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CEMC 滑鐵盧數學競賽
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易
中
難
知識點
所有知識點（91）
整數四則與運算順序
位值、概數與估算
單位換算與時間計算
分數與小數運算
數論基礎（整除、質因數、餘數）
質因數分解與標準分解式
最大公因數與最小公倍數
餘數循環與週期規律
進位制與位數表示
數字與位數問題
整數解與不定方程
模運算與同餘
中國剩餘定理
因數個數與因數和
階乘的質因數次數
代數技巧（方程、不等式、數列）
巧設未知數與一次方程應用
等差數列與規律延伸
對稱式與代數恆等式
因式分解技巧（SFFT）
速率與工作問題
一次函數與圖形
指數與根式
二次函數與拋物線
多項式與因式餘式定理
不等式與絕對值
比例、速率與百分比
對數
複數
等比數列與無窮級數
函數概念與圖形變換
高斯取整函數
望遠鏡級數與裂項
遞迴數列
指數函數與指數方程
對數函數與對數方程
多項式函數與圖形
數列與級數
矩陣與線性變換
複數與多項式方程
幾何：角度與面積
角度追蹤
面積切割與補形
相似形與比例線段
畢氏定理與特殊直角三角形
幾何推理與證明
圓的性質
多邊形與正多邊形
立體幾何
坐標幾何
三角比與正餘弦定理
對稱與幾何變換
圓冪定理
圓錐曲線（截痕概念）
平面上的比例
二次曲線標準式
計數與機率
加法與乘法原理
系統列舉與分類討論
基礎機率
排列組合進階
容斥原理
期望值
幾何機率
遞迴與路徑計數
鴿籠原理與最壞情況
奇偶性與不變量
隔板法與重複組合
條件機率與貝氏
條件機率與貝氏定理
離散隨機變數
二項分布
幾何分布
邏輯推理與規律
統計圖表與資料判讀
平均數與加權平均
二維數據與相關
三角比與正餘弦定理
三角函數與和差角
三角函數建模
平面向量
空間向量
空間中的直線與平面
數列極限與收斂
無窮等比級數
函數極限與連續
導函數與微分法
微分應用（極值與圖形）
黎曼和與定積分
積分應用（面積與體積）
數線與絕對值
共
138
題
・第 4／5 頁
清除全部篩選
AMC 10
進位制與位數表示・模運算與同餘
開始練習 →
台南安平一家飲料店把每日折扣碼用六進位記錄。某天收據上的折扣碼是
(
3
a
25
)
6
(3a25)_6
(
3
a
25
)
6
，其中
a
a
a
是一個六進位數字。店長規定此折扣碼換成十進位後必須能被
11
11
11
整除。若再把加碼點數
(
154
)
6
(154)_6
(
154
)
6
加上去，所得總數改寫成八進位後是多少？
‹
1
…
3
4
5
›
AMC 10
排列組合進階・基礎機率
開始練習 →
台南某高中園遊會有
10
10
10
張不同的攤位卡，其中
4
4
4
張是小吃攤、
3
3
3
張是遊戲攤、
3
3
3
張是手作攤。阿軒從中隨機抽出
5
5
5
張不同卡片，再將這
5
5
5
張隨機排成參觀順序（所有不重複的有序順序等可能）。若要求順序中至少有
1
1
1
張小吃攤、至少有
1
1
1
張遊戲攤，且任兩張手作攤卡不相鄰，則符合要求的機率為何？
AMC 10
排列組合進階
開始練習 →
台南夜市的集點活動要把
8
8
8
張不同圖案的貼紙貼在一個圓形轉盤的
8
8
8
個等距位置上。其中
3
3
3
張是不同的飲料貼紙，另外
5
5
5
張是不同的小吃貼紙。若任兩張飲料貼紙不可相鄰，且旋轉後相同的貼法視為同一種、翻面不視為相同，則共有多少種貼法？
AMC 12
坐標幾何・圓的性質
開始練習 →
