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整數四則與運算順序
位值、概數與估算
單位換算與時間計算
分數與小數運算
數論基礎（整除、質因數、餘數）
質因數分解與標準分解式
最大公因數與最小公倍數
餘數循環與週期規律
進位制與位數表示
數字與位數問題
整數解與不定方程
模運算與同餘
中國剩餘定理
因數個數與因數和
階乘的質因數次數
代數技巧（方程、不等式、數列）
巧設未知數與一次方程應用
等差數列與規律延伸
對稱式與代數恆等式
因式分解技巧（SFFT）
速率與工作問題
一次函數與圖形
指數與根式
二次函數與拋物線
多項式與因式餘式定理
不等式與絕對值
比例、速率與百分比
對數
複數
等比數列與無窮級數
函數概念與圖形變換
高斯取整函數
望遠鏡級數與裂項
遞迴數列
指數函數與指數方程
對數函數與對數方程
多項式函數與圖形
數列與級數
矩陣與線性變換
複數與多項式方程
幾何：角度與面積
角度追蹤
面積切割與補形
相似形與比例線段
畢氏定理與特殊直角三角形
幾何推理與證明
圓的性質
多邊形與正多邊形
立體幾何
坐標幾何
三角比與正餘弦定理
對稱與幾何變換
圓冪定理
圓錐曲線（截痕概念）
平面上的比例
二次曲線標準式
計數與機率
加法與乘法原理
系統列舉與分類討論
基礎機率
排列組合進階
容斥原理
期望值
幾何機率
遞迴與路徑計數
鴿籠原理與最壞情況
奇偶性與不變量
隔板法與重複組合
條件機率與貝氏
條件機率與貝氏定理
離散隨機變數
二項分布
幾何分布
邏輯推理與規律
統計圖表與資料判讀
平均數與加權平均
二維數據與相關
三角比與正餘弦定理
三角函數與和差角
三角函數建模
平面向量
空間向量
空間中的直線與平面
數列極限與收斂
無窮等比級數
函數極限與連續
導函數與微分法
微分應用（極值與圖形）
黎曼和與定積分
積分應用（面積與體積）
數線與絕對值
共
26
題
清除全部篩選
分科測驗（數學甲）
積分應用（面積與體積）
開始練習 →
小柏在製圖課上，把拋物線
y
=
6
x
−
x
2
y=6x-x^2
y
=
6
x
−
x
2
與直線
y
=
2
x
y=2x
y
=
2
x
畫在同一個座標平面上（如圖），兩線圍出一塊有界的區域（圖中灰色部分）。試求此區域的面積。
分科測驗（數學甲）
空間中的直線與平面
開始練習 →
某高中在教學大樓屋頂加裝太陽能板，屋頂所在的平面為
E
:
2
x
−
y
+
2
z
=
5
E: 2x-y+2z=5
E
:
2
x
−
y
+
2
z
=
5
（座標的長度單位為公尺）。總務處派空拍機沿著直線
L
:
x
−
4
1
=
y
−
2
4
=
z
−
4
1
L:\frac{x-4}{1}=\frac{y-2}{4}=\frac{z-4}{1}
L
:
1
x
−
4
=
4
y
−
2
=
1
z
−
4
等速飛行，以拍攝屋頂的施工情形。如圖，飛行過程中空拍機始終在屋頂上方且未穿過屋頂。試問空拍機與屋頂平面
E
E
E
的距離為多少公尺？
分科測驗（數學甲）
排列組合進階
開始練習 →
某高中熱音社的七位幹部（社長、副社長、財務長、器材長，以及三位一般幹部）晚上到夜市聚餐，七人圍坐在一張圓桌旁（如圖）。座位不編號，凡是可以經由整桌旋轉而互相重合的坐法都視為同一種。若社長與副社長必須相鄰而坐，且財務長與器材長不可相鄰，則不同的坐法共有幾種？
分科測驗（數學甲）
二次函數與拋物線
開始練習 →
設
a
a
a
為實數，坐標平面上的拋物線
y
=
x
2
−
2
a
x
+
a
+
6
y=x^2-2ax+a+6
y
=
x
2
−
2
a
x
+
a
+
6
與
x
x
x
軸恰有一個交點。滿足此條件的拋物線恰有兩條，分別記為
Γ
1
\Gamma_1
Γ
1
與
Γ
2
\Gamma_2
Γ
2
，且兩者相交於一點
P
P
P
（如圖）。則
P
P
P
的
y
y
y
座標為何？
分科測驗（數學甲）
導函數與微分法・坐標幾何
開始練習 →
