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整數四則與運算順序
位值、概數與估算
單位換算與時間計算
分數與小數運算
數論基礎（整除、質因數、餘數）
質因數分解與標準分解式
最大公因數與最小公倍數
餘數循環與週期規律
進位制與位數表示
數字與位數問題
整數解與不定方程
模運算與同餘
中國剩餘定理
因數個數與因數和
階乘的質因數次數
代數技巧（方程、不等式、數列）
巧設未知數與一次方程應用
等差數列與規律延伸
乘法公式與因式分解
對稱式與代數恆等式
因式分解技巧（SFFT）
速率與工作問題
指數與根式
一次函數與圖形
二次函數與拋物線
多項式與因式餘式定理
不等式與絕對值
對數
比例、速率與百分比
複數
等比數列與無窮級數
函數概念與圖形變換
高斯取整函數
望遠鏡級數與裂項
遞迴數列
指數函數與指數方程
對數函數與對數方程
多項式函數與圖形
數列與級數
矩陣與線性變換
複數與多項式方程
幾何：角度與面積
角度追蹤
面積切割與補形
相似形與比例線段
畢氏定理與特殊直角三角形
幾何推理與證明
圓的性質
多邊形與正多邊形
立體幾何
坐標幾何
三角比與正餘弦定理
對稱與幾何變換
圓冪定理
圓錐曲線（截痕概念）
平面上的比例
二次曲線標準式
計數與機率
加法與乘法原理
系統列舉與分類討論
基礎機率
排列組合進階
容斥原理
期望值
幾何機率
遞迴與路徑計數
鴿籠原理與最壞情況
奇偶性與不變量
隔板法與重複組合
條件機率與貝氏
條件機率與貝氏定理
離散隨機變數
二項分布
幾何分布
邏輯推理與規律
統計圖表與資料判讀
平均數與加權平均
二維數據與相關
三角比與正餘弦定理
三角函數與和差角
三角函數建模
平面向量
空間向量
空間中的直線與平面
數列極限與收斂
無窮等比級數
函數極限與連續
導函數與微分法
微分應用（極值與圖形）
黎曼和與定積分
積分應用（面積與體積）
數線與絕對值
共
3001
題
・第 56／101 頁
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何
開始練習 →
某捷運站出口設為座標原點，每一座標單位代表十公尺。兩條道路邊線分別為
L
1
:
3
x
+
4
y
=
0
L_1:3x+4y=0
L
1
:
3
x
+
4
y
=
0
與
L
2
:
5
x
−
12
y
=
0
L_2:5x-12y=0
L
2
:
5
x
−
12
y
=
0
。候車亭位於
Q
(
1
,
1
)
Q(1,1)
Q
(
1
,
1
)
，施工導引線須沿著兩道路所形成、包含
Q
Q
Q
的夾角之角平分線所在直線。該導引線的方程式為何？
‹
1
…
55
56
57
…
101
›
大學學科能力測驗（數學）
三角函數與和差角
開始練習 →
攝影社同學操作相機雲台，轉動角以逆時針方向為正。雲台依序轉過
α
\alpha
α
與
β
\beta
β
，已知
tan
α
=
2
3
\tan\alpha=\frac{2}{3}
tan
α
=
3
2
，且總轉角滿足
tan
(
α
+
β
)
=
−
2
\tan(\alpha+\beta)=-2
tan
(
α
+
β
)
=
−
2
，則
tan
β
\tan\beta
tan
β
的值為何？
國中教育會考
圓的性質・角度追蹤
開始練習 →
校園圓形跑道旁有一座圓形水池，圓心為
O
O
O
。點
A
A
A
、
B
B
B
、
C
C
C
在池邊，且
O
A
=
O
B
=
O
C
OA=OB=OC
O
A
=
O
B
=
O
C
。已知
∠
O
A
B
=
36
∘
\angle OAB=36^\circ
∠
O
A
B
=
3
6
∘
，且
C
C
C
在大弧
A
B
AB
A
B
上，求
∠
A
C
B
\angle ACB
∠
A
C
B
的度數。
國小數學
對稱與幾何變換
開始練習 →
如圖，一張邊長為
12
12
12
公分的正方形包裝紙
A
B
C
D
ABCD
A
B
C
D
（
A
A
A
在左下、
B
B
B
在右下、
C
C
C
在右上、
D
D
D
在左上），摺線
U
V
UV
U
V
與
A
B
AB
A
B
平行，且距離
A
B
AB
A
B
為
4
4
4
公分。左邊
A
D
AD
A
D
上的點
P
P
P
、
Q
Q
Q
、
R
R
R
、
S
S
S
、
T
T
T
距離
A
A
