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位值、概數與估算
單位換算與時間計算
分數與小數運算
數論基礎（整除、質因數、餘數）
質因數分解與標準分解式
最大公因數與最小公倍數
餘數循環與週期規律
進位制與位數表示
數字與位數問題
整數解與不定方程
模運算與同餘
中國剩餘定理
因數個數與因數和
階乘的質因數次數
代數技巧（方程、不等式、數列）
巧設未知數與一次方程應用
等差數列與規律延伸
對稱式與代數恆等式
因式分解技巧（SFFT）
速率與工作問題
一次函數與圖形
指數與根式
二次函數與拋物線
多項式與因式餘式定理
不等式與絕對值
比例、速率與百分比
對數
複數
等比數列與無窮級數
函數概念與圖形變換
高斯取整函數
望遠鏡級數與裂項
遞迴數列
指數函數與指數方程
對數函數與對數方程
多項式函數與圖形
數列與級數
矩陣與線性變換
複數與多項式方程
幾何：角度與面積
角度追蹤
面積切割與補形
相似形與比例線段
幾何推理與證明
畢氏定理與特殊直角三角形
圓的性質
多邊形與正多邊形
立體幾何
坐標幾何
三角比與正餘弦定理
對稱與幾何變換
圓冪定理
圓錐曲線（截痕概念）
平面上的比例
二次曲線標準式
計數與機率
加法與乘法原理
系統列舉與分類討論
基礎機率
排列組合進階
容斥原理
期望值
幾何機率
遞迴與路徑計數
鴿籠原理與最壞情況
奇偶性與不變量
隔板法與重複組合
條件機率與貝氏
條件機率與貝氏定理
離散隨機變數
二項分布
幾何分布
邏輯推理與規律
統計圖表與資料判讀
平均數與加權平均
二維數據與相關
三角比與正餘弦定理
三角函數與和差角
三角函數建模
平面向量
空間向量
空間中的直線與平面
數列極限與收斂
無窮等比級數
函數極限與連續
導函數與微分法
微分應用（極值與圖形）
黎曼和與定積分
積分應用（面積與體積）
共
12
題
清除全部篩選
AIME
三角比與正餘弦定理・面積切割與補形
開始練習 →
高雄港邊有四個裝置點
A
,
B
,
C
,
D
A,B,C,D
A
,
B
,
C
,
D
依序形成凸四邊形，對角線
B
D
BD
B
D
把它分成兩個三角形。已知
A
B
=
18
AB=18
A
B
=
18
、
A
D
=
12
AD=12
A
D
=
12
、
∠
B
A
D
=
120
∘
\angle BAD=120^\circ
∠
B
A
D
=
12
0
∘
，且
∠
C
B
D
=
30
∘
\angle CBD=30^\circ
∠
C
B
D
=
3
0
∘
、
∠
C
D
B
=
45
∘
\angle CDB=45^\circ
∠
C
D
B
=
4
5
∘
。若四邊形
A
B
C
D
ABCD
A
B
C
D
的面積可寫成
p
3
−
q
p\sqrt3-q
p
3
−
q
，其中
p
,
q
p,q
p
,
q
為正整數，求
p
+
q
p+q
p
+
q
。
AIME
立體幾何・整數解與不定方程
開始練習 →
台中一間糕餅店要用長方體鐵盒裝太陽餅，盒子的三邊長都是整數公分且互不相同。已知盒子的體積為
480
480
480
立方公分，表面積為
476
476
476
平方公分。若一條細緞帶要貼著盒子的外表面，從某一頂點連到與它相對的頂點，且路徑最短，設最短長度為
d
d
d
。求
d
2
d^2
d
2
。
AIME
坐標幾何・圓的性質
開始練習 →
在台南某夜市的平面地圖上，每單位代表
1
1
1
公尺。兩個攤位位於
A
(
0
,
−
2
)
A(0,-2)
A
(
0
,
−
2
)
與
B
(
6
,
−
2
)
B(6,-2)
B
(
6
,
−
2
)
。圓形動線
C
C
C
通過
A
,
B
A,B
A
,
B
，且與水平消防通道
y
=
7
y=7
y
=
7
相切；圓心
O
O
O
位於
A
,
B
A,B
A
,
B
的上方。過
A
A
A
與
B
B
B
分別作