如圖，某科技園區內有一條拋物線形的景觀步道，在座標平面上可表示為
y
=
x
2
−
4
x
+
7
y=x^2-4x+7
y
=
x
2
−
4
x
+
7
（長度單位皆為十公尺）；園區內另有一座圓形草坪，圓心為
C
(
4
,
1
)
C(4,1)
C
(
4
,
1
)
。已知步道在點
P
(
3
,
4
)
P(3,4)
P
(
3
,
4
)
處的切線，恰好與草坪的圓形邊緣相切，則此草坪的半徑為何？
分科測驗（數學甲）
幾何分布・期望值
開始練習 →
園遊會的投籃攤位規定：每投一球要付
18
18
18
元，每球命中的機率都是
1
3
\frac{1}{3}
3
1
，且各球的結果互相獨立。小澄從第一球開始投，一旦命中就立刻停止；此外攤主規定最多只能投三球，也就是第三球投完後不論命中與否都結束。如圖為這個過程的樹狀圖，其中
H
H
H
表示命中、
M
M
M
表示未命中。試問小澄付出金額的期望值為多少元？
分科測驗（數學甲）
坐標幾何・圓的性質
開始練習 →
社區公園裡有一座圓形噴水池。以公園入口為原點建立坐標系（單位：公尺）後，池緣所在的圓為
x
2
+
y
2
−
4
x
+
2
y
−
20
=
0
x^2+y^2-4x+2y-20=0
x
2
+
y
2
−
4
x
+
2
y
−
20
=
0
。園方要沿著池緣上的一點
P
(
5
,
3
)
P(5,3)
P
(
5
,
3
)
鋪一條筆直的木棧道，使木棧道所在的直線與池緣的圓恰好相切於
P
P
P
（如圖）。則這條直線的方程式為下列何者？
分科測驗（數學甲）
三角函數與和差角・函數概念與圖形變換
開始練習 →
高雄某漁港設有水位監測站，港內從港底量到水面的水深
h
h
h
（單位：公尺）隨時間變化（如圖）。若以清晨
6
6
6
點為起點，經過
t
t
t
小時後的水深可用
h
(
t
)
=
2
sin
π
t
6
−
2
3
cos
π
t
6
+
9
h(t)=2\sin\dfrac{\pi t}{6}-2\sqrt{3}\cos\dfrac{\pi t}{6}+9
h
(
t
)
=
2
sin
6
π
t
−
2
3
cos
6
π
t
+
9
描述，其中
0
≤
t
≤
12
0\le t\le 12
0
≤
t
≤
12
。試問在這段時間內，港內水深的最大值是多少公尺？且第一次出現這個最大值是在
t
t
t
等於多少的時候？
分科測驗（數學甲）
排列組合進階
開始練習 →
新竹某高中「數理探究社」期末聚餐訂了一張圓桌，桌邊共有
8
8
8
個座位（如圖），社員
5
5
5
位學長與
3
3
3
位學弟每人各坐一個座位。這裡只考慮各人的相對位置，也就是整桌一起旋轉後看起來相同的坐法視為同一種。若要求任兩位學弟都不相鄰，則共有多少種不同的坐法？
分科測驗（數學甲）
空間中的直線與平面・空間向量
開始練習 →
高雄某展覽館的中庭裝有一條斜拉鋼索，旁邊是一片傾斜的玻璃帷幕。以中庭地面的一角為原點建立空間坐標系（單位：公尺），鋼索所在的直線
L
L
L
的方向向量為
d
⃗
=
(
1
,
1
,
0
)
\vec{d}=(1,1,0)
d
=
(
1
,
1
,
0
)
；玻璃帷幕所在的平面
E
E
E
的方程式為
x
+
z
=
6
x+z=6
x
+
z
=
6
。如圖，試問鋼索
L
L
L
與帷幕平面
E
E
E
所成的角為多少度？
分科測驗（數學甲）
期望值・離散隨機變數
開始練習 →
臺中某高中園遊會的攤位上放了一個不透明箱子，裡面裝有
4
4
4
顆紅球與
3
3
3
顆白球（同色球視為完全相同）。玩家把箱中
7
7
7
顆球以不放回的方式一顆一顆取出，並依取出的先後由左至右排成一列。這一列
7
7
7
顆球共形成
6
6
6
個相鄰位置，令隨機變數
X
X
X
表示其中「左右兩球顏色不同」的相鄰位置個數。如圖為其中一種可能的排列（
R
R
R
表紅球、
W
W
W
表白球），圖中以粗線標記的相鄰位置即為顏色不同者，此時
X
=
4
X=4
X
=
4
。試求
X
X
X
的期望值
E
(
X
)
=
?