A
依序為
1
1
1
、
3
3
3
、
5
5
5
、
7
7
7
、
11
11
11
公分，點
W
W
W
位於右邊
B
C
BC
B
C
上且與
S
S
S
等高。將摺線下方的紙往上摺，折好後在左邊緣的
S
S
S
處剪出陰影三角形缺口，且每層都被剪穿。完全展開後，缺口出現在哪些點？
大學學科能力測驗（數學）
對稱式與代數恆等式
開始練習 →
設正實數
t
t
t
滿足
t
2
+
1
t
2
=
7
t^2+\frac{1}{t^2}=7
t
2
+
t
2
1
=
7
，則
t
4
+
1
t
4
−
t
3
−
1
t
3
t^4+\frac{1}{t^4}-t^3-\frac{1}{t^3}
t
4
+
t
4
1
−
t
3
−
t
3
1
的值為何？
國小數學
代數技巧（方程、不等式、數列）・最大公因數與最小公倍數
開始練習 →
已知甲式為
6
x
+
8
y
=
46
6x+8y=46
6
x
+
8
y
=
46
，乙式為
9
x
+
14
y
=
75
9x+14y=75
9
x
+
14
y
=
75
。將甲式乘以正整數
m
m
m
、乙式乘以正整數
n
n
n
，使兩式的
y
y
y
係數相同，且
m
+
n
m+n
m
+
n
最小，再以
x
x
x
係數較大的式子減去較小的式子。下列哪一項的倍數與相減結果皆符合要求？
大學學科能力測驗（數學）
不等式與絕對值・指數與根式
開始練習 →
某捷運站自動加值機以非零實數
t
t
t
作為內部校正參數，檢測值定義為
∣
(
−
2
)
−
2
t
−
3
∣
\left|\frac{(-2)^{-2}}{t^{-3}}\right|
t
−
3
(
−
2
)
−
2
。若檢測值等於
2
2
2
，則
∣
t
∣
|t|
∣
t
∣
為何？
國中教育會考
代數技巧（方程、不等式、數列）
開始練習 →
小芸解方程式
x
2
−
4
x
−
2
=
4
\frac{x^2-4}{x-2}=4
x
−
2
x
2
−
4
=
4
，經交叉相乘後得到
(
x
−
2
)
2
=
0
(x-2)^2=0
(
x
−
2
)
2
=
0
，因而認為
x
=
2
x=2
x
=
2
是原方程式的根。下列判斷與理由何者正確？
國中教育會考
指數與根式・代數技巧（方程、不等式、數列）
開始練習 →
實數方程式
x
+
16
=
36
x+\sqrt{16}=\sqrt{36}
x
+
16
=
36
的解集合為何？
國中教育會考
畢氏定理與特殊直角三角形
開始練習 →
如圖，市府在方格地圖上規劃兩段直線自行車道
E
F
EF
E
F
與
G
H
GH
G
H
，每格邊長代表
20
20
20
公尺。關於兩段車道的實際長度，下列何者正確？
國中教育會考
代數技巧（方程、不等式、數列）・巧設未知數與一次方程應用
開始練習 →
小涵原有
y
y
y
元，買筆花了
12
12
12
元。她接著搭公車，車資比買筆後剩下金額的
1
3
\frac{1}{3}
3
1
少
5
5
5
元。若
y
>
27
y>27
y
>
27
，下列哪個代數式表示她這次的公車車資？
國中教育會考
代數技巧（方程、不等式、數列）
開始練習 →
社團製作長方形桌牌，裁切後的面積為
9
x
2
−
6
x
y
+
4
y
−
12
x
+
4
9x^2-6xy+4y-12x+4
9
x
2
−
6
x
y
+
4
y
−
12
x
+
4
平方公分。下列哪一個乘積能正確表示此面積？
國中教育會考
幾何推理與證明
開始練習 →
如圖，校園平面圖中的兩段直線圍牆沿射線
B
A
BA
B
A
、
B
C
BC
B
C
延伸，
∠
A
B
C
=
2
θ
\angle ABC=2\theta
∠
A
B
C
=
2
θ
，其中
0
∘
<
θ
<
90
∘
0^\circ<\theta<90^\circ
0
∘
<
θ
<
9
0
∘
。點
P
P
P
位於此角的角平分線上，
D
D
D
、
E
E
E
分別為
P
P
P
到兩射線的垂足。某生寫出以下證明：「由直角三角形的內角和，
∠
D
P
B
=
∠
E
P
B
=
90
∘
−
θ
\angle DPB=\angle EPB=90^\circ-\theta
∠
D
P
B
=
∠
E
P
B
=
9
0
∘
−
θ
；又
∠
P
D
B
=
∠
P
E
B
=
90
∘