嘉義文化路夜市的簡化座標圖中，每一格代表相同距離。小昕要在兩個攤位
A
(
−
1
,
2
)
A(-1,2)
A
(
−
1
,
2
)
與
B
(
5
,
6
)
B(5,6)
B
(
5
,
6
)
之間設計一個圓形打卡區，圓周必須通過這兩個攤位，且圓心要落在服務動線
x
+
2
y
=
7
x+2y=7
x
+
2
y
=
7
上。下列哪一個可能是這個圓形打卡區的圓方程？
AIME
複數・對稱式與代數恆等式
開始練習 →
台中逢甲夜市有一串互動燈，設計師用多項式記錄第
x
x
x
段的亮度校正。令
α
=
1
+
3
i
\alpha=1+\sqrt3 i
α
=
1
+
3
i
，並令
P
(
x
)
=
∏
k
=
0
5
(
x
−
(
α
k
+
α
‾
k
)
)
P(x)=\prod_{k=0}^{5}(x-(\alpha^k+\overline{\alpha}^k))
P
(
x
)
=
∏
k
=
0
5
(
x
−
(
α
k
+
α
k
))
。將
P
(
x
)
P(x)
P
(
x
)
展開為
x
6
+
a
5
x
5
+
a
4
x
4
+
a
3
x
3
+
a
2
x
2
+
a
1
x
+
a
0
x^6+a_5x^5+a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0
x
6
+
a
5
x
5
+
a
4
x
4
+
a
3
x
3
+
a
2
x
2
+
a
1
x
+
a
0
。求
a
2
+
a
0
a_2+a_0
a
2
+
a
0
除以
1000
1000
1000
的餘數。
AIME
圓冪定理・面積切割與補形
開始練習 →
台南安平運河旁有一個圓形地燈圖樣，在平面圖中以
O
O
O
為圓心。維修點
P
P
P
在圓外，射線
P
O
PO
P
O
依序交圓於
C
,
D
C,D
C
,
D
。從
P
P
P
向圓作兩條切線，切點為
A
,
B
A,B
A
,
B
，且
A
,
B
A,B
A
,
B
在直線
P
O
PO
P
O
的兩側。已知
P
A
=
12
PA=12
P
A
=
12
、
P
C
=
8
PC=8
P
C
=
8
。若凸四邊形
A
D
B
C
ADBC
A
D
B
C
的面積為最簡分數
m
n
\frac{m}{n}
n
m
，求
m
+
n
m+n
m
+
n
。
AMC 12
整數解與不定方程・系統列舉與分類討論
開始練習 →
台中車站附近的文創市集，阿澤把同款鑰匙圈裝成小盒與大盒販售。小盒每盒有
12
12
12
個，大盒每盒有
20
20
20
個，某天剛好把
504
504
504
個鑰匙圈全部裝完。若小盒數為
x
x
x
、大盒數為
y
y
y
，其中
x
,
y
x,y
x
,
y
為非負整數，且小盒數不超過大盒數的
3
3
3
倍，大盒數也不比小盒數多超過
10
10
10
盒，則共有多少種可能的裝盒方式？
AMC 10
數字與位數問題・數論基礎（整除、質因數、餘數）
開始練習 →
台中一間手搖飲店用三位數取餐號。小芷的取餐號為
N
=
100
a
+
10
b
+
c
N=100a+10b+c
N
=
100
a
+
10
b
+
c
，其中
a
,
b
,
c
a,b,c
a
,
b
,
c
是三個互不相同的數字；把它倒著讀得到的
R
=
100
c
+
10
b
+
a
R=100c+10b+a
R
=
100
c
+
10
b
+
a
也必須是三位數。若
a
+
b
+
c
=
13
a+b+c=13
a
+
b
+
c
=
13
，且
N
+
R
N+R
N
