台中歌劇院外牆有一盞可移動的投射燈，工程師用複數平面上的點來記錄它的位置（單位：公尺），中心控制台設在原點 $O$。目前燈位在 $z_0=\sqrt{3}+i$ 的位置。每按一次「轉場」鍵，燈的位置就變成原來的複數乘上 $1+i$，也就是按了 $n$ 次之後的位置為 $z_n=(1+i)^n z_0$。如圖標出了按前兩次後的位置 $z_1$ 與 $z_2$。請問按了 $6$ 次之後，燈的位置 $z_6$ 為下列何者？