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國小數學
國中教育會考
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全部
易
中
難
知識點
所有知識點（91）
整數四則與運算順序
位值、概數與估算
單位換算與時間計算
分數與小數運算
數論基礎（整除、質因數、餘數）
質因數分解與標準分解式
最大公因數與最小公倍數
餘數循環與週期規律
進位制與位數表示
數字與位數問題
整數解與不定方程
模運算與同餘
中國剩餘定理
因數個數與因數和
階乘的質因數次數
代數技巧（方程、不等式、數列）
巧設未知數與一次方程應用
等差數列與規律延伸
對稱式與代數恆等式
因式分解技巧（SFFT）
速率與工作問題
一次函數與圖形
指數與根式
二次函數與拋物線
多項式與因式餘式定理
不等式與絕對值
比例、速率與百分比
對數
複數
等比數列與無窮級數
函數概念與圖形變換
高斯取整函數
望遠鏡級數與裂項
遞迴數列
指數函數與指數方程
對數函數與對數方程
多項式函數與圖形
數列與級數
矩陣與線性變換
複數與多項式方程
幾何：角度與面積
角度追蹤
面積切割與補形
相似形與比例線段
畢氏定理與特殊直角三角形
幾何推理與證明
圓的性質
多邊形與正多邊形
立體幾何
坐標幾何
三角比與正餘弦定理
對稱與幾何變換
圓冪定理
圓錐曲線（截痕概念）
平面上的比例
二次曲線標準式
計數與機率
加法與乘法原理
系統列舉與分類討論
基礎機率
排列組合進階
容斥原理
期望值
幾何機率
遞迴與路徑計數
鴿籠原理與最壞情況
奇偶性與不變量
隔板法與重複組合
條件機率與貝氏
條件機率與貝氏定理
離散隨機變數
二項分布
幾何分布
邏輯推理與規律
統計圖表與資料判讀
平均數與加權平均
二維數據與相關
三角比與正餘弦定理
三角函數與和差角
三角函數建模
平面向量
空間向量
空間中的直線與平面
數列極限與收斂
無窮等比級數
函數極限與連續
導函數與微分法
微分應用（極值與圖形）
黎曼和與定積分
積分應用（面積與體積）
數線與絕對值
共
83
題
・第 2／3 頁
清除全部篩選
國中教育會考
相似形與比例線段・比例、速率與百分比
開始練習 →
新竹一所學校的校園地圖中，三條平行田埂
L
1
L_1
L
1
、
L
2
L_2
L
2
、
L
3
L_3
L
3
被兩條斜向步道截過。第一條斜線在
L
1
L_1
L
1
與
L
2
L_2
L
2
之間長
6
6
6
公尺，在
L
2
L_2
L
2
與
L
3
L_3
L
3
之間長
9
9
9
公尺。第二條斜線從
L
1
L_1
L
1
到
L
3
L_3
L
3
的總長為
30
30
30
公尺，求第二條斜線在
L
2
L_2
L
2
與
L
3
L_3
L
3
之間的長度
x
x
x
。
‹
1
2
3
›
國小數學
畢氏定理與特殊直角三角形・巧設未知數與一次方程應用
開始練習 →
如圖，手作教室準備了大小兩張圓形紙板，大紙板的半徑比小紙板多
2
2
2
公分。從每張紙板各剪出一個面積最大的正方形，發現大紙板剪出的正方形面積比小紙板剪出的多
48
48
48
平方公分。小紙板的半徑是多少公分？
大學學科能力測驗（數學）
立體幾何・畢氏定理與特殊直角三角形
開始練習 →
台南一間文創店要在長方體透明展示盒外側貼一條細燈帶。展示盒的長、寬、高分別為
18
18
18
公分、
12
12
12
公分、
8
8
8
公分。燈帶要從底面前左角
P
P
P
沿著展示盒表面貼到頂面後右角
Q
Q
Q
，且不能穿過盒內。燈帶最短需要多長？
