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全部
易
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難
知識點
所有知識點（91）
整數四則與運算順序
位值、概數與估算
單位換算與時間計算
分數與小數運算
數論基礎（整除、質因數、餘數）
質因數分解與標準分解式
最大公因數與最小公倍數
餘數循環與週期規律
進位制與位數表示
數字與位數問題
整數解與不定方程
模運算與同餘
中國剩餘定理
因數個數與因數和
階乘的質因數次數
代數技巧（方程、不等式、數列）
巧設未知數與一次方程應用
等差數列與規律延伸
對稱式與代數恆等式
因式分解技巧（SFFT）
速率與工作問題
一次函數與圖形
指數與根式
二次函數與拋物線
多項式與因式餘式定理
不等式與絕對值
比例、速率與百分比
對數
複數
等比數列與無窮級數
函數概念與圖形變換
高斯取整函數
望遠鏡級數與裂項
遞迴數列
指數函數與指數方程
對數函數與對數方程
多項式函數與圖形
數列與級數
矩陣與線性變換
複數與多項式方程
幾何：角度與面積
角度追蹤
面積切割與補形
相似形與比例線段
畢氏定理與特殊直角三角形
幾何推理與證明
圓的性質
多邊形與正多邊形
立體幾何
坐標幾何
三角比與正餘弦定理
對稱與幾何變換
圓冪定理
圓錐曲線（截痕概念）
平面上的比例
二次曲線標準式
計數與機率
加法與乘法原理
系統列舉與分類討論
基礎機率
排列組合進階
容斥原理
期望值
幾何機率
遞迴與路徑計數
鴿籠原理與最壞情況
奇偶性與不變量
隔板法與重複組合
條件機率與貝氏
條件機率與貝氏定理
離散隨機變數
二項分布
幾何分布
邏輯推理與規律
統計圖表與資料判讀
平均數與加權平均
二維數據與相關
三角比與正餘弦定理
三角函數與和差角
三角函數建模
平面向量
空間向量
空間中的直線與平面
數列極限與收斂
無窮等比級數
函數極限與連續
導函數與微分法
微分應用（極值與圖形）
黎曼和與定積分
積分應用（面積與體積）
數線與絕對值
共
1357
題
・第 42／46 頁
清除全部篩選
分科測驗（數學甲）
二次曲線標準式・矩陣與線性變換
開始練習 →
小澔在設計課用繪圖軟體做捷運站的裝置藝術草圖，原始圖案是雙曲線
C
:
x
2
9
−
y
2
4
=
1
C:\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1
C
:
9
x
2
−
4
y
2
=
1
（如圖）。他先把整個圖案對直線
y
=
x
y=x
y
=
x
作鏡射，接著把鏡射後的結果沿
y
y
y
軸方向拉伸為原來的
2
2
2
倍（也就是
(
x
,
y
)
↦
(
x
,
2
y
)
(x,y)\mapsto(x,2y)
(
x
,
y
)
↦
(
x
,
2
y
)
），得到新曲線
C
′
C'
C
′
。則
C
′
C'
C
′
的離心率為何？
‹
1
…
41
42
43
…
46
›
大學學科能力測驗（數學）
三角函數與和差角・三角函數建模
開始練習 →
嘉義某農場的自動灑水器噴水方向角為
θ
\theta
θ
弧度，水柱覆蓋寬度與
W
=
8
sin
θ
+
6
cos
θ
W=8\sin\theta+6\cos\theta
W
=
8
sin
θ
+
6
cos
θ
成正比。若
0
≤
θ
≤
π
2
0\le\theta\le\frac{\pi}{2}
0
≤
θ
≤
2
π
，則使
W
W
W
最大的
θ
\theta
θ
滿足下列何者？
大學學科能力測驗（數學）
相似形與比例線段・幾何：角度與面積
開始練習 →
台中一間文創店要把牆上的三角形招牌放大做成地貼。原招牌中有三角形
A
B
C
ABC
A
B
C
，其中
D
D
D
在
A
B
AB
A
B
上、
E
E
E
在
A
C
AC
A
C
上，且
D
E
DE
D
E
平行
B
C
BC
B
C
。設
A
D
:
D
B
=
2
:
3
AD:DB=2:3
A
D
:
D
B
=
2
:
3
。若小三角形
A
D
E
ADE
A
D
E
的面積為
12
12
12
平方公分，則整個三角形
A
B
C
ABC
A
B
C
的面積為多少平方公分？
大學學科能力測驗（數學）
排列組合進階・對稱與幾何變換
開始練習 →