+
R
是
7
7
7
的倍數，則可能的取餐號
N
N
N
有幾種？
AMC 10
排列組合進階・容斥原理
開始練習 →
台南某鹹酥雞攤有
8
8
8
位同學圍著一張圓桌入座，座位沒有編號；只把整桌旋轉視為同一種坐法，鏡像反轉不視為同一種。已知阿哲與小芸必須相鄰，阿凱與小薇不能相鄰，其餘
4
4
4
人都沒有特殊限制。共有多少種入座方式？
AIME
容斥原理・遞迴與路徑計數
開始練習 →
台中車站附近的步道畫成方格，小禾從西南角
S
=
(
0
,
0
)
S=(0,0)
S
=
(
0
,
0
)
走到東北角
T
=
(
8
,
6
)
T=(8,6)
T
=
(
8
,
6
)
，每一步只能往東或往北，因此只走最短路。三個集章攤位分別在
A
=
(
2
,
2
)
A=(2,2)
A
=
(
2
,
2
)
、
B
=
(
4
,
3
)
B=(4,3)
B
=
(
4
,
3
)
、
C
=
(
6
,
5
)
C=(6,5)
C
=
(
6
,
5
)
，施工中的路口
X
=
(
3
,
3
)
X=(3,3)
X
=
(
3
,
3
)
不能經過。問小禾有多少條最短路徑會經過恰好一個集章攤位？
AMC 10
相似形與比例線段・面積切割與補形
開始練習 →
台南某夜市攤位做一片三角形招牌
A
B
C
ABC
A
B
C
，在邊
A
B
AB
A
B
上依序取
D
,
F
D,F
D
,
F
，使
A
D
=
4
AD=4
A
D
=
4
、
D
F
=
2
DF=2
D
F
=
2
、
F
B
=
3
FB=3
F
B
=
3
。過
D
,
F
D,F
D
,
F
分別作
D
E
∥
B
C
DE \parallel BC
D
E
∥
B
C
、
F
G
∥
B
C
FG \parallel BC
F
G
∥
B
C
，交
A
C
AC
A
C
於
E
,
G
E,G
E
,
G
。已知四邊形
D
F
G
E
DFGE
D
F
GE
的面積為
60
60
60
平方公分，求四邊形
F
B
C
G
FBCG
F
B
C
G
的面積為多少平方公分？
AMC 10
面積切割與補形・畢氏定理與特殊直角三角形
開始練習 →
如圖，台中一所高中在長方形操場
A
B
C
D
ABCD
A
B
C
D
內畫夜市攤位區，
A
B
=
30
AB=30
A
B
=
30
、
A
D
=
22
AD=22
A
D
=
22
。點
P
P
P
在
A
D
AD
A
D
上，點
Q
Q
Q
在
B
C
BC
B
C
上，
A
P
=
18
AP=18
A
P
=
18
，且線段
P
Q
=
34
PQ=34
P
Q
=
34
。灰色攤位區先取四邊形
A
B
Q
P
ABQP
A
B
QP
，再挖掉一個直角三角形空位
R
S
T
RST
R
S
T
；其中
R
R
R
是直角，
R
T
=
7
RT=7
R
T
=
7
，
S
T
=
25
ST=25
S
T
=
25
。若
R
S
T
RST
R
S
T
完全在
A
B
Q
P
ABQP
A
B
QP
內，灰色面積是多少平方公尺？
AMC 10
圓的性質・畢氏定理與特殊直角三角形
開始練習 →
台中某公園有一座圓形花圃，圓心為
O
O
O
。小雅站在花圃外一點
P
P
P
，且直線
P
O
PO
P
O
穿過花圃，交圓於較近的點
C
C
C
與較遠的點
D
D
D
。已知
P
C
=
4
PC=4
P
C
=
4
、
C
D
=
12
CD=12
C
D
=
12
。小雅從
P
P
P
拉出兩條切線，分別切圓於
A
A
A
、
B
B
B
。求
A
B
AB
A
B
的長度。
