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CEMC 滑鐵盧數學競賽
大學學科能力測驗（數學）
國中教育會考
難度
全部
易
中
難
知識點
所有知識點（91）
整數四則與運算順序
位值、概數與估算
單位換算與時間計算
分數與小數運算
數論基礎（整除、質因數、餘數）
質因數分解與標準分解式
最大公因數與最小公倍數
餘數循環與週期規律
進位制與位數表示
數字與位數問題
整數解與不定方程
模運算與同餘
中國剩餘定理
因數個數與因數和
階乘的質因數次數
代數技巧（方程、不等式、數列）
巧設未知數與一次方程應用
等差數列與規律延伸
對稱式與代數恆等式
因式分解技巧（SFFT）
速率與工作問題
一次函數與圖形
指數與根式
二次函數與拋物線
多項式與因式餘式定理
不等式與絕對值
比例、速率與百分比
對數
複數
等比數列與無窮級數
函數概念與圖形變換
高斯取整函數
望遠鏡級數與裂項
遞迴數列
指數函數與指數方程
對數函數與對數方程
多項式函數與圖形
數列與級數
矩陣與線性變換
複數與多項式方程
幾何：角度與面積
角度追蹤
面積切割與補形
相似形與比例線段
畢氏定理與特殊直角三角形
幾何推理與證明
圓的性質
多邊形與正多邊形
立體幾何
坐標幾何
三角比與正餘弦定理
對稱與幾何變換
圓冪定理
圓錐曲線（截痕概念）
平面上的比例
二次曲線標準式
計數與機率
加法與乘法原理
系統列舉與分類討論
基礎機率
排列組合進階
容斥原理
期望值
幾何機率
遞迴與路徑計數
鴿籠原理與最壞情況
奇偶性與不變量
隔板法與重複組合
條件機率與貝氏
條件機率與貝氏定理
離散隨機變數
二項分布
幾何分布
邏輯推理與規律
統計圖表與資料判讀
平均數與加權平均
二維數據與相關
三角比與正餘弦定理
三角函數與和差角
三角函數建模
平面向量
空間向量
空間中的直線與平面
數列極限與收斂
無窮等比級數
函數極限與連續
導函數與微分法
微分應用（極值與圖形）
黎曼和與定積分
積分應用（面積與體積）
數線與絕對值
共
862
題
・第 25／29 頁
清除全部篩選
大學學科能力測驗（數學）
餘數循環與週期規律・模運算與同餘
開始練習 →
基隆一所高中園遊會的電子集章卡有
6
6
6
種封面。第
1
1
1
張固定是紀念封面
S
S
S
；從第
2
2
2
張開始，封面依序以
A
,
B
,
C
,
D
,
E
A,B,C,D,E
A
,
B
,
C
,
D
,
E
五種循環。某攤位今天發出的張數編號為
N
=
2
2026
+
1
N=2^{2026}+1
N
=
2
2026
+
1
。若曉安拿到第
N
N
N
張，她的封面是哪一種？
‹
1
…
24
25
26
…
29
›
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・面積切割與補形
開始練習 →
高雄某社區在方格紙上設計一塊四邊形花圃，四個頂點依序為
A
(
1
,
1
)
A(1,1)
A
(
1
,
1
)
、
B
(
7
,
2
)
B(7,2)
B
(
7
,
2
)
、
C
(
6
,
6
)
C(6,6)
C
(
6
,
6
)
、
D
(
2
,
5
)
D(2,5)
D
(
2
,
5
)
，每一格代表
1
1
1
公尺。若施工隊想知道此花圃面積，最接近下列哪一個數值？
大學學科能力測驗（數學）
相似形與比例線段・幾何：角度與面積
開始練習 →
台中一間文創店要把牆上的三角形招牌放大做成地貼。原招牌中有三角形
A
B
C
ABC
A
B
C
，其中
D
D
D
在
A
B
AB
A
B
上、
E
E
E
在
A
C
AC
A
C
上，且
D
E
DE
D
E
平行
B
C
BC
B
C
。設
A
D
:
D
B
=
2
:
3
AD:DB=2:3
A
D
:
D
B
=
2
:
3
。若小三角形
A
D
E
ADE
A
D
E
的面積為
12
12
12
平方公分，則整個三角形
A
B
C
ABC
A
B
C
的面積為多少平方公分？
大學學科能力測驗（數學）
排列組合進階・對稱與幾何變換
