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易
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難
知識點
所有知識點（90）
整數四則與運算順序
位值、概數與估算
單位換算與時間計算
分數與小數運算
數論基礎（整除、質因數、餘數）
質因數分解與標準分解式
最大公因數與最小公倍數
餘數循環與週期規律
進位制與位數表示
數字與位數問題
整數解與不定方程
模運算與同餘
中國剩餘定理
因數個數與因數和
階乘的質因數次數
代數技巧（方程、不等式、數列）
巧設未知數與一次方程應用
等差數列與規律延伸
對稱式與代數恆等式
因式分解技巧（SFFT）
速率與工作問題
一次函數與圖形
指數與根式
二次函數與拋物線
多項式與因式餘式定理
不等式與絕對值
比例、速率與百分比
對數
複數
等比數列與無窮級數
函數概念與圖形變換
高斯取整函數
望遠鏡級數與裂項
遞迴數列
指數函數與指數方程
對數函數與對數方程
多項式函數與圖形
數列與級數
矩陣與線性變換
複數與多項式方程
幾何：角度與面積
角度追蹤
面積切割與補形
相似形與比例線段
幾何推理與證明
畢氏定理與特殊直角三角形
圓的性質
多邊形與正多邊形
立體幾何
坐標幾何
三角比與正餘弦定理
對稱與幾何變換
圓冪定理
圓錐曲線（截痕概念）
平面上的比例
二次曲線標準式
計數與機率
加法與乘法原理
系統列舉與分類討論
基礎機率
排列組合進階
容斥原理
期望值
幾何機率
遞迴與路徑計數
鴿籠原理與最壞情況
奇偶性與不變量
隔板法與重複組合
條件機率與貝氏
條件機率與貝氏定理
離散隨機變數
二項分布
幾何分布
邏輯推理與規律
統計圖表與資料判讀
平均數與加權平均
二維數據與相關
三角比與正餘弦定理
三角函數與和差角
三角函數建模
平面向量
空間向量
空間中的直線與平面
數列極限與收斂
無窮等比級數
函數極限與連續
導函數與微分法
微分應用（極值與圖形）
黎曼和與定積分
積分應用（面積與體積）
共
862
題
・第 29／29 頁
清除全部篩選
AMC 10
排列組合進階・容斥原理
開始練習 →
台南夜市某攤把甜點口味貼紙貼在圓形轉盤邊緣的
11
11
11
個等距位置上，其中芋頭記為
T
T
T
有
4
4
4
張，抹茶記為
M
M
M
有
3
3
3
張，花生記為
P
P
P
有
2
2
2
張，芝麻記為
S
S
S
有
2
2
2
張；同口味貼紙視為相同。要求兩張芝麻必須相鄰，任意兩張芋頭不得相鄰，且兩張花生不得相鄰。只因旋轉而相同的貼法視為同一種，左右翻面不視為同一種。共有幾種貼法？
‹
1
…
28
29
›
AMC 10
圓的性質・坐標幾何
開始練習 →
嘉義市政府把一座圓形廣場畫在座標地圖上，圖上每
1
1
1
單位代表
10
10
10
公尺。廣場邊界的方程式為
(
x
−
1
)
2
+
(
y
−
2
)
2
=
36
(x-1)^2+(y-2)^2=36
(
x
−
1
)
2
+
(
y
−
2
)
2
=
36
。阿蓉站在路口
P
(
7
,
10
)
P(7,10)
P
(
7
,
10
)
，從
P
P
P
向廣場作兩條切線，切點分別為
A
A
A
、
B
B
B
。求三角形
P
A
B
PAB
P
A
B
的實際面積是多少平方公尺？
大學學科能力測驗（數學）
平面向量・三角比與正餘弦定理
開始練習 →
台南廟會工作人員以兩條纜繩拖動大型燈車。以正東方向為
0
∘
0^\circ
0
∘
，逆時針方向角為正：第一條纜繩施力大小為
6
6
6
千牛頓，方向角為
150
∘
150^\circ
15
0
∘
；第二條纜繩施力大小為
8
8
8
千牛頓，方向角為
