小婕從 2027 年起理財，每年年底存入 $2$ 萬元到一個年利率 $5\%$、每年複利一次的帳戶（如圖，每個向下的箭頭代表該年年底存入的 $2$ 萬元）。設第 $n$ 年年底（該年這筆錢剛存入後）帳戶內的本利和為 $S_n$ 萬元。已知 $\log 2 = 0.3010$、$\log 3 = 0.4771$、$\log 7 = 0.8451$，則使 $S_n > 40$ 的最小正整數 $n$ 為何？