開始練習 →
嘉義一間文創店設計圓形鑰匙圈，外圈有
6
6
6
個等距孔位，要掛
3
3
3
個相同紅色吊飾、
2
2
2
個相同藍色吊飾、
1
1
1
個黃色吊飾。若旋轉或翻面後看起來相同都視為同一款設計，問共有幾款？
AMC 10
排列組合進階・基礎機率
開始練習 →
台南某高中園遊會有
10
10
10
張不同的攤位卡，其中
4
4
4
張是小吃攤、
3
3
3
張是遊戲攤、
3
3
3
張是手作攤。阿軒從中隨機抽出
5
5
5
張不同卡片，再將這
5
5
5
張隨機排成參觀順序（所有不重複的有序順序等可能）。若要求順序中至少有
1
1
1
張小吃攤、至少有
1
1
1
張遊戲攤，且任兩張手作攤卡不相鄰，則符合要求的機率為何？
大學學科能力測驗（數學）
二次函數與拋物線・對稱與幾何變換
開始練習 →
臺南某校在園遊會入口設置光雕，原始畫面中的拋物線光帶可用
y
=
−
1
2
x
2
+
3
x
+
2
y=-\frac{1}{2}x^2+3x+2
y
=
−
2
1
x
2
+
3
x
+
2
表示。控制程式先將畫面對
y
y
y
軸鏡射，再以原點為中心順時針旋轉
90
∘
90^\circ
9
0
∘
，最後平移向量
(
1
,
−
2
)
\left(1,-2\right)
(
1
,
−
2
)
。完成三次變換後，拋物線的頂點座標為何？
大學學科能力測驗（數學）
排列組合進階
開始練習 →
台北捷運站內一排
10
10
10
面數位看板，要顯示固定縮圖：美食廣告
4
4
4
張相同、旅遊廣告
3
3
3
張相同、公益提醒
3
3
3
張相同。為避免畫面連續太像公告欄，任兩張公益提醒不可相鄰。問這排縮圖共有幾種排列？
大學學科能力測驗（數學）
三角比與正餘弦定理・函數概念與圖形變換
開始練習 →
基隆港某浮標的相對高度以
h
(
t
)
=
1.5
+
sin
(
π
4
t
−
π
6
)
h(t)=1.5+\sin(\frac{\pi}{4}t-\frac{\pi}{6})
h
(
t
)
=
1.5
+
sin
(
4
π
t
−
6
π
)
公尺表示，
t
t
t
為上午
6
:
00
6:00
6
:
00
後的時數，且
0
≤
t
≤
12
0\le t\le 12
0
≤
t
≤
12
。工作船只在
h
(
t
)
=
2
h(t)=2
h
(
t
)
=
2
時靠近浮標校正，從上午
6
:
00
6:00
6
:
00
到下午
6
:
00
6:00
6
:
00
共有幾個校正時刻？
AMC 10
排列組合進階
開始練習 →
台南夜市的集點活動要把
8
8
8
張不同圖案的貼紙貼在一個圓形轉盤的
8
8
8
個等距位置上。其中
3
3
3
張是不同的飲料貼紙，另外
5
5
5
張是不同的小吃貼紙。若任兩張飲料貼紙不可相鄰，且旋轉後相同的貼法視為同一種、翻面不視為相同，則共有多少種貼法？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・圓的性質
開始練習 →
一座捷運站前廣場的 Wi-Fi 覆蓋邊界在平面圖上滿足
x
2
+
y
2
−
6
x
+
4
y
−
12
=
0
x^2+y^2-6x+4y-12=0
x
2
+
y
2
−
6
x
+
4
y
−
12
=
0
，每
1
1
1
個坐標單位代表
10
10
10
公尺。施工隊沿水平通道
y
=
1
y=1
y
=
1
測量落在覆蓋範圍內的路段長度。這段實際長度為多少公尺？
大學學科能力測驗（數學）
遞迴數列
開始練習 →
台南某早餐店統計每週外帶杯數，設第
n
n
n
週的杯數估計值為
a
n
a_n
a
n
。店長根據前兩週資料建立遞迴模型：
a
1
=
4
a_1=4
a
1
=
4
、
a
2
=
7
a_2=7
a
2
=
7
，且對所有
n
≥
1
n\ge 1
n
≥
1
，
a
n
+
2
=
3
a
n
+
1
−
2
a
n
a_{n+2}=3a_{n+1}-2a_n
a
n
+
2
=
3
a
n
+
1
−
2
a
n
。若模型持續適用，則第