大學學科能力測驗（數學）
幾何：角度與面積・三角比與正餘弦定理
開始練習 →
台中某校把三個樹穴
A
A
A
、
B
B
B
、
C
C
C
連成三角形步道，量得
A
B
=
7
AB=7
A
B
=
7
公尺、
A
C
=
13
AC=13
A
C
=
13
公尺、
B
C
=
12
BC=12
B
C
=
12
公尺。若要在三角形
A
B
C
ABC
A
B
C
內鋪透水磚，鋪設面積為多少？
大學學科能力測驗（數學）
三角函數與和差角・函數概念與圖形變換
開始練習 →
高雄駁二藝術特區某互動燈牆進行一段 24 分鐘的測試。燈牆的基礎亮度函數為
f
(
x
)
=
sin
x
+
3
cos
x
f(x)=\sin x+\sqrt{3}\cos x
f
(
x
)
=
sin
x
+
3
cos
x
，其中
x
x
x
以弧度表示。控制器會先將測試開始後第
t
t
t
分鐘轉換成輸入
u
(
t
)
=
π
3
−
π
t
6
u(t)=\frac{\pi}{3}-\frac{\pi t}{6}
u
(
t
)
=
3
π
−
6
π
t
，再顯示亮度
G
(
t
)
=
f
(
u
(
t
)
)
G(t)=f(u(t))
G
(
t
)
=
f
(
u
(
t
))
，其中
0
≤
t
<
24
0\le t<24
0
≤
t
<
24
。下列何者列出
G
(
t
)
G(t)
G
(
t
)
達到最大值的所有時刻？
大學學科能力測驗（數學）
三角比與正餘弦定理・坐標幾何
開始練習 →
台北捷運站外兩條連通道方向可用單位向量
u
⃗
,
v
⃗
\vec u,\vec v
u
,
v
表示，且兩通道夾角為
60
∘
60^\circ
6
0
∘
。從服務台
O
O
O
到出口
M
M
M
的位移為
O
M
→
=
2
u
⃗
+
v
⃗
\overrightarrow{OM}=2\vec u+\vec v
O
M
=
2
u
+
v
，到出口
N
N
N
的位移為
O
N
→
=
u
⃗
+
3
v
⃗
\overrightarrow{ON}=\vec u+3\vec v
O
N
=
u
+
3
v
。則兩出口方向
O
M
→
\overrightarrow{OM}
O
M
與
O
N
→
\overrightarrow{ON}
O
N
的夾角餘弦值為何？
大學學科能力測驗（數學）
平面向量・平面上的比例
開始練習 →
嘉義一處社區農園的種植區為三角形
A
B
C
ABC
A
B
C
，面積為
450
450
450
平方公尺。圍籬上的標記點
D
D
D
、
E
E
E
分別位於邊
A
B
AB
A
B
、
A
C
AC
A
C
上，且
A
D
:
D
B
=
2
:
3
AD:DB=2:3
A
D
:
D
B
=
2
:
3
、
A
E
:
E
C
=
1
:
2
AE:EC=1:2
A
E
:
E
C
=
1
:
2
。自動灑水器的位置
P
P
P
位於線段
D
E
DE
D
E
上，並滿足
2
P
D
⃗
+
P
E
⃗
=
0
⃗
2\vec{PD}+\vec{PE}=\vec{0}
2
P
D
+
P
E
=
0
。若將三角形
B
P
C
BPC
B
P
C
規劃為獨立灑水區，則其面積為多少平方公尺？
大學學科能力測驗（數學）
多項式與因式餘式定理・多項式函數與圖形
開始練習 →
如圖，三次多項式
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
的圖形通過
(
2
,
3
)
(2,3)
(
2
,
3
)
、
(
−
1
,
9
)
(-1,9)
(
−
1