\angle PDB=\angle PEB=90^\circ
∠
P
D
B
=
∠
P
E
B
=
9
0
∘
，且
P
B
=
P
B
PB=PB
P
B
=
P
B
，所以依 ASA 得
△
P
B
D
≅
△
P
B
E
\triangle PBD\cong\triangle PBE
△
P
B
D
≅
△
P
B
E
，故
P
D
=
P
E
PD=PE
P
D
=
P
E
。」針對這份證明，下列判斷何者正確？
國中教育會考
坐標幾何・圓的性質
開始練習 →
如圖，某圓形廣場以座標原點為圓心，邊界方程式為
x
2
+
y
2
=
25
x^2+y^2=25
x
2
+
y
2
=
25
，一條筆直巡檢路線所在直線為
3
x
+
4
y
=
20
3x+4y=20
3
x
+
4
y
=
20
，其中座標單位為公尺。下列敘述何者正確？
大學學科能力測驗（數學）
對數・對數函數與對數方程
開始練習 →
設
t
t
t
為實數。已知至少有一個實數
x
x
x
同時滿足
x
2
=
3
x^2=3
x
2
=
3
與
x
>
t
x>t
x
>
t
，且每一個同時滿足這兩項條件的
x
x
x
，都使
log
x
3
=
2
\log_x 3=2
lo
g
x
3
=
2
成立。下列何者為
t
t
t
的所有可能值？
大學學科能力測驗（數學）
三角比與正餘弦定理・函數概念與圖形變換
開始練習 →
台中某 YouBike 站旁的電子看板每秒亮度變化可近似為
I
(
t
)
=
40
+
12
cos
(
π
4
t
)
I(t)=40+12\cos\left(\frac{\pi}{4}t\right)
I
(
t
)
=
40
+
12
cos
(
4
π
t
)
，其中
t
t
t
單位為秒。從
t
=
0
t=0
t
=
0
開始到
t
=
20
t=20
t
=
20
為止，亮度指標等於
46
46
46
的時刻共有幾個？
大學學科能力測驗（數學）
對數函數與對數方程・對數
開始練習 →
小明解方程式
log
x
−
1
(
x
+
5
)
=
2
\log_{x-1}(x+5)=2
lo
g
x
−
1
(
x
+
5
)
=
2
時，先寫出
x
x
x
必須滿足的全部限制條件，再解方程式並檢驗。下列哪一個選項的「限制條件」與「解」都完整且正確？
國中教育會考
指數與根式・不等式與絕對值
開始練習 →
某校園闖關活動中，原路線的兩段總長為
10
+
15
\sqrt{10}+\sqrt{15}
10
+
15
百公尺。調整攤位位置後，兩段總長變為
k
+
25
−
k
\sqrt{k}+\sqrt{25-k}
k
+
25
−
k
百公尺，其中
k
k
k
為正整數且
k
<
25
k<25
k
<
25
。若調整後的總長大於原路線，則
k
k
k
的最小值為何？
國中教育會考
相似形與比例線段・畢氏定理與特殊直角三角形
開始練習 →
如圖，水上樂園的滑水道截面中，
A
A
A
、
D
D
D
、
C
C
C
三點依序位於同一直線上，
A
B
⊥
B
C
AB\perp BC
A
B
⊥
B
C
，
B
D
⊥
A
C
BD\perp AC
B
D
⊥
A
C
。已知滑道
B
C
BC
B
C
長
9
9
9
公尺，支柱
B
D
BD
B
D
高
7.2
7.2
7.2
公尺，則地面距離
A
C
AC
A
C
為多少公尺？
國中教育會考
數論基礎（整除、質因數、餘數）
開始練習 →
班級製作一個整數分類程式，只允許使用「質數」與「合數」兩種標籤。程式會處理所有滿足
n
>
k
n>k
n
>
k
的整數
n
n
n
。若要保證每個輸入都恰能貼上一種標籤，整數
k
k
k
的最小值為何？
國中教育會考
角度追蹤
開始練習 →
如圖，直線
ℓ
∥
m
\ell\parallel m
ℓ
∥
m
，兩條截線分別通過
P
P
P
、
Q
Q
Q
與
R
R
R
、
S
S
S
。已知圖中標示的兩角分別為
80
∘
80^\circ
8
0
∘
、
50
∘
50^\circ
5
0
∘
，則
α
+
2
β
\alpha+2\beta
α
+
2
β
等於多少？
大學學科能力測驗（數學）
三角函數與和差角
開始練習 →
公園旋轉燈的光點
P
P
P
在單位圓上移動。如圖，當控制參數為
θ
\theta
θ
時，光點的旋轉角為
φ
=
2
θ
−
π
6
\varphi=2\theta-\dfrac{\pi}{6}