8
8
8
週的估計值
a
8
a_8
a
8
為何？
大學學科能力測驗（數學）
三角比與正餘弦定理・函數概念與圖形變換
開始練習 →
某校園太陽能遮棚會依感測指標自動展開。從上午
8
8
8
點起第
t
t
t
小時的指標為
R
(
t
)
=
6
+
4
cos
(
π
6
t
+
π
3
)
R(t)=6+4\cos\left(\frac{\pi}{6}t+\frac{\pi}{3}\right)
R
(
t
)
=
6
+
4
cos
(
6
π
t
+
3
π
)
，其中
0
≤
t
≤
12
0\le t\le 12
0
≤
t
≤
12
。當
R
(
t
)
≤
4
R(t)\le 4
R
(
t
)
≤
4
時遮棚展開。上午
8
8
8
點到晚上
8
8
8
點之間，遮棚共展開多久？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何
開始練習 →
城市團隊把河濱路線畫在坐標平面上，單位為百公尺。充電點
A
(
2
,
1
)
A(2,1)
A
(
2
,
1
)
與
B
(
8
,
4
)
B(8,4)
B
(
8
,
4
)
之間是一段直線自行車道。若要在
A
A
A
、
B
B
B
的中點
M
M
M
設休息站，並由
M
M
M
開一條與自行車道垂直的步道，下列哪一個是這條步道的方程式？
AMC 12
坐標幾何・圓的性質
開始練習 →
嘉義文化路夜市的簡化座標圖中，每一格代表相同距離。小昕要在兩個攤位
A
(
−
1
,
2
)
A(-1,2)
A
(
−
1
,
2
)
與
B
(
5
,
6
)
B(5,6)
B
(
5
,
6
)
之間設計一個圓形打卡區，圓周必須通過這兩個攤位，且圓心要落在服務動線
x
+
2
y
=
7
x+2y=7
x
+
2
y
=
7
上。下列哪一個可能是這個圓形打卡區的圓方程？
大學學科能力測驗（數學）
最大公因數與最小公倍數
開始練習 →
台南甜點店替學校園遊會準備點心，有芋頭酥
96
96
96
顆、鳳梨酥
144
144
144
顆、綠豆椪
180
180
180
顆。店長要分成若干盒，且每盒的三種點心配置完全相同、所有點心都分完；若希望盒數最多，應分成幾盒？
AIME
複數・對稱式與代數恆等式
開始練習 →
台中逢甲夜市有一串互動燈，設計師用多項式記錄第
x
x
x
段的亮度校正。令
α
=
1
+
3
i
\alpha=1+\sqrt3 i
α
=
1
+
3
i
，並令
P
(
x
)
=
∏
k
=
0
5
(
x
−
(
α
k
+
α
‾
k
)
)
P(x)=\prod_{k=0}^{5}(x-(\alpha^k+\overline{\alpha}^k))
P
(
x
)
=
∏
k
=
0
5
(
x
−
(
α
k
+
α
k
))
。將
P
(
x
)
P(x)
P
(
x
)
展開為
x
6
+
a
5
x
5
+
a
4
x
4
+
a
3
x
3
+
a
2
x
2
+
a
1
x
+
a
0
x^6+a_5x^5+a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0
x
6
+
a
5
x
5
+
a
4
x
4
+
a
3
x
3
+
a
2
x
2
+
a
1
x
+
a
0
。求
a
2
+
a
0
a_2+a_0
a
2
+
a
0
除以
1000
1000
1000
的餘數。
大學學科能力測驗（數學）
對數・等比數列與無窮級數
開始練習 →
校慶市集的預購網頁在開放當天有
3200
3200
3200
次瀏覽。行銷組估計之後每天的瀏覽次數都是前一天的
1.35
1.35
1.35
倍。若要判斷至少經過幾天後，當天瀏覽次數會首次超過
50000
50000
50000
次，可使用
log
10
1.35
=
0.1303
\log_{10}1.35=0.1303
lo
g
10
1.35
=
0.1303
與
log
10
1.5625
=
0.1938
\log_{10}1.5625=0.1938
lo