,
9
)
、
(
4
,
19
)
(4,19)
(
4
,
19
)
、
(
6
,
11
)
(6,11)
(
6
,
11
)
。將它設為
f
(
x
)
=
a
(
x
−
2
)
(
x
+
1
)
(
x
−
4
)
+
b
(
x
−
2
)
(
x
−
v
)
+
c
(
x
−
u
)
+
d
f(x)=a(x-2)(x+1)(x-4)+b(x-2)(x-v)+c(x-u)+d
f
(
x
)
=
a
(
x
−
2
)
(
x
+
1
)
(
x
−
4
)
+
b
(
x
−
2
)
(
x
−
v
)
+
c
(
x
−
u
)
+
d
，其中
u
u
u
、
v
v
v
為待選定的實數。若依序代入
x
=
2
x=2
x
=
2
、
x
=
−
1
x=-1
x
=
−
1
、
x
=
4
x=4
x
=
4
、
x
=
6
x=6
x
=
6
，要求每一步所得的等式都只含一個尚未求出的係數，並依序求出
d
d
d
、
c
c
c
、
b
b
b
、
a
a
a
，則
(
u
,
v
,
b
)
(u,v,b)
(
u
,
v
,
b
)
為何？
大學學科能力測驗（數學）
函數概念與圖形變換・多項式與因式餘式定理
開始練習 →
新竹一間便當店用
g
(
t
)
=
t
4
−
12
t
3
+
50
t
2
−
84
t
+
45
g(t)=t^4-12t^3+50t^2-84t+45
g
(
t
)
=
t
4
−
12
t
3
+
50
t
2
−
84
t
+
45
描述外送尖峰壓力，時間範圍為
0
≤
t
≤
6
0\le t\le 6
0
≤
t
≤
6
。店長規定當
g
(
t
)
≤
0
g(t)\le 0
g
(
t
)
≤
0
時要加派人手。已知
g
(
t
)
=
(
t
−
1
)
(
t
−
3
)
2
(
t
−
5
)
g(t)=(t-1)(t-3)^2(t-5)
g
(
t
)
=
(
t
−
1
)
(
t
−
3
)
2
(
t
−
5
)
，下列哪一個時段表示正確？
大學學科能力測驗（數學）
二次函數與拋物線・函數概念與圖形變換
開始練習 →
某手機相機的夜景模式先把實際拍攝距離
x
x
x
公尺校正成
f
(
x
)
=
2
x
−
3
f(x)=2x-3
f
(
x
)
=
2
x
−
3
，再把校正值轉成模糊指標
g
(
t
)
=
t
2
+
4
g(t)=t^2+4
g
(
t
)
=
t
2
+
4
。為了讓模糊指標能唯一回推距離，系統只接受
x
≥
3
2
x\ge \frac{3}{2}
x
≥
2
3
的資料。令
h
(
x
)
=
g
(
f
(
x
)
)
h(x)=g(f(x))
h
(
x
)
=
g
(
f
(
x
))
。若輸入模糊指標為
y
y
y
，下列何者是正確的回推距離
h
−
1
(
y
)
h^{-1}(y)
h
−
1
(
y
)
與可接受的
y
y
y
範圍？
大學學科能力測驗（數學）
立體幾何・坐標幾何
開始練習 →
台東熱氣球嘉年華的臨時展示架以地面固定點
O
(
0
,
0
,
0
)
O(0,0,0)
O
(
0
,
0
,
0
)
為共同端點，三支桿的另一端分別在
P
(
4
,
1
,
2
)
P(4,1,2)
P
(
4
,
1
,
2
)
、
Q
(
1
,
5
,
3
)
Q(1,5,3)
Q
(
1
,
5
,
3
)
、
R
(
2
,
0
,
6
)
R(2,0,6)
R
(
2
,
0
,
6
)
，單位公尺。若用透明帆布連成四面體
O
P
Q
R
OPQR
O
P
QR
，此四面體的體積為何？