AMC 10
鴿籠原理與最壞情況
開始練習 →
高雄駁二週末市集有一個台鐵便當集點攤，每張集點卡會記錄購買車站與便當口味。指定車站共有
6
6
6
個：台北、台中、高雄各有
4
4
4
種口味，花蓮、台東各有
3
3
3
種口味，嘉義有
2
2
2
種口味。至少要收集幾張集點卡，才能保證一定出現下列其中一種情況：有
10
10
10
張集點卡來自同一個車站，或有
4
4
4
張集點卡同時來自同一個車站且口味相同？
AMC 10
多項式與因式餘式定理・對稱式與代數恆等式
開始練習 →
台南安平某豆花店把一組集點檢核碼設計成首一四次多項式
P
(
x
)
=
x
4
+
a
x
3
+
b
x
2
+
c
x
+
d
P(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d
P
(
x
)
=
x
4
+
a
x
3
+
b
x
2
+
c
x
+
d
。已知
P
(
x
)
−
4
P(x)-4
P
(
x
)
−
4
有兩個根為
2
2
2
與
−
4
-4
−
4
，另外兩個根的和為
3
3
3
；又
P
(
x
)
P(x)
P
(
x
)
除以
x
+
1
x+1
x
+
1
的餘式為
−
41
-41
−
41
。求
b
+
c
b+c
b
+
c
。
AMC 10
排列組合進階・容斥原理
開始練習 →
中秋烤肉時，
7
7
7
位同學圍坐一張圓桌，圓桌旋轉後相同的坐法視為同一種。若小廷和小禹一定要相鄰，而小安和小晴不能相鄰，則共有多少種坐法？
AMC 10
遞迴與路徑計數・容斥原理
開始練習 →
台南一位學生從鹽行站外的路口
S
S
S
要走到小吃街入口
T
T
T
。把街道看成方格，每次只能向東或向北走一個街區。若
S
S
S
在
(
0
,
0
)
(0,0)
(
0
,
0
)
，
T
T
T
在
(
7
,
5
)
(7,5)
(
7
,
5
)
，且因施工不能經過路口
P
=
(
3
,
2
)
P=(3,2)
P
=
(
3
,
2
)
與
Q
=
(
5
,
3
)
Q=(5,3)
Q
=
(
5
,
3
)
，則從
S
S
S
到
T
T
T
的最短走法共有多少種？
AIME
坐標幾何・圓的性質
開始練習 →
台南花園夜市的簡化平面圖上，兩個攤位在
A
=
(
15
,
20
)
A=(15,20)
A
=
(
15
,
20
)
與
B
=
(
22
,
13
)
B=(22,13)
B
=
(
22
,
13
)
。一條圓形動線
Γ
\Gamma
Γ
通過
A
A
A
、
B
B
B
，且圓心在直線
2
x
+
y
=
28
2x+y=28
2
x
+
y
=
28
上。直線
x
+
y
=
11
x+y=11
x
+
y
=
11
與
Γ
\Gamma
Γ
交於兩點，其中
C
C
C
的
x
x
x
坐標較小，
D
D
D
的
x
x
x
坐標較大。將
A
,
C
,
D
,
B
A,C,D,B
A
,
C
,
D
,
B
依序連成四邊形，求其面積。
AMC 10
奇偶性與不變量
開始練習 →
士林夜市某攤位有一張
4
×
5
4\times 5
4
×
5
的貼紙板，格子位置記為
(
r
,
c
)
(r,c)
(
r
,
c
)
，其中
r
r
r
是第
r
r
r
橫列，
c
c
c
是第
c
c
c
直行。起初所有格子都沒有貼紙。每次操作可選擇任一相鄰的
2
×
2
2\times 2
2
×
2
小方格，將這四格的狀態切換：有貼紙則撕下，無貼紙則貼上。以下哪一組可能正好是最後有貼紙的位置？
AMC 12