嘉義一間文創店設計圓形鑰匙圈，外圈有
6
6
6
個等距孔位，要掛
3
3
3
個相同紅色吊飾、
2
2
2
個相同藍色吊飾、
1
1
1
個黃色吊飾。若旋轉或翻面後看起來相同都視為同一款設計，問共有幾款？
大學學科能力測驗（數學）
二次函數與拋物線・對稱與幾何變換
開始練習 →
臺南某校在園遊會入口設置光雕，原始畫面中的拋物線光帶可用
y
=
−
1
2
x
2
+
3
x
+
2
y=-\frac{1}{2}x^2+3x+2
y
=
−
2
1
x
2
+
3
x
+
2
表示。控制程式先將畫面對
y
y
y
軸鏡射，再以原點為中心順時針旋轉
90
∘
90^\circ
9
0
∘
，最後平移向量
(
1
,
−
2
)
\left(1,-2\right)
(
1
,
−
2
)
。完成三次變換後，拋物線的頂點座標為何？
大學學科能力測驗（數學）
對數函數與對數方程・對數
開始練習 →
設
x
>
0
x>0
x
>
0
且滿足
x
log
3
4
+
4
log
3
x
=
32
x^{\log_3 4}+4^{\log_3 x}=32
x
l
o
g
3
4
+
4
l
o
g
3
x
=
32
，則
x
x
x
的值為何？
大學學科能力測驗（數學）
排列組合進階
開始練習 →
台北捷運站內一排
10
10
10
面數位看板，要顯示固定縮圖：美食廣告
4
4
4
張相同、旅遊廣告
3
3
3
張相同、公益提醒
3
3
3
張相同。為避免畫面連續太像公告欄，任兩張公益提醒不可相鄰。問這排縮圖共有幾種排列？
大學學科能力測驗（數學）
三角比與正餘弦定理・函數概念與圖形變換
開始練習 →
基隆港某浮標的相對高度以
h
(
t
)
=
1.5
+
sin
(
π
4
t
−
π
6
)
h(t)=1.5+\sin(\frac{\pi}{4}t-\frac{\pi}{6})
h
(
t
)
=
1.5
+
sin
(
4
π
t
−
6
π
)
公尺表示，
t
t
t
為上午
6
:
00
6:00
6
:
00
後的時數，且
0
≤
t
≤
12
0\le t\le 12
0
≤
t
≤
12
。工作船只在
h
(
t
)
=
2
h(t)=2
h
(
t
)
=
2
時靠近浮標校正，從上午
6
:
00
6:00
6
:
00
到下午
6
:
00
6:00
6
:
00
共有幾個校正時刻？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・圓的性質
開始練習 →
一座捷運站前廣場的 Wi-Fi 覆蓋邊界在平面圖上滿足
x
2
+
y
2
−
6
x
+
4
y
−
12
=
0
x^2+y^2-6x+4y-12=0
x
2
+
y
2
−
6
x
+
4
y
−
12
=
0
，每
1
1
1
個坐標單位代表
10
10
10
公尺。施工隊沿水平通道
y
=
1
y=1
y
=
1
測量落在覆蓋範圍內的路段長度。這段實際長度為多少公尺？
分科測驗（數學甲）
複數・等比數列與無窮級數
開始練習 →
台中一家手作燈飾店的師傅在複數平面上設計一串「螺旋燈」：第
0
0
0
顆燈掛在
z
0
=
4
3
+
4
i
z_0=4\sqrt{3}+4i
z
0
=
4
3
+
4
i
的位置，之後每一顆燈的位置都由前一顆乘上同一個複數
w
=
1
−
1
+
i
w=\dfrac{1}{-1+i}
w
=
−
1
+
i
1
得到，也就是
z
n
+
1
=
z
n
w
z_{n+1}=z_n\,w
z
n
+
1
=
z
n
w
（
n
=
0
,
1
,
2
,
…
n=0,1,2,\ldots
n
=
0
,
1
,
2
,
…
）。如圖標出了第
0
0
0
顆到第
3
3
3
顆燈的位置。試求第
6
6
6
顆燈的位置
z
6
z_6
z
6
為下列何者？
大學學科能力測驗（數學）
遞迴數列
開始練習 →
台南某早餐店統計每週外帶杯數，設第
n
n
n
週的杯數估計值為
a
n
a_n
a
n
。店長根據前兩週資料建立遞迴模型：
a
1
=
4
a_1=4
a
1
=
4
、
a
2
=
7
a_2=7
a
2
=
7
，且對所有
n
≥
1
n\ge 1
n
≥
1
，
a
n
+
2
=
3
a
n
+
1
−
2
a
n
a_{n+2}=3a_{n+1}-2a_n