−
10
∘
-10^\circ
−
1
0
∘
。為使燈車暫時保持靜止，第三條纜繩須施加與前兩力合力大小相同、方向相反的力。第三條纜繩的施力大小應為多少千牛頓？
AIME
等比數列與無窮級數・幾何：角度與面積
開始練習 →
高雄駁二的一個週末市集要拉三角形遮陽棚，三個固定柱為
A
A
A
、
B
B
B
、
C
C
C
。設計圖上三邊長（單位：公尺）分別標成
A
B
=
∑
n
=
1
∞
3
n
+
1
2
n
AB=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3n+1}{2^n}
A
B
=
∑
n
=
1
∞
2
n
3
n
+
1
、
A
C
=
∑
n
=
0
∞
(
3
n
+
13
)
(
−
1
2
)
n
AC=\sum_{n=0}^{\infty}(3n+13)\left(-\frac{1}{2}\right)^n
A
C
=
∑
n
=
0
∞
(
3
n
+
13
)
(
−
2
1
)
n
、
B
C
=
∑
n
=
1
∞
6
n
+
1
2
n
BC=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{6n+1}{2^n}
B
C
=
∑
n
=
1
∞
2
n
6
n
+
1
。若
K
K
K
為遮陽棚的面積，求
K
2
K^2
K
2
。
大學學科能力測驗（數學）
條件機率與貝氏定理・三角函數建模
開始練習 →
基隆港的波高可近似為
H
(
t
)
=
2
+
sin
(
π
6
(
t
−
1
)
)
H(t)=2+\sin\left(\frac{\pi}{6}(t-1)\right)
H
(
t
)
=
2
+
sin
(
6
π
(
t
−
1
)
)
公尺，週期為
12
12
12
小時。系統從完整週期中等可能地隨機抽取一個時刻；若當時
H
(
t
)
≥
2.5
H(t)\ge2.5
H
(
t
)
≥
2.5
，便定義為危險時刻。警示器在危險時刻發出警示的機率為
9
10
\frac9{10}
10
9
，在非危險時刻誤發警示的機率為
3
20
\frac3{20}
20
3
。已知警示器發出警示，該時刻實際危險的機率為何？
AMC 10
立體幾何・面積切割與補形
開始練習 →
嘉義伴手禮店做一個邊長
6
6
6
公分的正方體鳳梨酥展示模型。店員從同一個頂點出發，在與此頂點相接的三條稜上各量出
2
2
2
公分，得到三點
P
,
Q
,
R
P,Q,R
P
,
Q
,
R
，再沿著通過
P
,
Q
,
R
P,Q,R
P
,
Q
,
R
的平面把這個角切掉。切掉後剩下立體的表面積是多少？
大學學科能力測驗（數學）
三角函數與和差角・三角函數建模
開始練習 →
花蓮一處自行車道旁的坡面與水平面夾角為銳角
α
\alpha
α
，且坡面每水平前進
12
12
12
公尺便上升
5
5
5
公尺。入口地面的投射燈相對坡面再向上仰一銳角
β
\beta
β
，其中
sin
β
=
3
5
\sin\beta=\frac{3}{5}
sin
β
=
5
3
。若一面鉛直布幕位於投射燈正前方水平距離
33
10
\frac{33}{10}
10
33
公尺處，忽略燈具本身高度，光束照在布幕上的高度為何？
大學學科能力測驗（數學）
三角函數建模
開始練習 →
高雄港邊一座摩天輪以等速轉動。某車廂在
t
=
0
t=0
t
=
0
分鐘時位於最低點，高度為
2
2
2
公尺；在
t
=
6
t=6
t
=
6
分鐘時位於最高點，高度為
42
42
42
公尺；並在
t
=
12
t=12
t
=
12
分鐘時回到最低點。在第
1
1
1
圈中，該車廂高度至少為
32