φ
=
2
θ
−
6
π
，並定義
T
(
θ
)
T(\theta)
T
(
θ
)
為光點縱坐標除以橫坐標。在
0
≤
θ
<
2
π
0\leq\theta<2\pi
0
≤
θ
<
2
π
中，下列哪一組恰為所有使
T
(
θ
)
T(\theta)
T
(
θ
)
不存在的
θ
\theta
θ
？
大學學科能力測驗（數學）
不等式與絕對值
開始練習 →
校園氣象站以實數
x
x
x
表示感測器的校正誤差，系統可接受的誤差集合為
I
=
[
−
2
,
1
)
∪
(
3
,
5
]
I=[-2,1)\cup(3,5]
I
=
[
−
2
,
1
)
∪
(
3
,
5
]
。下列何者恰好表示
x
∉
I
x\notin I
x
∈
/
I
？
大學學科能力測驗（數學）
對數
開始練習 →
已知
m
=
log
5
2
m=\log_5 2
m
=
lo
g
5
2
，則
log
10
4
\log_{10}4
lo
g
10
4
等於下列何者？
國中教育會考
巧設未知數與一次方程應用
開始練習 →
甲、乙兩個保冷壺的容量分別為
x
x
x
公升與
y
y
y
公升，兩壺原先各裝有相同但未知的水量。將甲壺現有水量的
1
3
\frac{1}{3}
3
1
倒入乙壺後，乙壺尚可再裝
4
4
4
公升；將兩壺恢復成原先水量後，再把乙壺的水倒入甲壺直到甲壺裝滿，此時乙壺剩下
7
7
7
公升。若兩壺的容量合計為
37
37
37
公升，則甲壺的容量為多少公升？
國中教育會考
巧設未知數與一次方程應用・分數與小數運算
開始練習 →
阿哲與阿翔到早餐店買早餐。阿哲原有
x
x
x
元，其中
x
>
100
x>100
x
>
100
；阿哲花了
30
30
30
元，阿翔花了
50
50
50
元。買完早餐後，阿哲剩下的錢是阿翔剩下金額的
2
5
\frac{2}{5}
5
2
。阿翔買早餐前原有多少元？
國中教育會考
坐標幾何・一次函數與圖形
開始練習 →
河濱自行車道的局部地圖以座標平面表示，如圖，車道所在直線為
L
:
y
=
2
3
x
+
1
L:y=\frac{2}{3}x+1
L
:
y
=
3
2
x
+
1
。補給站
B
B
B
位於
A
(
−
2
,
5
)
A(-2,5)
A
(
−
2
,
5
)
的正右方且在直線
L
L
L
上，入口
C
C
C
位於
x
x
x
軸且在直線
L
L
L
上。若觀景點
D
D
D
在線段
B
C
‾
\overline{BC}
B
C
上，且
B
D
:
D
C
=
3
:
2
BD:DC=3:2
B
D
:
D
C
=
3
:
2
，則
D
D
D
的座標為何？
大學學科能力測驗（數學）
對數函數與對數方程・二次函數與拋物線
開始練習 →
當
1
<
x
<
9
1<x<9
1
<
x
<
9
時，
log
1
3
(
x
−
1
)
+
log
1
3
(
9
−
x
)
\log_{\frac{1}{3}}(x-1)+\log_{\frac{1}{3}}(9-x)
lo
g
3
1
(
x
−
1
)
+
lo
g
3
1
(
9
−
x
)
的最小值為何？
大學學科能力測驗（數學）
三角函數與和差角・函數概念與圖形變換
開始練習 →
河濱自行車道的電子藝術裝置，將角度
θ
\theta
θ
對應成燈點在單位圓上的高度
y
=
sin
θ
y=\sin\theta
y
=
sin
θ
。五次輸入角度為
−
100
∘
-100^\circ
−
10
0
∘
、
410
∘
410^\circ
41
0
∘
、
155
∘
155^\circ
15
5
∘
、
725
∘
725^\circ
72
5
∘
、
240
∘
240^\circ
24
0
∘
，高度第二高的是哪一次？
國中教育會考
乘法公式與因式分解・代數技巧（方程、不等式、數列）
開始練習 →
若
x
x
x
為實數且
x
≠
2
x\ne 2
x
=
2
，則方程式
(
2
x
+
1
x
−
2
)
2
−
5
(
2
x
+
1
x
−
2
)
+
6
=
0
\left(\frac{2x+1}{x-2}\right)^2-5\left(\frac{2x+1}{x-2}\right)+6=0
(
x
−
2
2
x
+
1
)
2
−
5
(
x
−
2
2
x
+
1
)
+
6
=
0
的實數解集合為何？