直投到夾中為止，則她今天總共投出的代幣數的期望值為何？
分科測驗（數學甲）
空間中的直線與平面・空間向量
開始練習 →
某高中在頂樓架設一片平面型的太陽能板，板面所在的平面為
E
E
E
。以頂樓地面的某個角落為原點建立空間坐標系（單位：公尺），板面上有三個固定螺栓，位置分別為
A
(
3
,
0
,
0
)
A(3,0,0)
A
(
3
,
0
,
0
)
、
B
(
0
,
0
,
3
)
B(0,0,3)
B
(
0
,
0
,
3
)
、
C
(
1
,
2
,
3
)
C(1,2,3)
C
(
1
,
2
,
3
)
。同一空間中另裝有一支直線型 LED 燈管，其所在直線
L
L
L
的對稱式為
x
−
5
2
=
y
−
1
2
=
z
−
3
−
1
\dfrac{x-5}{2}=\dfrac{y-1}{2}=\dfrac{z-3}{-1}
2
x
−
5
=
2
y
−
1
=
−
1
z
−
3
。如圖，燈管所在直線
L
L
L
與太陽能板所在平面
E
E
E
的距離為多少公尺？
分科測驗（數學甲）
平面向量
開始練習 →
台中某社區公園裡有一塊三角形花圃
A
B
C
ABC
A
B
C
（如圖），園丁量得
A
B
‾
=
6
\overline{AB}=6
A
B
=
6
公尺、
A
C
‾
=
4
\overline{AC}=4
A
C
=
4
公尺，且
∠
B
A
C
=
60
∘
\angle BAC=60^\circ
∠
B
A
C
=
6
0
∘
。園方在
B
C
‾
\overline{BC}
B
C
上裝設一盞照明燈
D
D
D
，使得
B
D
‾
:
D
C
‾
=
1
:
2
\overline{BD}:\overline{DC}=1:2
B
D
:
D
C
=
1
:
2
；又在
A
D
‾
\overline{AD}
A
D
的中點設置一張長椅
M
M
M
。若長度皆以公尺為單位，則內積
B
M
⃗
⋅
A
C
⃗
\vec{BM}\cdot\vec{AC}
B
M
⋅
A
C
之值為何？
分科測驗（數學甲）
數線與絕對值・函數概念與圖形變換
開始練習 →
台中某條筆直的老街全長
2
2
2
公里。以街頭為原點、沿街道方向建立一條數線，街上的位置用
x
x
x
表示（單位：公里），其中
0
≤
x
≤
2
0 \le x \le 2
0
≤
x
≤
2
；商圈核心點
C
C
C
位於
x
=
1
x=1
x
=
1
處，如圖。小柔打算把甜點店開在街上的位置
x
x
x
（如圖中的點
P
P
P
），經評估每月成本（單位：萬元）由兩部分組成：店面租金為
9
∣
x
−
1
∣
+
1
\dfrac{9}{|x-1|+1}
∣
x
−
1∣
+
1
9
，每月自核心倉庫進貨的運送費為
∣
x
−
1
∣
|x-1|
∣
x
−
1∣
。則小柔每月總成本的最小值為下列何者？
分科測驗（數學甲）
積分應用（面積與體積）
開始練習 →
桃園某高中自造者社團要用 3D 列印做一個「陀螺形」擺飾。設計時他們在座標平面上（長度單位：公分）取拋物線
y
=
x
2
y=x^2
y
=
x
2
與直線
y
=
2
x
y=2x
y
=
2
x
所圍成的封閉區域
R
R
R
（如圖），再把
R
R
R
繞
x
x
x
軸旋轉一圈，所得的旋轉體就是擺飾的形狀。則此擺飾的體積為多少立方公分？