國小數學
畢氏定理與特殊直角三角形・巧設未知數與一次方程應用
開始練習 →
如圖，美術社準備了甲、乙兩種圓形色紙，乙的半徑比甲多
2
2
2
公分。分別從兩張色紙中剪下能取得的最大正方形，乙剪出的正方形面積比甲多
40
40
40
平方公分。甲色紙的半徑為多少公分？
大學學科能力測驗（數學）
函數概念與圖形變換
開始練習 →
某高鐵站以基準函數
f
f
f
描述進站後第
x
x
x
分鐘的擁擠指標。已知
f
f
f
的定義域為
[
−
2
,
6
]
[-2,6]
[
−
2
,
6
]
，值域為
[
1
,
9
]
[1,9]
[
1
,
9
]
。新閘門上線後，系統將時間提前
2
2
2
分鐘讀取，並把擁擠指標轉為舒適度
g
(
x
)
=
3
−
f
(
x
+
2
)
g(x)=3-f(x+2)
g
(
x
)
=
3
−
f
(
x
+
2
)
。下列何者為
g
g
g
的定義域與值域？
國中教育會考
角度追蹤・幾何：角度與面積
開始練習 →
高雄港邊的兩條步道互相平行。示意圖中，
B
C
BC
B
C
是下方步道，通過
A
A
A
的直線
ℓ
\ell
ℓ
與
B
C
BC
B
C
平行，且
A
B
=
A
C
AB=AC
A
B
=
A
C
。已知在
ℓ
\ell
ℓ
上從
A
A
A
向左的射線與
A
B
AB
A
B
的夾角為
68
∘
68^\circ
6
8
∘
，求
x
=
∠
B
A
C
x=\angle BAC
x
=
∠
B
A
C
。
大學學科能力測驗（數學）
立體幾何・畢氏定理與特殊直角三角形
開始練習 →
台北車站置物櫃是一個長方體，左右寬
12
12
12
公分、前後深
8
8
8
公分、高
6
6
6
公分。令左前下角為
O
O
O
，
x
x
x
軸向右、
y
y
y
軸向後、
z
z
z
軸向上。貼紙
P
P
P
在前面，座標為
P
(
5
,
0
,
1
)
P(5,0,1)
P
(
5
,
0
,
1
)
；貼紙
Q
Q
Q
在右面，座標為
Q
(
12
,
6
,
4
)
Q(12,6,4)
Q
(
12
,
6
,
4
)
。一條裝飾線只能貼著置物櫃外表面，從
P
P
P
連到
Q
Q
Q
的最短長度為何？
大學學科能力測驗（數學）
立體幾何・畢氏定理與特殊直角三角形
開始練習 →
一個長方體外帶保溫袋，長
18
18
18
公分、深
6
6
6
公分、高
10
10
10
公分。袋面上有兩個貼點：點
P
P
P
在前面，距左側邊
3
3
3
公分、距底邊
4
4
4
公分；點
Q
Q
Q
在上面，距左側邊
14
14
14
公分、距前邊
5
5
5
公分。若彩帶只能貼在袋子的表面，且取最短路徑，彩帶長度為多少？
國中教育會考
最大公因數與最小公倍數
開始練習 →
嘉義一間烘焙教室要把
84
84
84
顆鳳梨酥與
126
126
126
顆蛋黃酥平均分裝成若干盒，同一種點心在每盒中的數量皆相同，且全部分完。若希望盒數最多，則每盒共有幾顆點心？
大學學科能力測驗（數學）
二次函數與拋物線・函數概念與圖形變換
開始練習 →
嘉義某市集入口拱門的內緣以拋物線模型設計，左右落地點在
x
=
2
x=2
x
=
2
與
x
=
10
x=10
x
=
10
，最高點的高度為
4
4
4
公尺。設地面為
y
=
0
y=0
y
=
0
，並假設拱門關於中線對稱。下列哪一個函數可描述拱門高度
y
y
y
與水平位置
x
x
x
的關係？
大學學科能力測驗（數學）
多項式與因式餘式定理
開始練習 →
台南某飲料店的會員系統以多項式
P
(
x
)
P(x)
P
(
x
)
記錄折扣碼。已知
