小昀在校內科展做一個「風擺衰減」模型（如圖）：一顆小球用長 $60$ 公分的細繩懸掛在固定點 $O$，第一次由與鉛直線夾 $\frac{\pi}{3}$ 的位置靜止放開。設風向角為 $\theta$，其中 $0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$，且每一次擺動的最大偏角都是前一次的 $r$ 倍，其中 $r=\frac{\sqrt{3}\sin\theta+\cos\theta}{6}$。以 $\alpha_n$（弧度）表示第 $n$ 次的最大偏角，則 $\alpha_1=\frac{\pi}{3}$ 且 $\alpha_{n+1}=r\,\alpha_n$；小球每次從最大偏角 $\alpha_n$ 擺到最低點，會掃過長 $60\alpha_n$ 公分的圓弧。若調整風向使 $r$ 達到最大值，則這些圓弧的長度總和為多少公分？