整數解與不定方程・因式分解技巧（SFFT）
開始練習 →
台中一中園遊會的飲料攤用兩種貼紙記錄結算差額。設
x
x
x
表示甲班比乙班多出的紅貼紙張數，
y
y
y
表示甲班比乙班多出的藍貼紙張數，所以
x
,
y
x,y
x
,
y
都可以是負整數、
0
0
0
或正整數。若結算時發現
x
y
+
4
x
−
7
y
=
33
xy+4x-7y=33
x
y
+
4
x
−
7
y
=
33
，且
−
20
≤
x
≤
20
-20 \le x \le 20
−
20
≤
x
≤
20
，則符合條件的整數有序對
(
x
,
y
)
(x,y)
(
x
,
y
)
共有幾組？
AMC 12
三角比與正餘弦定理
開始練習 →
台中一個夜市廣場有三個入口
A
,
B
,
C
A,B,C
A
,
B
,
C
。入口
A
A
A
到入口
B
B
B
的步道長
8
8
8
公尺，入口
A
A
A
到入口
C
C
C
的步道長
6
2
6\sqrt{2}
6
2
公尺。從入口
B
B
B
看向入口
A
A
A
與入口
C
C
C
的夾角為
45
∘
45^\circ
4
5
∘
。若三個入口圍成一個三角形，求此三角形廣場的面積為多少平方公尺？
AMC 12
圓的性質・畢氏定理與特殊直角三角形
開始練習 →
嘉義某夜市的圓形招牌以
O
O
O
為圓心。攤主從招牌外一點
P
P
P
拉兩條等長燈線
P
A
PA
P
A
、
P
B
PB
P
B
，分別切圓於
A
A
A
、
B
B
B
。直線
P
O
PO
P
O
與圓交於較靠近
P
P
P
的點
C
C
C
，且
P
C
=
8
PC=8
P
C
=
8
、
P
A
=
12
PA=12
P
A
=
12
。求兩個切點間的直線距離
A
B
AB
A
B
。
AMC 10
最大公因數與最小公倍數・餘數循環與週期規律
開始練習 →
台中一間伴手禮工廠有
2
6
⋅
3
3
⋅
5
2
2^6\cdot 3^3\cdot 5^2
2
6
⋅
3
3
⋅
5
2
個鳳梨酥與
2
4
⋅
3
5
⋅
5
2^4\cdot 3^5\cdot 5
2
4
⋅
3
5
⋅
5
個太陽餅。老闆要把它們分裝成盡可能多袋禮盒，每袋的鳳梨酥數都相同、太陽餅數也都相同，且全部用完。禮盒依序編號為
1
,
2
,
3
,
…
,
N
1,2,3,\ldots,N
1
,
2
,
3
,
…
,
N
。若第
k
k
k
袋滿足
2
k
+
3
k
+
6
k
2^k+3^k+6^k
2
k
+
3
k
+
6
k
除以
7
7
7
的餘數為
0
0
0
，就貼上一張金色封條。共有幾袋會貼上金色封條？
AMC 10
圓的性質・畢氏定理與特殊直角三角形
開始練習 →
高雄某捷運站前的平面圖以公尺為單位。圓形花圃的圓心為
O
(
3
,
2
)
O(3,2)
O
(
3
,
2
)
，半徑為
5
5
5
；攤車位置為
P
(
10
,
2
)
P(10,2)
P
(
10
,
2
)
。小安從
P
P
P
向花圃外緣拉出兩條剛好與花圃相切的直線，切點分別為
A
A
A
、
B
B
B
。請問三角形
P
A
B
PAB
P
A
B
的面積為下列何者？
AMC 10
相似形與比例線段・面積切割與補形
開始練習 →
嘉義夜市有一塊三角形帆布標示為
△
A
B
C
\triangle ABC
△
A
B
C
，底邊
B
C
=
36
BC=36
B
C
=
36
公尺，從
A
A
A
到
B
C
BC
B
C
的高為
20
20
20
公尺。點
E
,
D
E,D
E
,
D
在
B
C
BC
B
C
上，且
B
E
=
9
BE=9
B