a
n
+
2
=
3
a
n
+
1
−
2
a
n
。若模型持續適用，則第
8
8
8
週的估計值
a
8
a_8
a
8
為何？
大學學科能力測驗（數學）
三角比與正餘弦定理・函數概念與圖形變換
開始練習 →
某校園太陽能遮棚會依感測指標自動展開。從上午
8
8
8
點起第
t
t
t
小時的指標為
R
(
t
)
=
6
+
4
cos
(
π
6
t
+
π
3
)
R(t)=6+4\cos\left(\frac{\pi}{6}t+\frac{\pi}{3}\right)
R
(
t
)
=
6
+
4
cos
(
6
π
t
+
3
π
)
，其中
0
≤
t
≤
12
0\le t\le 12
0
≤
t
≤
12
。當
R
(
t
)
≤
4
R(t)\le 4
R
(
t
)
≤
4
時遮棚展開。上午
8
8
8
點到晚上
8
8
8
點之間，遮棚共展開多久？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何
開始練習 →
城市團隊把河濱路線畫在坐標平面上，單位為百公尺。充電點
A
(
2
,
1
)
A(2,1)
A
(
2
,
1
)
與
B
(
8
,
4
)
B(8,4)
B
(
8
,
4
)
之間是一段直線自行車道。若要在
A
A
A
、
B
B
B
的中點
M
M
M
設休息站，並由
M
M
M
開一條與自行車道垂直的步道，下列哪一個是這條步道的方程式？
大學學科能力測驗（數學）
二維數據與相關
開始練習 →
新竹某高中想規劃校門口 YouBike 站的調度量，記錄冬季
12
12
12
個上課日的上午
7
7
7
時氣溫
x
x
x
（攝氏度）與當日上午租借量
y
y
y
（輛）。資料中氣溫介於
12
12
12
至
28
28
28
度，且得到
x
ˉ
=
20
\bar{x}=20
x
ˉ
=
20
、
s
x
=
4
s_x=4
s
x
=
4
、
y
ˉ
=
150
\bar{y}=150
y
ˉ
=
150
、
s
y
=
30
s_y=30
s
y
=
30
，相關係數為
r
=
−
0.80
r=-0.80
r
=
−
0.80
。若以最小平方法建立由氣溫預測租借量的迴歸直線，下列敘述何者最適當？
大學學科能力測驗（數學）
最大公因數與最小公倍數
開始練習 →
台南甜點店替學校園遊會準備點心，有芋頭酥
96
96
96
顆、鳳梨酥
144
144
144
顆、綠豆椪
180
180
180
顆。店長要分成若干盒，且每盒的三種點心配置完全相同、所有點心都分完；若希望盒數最多，應分成幾盒？
大學學科能力測驗（數學）
多項式與因式餘式定理
開始練習 →
多項式
f
(
x
)
=
x
11
+
2
x
9
−
5
x
7
+
1
f(x)=x^{11}+2x^{9}-5x^{7}+1
f
(
x
)
=
x
11
+
2
x
9
−
5
x
7
+
1
除以
x
3
−
1
x^{3}-1
x
3
−
1
的餘式為下列何者？
大學學科能力測驗（數學）
對數・等比數列與無窮級數
開始練習 →
校慶市集的預購網頁在開放當天有
3200
3200
3200
次瀏覽。行銷組估計之後每天的瀏覽次數都是前一天的
1.35
1.35
1.35
倍。若要判斷至少經過幾天後，當天瀏覽次數會首次超過
50000
50000
50000
次，可使用
log
10
1.35
=
0.1303
\log_{10}1.35=0.1303
lo
g
10
1.35
=
0.1303
與
log
10
1.5625
=
0.1938
\log_{10}1.5625=0.1938
lo
g
10
1.5625
=
0.1938
。設開放當天為第
0
0
0
天，答案應為多少天？
大學學科能力測驗（數學）
三角比與正餘弦定理
開始練習 →
淡水河岸有兩個巡查點
A
A
A
、
B
B
B
，位於同一條東西向自行車道上，且
B
B
B
在
A
A
A
的正東方，
A
B
=
100
AB=100
A
B
=
100
公尺。救生浮標
P
P
P
位於車道北側；工作人員在
A
A
A
測得
P
P
P
的方位為北偏東
60
∘
60^\circ
6
0
∘
，在
B
B
B
測得
P
P
P
的方位為北偏西
45
∘
45^\circ
4
5
∘
。忽略觀測儀器的高度，則