E(X)=?
E
(
X
)
=
?
分科測驗（數學甲）
三角函數與和差角・無窮等比級數
開始練習 →
小昀在校內科展做一個「風擺衰減」模型（如圖）：一顆小球用長
60
60
60
公分的細繩懸掛在固定點
O
O
O
，第一次由與鉛直線夾
π
3
\frac{\pi}{3}
3
π
的位置靜止放開。設風向角為
θ
\theta
θ
，其中
0
≤
θ
≤
π
2
0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}
0
≤
θ
≤
2
π
，且每一次擺動的最大偏角都是前一次的
r
r
r
倍，其中
r
=
3
sin
θ
+
cos
θ
6
r=\frac{\sqrt{3}\sin\theta+\cos\theta}{6}
r
=
6
3
s
i
n
θ
+
c
o
s
θ
。以
α
n
\alpha_n
α
n
（弧度）表示第
n
n
n
次的最大偏角，則
α
1
=
π
3
\alpha_1=\frac{\pi}{3}
α
1
=
3
π
且
α
n
+
1
=
r
α
n
\alpha_{n+1}=r\,\alpha_n
α
n
+
1
=
r
α
n
；小球每次從最大偏角
α
n
\alpha_n
α
n
擺到最低點，會掃過長
60
α
n
60\alpha_n
60
α
n
公分的圓弧。若調整風向使
r
r
r
達到最大值，則這些圓弧的長度總和為多少公分？
分科測驗（數學甲）
幾何分布・期望值
開始練習 →
夜市的夾娃娃機前，小妤每投一枚代幣就夾一次，每次夾中的機率都相同，且各次互相獨立。設
X
X
X
表示她第一次夾中娃娃時所投的代幣數（含夾中的那一次），如圖為前幾次結果的樹狀圖（
S
S
S
表示夾中，
F
F
F
表示沒夾中）。已知她「在兩枚代幣以內就夾中」的機率為
5
9
\frac{5}{9}
9
5
。今天她已經連續投了
3
3
3
枚代幣都沒夾中，若她打算一直投到夾中為止，則她今天總共投出的代幣數的期望值為何？
分科測驗（數學甲）
空間中的直線與平面・空間向量
開始練習 →
某高中在頂樓架設一片平面型的太陽能板，板面所在的平面為
E
E
E
。以頂樓地面的某個角落為原點建立空間坐標系（單位：公尺），板面上有三個固定螺栓，位置分別為
A
(
3
,
0
,
0
)
A(3,0,0)
A
(
3
,
0
,
0
)
、
B
(
0
,
0
,
3
)
B(0,0,3)
B
(
0
,
0
,
3
)
、
C
(
1
,
2
,
3
)
C(1,2,3)
C
(
1
,
2
,
3
)
。同一空間中另裝有一支直線型 LED 燈管，其所在直線
L
L
L
的對稱式為
x
−
5
2
=
y
−
1
2
=
z
−
3
−
1
\dfrac{x-5}{2}=\dfrac{y-1}{2}=\dfrac{z-3}{-1}
2
x
−
5
=
2
y
−
1
=
−
1
z
−
3
。如圖，燈管所在直線
L
L
L
與太陽能板所在平面
E
E
E
的距離為多少公尺？
分科測驗（數學甲）
平面向量
開始練習 →
台中某社區公園裡有一塊三角形花圃
A
B
C
ABC
A
B
C
（如圖），園丁量得
A
B
‾
=
6
\overline{AB}=6
A
B
=
6
公尺、
A
C
‾
=
4
\overline{AC}=4
A
C
=
4
公尺，且
∠
B
A
C
=
60
∘
\angle BAC=60^\circ
∠
B
A
C
=
6
0
∘
。園方在
B
C
‾
\overline{BC}
B
C
上裝設一盞照明燈
D
D
D
，使得
B
D
‾
:
D
C
‾
=
1
:
2
\overline{BD}:\overline{DC}=1:2
B
D
:
D
C
=
1
:
2
；又在
A
D
‾
\overline{AD}
A
D
的中點設置一張長椅
M
M
M
。若長度皆以公尺為單位，則內積
B
M
⃗
⋅
A
C
⃗
\vec{BM}\cdot\vec{AC}
B
M
⋅
A
C
之值為何？
分科測驗（數學甲）
數線與絕對值・函數概念與圖形變換
開始練習 →
台中某條筆直的老街全長
2
2
2
公里。以街頭為原點、沿街道方向建立一條數線，街上的位置用
x
