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易
中
難
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所有知識點（91）
整數四則與運算順序
位值、概數與估算
單位換算與時間計算
分數與小數運算
數論基礎（整除、質因數、餘數）
質因數分解與標準分解式
最大公因數與最小公倍數
餘數循環與週期規律
進位制與位數表示
數字與位數問題
整數解與不定方程
模運算與同餘
中國剩餘定理
因數個數與因數和
階乘的質因數次數
代數技巧（方程、不等式、數列）
巧設未知數與一次方程應用
等差數列與規律延伸
對稱式與代數恆等式
因式分解技巧（SFFT）
速率與工作問題
一次函數與圖形
指數與根式
二次函數與拋物線
多項式與因式餘式定理
不等式與絕對值
比例、速率與百分比
對數
複數
等比數列與無窮級數
函數概念與圖形變換
高斯取整函數
望遠鏡級數與裂項
遞迴數列
指數函數與指數方程
對數函數與對數方程
多項式函數與圖形
數列與級數
矩陣與線性變換
複數與多項式方程
幾何：角度與面積
角度追蹤
面積切割與補形
相似形與比例線段
畢氏定理與特殊直角三角形
幾何推理與證明
圓的性質
多邊形與正多邊形
立體幾何
坐標幾何
三角比與正餘弦定理
對稱與幾何變換
圓冪定理
圓錐曲線（截痕概念）
平面上的比例
二次曲線標準式
計數與機率
加法與乘法原理
系統列舉與分類討論
基礎機率
排列組合進階
容斥原理
期望值
幾何機率
遞迴與路徑計數
鴿籠原理與最壞情況
奇偶性與不變量
隔板法與重複組合
條件機率與貝氏
條件機率與貝氏定理
離散隨機變數
二項分布
幾何分布
邏輯推理與規律
統計圖表與資料判讀
平均數與加權平均
二維數據與相關
三角比與正餘弦定理
三角函數與和差角
三角函數建模
平面向量
空間向量
空間中的直線與平面
數列極限與收斂
無窮等比級數
函數極限與連續
導函數與微分法
微分應用（極值與圖形）
黎曼和與定積分
積分應用（面積與體積）
數線與絕對值
共
45
題
・第 2／2 頁
清除全部篩選
AMC 12
坐標幾何・圓的性質
開始練習 →
嘉義文化路夜市的簡化座標圖中，每一格代表相同距離。小昕要在兩個攤位
A
(
−
1
,
2
)
A(-1,2)
A
(
−
1
,
2
)
與
B
(
5
,
6
)
B(5,6)
B
(
5
,
6
)
之間設計一個圓形打卡區，圓周必須通過這兩個攤位，且圓心要落在服務動線
x
+
2
y
=
7
x+2y=7
x
+
2
y
=
7
上。下列哪一個可能是這個圓形打卡區的圓方程？
‹
1
2
›
AMC 12
整數解與不定方程・系統列舉與分類討論
開始練習 →
台中車站附近的文創市集，阿澤把同款鑰匙圈裝成小盒與大盒販售。小盒每盒有
12
12
12
個，大盒每盒有
20
20
20
個，某天剛好把
504
504
504
個鑰匙圈全部裝完。若小盒數為
x
x
x
、大盒數為
y
y
y
，其中
x
,
y
x,y
x
,
y
為非負整數，且小盒數不超過大盒數的
3
3
3
倍，大盒數也不比小盒數多超過
10
10
10
盒，則共有多少種可能的裝盒方式？
AMC 12
整數解與不定方程・因式分解技巧（SFFT）
開始練習 →
台中一中園遊會的飲料攤用兩種貼紙記錄結算差額。設
x
x
x
表示甲班比乙班多出的紅貼紙張數，
y
y
y
表示甲班比乙班多出的藍貼紙張數，所以
x
,
y
x,y
x
,
y
都可以是負整數、
0
0
0
或正整數。若結算時發現
x
y
+
4
x
−
7
y
=
33
xy+4x-7y=33
x
y
+
4
x
−
7
y
=
33
，且
−
20
≤
x
≤
20
-20 \le x \le 20
−
20
≤
x
≤
20
，則符合條件的整數有序對
(
x
,
y
)
(x,y)
(
x
,
y
)
共有幾組？
AMC 12
三角比與正餘弦定理
開始練習 →
台中一個夜市廣場有三個入口
A
,
B
,
C
A,B,C
A
,
B
,
C
。入口
A
A
A
到入口
B
B
B
的步道長
8
8
8
公尺，入口
A
A
A
到入口
C
C
C
的步道長
6
2
6\sqrt{2}
6
2
公尺。從入口
B
B
B
看向入口
A
A
A
與入口
C
C
C
的夾角為
45
∘