A
A
A
與浮標
P
P
P
的距離為多少公尺？
大學學科能力測驗（數學）
模運算與同餘・餘數循環與週期規律
開始練習 →
花蓮一間高中規劃社團成果展，開幕日是星期一，閉幕活動安排在開幕後第
T
T
T
天，其中
T
=
3
2026
+
5
2025
T=3^{2026}+5^{2025}
T
=
3
2026
+
5
2025
。若開幕當天算第
0
0
0
天，閉幕活動是星期幾？
大學學科能力測驗（數學）
條件機率與貝氏
開始練習 →
某社團統計社員通勤方式與是否準時到社課。社員中
40
%
40\%
40%
搭捷運，
35
%
35\%
35%
騎腳踏車，其餘步行。搭捷運者準時率為
90
%
90\%
90%
，騎腳踏車者準時率為
80
%
80\%
80%
，步行者準時率為
72
%
72\%
72%
。若隨機選一位社員，已知他今天準時到社課，則他是步行的機率為何？
大學學科能力測驗（數學）
指數函數與指數方程・對數函數與對數方程
開始練習 →
設
0
<
x
1
<
x
2
0<x_1<x_2
0
<
x
1
<
x
2
，令
p
=
(
1
2
)
x
1
+
x
2
2
p=\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{x_1+x_2}{2}}
p
=
(
2
1
)
2
x
1
+
x
2
，
q
=
1
2
[
(
1
2
)
x
1
+
(
1
2
)
x
2
]
q=\frac{1}{2}\left[\left(\frac{1}{2}\right)^{x_1}+\left(\frac{1}{2}\right)^{x_2}\right]
q
=
2
1
[
(
2
1
)
x
1
+
(
2
1
)
x
2
]
，
r
=
log
1
3
x
1
+
x
2
2
r=\log_{\frac{1}{3}}\frac{x_1+x_2}{2}
r
=
lo
g
3
1
2
x
1
+
x
2
，
s
=
1
2
(
log
1
3
x
1
+
log
1
3
x
2
)
s=\frac{1}{2}\left(\log_{\frac{1}{3}}x_1+\log_{\frac{1}{3}}x_2\right)
s
=
2
1
(
lo
g
3
1
x
1
+
lo
g
3
1
x
2
)
。下列敘述何者正確？
大學學科能力測驗（數學）
圓的性質・坐標幾何
開始練習 →
台南市區地圖以座標平面表示，兩個共享雨傘站的位置為
A
(
1
,
2
)
A(1,2)
A
(
1
,
2
)
與
B
(
7
,
6
)
B(7,6)
B
(
7
,
6
)
。一個圓形服務範圍需同時經過
A
,
B
A,B
A
,
B
，且圓心位在道路
x
+
y
=
7
x+y=7
x
+
y
=
7
上。此服務範圍的圓方程式為何？
大學學科能力測驗（數學）
對數・二次函數與拋物線
開始練習 →
某飲料店用簡化指標
x
x
x
描述兩種香氣的濃度，資料只在
x
−
1
>
0
x-1>0
x
−
1
>
0
與
x
+
3
>
0
x+3>0
x
+
3
>
0
時有意義。若調香師設定
log
2
(
x
−
1
)
+
log
2
(
x
+
3
)
=
3
\log_2(x-1)+\log_2(x+3)=3
lo
g
2
(
x
−
1
)
+
lo
g
2
(
x
+
3
)
=
3
，下列哪一個
x
x
x
符合設定？
分科測驗（數學甲）
複數與多項式方程
開始練習 →
新竹某高中的數學研究社在社課上，指導老師在白板寫下一個實係數四次多項式
f
(
x
)
=
x
4
+
a
x
3
+
b
x
2
+
c
x
+
d
f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d
f
(
x
)
=
x
4
+
a
x
3
+
b
x
2
+
c
x
+
d
其中
a
,
b
,
c
,
d
a,b,c,d
a
,
b
,
c
,
d
皆為實數，並公布三個線索： (1)
f
(
2
+
i
)
=
0
f(2+i)=0
f
(
2
+
i
)
=
0
，其中
i
i
i
為虛數單位； (2) 方程式
f
(
x
)
=
0
f(x)=0
f
(
x
)
=
0
的四個根（重根依重數計算）之和為
9
9
9