x
x
表示（單位：公里），其中
0
≤
x
≤
2
0 \le x \le 2
0
≤
x
≤
2
；商圈核心點
C
C
C
位於
x
=
1
x=1
x
=
1
處，如圖。小柔打算把甜點店開在街上的位置
x
x
x
（如圖中的點
P
P
P
），經評估每月成本（單位：萬元）由兩部分組成：店面租金為
9
∣
x
−
1
∣
+
1
\dfrac{9}{|x-1|+1}
∣
x
−
1∣
+
1
9
，每月自核心倉庫進貨的運送費為
∣
x
−
1
∣
|x-1|
∣
x
−
1∣
。則小柔每月總成本的最小值為下列何者？
分科測驗（數學甲）
積分應用（面積與體積）
開始練習 →
桃園某高中自造者社團要用 3D 列印做一個「陀螺形」擺飾。設計時他們在座標平面上（長度單位：公分）取拋物線
y
=
x
2
y=x^2
y
=
x
2
與直線
y
=
2
x
y=2x
y
=
2
x
所圍成的封閉區域
R
R
R
（如圖），再把
R
R
R
繞
x
x
x
軸旋轉一圈，所得的旋轉體就是擺飾的形狀。則此擺飾的體積為多少立方公分？
分科測驗（數學甲）
矩陣與線性變換
開始練習 →
新竹某高中的畢業紀念冊小組用繪圖軟體處理封面圖案。軟體會對圖案上的每一點依序執行兩個以原點為中心的線性變換：變換
S
S
S
把水平方向（
x
x
x
方向）拉長為原來的
3
3
3
倍、鉛直方向（
y
y
y
方向）拉長為原來的
2
2
2
倍；變換
T
T
T
則是繞原點逆時針旋轉
90
∘
90^\circ
9
0
∘
。如圖，圖案上有一點
P
P
P
，先做
S
S
S
再做
T
T
T
之後，恰好落在點
Q
(
−
12
,
18
)
Q(-12,18)
Q
(
−
12
,
18
)
。則點
P
P
P
的座標為下列何者？
分科測驗（數學甲）
等比數列與無窮級數・對數函數與對數方程
開始練習 →
小婕從 2027 年起理財，每年年底存入
2
2
2
萬元到一個年利率
5
%
5\%
5%
、每年複利一次的帳戶（如圖，每個向下的箭頭代表該年年底存入的
2
2
2
萬元）。設第
n
n
n
年年底（該年這筆錢剛存入後）帳戶內的本利和為
S
n
S_n
S
n
萬元。已知
log
2
=
0.3010
\log 2 = 0.3010
lo
g
2
=
0.3010
、
log
3
=
0.4771
\log 3 = 0.4771
lo
g
3
=
0.4771
、
log
7
=
0.8451
\log 7 = 0.8451
lo
g
7
=
0.8451
，則使
S
n
>
40
S_n > 40
S
n
>
40
的最小正整數
n
n
n
為何？
分科測驗（數學甲）
複數
開始練習 →
台中歌劇院外牆有一盞可移動的投射燈，工程師用複數平面上的點來記錄它的位置（單位：公尺），中心控制台設在原點
O
O
O
。目前燈位在
z
0
=
3
+
i
z_0=\sqrt{3}+i
z
0
=
3
+
i
的位置。每按一次「轉場」鍵，燈的位置就變成原來的複數乘上
1
+
i
1+i
1
+
i
，也就是按了
n
n
n
次之後的位置為
z
n
=
(
1
+
i
)
n
z
0
z_n=(1+i)^n z_0
z
n
=
(
1
+
i
)
n
z
0
。如圖標出了按前兩次後的位置
z
1
z_1
z
1
與
z
2
z_2
z
2
。請問按了
6
6
6
次之後，燈的位置
z
6
z_6
z
6
為下列何者？
分科測驗（數學甲）
二次曲線標準式・矩陣與線性變換
開始練習 →
小澔在設計課用繪圖軟體做捷運站的裝置藝術草圖，原始圖案是雙曲線
C
:
x
2
9
−
y
2
4
=
1
C:\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1
C
:
9
x
2
−
4
y
2
=
1
（如圖）。他先把整個圖案對直線
y
=
x
y=x
y
=
x
作鏡射，接著把鏡射後的結果沿
y
y
y
軸方向拉伸為原來的
2
2
2
倍（也就是
(
x
,
y
)
↦
(
x
,
2
y
)
(x,y)\mapsto(x,2y)
(
x
,
y
)
↦
(
x
,
2
y
)
），得到新曲線
C
′
C'
C
′
。則
C
′