32
32
公尺的時間範圍為何？
AIME
高斯取整函數・模運算與同餘
開始練習 →
淡水夜市有一台集點機，對每個正整數
n
n
n
定義驗證碼
C
(
n
)
C(n)
C
(
n
)
為
C
(
n
)
=
∑
k
=
0
46
⌊
3
n
+
19
k
−
5
47
⌋
+
∑
k
=
0
42
⌊
2
n
+
17
k
+
8
43
⌋
C(n)=\sum_{k=0}^{46}\left\lfloor\frac{3n+19k-5}{47}\right\rfloor+\sum_{k=0}^{42}\left\lfloor\frac{2n+17k+8}{43}\right\rfloor
C
(
n
)
=
∑
k
=
0
46
⌊
47
3
n
+
19
k
−
5
⌋
+
∑
k
=
0
42
⌊
43
2
n
+
17
k
+
8
⌋
。 若
1
≤
n
≤
900
1\le n\le 900
1
≤
n
≤
900
，且
n
+
30
n+30
n
+
30
整除
C
(
n
)
C(n)
C
(
n
)
，求所有符合條件的
n
n
n
之和。
AMC 10
幾何機率・條件機率與貝氏
開始練習 →
週五傍晚，阿哲與庭安約在台中逢甲夜市的紅茶攤碰面。阿哲會在
18
:
00
18:00
18
:
00
到
18
:
50
18:50
18
:
50
間隨機且均勻地到達；庭安會在
18
:
10
18:10
18
:
10
到
19
:
00
19:00
19
:
00
間隨機且均勻地到達，兩人的到達時間互相獨立。阿哲若先到，只願意等庭安
18
18
18
分鐘；庭安若先到，只願意等阿哲
12
12
12
分鐘。已知兩人最後有碰到面，則阿哲比庭安早到的機率是多少？
大學學科能力測驗（數學）
三角函數建模
開始練習 →
澎湖一處潮間帶步道的積水深度可用正弦函數近似。以午夜後
t
t
t
小時表示時間，觀測到上午
2
2
2
時水深通過平均水位
2
2
2
公尺且正在上升，上午
5
5
5
時達最高水位
2.8
2.8
2.8
公尺，上午
11
11
11
時達最低水位
1.2
1.2
1.2
公尺。下列何者最適合作為水深
d
(
t
)
d(t)
d
(
t
)
的模型？
大學學科能力測驗（數學）
三角比與正餘弦定理・坐標幾何
開始練習 →
鹿港廟口燈球在平面座標圖上移動，東方為正
x
x
x
軸、北方為正
y
y
y
軸，方向角由正
x
x
x
軸逆時針量起。燈球先從
O
O
O
沿方向角
θ
\theta
θ
移動
26
26
26
公尺，其中
θ
\theta
θ
在第二象限且
sin
θ
=
5
13
\sin\theta=\frac{5}{13}
sin
θ
=
13
5
；接著再沿方向角
θ
+
60
∘
\theta+60^\circ
θ
+
6
0
∘
移動
26
26
26
公尺。求最後位置的
x
x
x
座標。
大學學科能力測驗（數學）
三角函數與和差角
開始練習 →
高雄港一座橋梁進行振動測試，兩個致動器產生的訊號分別為
u
1
(
t
)
=
sin
(
π
3
t
)
u_1(t)=\sin\left(\frac{\pi}{3}t\right)
u
1
(
t
)
=
sin
(
3
π
t
)
與
u
2
(
t
)
=
sin
(
π
3
(
t
−
τ
)
)
u_2(t)=\sin\left(\frac{\pi}{3}(t-\tau)\right)
u
2
(
t
)
=
sin
(
3
π
(
t
−
τ
)
)
，其中
t
t
t
與延遲量
τ
\tau
τ
均以秒為單位，且
0
<
τ
<
3
0<\tau<3
0
<
τ
<
3
。若合成訊號
u
(
t
)
=
u