； (3)
f
(
0
)
=
40
f(0)=40
f
(
0
)
=
40
。 請問
f
(
1
)
f(1)
f
(
1
)
之值為何？
大學學科能力測驗（數學）
圓的性質・坐標幾何
開始練習 →
高雄一個圓形花圃在平面圖上的邊界為
(
x
−
4
)
2
+
(
y
−
3
)
2
=
25
(x-4)^2+(y-3)^2=25
(
x
−
4
)
2
+
(
y
−
3
)
2
=
25
。施工隊要在花圃上點
P
(
1
,
7
)
P(1,7)
P
(
1
,
7
)
處設置一段筆直護欄，使護欄剛好與花圃相切。護欄所在直線為何？
大學學科能力測驗（數學）
圓的性質・角度追蹤
開始練習 →
宜蘭童玩節的四個燈柱
A
,
B
,
C
,
D
A,B,C,D
A
,
B
,
C
,
D
依序落在同一個圓上。工作人員量得
∠
A
B
C
=
105
∘
\angle ABC=105^\circ
∠
A
B
C
=
10
5
∘
，且斜拉線
A
C
AC
A
C
使
∠
A
C
B
=
32
∘
\angle ACB=32^\circ
∠
A
C
B
=
3
2
∘
。若
A
C
AC
A
C
同時平分
∠
D
A
B
\angle DAB
∠
D
A
B
，則
∠
A
C
D
\angle ACD
∠
A
C
D
為多少？
分科測驗（數學甲）
空間向量
開始練習 →
桃園某文創工作室要製作四面體造型的實心玻璃紙鎮。以工作檯的一角為原點建立空間坐標系（單位：公分），紙鎮的四個頂點分別位於
P
(
1
,
0
,
2
)
P(1,0,2)
P
(
1
,
0
,
2
)
、
Q
(
3
,
1
,
2
)
Q(3,1,2)
Q
(
3
,
1
,
2
)
、
R
(
0
,
2
,
3
)
R(0,2,3)
R
(
0
,
2
,
3
)
、
S
(
2
,
−
1
,
5
)
S(2,-1,5)
S
(
2
,
−
1
,
5
)
，如圖。試問這個四面體紙鎮的體積為多少立方公分？
大學學科能力測驗（數學）
對數・對數函數與對數方程
開始練習 →
高雄某高中數學週的闖關活動中，關主出了三個數
a
=
15
17
a=15^{17}
a
=
1
5
17
、
b
=
2
67
b=2^{67}
b
=
2
67
、
c
=
6
77
3
c=\sqrt[3]{6^{77}}
c
=
3
6
77
，請參賽者排出大小。已知
log
2
=
0.3010
\log 2=0.3010
lo
g
2
=
0.3010
、
log
3
=
0.4771
\log 3=0.4771
lo
g
3
=
0.4771
，則下列何者正確？
大學學科能力測驗（數學）
函數概念與圖形變換
開始練習 →
一間台中飲料店用舊資料函數
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
表示離中午
x
x
x
小時時的每分鐘來客數變動量。舊資料只適用於
0
≤
x
≤
6
0\le x\le 6
0
≤
x
≤
6
，且
f
f
f
的值域恰為
[
−
2
,
5
]
[-2,5]
[
−
2
,
5
]
（也就是
−
2
≤
f
(
x
)
≤
5
-2\le f(x)\le 5
−
2
≤
f
(
x
)
≤
5
，最小值
−
2
-2
−
2
與最大值
5
5
5
都取得到）。新版圖形定義為
p
(
x
)
=
3
−
2
f
(
x
+
1
2
)
p(x)=3-2f(\frac{x+1}{2})
p
(
x
)
=
3
−
2
f
(
2
x
+
1
)
。下列何者為
p
p
p
的定義域和值域？
大學學科能力測驗（數學）
三角比與正餘弦定理・函數概念與圖形變換
開始練習 →
淡水河岸一排智慧燈的亮度指標會隨音樂循環變化。啟動後
t
t
t
分鐘的指標為
L
(
t
)
=
12
+
2
sin
(
π
6
t
)
+
2
3
cos
(
π
6
t
)
L(t)=12+2\sin(\frac{\pi}{6}t)+2\sqrt{3}\cos(\frac{\pi}{6}t)
L
(
t
)
=
12
+
2
sin
(
6
π
t
)
+
2
3
cos
(
6
π
t
)
，其中
0
≤
t
≤
12
0\le t\le 12
0
≤
t
≤
12
。在啟動後第一次達到最大亮度是在第幾分鐘？