C'
C
′
的離心率為何？
分科測驗（數學甲）
複數與多項式方程
開始練習 →
新竹某高中的數學研究社在社課上，指導老師在白板寫下一個實係數四次多項式
f
(
x
)
=
x
4
+
a
x
3
+
b
x
2
+
c
x
+
d
f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d
f
(
x
)
=
x
4
+
a
x
3
+
b
x
2
+
c
x
+
d
其中
a
,
b
,
c
,
d
a,b,c,d
a
,
b
,
c
,
d
皆為實數，並公布三個線索： (1)
f
(
2
+
i
)
=
0
f(2+i)=0
f
(
2
+
i
)
=
0
，其中
i
i
i
為虛數單位； (2) 方程式
f
(
x
)
=
0
f(x)=0
f
(
x
)
=
0
的四個根（重根依重數計算）之和為
9
9
9
； (3)
f
(
0
)
=
40
f(0)=40
f
(
0
)
=
40
。 請問
f
(
1
)
f(1)
f
(
1
)
之值為何？
分科測驗（數學甲）
空間向量
開始練習 →
桃園某文創工作室要製作四面體造型的實心玻璃紙鎮。以工作檯的一角為原點建立空間坐標系（單位：公分），紙鎮的四個頂點分別位於
P
(
1
,
0
,
2
)
P(1,0,2)
P
(
1
,
0
,
2
)
、
Q
(
3
,
1
,
2
)
Q(3,1,2)
Q
(
3
,
1
,
2
)
、
R
(
0
,
2
,
3
)
R(0,2,3)
R
(
0
,
2
,
3
)
、
S
(
2
,
−
1
,
5
)
S(2,-1,5)
S
(
2
,
−
1
,
5
)
，如圖。試問這個四面體紙鎮的體積為多少立方公分？
分科測驗（數學甲）
空間向量・立體幾何
開始練習 →
台南某廣場有一件三角錐形的玻璃裝置藝術，內部要灌入透明樹脂。以廣場地面的某個角落為原點建立空間坐標系（單位：公尺），四個頂點的座標為
A
(
1
,
1
,
4
)
A(1,1,4)
A
(
1
,
1
,
4
)
、
B
(
3
,
3
,
3
)
B(3,3,3)
B
(
3
,
3
,
3
)
、
C
(
3
,
0
,
6
)
C(3,0,6)
C
(
3
,
0
,
6
)
、
P
(
3
,
1
,
1
)
P(3,1,1)
P
(
3
,
1
,
1
)
，如圖。則四面體
P
A
B
C
PABC
P
A
B
C
的體積為多少立方公尺？
分科測驗（數學甲）
複數・等比數列與無窮級數
開始練習 →
小婕在高雄駁二的手作工作坊折鋁線螺旋掛飾。她把設計圖畫在複數平面上：第
0
0
0
個折點
P
0
P_0
P
0
對應複數
1
1
1
，其後每一個折點都由前一個折點所對應的複數乘上
w
=
3
4
+
3
4
i
w=\frac{3}{4}+\frac{\sqrt{3}}{4}i
w
=
4
3
+
4
3
i
而得，也就是折點
P
n
P_n
P
n
對應複數
w
n
w^{n}
w
n
（
n
=
0
,
1
,
2
,
…
n=0,1,2,\ldots
n
=
0
,
1
,
2
,
…
）。她再依序用鋁線把
P
0
,
P
1
,
P
2
,
…
P_0,P_1,P_2,\ldots
P
0
,
P
1
,
P
2
,
…
連成一條折線（如圖）。若這個折法無限做下去，則所需鋁線的總長
P
0
P
1
‾
+
P
1
P
2
‾
+
P
2
P
3
‾
+
⋯
\overline{P_0P_1}+\overline{P_1P_2}+\overline{P_2P_3}+\cdots
P
0
P
1
+
P
1
P
2
+
P
2
P
3
+
⋯
為何？
分科測驗（數學甲）
微分應用（極值與圖形）
開始練習 →
高三生阿哲在準備分科測驗時，複習講義上出現函數
f
(
x
)
=
3
x
5
−
20
x
4
+
40
x
3
+
7
f(x)=3x^5-20x^4+40x^3+7
f
(
x
)
=
3
x
5
−
20
x
4
+
40
x
3
+
7
，定義域為全體實數。他想弄清楚這個函數的圖形長什麼樣子。關於
y
=
f
(
x
)
y=f(x)
y
=
f
(
x
)
的圖形，下列敘述何者正確？