P
(
x
)
P(x)
P
(
x
)
除以
x
−
2
x-2
x
−
2
的餘式為
5
5
5
，除以
x
+
1
x+1
x
+
1
的餘式為
−
4
-4
−
4
。更新後的檢核多項式定義為
Q
(
x
)
=
(
x
−
1
)
P
(
x
)
+
2
Q(x)=(x-1)P(x)+2
Q
(
x
)
=
(
x
−
1
)
P
(
x
)
+
2
。若將
Q
(
x
)
Q(x)
Q
(
x
)
除以
x
2
−
x
−
2
x^2-x-2
x
2
−
x
−
2
，其餘式為何？
大學學科能力測驗（數學）
多項式與因式餘式定理・多項式函數與圖形
開始練習 →
臺中一間冷鏈物流站以
x
x
x
表示冷藏櫃內溫度與設定溫度的差值，感測器允許的範圍為
−
3
≤
x
≤
5
-3\le x\le 5
−
3
≤
x
≤
5
。系統的校正指標為首項係數是
1
1
1
的三次多項式
P
(
x
)
P(x)
P
(
x
)
。已知以
(
x
−
2
)
(
x
−
3
)
(x-2)(x-3)
(
x
−
2
)
(
x
−
3
)
除
P
(
x
)
P(x)
P
(
x
)
，所得餘式為
−
4
x
+
8
-4x+8
−
4
x
+
8
，且
P
(
−
1
)
=
0
P(-1)=0
P
(
−
1
)
=
0
。當
P
(
x
)
<
0
P(x)<0
P
(
x
)
<
0
時，系統會啟動保護模式。請問在允許範圍內，哪些
x
x
x
值會使系統啟動保護模式？
大學學科能力測驗（數學）
立體幾何・畢氏定理與特殊直角三角形
開始練習 →
台南一間飲料店要在圓柱形保溫桶的側面貼一條斜向防水膠帶。桶身半徑為
6
6
6
公分、高為
18
18
18
公分。膠帶從側面底緣的點
P
P
P
貼到側面頂緣的點
Q
Q
Q
，且
Q
Q
Q
在圓周方向上正好位於
P
P
P
的對面。若膠帶只能沿桶身側面貼，最短長度為多少？
國中教育會考
相似形與比例線段・面積切割與補形
開始練習 →
台南老街導覽牌上，有一個三角形街區示意圖。
D
D
D
在
A
B
AB
A
B
上，
E
E
E
在
A
C
AC
A
C
上，且
D
E
∥
B
C
DE\parallel BC
D
E
∥
B
C
。已知
A
D
=
6
AD=6
A
D
=
6
公分、
D
B
=
3
DB=3
D
B
=
3
公分，梯形
D
B
C
E
DBCE
D
B
C
E
的面積為
35
35
35
平方公分。求整個
△
A
B
C
\triangle ABC
△
A
B
C
的面積。
國中教育會考
比例、速率與百分比・巧設未知數與一次方程應用
開始練習 →
一件外套在百貨週年慶先漲價
20
%
20\%
20%
，隔週又以漲價後的價格打
8
8
8
折出售。小芸看到最後售價比原價少
160
160
160
元，則這件外套的原價是多少元？
大學學科能力測驗（數學）
三角比與正餘弦定理・幾何：角度與面積
開始練習 →
澎湖某碼頭
O
O
O
要估算兩個浮標與碼頭圍成的警戒水域。浮標
A
A
A
距離碼頭
4
4
4
公里，方位角為
015
∘
015^\circ
01
5
∘
；浮標
B
B
B
距離碼頭
7
7
7
公里，方位角為
075
∘
075^\circ
07
5
∘
。若方位角以正北順時針量，則三角形
O
A
B
OAB
O
A
B
的面積為多少？
大學學科能力測驗（數學）
圓的性質・畢氏定理與特殊直角三角形
開始練習 →
某校把圓形中庭的圓心記為
O
O
O
，半徑為
12
12
12
公尺。校門口標示牌在點
P
P
P
，且
O
P
=
24
OP=24