g
10
1.5625
=
0.1938
。設開放當天為第
0
0
0
天，答案應為多少天？
AIME
圓冪定理・面積切割與補形
開始練習 →
台南安平運河旁有一個圓形地燈圖樣，在平面圖中以
O
O
O
為圓心。維修點
P
P
P
在圓外，射線
P
O
PO
P
O
依序交圓於
C
,
D
C,D
C
,
D
。從
P
P
P
向圓作兩條切線，切點為
A
,
B
A,B
A
,
B
，且
A
,
B
A,B
A
,
B
在直線
P
O
PO
P
O
的兩側。已知
P
A
=
12
PA=12
P
A
=
12
、
P
C
=
8
PC=8
P
C
=
8
。若凸四邊形
A
D
B
C
ADBC
A
D
B
C
的面積為最簡分數
m
n
\frac{m}{n}
n
m
，求
m
+
n
m+n
m
+
n
。
AMC 12
整數解與不定方程・系統列舉與分類討論
開始練習 →
台中車站附近的文創市集，阿澤把同款鑰匙圈裝成小盒與大盒販售。小盒每盒有
12
12
12
個，大盒每盒有
20
20
20
個，某天剛好把
504
504
504
個鑰匙圈全部裝完。若小盒數為
x
x
x
、大盒數為
y
y
y
，其中
x
,
y
x,y
x
,
y
為非負整數，且小盒數不超過大盒數的
3
3
3
倍，大盒數也不比小盒數多超過
10
10
10
盒，則共有多少種可能的裝盒方式？
AMC 10
數字與位數問題・數論基礎（整除、質因數、餘數）
開始練習 →
台中一間手搖飲店用三位數取餐號。小芷的取餐號為
N
=
100
a
+
10
b
+
c
N=100a+10b+c
N
=
100
a
+
10
b
+
c
，其中
a
,
b
,
c
a,b,c
a
,
b
,
c
是三個互不相同的數字；把它倒著讀得到的
R
=
100
c
+
10
b
+
a
R=100c+10b+a
R
=
100
c
+
10
b
+
a
也必須是三位數。若
a
+
b
+
c
=
13
a+b+c=13
a
+
b
+
c
=
13
，且
N
+
R
N+R
N
+
R
是
7
7
7
的倍數，則可能的取餐號
N
N
N
有幾種？
AMC 10
排列組合進階・容斥原理
開始練習 →
台南某鹹酥雞攤有
8
8
8
位同學圍著一張圓桌入座，座位沒有編號；只把整桌旋轉視為同一種坐法，鏡像反轉不視為同一種。已知阿哲與小芸必須相鄰，阿凱與小薇不能相鄰，其餘
4
4
4
人都沒有特殊限制。共有多少種入座方式？
大學學科能力測驗（數學）
三角比與正餘弦定理
開始練習 →
淡水河岸有兩個巡查點
A
A
A
、
B
B
B
，位於同一條東西向自行車道上，且
B
B
B
在
A
A
A
的正東方，
A
B
=
100
AB=100
A
B
=
100
公尺。救生浮標
P
P
P
位於車道北側；工作人員在
A
A
A
測得
P
P
P
的方位為北偏東
60
∘
60^\circ
6
0
∘
，在
B
B
B
測得
P
P
P
的方位為北偏西
45
∘
45^\circ
4
5
∘
。忽略觀測儀器的高度，則
A
A
A
與浮標
P
P
P
的距離為多少公尺？
大學學科能力測驗（數學）
模運算與同餘・餘數循環與週期規律
開始練習 →
花蓮一間高中規劃社團成果展，開幕日是星期一，閉幕活動安排在開幕後第
T
T
T
天，其中
T
=
3
2026
+
5
2025
T=3^{2026}+5^{2025}
T
=
3
2026
+
5
2025
。若開幕當天算第
0
0
0
天，閉幕活動是星期幾？
大學學科能力測驗（數學）
條件機率與貝氏
開始練習 →
某社團統計社員通勤方式與是否準時到社課。社員中
40
%
40\%
40%
搭捷運，
35
%
35\%
35%
騎腳踏車，其餘步行。搭捷運者準時率為
90
%
90\%
90%
，騎腳踏車者準時率為
80
%
80\%
80%
，步行者準時率為
72
%
72\%
72%
。若隨機選一位社員，已知他今天準時到社課，則他是步行的機率為何？
AIME
容斥原理・遞迴與路徑計數
開始練習 →
台中車站附近的步道畫成方格，小禾從西南角
S
=