E
=
9
、
B
D
=
27
BD=27
B
D
=
27
。過
E
E
E
作平行於
A
B
AB
A
B
的直線交
A
C
AC
A
C
於
G
G
G
，過
D
D
D
作平行於
A
C
AC
A
C
的直線交
A
B
AB
A
B
於
F
F
F
，兩條直線交於
P
P
P
。求四邊形
A
F
P
G
AFPG
A
F
P
G
的面積。
AMC 10
圓的性質・畢氏定理與特殊直角三角形
開始練習 →
台南安平河岸有一座圓形蓄水池，邊緣是一個圓，圓心為
O
O
O
，半徑為
10
10
10
公尺。阿青站在池外的點
P
P
P
，且
O
P
=
26
OP=26
O
P
=
26
。從
P
P
P
作一條切線，切點為
A
A
A
；另有一條直線從
P
P
P
進入水池，先交圓於
C
C
C
，再交圓於
D
D
D
，且
P
C
=
18
PC=18
P
C
=
18
。若
M
M
M
為圓心
O
O
O
到直線
C
D
CD
C
D
的垂足，求
O
M
OM
O
M
為多少公尺？
AMC 10
數論基礎（整除、質因數、餘數）・因數個數與因數和
開始練習 →
台中一間手搖飲店把集點活動的五位數抽獎碼寫成
5
a
3
b
2
5a3b2
5
a
3
b
2
，其中
a
a
a
與
b
b
b
都是數字。店長規定這個抽獎碼必須同時被
8
8
8
與
9
9
9
整除，並從所有可能的抽獎碼中選最大的作為今日中獎碼。今日中獎碼共有幾個正因數？
AMC 12
坐標幾何・圓的性質
開始練習 →
在台南夜市的平面示意圖上，一個圓形廣場的邊界滿足
x
2
+
y
2
−
8
x
+
4
y
−
5
=
0
x^2+y^2-8x+4y-5=0
x
2
+
y
2
−
8
x
+
4
y
−
5
=
0
。蚵仔煎攤位於
A
(
4
,
3
)
A(4,3)
A
(
4
,
3
)
，其與圓心的連線是一條照明軸。通過珍珠奶茶攤
D
(
9
,
1
)
D(9,1)
D
(
9
,
1
)
作一條與此照明軸垂直的直線，交圓於
P
,
Q
P,Q
P
,
Q
。若蔥油餅攤位於
R
(
7
,
−
6
)
R(7,-6)
R
(
7
,
−
6
)
，求三角形
P
Q
R
PQR
P
QR
的面積。
AIME
遞迴與路徑計數
開始練習 →
台南中西區有一片棋盤狀小巷，交叉口以座標
(
x
,
y
)
(x,y)
(
x
,
y
)
表示，其中
0
≤
x
≤
8
0\le x\le 8
0
≤
x
≤
8
且
0
≤
y
≤
6
0\le y\le 6
0
≤
y
≤
6
。阿澤要從早餐店
S
=
(
0
,
0
)
S=(0,0)
S
=
(
0
,
0
)
走到補習班
T
=
(
8
,
6
)
T=(8,6)
T
=
(
8
,
6
)
，每一步只能沿一小段路向東或向北，且必須走最短路。因廟會搭棚，交叉口
(
2
,
1
)
(2,1)
(
2
,
1
)
、
(
3
,
3
)
(3,3)
(
3
,
3
)
、
(
5
,
2
)
(5,2)
(
5
,
2
)
、
(
6
,
4
)
(6,4)
(
6
,
4
)
不能經過。合法的最短路線共有幾條？
AMC 10
排列組合進階
開始練習 →
台南夜市在圓形廣場周圍安排
8
8
8
個臨時攤位，其中有
3
3
3
個完全相同的珍珠奶茶攤、
2
2
2
個完全相同的鹽酥雞攤，另外還有臭豆腐攤、地瓜球攤、果汁攤各
1
1
1
個。若要求任兩個珍珠奶茶攤不可相鄰，且兩個鹽酥雞攤必須相鄰，則共有多少種不同的環狀排列方式？只把旋轉後相同的排法視為同一種，鏡射後不同的排法仍視為不同。