45^\circ
4
5
∘
。若三個入口圍成一個三角形，求此三角形廣場的面積為多少平方公尺？
AMC 12
圓的性質・畢氏定理與特殊直角三角形
開始練習 →
嘉義某夜市的圓形招牌以
O
O
O
為圓心。攤主從招牌外一點
P
P
P
拉兩條等長燈線
P
A
PA
P
A
、
P
B
PB
P
B
，分別切圓於
A
A
A
、
B
B
B
。直線
P
O
PO
P
O
與圓交於較靠近
P
P
P
的點
C
C
C
，且
P
C
=
8
PC=8
P
C
=
8
、
P
A
=
12
PA=12
P
A
=
12
。求兩個切點間的直線距離
A
B
AB
A
B
。
AMC 12
坐標幾何・圓的性質
開始練習 →
在台南夜市的平面示意圖上，一個圓形廣場的邊界滿足
x
2
+
y
2
−
8
x
+
4
y
−
5
=
0
x^2+y^2-8x+4y-5=0
x
2
+
y
2
−
8
x
+
4
y
−
5
=
0
。蚵仔煎攤位於
A
(
4
,
3
)
A(4,3)
A
(
4
,
3
)
，其與圓心的連線是一條照明軸。通過珍珠奶茶攤
D
(
9
,
1
)
D(9,1)
D
(
9
,
1
)
作一條與此照明軸垂直的直線，交圓於
P
,
Q
P,Q
P
,
Q
。若蔥油餅攤位於
R
(
7
,
−
6
)
R(7,-6)
R
(
7
,
−
6
)
，求三角形
P
Q
R
PQR
P
QR
的面積。
AMC 12
高斯取整函數・餘數循環與週期規律
開始練習 →
台南某間文具店設計會員點數調整制度，消費與退貨都可能使點數變動。對於整數淨變動量
n
n
n
，店家比較兩種計算方式：甲方式記錄
⌊
n
7
⌋
+
⌊
n
11
⌋
\left\lfloor\frac{n}{7}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{n}{11}\right\rfloor
⌊
7
n
⌋
+
⌊
11
n
⌋
點，乙方式記錄
⌊
18
n
77
⌋
\left\lfloor\frac{18n}{77}\right\rfloor
⌊
77
18
n
⌋
點。其中，
⌊
x
⌋
\lfloor x\rfloor
⌊
x
⌋
表示不大於
x
x
x
的最大整數，負的記錄值表示扣點。若逐一測試所有滿足
−
19
≤
n
≤
2006
-19\le n\le 2006
−
19
≤
n
≤
2006
的整數，共有多少個測試值會使兩種方式記錄的點數相同？
AMC 12
對數函數與對數方程・代數技巧（方程、不等式、數列）
開始練習 →
台中某高中數學社設計校慶闖關題。對正實數
x
≠
1
x\ne 1
x
=
1
，令
t
=
log
2
x
+
log
x
2
t=\log_2 x+\log_x 2
t
=
lo
g
2
x
+
lo
g
x
2
。若解鎖條件為
log
3
(
t
2
−
6
t
+
5
)
+
log
3
(
t
2
−
6
t
+
7
)
=
1
\log_3(t^2-6t+5)+\log_3(t^2-6t+7)=1
lo
g
3
(
t
2
−
6
t
+
5
)
+
lo
g
3
(
t
2
−
6
t
+
7
)
=
1
，將所有符合條件的
x
x
x
所對應的
(
log
2
x
)
2
(\log_2 x)^2
(
lo
g
2
x
)
2
相加，結果為何？
AMC 12
遞迴與路徑計數・容斥原理
開始練習 →
台中柳川旁有一片棋盤式巷弄，阿澤從咖啡店
S
=
(
0
,
0
)
S=(0,0)
S
=
(
0
,
0
)
走到甜點店
T
=
(
9
,
6
)
T=(9,6)
T
=
(
9
,
6
)
。每次只能向東或向北走一個街口，因此走到
T
T
T
的路線都是最短路線。現在三個路口
P
=
(
3
,
2
)
P=(3,2)
P
=
(
3
,
2
)
、
Q
=
(
6
,
4
)
Q=(6,4)
Q
=
(
6
,
4
)
、
R
=
(
5
,
1
)
R=(5,1)
R
=
(
5
,
1
)
正在施工，不能經過。阿澤共有多少種最短走法？
AMC 12
遞迴數列・質因數分解與標準分解式
開始練習 →
台南某夜市攤位設計了一款數字闖關遊戲。遊戲使用數列
a
0
,
a
1
,
a
2
,
…
a_0,a_1,a_2,\ldots
a
0
,
a
1