1
(
t
)
+
u
2
(
t
)
u(t)=u_1(t)+u_2(t)
u
(
t
)
=
u
1
(
t
)
+
u
2
(
t
)
的振幅恰為
1
1
1
，則
τ
\tau
τ
與合成訊號第一次達到最大值的正時刻
t
0
t_0
t
0
所成的有序對
(
τ
,
t
0
)
(\tau,t_0)
(
τ
,
t
0
)
為何？
大學學科能力測驗（數學）
三角函數建模・三角函數與和差角
開始練習 →
宜蘭一座滯洪池以感測器記錄水位，啟動後第
t
t
t
小時的水位模型為
h
(
t
)
=
2
+
sin
(
π
6
(
t
−
1
)
)
h(t)=2+\sin\left(\frac{\pi}{6}(t-1)\right)
h
(
t
)
=
2
+
sin
(
6
π
(
t
−
1
)
)
公尺，其中
0
≤
t
<
24
0\le t<24
0
≤
t
<
24
。清理機器人只會在水位恰為
5
2
\frac{5}{2}
2
5
公尺，且水位正由低於
5
2
\frac{5}{2}
2
5
公尺變為高於
5
2
\frac{5}{2}
2
5
公尺時啟動。機器人的啟動時刻為何？
大學學科能力測驗（數學）
三角比與正餘弦定理・幾何：角度與面積
開始練習 →
台南某校園有三個路口
A
,
B
,
C
A,B,C
A
,
B
,
C
，其中
A
B
=
300
AB=300
A
B
=
300
公尺、
A
C
=
500
AC=500
A
C
=
500
公尺，且兩條路在
A
A
A
夾角為
120
∘
120^\circ
12
0
∘
。校方要在
B
,
C
B,C
B
,
C
之間畫一條直線導引路線，求路口
A
A
A
到直線
B
C
BC
B
C
的最短距離。
大學學科能力測驗（數學）
三角比與正餘弦定理・畢氏定理與特殊直角三角形
開始練習 →
淡水河岸有兩個觀測點
A
,
B
A,B
A
,
B
在同一直線步道上，
B
B
B
在
A
A
A
的正東方且
A
B
=
60
AB=60
A
B
=
60
公尺。地面標記點
P
P
P
在步道北側，從
A
A
A
看
P
P
P
的方向為東偏北
30
∘
30^\circ
3
0
∘
，從
B
B
B
看
P
P
P
的方向為西偏北
45
∘
45^\circ
4
5
∘
。一架無人機垂直停在
P
P
P
的正上方，從
A
A
A
看無人機的仰角為
30
∘
30^\circ
3
0
∘
。求無人機離地高度。
大學學科能力測驗（數學）
三角比與正餘弦定理・平面向量
開始練習 →
台中河濱公園規畫一塊三角形草地
A
B
C
ABC
A
B
C
，其中
A
B
=
60
AB=60
A
B
=
60
公尺、
A
C
=
75
AC=75
A
C
=
75
公尺，且
∠
B
A
C
=
120
∘
\angle BAC=120^\circ
∠
B
A
C
=
12
0
∘
。步道入口
D
D
D
位於邊
B
C
BC
B
C
上，並滿足
B
D
:
D
C
=
2
:
3
BD:DC=2:3
B
D
:
D
C
=
2
:
3
。若要鋪設一條由
A
A
A
直達
D
D
D
的筆直步道，則步道長度為多少公尺？
大學學科能力測驗（數學）
三角函數建模
開始練習 →
花蓮一座溫室的人工照明功率每
12
12
12
小時重複一次，並以正弦函數近似。單一週期內，最高功率為
900
900
900
瓦，最低功率為
100
100
100
瓦。以午夜後
t
t
t
小時表示時間，感測器在
t
=
7
t=7
t
=
7
時測得功率為
500
500
500
瓦，且當時功率正在下降。於
1
≤
t
≤
13
1\le t\le13
1
≤
t
≤
13
期間，功率恰為