C
C
C
的切線，兩切線交於
T
T
T
。若
O
T
2
=
m
n
OT^2=\frac{m}{n}
O
T
2
=
n
m
，其中
m
,
n
m,n
m
,
n
為互質正整數，求
m
+
n
m+n
m
+
n
。
AIME
排列組合進階・容斥原理
開始練習 →
某夜市有
10
10
10
個攤位圍成一圈，主辦單位要放入攤車：
3
3
3
輛鹽酥雞、
2
2
2
輛珍珠奶茶、
2
2
2
輛滷味，以及地瓜球、蚵仔煎、刈包各
1
1
1
輛。同品項攤車視為相同。規定
3
3
3
輛鹽酥雞中任兩輛不得相鄰，且
2
2
2
輛珍珠奶茶必須相鄰。若整圈旋轉或翻面後相同的配置視為同一種，問符合條件的配置數為多少？
AIME
條件機率與貝氏・排列組合進階
開始練習 →
台南國華街某果茶攤有
12
12
12
箱抽獎貼紙，其中
5
5
5
箱來自供應商
A
A
A
，
4
4
4
箱來自供應商
B
B
B
，
3
3
3
箱來自供應商
C
C
C
。每箱內貼紙顏色如下：
A
A
A
箱有
5
5
5
張紅、
3
3
3
張藍、
2
2
2
張綠；
B
B
B
箱有
4
4
4
張紅、
4
4
4
張藍、
2
2
2
張綠；
C
C
C
箱有
3
3
3
張紅、
5
5
5
張藍、
2
2
2
張綠。店員先從
12
12
12
箱中等機率選一箱，再從該箱不放回依序抽出
4
4
4
張貼在杯身上。已知第
1
1
1
張是紅色，且這
4
4
4
張中恰有
2
2
2
張紅色、恰有
1
1
1
張綠色。若所選箱來自
A
A
A
的條件機率為最簡分數
m
/
n
m/n
m
/
n
，求
m
+
n
m+n
m
+
n
。
AIME
高斯取整函數・模運算與同餘
開始練習 →
台中一間飲料店的集點機把第
n
n
n
張發票的兌換碼定義為
C
(
n
)
=
∑
i
=
0
9
⌊
n
7
+
i
10
⌋
+
∑
j
=
0
6
⌊
n
10
+
j
7
⌋
C(n)=\sum_{i=0}^{9}\left\lfloor \frac{n}{7}+\frac{i}{10}\right\rfloor+\sum_{j=0}^{6}\left\lfloor \frac{n}{10}+\frac{j}{7}\right\rfloor
C
(
n
)
=
∑
i
=
0
9
⌊
7
n
+
10
i
⌋
+
∑
j
=
0
6
⌊
10
n
+
7
j
⌋
。在
1
≤
n
≤
999
1\le n\le 999
1
≤
n
≤
999
的整數
n
n
n
中，有多少個使得
C
(
n
)
−
2
n
C(n)-2n
C
(
n
)
−
2
n
是
9
9
9
的倍數？
AIME
對數・二次函數與拋物線
開始練習 →
高雄六合夜市的一家飲料攤把兩種口味當天賣出的杯數記為正整數
a
a
a
與
b
b
b
，且
a
<
b
a<b
a
<
b
。店長留下兩條提示：
log
2
(
a
+
b
)
+
log
a
+
b
64
=
7
\log_2(a+b)+\log_{a+b}64=7
lo
g
2
(
a
+
b
)
+
lo
g
a
+
b
64
=
7
，且
log
2
a
+
log
2
b
=
log
2
768
\log_2 a+\log_2 b=\log_2 768
lo
g
2
a
+
lo
g
2
b
=
lo
g
2
768
。求
b
−
a
b-a
b
−
a
。
AIME
對稱式與代數恆等式・模運算與同餘
開始練習 →
台南夜市某攤的電子號碼牌會用兩個隱藏數產生驗證碼。設
x
,
y
x,y
x
,
y
為方程式
3
t
2
−
21
t
+
33
=
0
3t^2-21t+33=0
3
t
2
−
21
t
+
33
=
0
的兩根，並令
C
=
x
4
+
y
4
+
11
(
x
3
+
y
3
)
(
1
x
+
1
y
)