(
0
,
0
)
S=(0,0)
S
=
(
0
,
0
)
走到東北角
T
=
(
8
,
6
)
T=(8,6)
T
=
(
8
,
6
)
，每一步只能往東或往北，因此只走最短路。三個集章攤位分別在
A
=
(
2
,
2
)
A=(2,2)
A
=
(
2
,
2
)
、
B
=
(
4
,
3
)
B=(4,3)
B
=
(
4
,
3
)
、
C
=
(
6
,
5
)
C=(6,5)
C
=
(
6
,
5
)
，施工中的路口
X
=
(
3
,
3
)
X=(3,3)
X
=
(
3
,
3
)
不能經過。問小禾有多少條最短路徑會經過恰好一個集章攤位？
AMC 10
相似形與比例線段・面積切割與補形
開始練習 →
台南某夜市攤位做一片三角形招牌
A
B
C
ABC
A
B
C
，在邊
A
B
AB
A
B
上依序取
D
,
F
D,F
D
,
F
，使
A
D
=
4
AD=4
A
D
=
4
、
D
F
=
2
DF=2
D
F
=
2
、
F
B
=
3
FB=3
F
B
=
3
。過
D
,
F
D,F
D
,
F
分別作
D
E
∥
B
C
DE \parallel BC
D
E
∥
B
C
、
F
G
∥
B
C
FG \parallel BC
F
G
∥
B
C
，交
A
C
AC
A
C
於
E
,
G
E,G
E
,
G
。已知四邊形
D
F
G
E
DFGE
D
F
GE
的面積為
60
60
60
平方公分，求四邊形
F
B
C
G
FBCG
F
B
C
G
的面積為多少平方公分？
大學學科能力測驗（數學）
圓的性質・坐標幾何
開始練習 →
台南市區地圖以座標平面表示，兩個共享雨傘站的位置為
A
(
1
,
2
)
A(1,2)
A
(
1
,
2
)
與
B
(
7
,
6
)
B(7,6)
B
(
7
,
6
)
。一個圓形服務範圍需同時經過
A
,
B
A,B
A
,
B
，且圓心位在道路
x
+
y
=
7
x+y=7
x
+
y
=
7
上。此服務範圍的圓方程式為何？
AMC 10
面積切割與補形・畢氏定理與特殊直角三角形
開始練習 →
如圖，台中一所高中在長方形操場
A
B
C
D
ABCD
A
B
C
D
內畫夜市攤位區，
A
B
=
30
AB=30
A
B
=
30
、
A
D
=
22
AD=22
A
D
=
22
。點
P
P
P
在
A
D
AD
A
D
上，點
Q
Q
Q
在
B
C
BC
B
C
上，
A
P
=
18
AP=18
A
P
=
18
，且線段
P
Q
=
34
PQ=34
P
Q
=
34
。灰色攤位區先取四邊形
A
B
Q
P
ABQP
A
B
QP
，再挖掉一個直角三角形空位
R
S
T
RST
R
S
T
；其中
R
R
R
是直角，
R
T
=
7
RT=7
R
T
=
7
，
S
T
=
25
ST=25
S
T
=
25
。若
R
S
T
RST
R
S
T
完全在
A
B
Q
P
ABQP
A
B
QP
內，灰色面積是多少平方公尺？
大學學科能力測驗（數學）
對數・二次函數與拋物線
開始練習 →
某飲料店用簡化指標
x
x
x
描述兩種香氣的濃度，資料只在
x
−
1
>
0
x-1>0
x
−
1
>
0
與
x
+
3
>
0
x+3>0
x
+
3
>
0
時有意義。若調香師設定
log
2
(
x
−
1
)
+
log
2
(
x
+
3
)
=
3
\log_2(x-1)+\log_2(x+3)=3
lo
g
2
(
x
−
1
)
+
lo
g
2
(
x
+
3
)
=
3
，下列哪一個
x
x
x
符合設定？
大學學科能力測驗（數學）
圓的性質・坐標幾何
開始練習 →
高雄一個圓形花圃在平面圖上的邊界為
(
x
−
4
)
2
+
(
y
−
3
)
2
=
25
(x-4)^2+(y-3)^2=25
(
x
−
4
)
2
+
(
y
−
3
)
2
=
25
。施工隊要在花圃上點
P
(
1
,
7
)
P(1,7)
P
(
1
,
7
)
處設置一段筆直護欄，使護欄剛好與花圃相切。護欄所在直線為何？