300
300
300
瓦的時刻是哪兩個？
AMC 12
排列組合進階・整數解與不定方程
開始練習 →
台南某班做夜市攤位集點卡展示，要把
7
7
7
張不同店家的明信片與
8
8
8
張完全相同的貼紙沿圓形桌邊排成一圈。明信片彼此不同，貼紙彼此相同；只差一個整體旋轉視為同一種排法。把每兩張相鄰明信片之間的貼紙張數稱為一個空格的張數。若恰有
3
3
3
個空格各有至少
2
2
2
張貼紙，而且這
3
3
3
個空格在圓周上任兩個都不相鄰，則共有多少種排法？
AMC 12
函數概念與圖形變換
開始練習 →
台中一間飲料店的集點機用一個一對一函數
f
f
f
做校正。已知
f
f
f
的定義域為
[
−
4
,
2
]
[-4,2]
[
−
4
,
2
]
，值域為
[
1
,
7
]
[1,7]
[
1
,
7
]
，且
f
(
−
3
)
=
5
f(-3)=5
f
(
−
3
)
=
5
。老闆把螢幕上的圖形改成新函數
g
(
x
)
=
2
f
(
1
−
3
x
)
−
5
g(x)=2f(1-3x)-5
g
(
x
)
=
2
f
(
1
−
3
x
)
−
5
，並令
G
=
g
−
1
G=g^{-1}
G
=
g
−
1
。再定義
H
(
x
)
=
G
(
2
f
(
x
)
−
5
)
H(x)=G(2f(x)-5)
H
(
x
)
=
G
(
2
f
(
x
)
−
5
)
。若
S
S
S
是所有使
H
(
x
)
H(x)
H
(
x
)
為整數的整數
x
x
x
所成的集合，求
∑
x
∈
S
(
x
+
H
(
x
)
)
+
6
G
(
5
)
\sum_{x\in S}(x+H(x))+6G(5)
∑
x
∈
S
(
x
+
H
(
x
))
+
6
G
(
5
)
。
AIME
三角比與正餘弦定理・對稱式與代數恆等式
開始練習 →
台南安平碼頭旁的三支路燈標成
A
,
B
,
C
A,B,C
A
,
B
,
C
，形成三角形
A
B
C
ABC
A
B
C
。已知
∠
B
A
C
\angle BAC
∠
B
A
C
為鈍角，且
sin
∠
B
A
C
=
3
2
\sin\angle BAC=\frac{\sqrt3}{2}
sin
∠
B
A
C
=
2
3
。從
A
A
A
向
B
C
BC
B
C
作內角平分線交
B
C
BC
B
C
於
D
D
D
，令
M
M
M
為
B
C
BC
B
C
的中點。若
A
D
=
24
AD=24
A
D
=
24
且
D
M
=
6
7
DM=6\sqrt7
D
M
=
6
7
，三角形
A
B
C
ABC
A
B
C
的面積可寫成
K
3
K\sqrt3
K
3
，求整數
K
K
K
。
大學學科能力測驗（數學）
空間向量・立體幾何
開始練習 →
臺南一座展館使用長方體壓克力箱保護模型。以箱子的一個底面頂點
O
O
O
為原點，底面上兩條相鄰邊的向量為
O
A
→
=
(
2
,
2
,
1
)
\overrightarrow{OA}=(2,2,1)
O
A
=
(
2
,
2
,
1
)
、
O
B
→
=
(
4
,
−
2
,
−
4
)
\overrightarrow{OB}=(4,-2,-4)
O
B
=
(
4
,
−
2
,
−
4
)
，每一座標單位代表
10
cm
10\text{ cm}
10
cm
。箱子的第三條邊垂直於底面，內部體積為
162000
cm
3
162000\text{ cm}^3
162000
cm
3
。設
P
P
P
為與
O
O
O
相對的頂點。現要將一條感測光纖從
O
O
O
沿箱子外表面拉至
P
P
P
，光纖可以跨越稜，但不得離開表面或穿過箱子內部。忽略光纖粗細，其所需的最短長度為何？