O
P
=
24
公尺；從
P
P
P
拉兩條直線步道分別切中庭於
A
A
A
、
B
B
B
。若觀景點
C
C
C
在圓周上且位於較大的弧
A
B
AB
A
B
上，則
∠
A
C
B
\angle ACB
∠
A
C
B
為多少？
國中教育會考
容斥原理・奇偶性與不變量
開始練習 →
校慶園遊會的數學攤位準備了
60
60
60
個正數因數
1
2
,
3
4
,
5
6
,
…
,
119
120
\frac{1}{2},\frac{3}{4},\frac{5}{6},\ldots,\frac{119}{120}
2
1
,
4
3
,
6
5
,
…
,
120
119
，並依兩項規則改變符號：分母為
4
4
4
的倍數時，在該因數前加一個負號；分母為
6
6
6
的倍數時，再加一個負號。同一因數若同時符合兩項規則，兩個負號都要計入。設改變符號後的所有因數之乘積為
B
B
B
，則其中負值因數共有幾個，且
B
B
B
的正負為何？
分科測驗（數學甲）
積分應用（面積與體積）・微分應用（極值與圖形）
開始練習 →
社區木工班要在木板上裁出一片裝飾板。在木板上建立坐標系（長度單位為公分），裝飾板的邊界由三次曲線
C
:
y
=
x
3
−
3
x
2
−
9
x
C: y=x^3-3x^2-9x
C
:
y
=
x
3
−
3
x
2
−
9
x
與一條水平直線
L
L
L
圍成，其中
L
L
L
恰好通過
C
C
C
的相對極大點
P
P
P
，並與
C
C
C
另外交於點
Q
Q
Q
（如圖）。求此裝飾板的面積（單位：平方公分）。
大學學科能力測驗（數學）
三角比與正餘弦定理
開始練習 →
嘉義布袋港的兩座岸上觀測站
A
A
A
、
B
B
B
位於同一條東西向堤岸，
A
A
A
在
B
B
B
的正西方，且
A
B
=
1.2
AB=1.2
A
B
=
1.2
公里。一艘漁船位於堤岸北側的
C
C
C
點。從
A
A
A
觀測，
C
C
C
的方位為北偏東
35
∘
35^\circ
3
5
∘
；從
B
B
B
觀測，
C
C
C
的方位為北偏西
50
∘
50^\circ
5
0
∘
。若
1
1
1
平方公里等於
100
100
100
公頃，則三角形
A
B
C
ABC
A
B
C
所圍海域的面積為多少公頃？
國中教育會考
巧設未知數與一次方程應用
開始練習 →
甲瓶與乙瓶的容量分別為
x
x
x
公升與
y
y
y
公升，兩瓶原先各裝有相同但未知的水量。將甲瓶現有水量的一半倒入乙瓶後，乙瓶尚可再裝
3
3
3
公升；另將兩瓶恢復成原先水量，再把乙瓶的水倒入甲瓶直到甲瓶裝滿，此時乙瓶剩下
3
3
3
公升。下列何者為
x
x
x
與
y
y
y
的關係？
大學學科能力測驗（數學）
三角函數建模
開始練習 →
台中逢甲商圈在某時段的人流量可用週期模型估計。設
t
t
t
為觀測開始後的小時數，入口
X
X
X
每小時人流量為
N
X
(
t
)
=
300
+
120
sin
(
π
6
(
t
−
1
)
)
N_X(t)=300+120\sin\left(\frac{\pi}{6}(t-1)\right)
N
X
(
t
)
=
300
+
120
sin
(
6
π
(
t
−
1
)
)
。人潮由入口
X
X
X
移動到入口
Y
Y
Y
的波峰約延遲
2
2
2
小時；入口
Y
Y
Y
的平均人流量比入口
X
X
X
多
40
40
40
人次，而相對平均值的變動幅度比入口
X
X
X
少
25
%
25\%
25%
。依此模型，
N
Y
(
6
)
N_Y(6)
N
Y
(
6
)
約為多少人次？