,
a
2
,
…
，其中
a
0
=
1
a_0=1
a
0
=
1
、
a
1
=
6
a_1=6
a
1
=
6
，且對所有非負整數
n
n
n
，都有
a
n
+
2
=
6
a
n
+
1
−
9
a
n
a_{n+2}=6a_{n+1}-9a_n
a
n
+
2
=
6
a
n
+
1
−
9
a
n
。編號從
1
1
1
到
2026
2026
2026
的關卡中，若
a
n
a_n
a
n
是完全平方數，第
n
n
n
關就被標為獎勵關。這些關卡中共有多少個獎勵關？
AMC 12
圓冪定理・圓的性質
開始練習 →
如圖，某社區規劃一座直角三角形庭園，
∠
A
C
B
=
90
∘
\angle ACB=90^\circ
∠
A
C
B
=
9
0
∘
，
C
A
=
15
CA=15
C
A
=
15
公尺、
C
B
=
20
CB=20
C
B
=
20
公尺。庭園的內切圓與
A
B
AB
A
B
相切於
D
D
D
；射線
C
D
CD
C
D
與三角形的外接圓再次相交於
P
P
P
。從
P
P
P
向內切圓作切線，切點為
T
T
T
。若各線段長度均以公尺為單位，則
P
T
2
PT^2
P
T
2
等於多少？
AMC 12
對數・數字與位數問題
開始練習 →
高雄某高中數學社準備數字卡。對每個正整數
n
n
n
，分別把
2
n
2^n
2
n
與
5
n
5^n
5
n
的完整十進位表示寫在兩張卡上，不補前導零。若
5
n
5^n
5
n
的位數恰好比
2
n
2^n
2
n
位數的兩倍多
4
4
4
位，則所有符合條件的
n
n
n
的總和為何？已知
0.30102
<
log
10
2
<
0.30104
0.30102<\log_{10}2<0.30104
0.30102
<
lo
g
10
2
<
0.30104
。
AMC 12
排列組合進階・整數解與不定方程
開始練習 →
台南某班做夜市攤位集點卡展示，要把
7
7
7
張不同店家的明信片與
8
8
8
張完全相同的貼紙沿圓形桌邊排成一圈。明信片彼此不同，貼紙彼此相同；只差一個整體旋轉視為同一種排法。把每兩張相鄰明信片之間的貼紙張數稱為一個空格的張數。若恰有
3
3
3
個空格各有至少
2
2
2
張貼紙，而且這
3
3
3
個空格在圓周上任兩個都不相鄰，則共有多少種排法？
AMC 12
條件機率與貝氏・條件機率與貝氏定理
開始練習 →
夜市攤位設計了一個抽球遊戲。甲袋原有
4
4
4
顆紅球、
2
2
2
顆藍球，乙袋原有
2
2
2
顆紅球、
3
3
3
顆藍球。所有球的大小與觸感相同，每顆球都有編號可辨認原屬哪一袋。 工作人員先從甲袋隨機抽出
2
2
2
顆球放入乙袋，充分混合後，再從乙袋逐顆隨機抽球，抽出的球不放回，直到首次抽到紅球便停止。每次抽取時，袋內各球被抽中的機率相同。 已知遊戲恰在第
3
3
3
次抽取時停止，則最後抽出的紅球原屬甲袋的條件機率為
m
n
\frac{m}{n}
n
m
，其中
m
,
n
m,n
m
,
n
為互質正整數。求
m
+
n
m+n
m
+
n
。
AMC 12
函數概念與圖形變換
開始練習 →
台中一間飲料店的集點機用一個一對一函數
f
f
f
做校正。已知
f
f
f
的定義域為
[
−
4
,
2
]
[-4,2]
[
−
4
,
2
]
，值域為
[
1
,
7
]
[1,7]
[
1
,
7
]
，且
f
(
−
3
)
=
5
f(-3)=5
f
(
−
3
)
=
5
。老闆把螢幕上的圖形改成新函數
g
(
x
)
=
2
f
(
1
−
3
x
)
−
5
g(x)=2f(1-3x)-5
g
(
x
)
=
2
f
(
1
−
3
x
)
−
5
，並令
G
=
g
−
1
G=g^{-1}
G
=
g
−
1
。再定義
H
(
x
)
=
G
(
2
f
(
x
)
−
5
)
H(x)=G(2f(x)-5)
H
(
x
)
=
G
(
2
f
(
x
)
−
5
)
。若
S
S
S
是所有使
H
(
x
)
H(x)
H
(
x
)
為整數的整數
x
x
x
所成的集合，求
∑
x
∈
S
(
x
+
H
(
x
)
)
+
6
G
(
5
)
\sum_{x\in S}(x+H(x))+6G(5)
∑
x
∈
S
(
x
+
H
(
x
))
+
6
G
(
5
)
。