夜市的夾娃娃機前，小妤每投一枚代幣就夾一次，每次夾中的機率都相同，且各次互相獨立。設 $X$ 表示她第一次夾中娃娃時所投的代幣數（含夾中的那一次），如圖為前幾次結果的樹狀圖（$S$ 表示夾中，$F$ 表示沒夾中）。已知她「在兩枚代幣以內就夾中」的機率為 $\frac{5}{9}$。今天她已經連續投了 $3$ 枚代幣都沒夾中，若她打算一直投到夾中為止，則她今天總共投出的代幣數的期望值為何？