C=x^4+y^4+11(x^3+y^3)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)
C
=
x
4
+
y
4
+
11
(
x
3
+
y
3
)
(
x
1
+
y
1
)
。驗證碼定為
C
C
C
除以
1000
1000
1000
的餘數，求此驗證碼。
AIME
複數・對稱式與代數恆等式
開始練習 →
台中逢甲夜市有一串互動燈，設計師用多項式記錄第
x
x
x
段的亮度校正。令
α
=
1
+
3
i
\alpha=1+\sqrt3 i
α
=
1
+
3
i
，並令
P
(
x
)
=
∏
k
=
0
5
(
x
−
(
α
k
+
α
‾
k
)
)
P(x)=\prod_{k=0}^{5}(x-(\alpha^k+\overline{\alpha}^k))
P
(
x
)
=
∏
k
=
0
5
(
x
−
(
α
k
+
α
k
))
。將
P
(
x
)
P(x)
P
(
x
)
展開為
x
6
+
a
5
x
5
+
a
4
x
4
+
a
3
x
3
+
a
2
x
2
+
a
1
x
+
a
0
x^6+a_5x^5+a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0
x
6
+
a
5
x
5
+
a
4
x
4
+
a
3
x
3
+
a
2
x
2
+
a
1
x
+
a
0
。求
a
2
+
a
0
a_2+a_0
a
2
+
a
0
除以
1000
1000
1000
的餘數。
AIME
圓冪定理・面積切割與補形
開始練習 →
台南安平運河旁有一個圓形地燈圖樣，在平面圖中以
O
O
O
為圓心。維修點
P
P
P
在圓外，射線
P
O
PO
P
O
依序交圓於
C
,
D
C,D
C
,
D
。從
P
P
P
向圓作兩條切線，切點為
A
,
B
A,B
A
,
B
，且
A
,
B
A,B
A
,
B
在直線
P
O
PO
P
O
的兩側。已知
P
A
=
12
PA=12
P
A
=
12
、
P
C
=
8
PC=8
P
C
=
8
。若凸四邊形
A
D
B
C
ADBC
A
D
B
C
的面積為最簡分數
m
n
\frac{m}{n}
n
m
，求
m
+
n
m+n
m
+
n
。
AIME
容斥原理・遞迴與路徑計數
開始練習 →
台中車站附近的步道畫成方格，小禾從西南角
S
=
(
0
,
0
)
S=(0,0)
S
=
(
0
,
0
)
走到東北角
T
=
(
8
,
6
)
T=(8,6)
T
=
(
8
,
6
)
，每一步只能往東或往北，因此只走最短路。三個集章攤位分別在
A
=
(
2
,
2
)
A=(2,2)
A
=
(
2
,
2
)
、
B
=
(
4
,
3
)
B=(4,3)
B
=
(
4
,
3
)
、
C
=
(
6
,
5
)
C=(6,5)
C
=
(
6
,
5
)
，施工中的路口
X
=
(
3
,
3
)
X=(3,3)
X
=
(
3
,
3
)
不能經過。問小禾有多少條最短路徑會經過恰好一個集章攤位？
AIME
坐標幾何・圓的性質
開始練習 →
台南花園夜市的簡化平面圖上，兩個攤位在
A
=
(
15
,
20
)
A=(15,20)
A
=
(
15
,
20
)
與
B
=
(
22
,
13
)
B=(22,13)
B
=
(
22
,
13
)
。一條圓形動線
Γ
\Gamma
Γ
通過
A
A
A
、
B
B
B
，且圓心在直線
2
x
+
y
=
28
2x+y=28
2
x
+
y
=
28
上。直線
x
+
y
=
11
x+y=11
x
+
y
=
11
與
Γ
\Gamma
Γ
交於兩點，其中
C
C
C
的
x
x
x
坐標較小，
D
D
D
的
x
x
x
坐標較大。將
A
,
C
,
D
,
B
A,C,D,B
A
,
C
,
D
,
B
依序連成四邊形，求其面積。