MathMagic
Contest
AMC/AIME
▾
所有競賽
AMC 8
AMC 10
AMC 12
AIME
知識點
課程
練習題
訂閱方案
練習題庫
所有題目皆為原創擬真題，附繁中完整詳解。未登入可試做 Demo 題；登入後每日可免費練習 5 題。
全部
台灣升學
國際競賽
更多篩選
已選 2 項
▾
年級
全部
國中
高中
綜合
競賽
全部國際競賽
AMC 8
AMC 10
AMC 12
AIME
CEMC 滑鐵盧數學競賽
難度
全部
易
中
難
知識點
所有知識點（90）
整數四則與運算順序
位值、概數與估算
單位換算與時間計算
分數與小數運算
數論基礎（整除、質因數、餘數）
質因數分解與標準分解式
最大公因數與最小公倍數
餘數循環與週期規律
進位制與位數表示
數字與位數問題
整數解與不定方程
模運算與同餘
中國剩餘定理
因數個數與因數和
階乘的質因數次數
代數技巧（方程、不等式、數列）
巧設未知數與一次方程應用
等差數列與規律延伸
對稱式與代數恆等式
因式分解技巧（SFFT）
速率與工作問題
一次函數與圖形
指數與根式
二次函數與拋物線
多項式與因式餘式定理
不等式與絕對值
比例、速率與百分比
對數
複數
等比數列與無窮級數
函數概念與圖形變換
高斯取整函數
望遠鏡級數與裂項
遞迴數列
指數函數與指數方程
對數函數與對數方程
多項式函數與圖形
數列與級數
矩陣與線性變換
複數與多項式方程
幾何：角度與面積
角度追蹤
面積切割與補形
相似形與比例線段
幾何推理與證明
畢氏定理與特殊直角三角形
圓的性質
多邊形與正多邊形
立體幾何
坐標幾何
三角比與正餘弦定理
對稱與幾何變換
圓冪定理
圓錐曲線（截痕概念）
平面上的比例
二次曲線標準式
計數與機率
加法與乘法原理
系統列舉與分類討論
基礎機率
排列組合進階
容斥原理
期望值
幾何機率
遞迴與路徑計數
鴿籠原理與最壞情況
奇偶性與不變量
隔板法與重複組合
條件機率與貝氏
條件機率與貝氏定理
離散隨機變數
二項分布
幾何分布
邏輯推理與規律
統計圖表與資料判讀
平均數與加權平均
二維數據與相關
三角比與正餘弦定理
三角函數與和差角
三角函數建模
平面向量
空間向量
空間中的直線與平面
數列極限與收斂
無窮等比級數
函數極限與連續
導函數與微分法
微分應用（極值與圖形）
黎曼和與定積分
積分應用（面積與體積）
共
8
題
清除全部篩選
AIME
遞迴與路徑計數
開始練習 →
台南中西區有一片棋盤狀小巷，交叉口以座標
(
x
,
y
)
(x,y)
(
x
,
y
)
表示，其中
0
≤
x
≤
8
0\le x\le 8
0
≤
x
≤
8
且
0
≤
y
≤
6
0\le y\le 6
0
≤
y
≤
6
。阿澤要從早餐店
S
=
(
0
,
0
)
S=(0,0)
S
=
(
0
,
0
)
走到補習班
T
=
(
8
,
6
)
T=(8,6)
T
=
(
8
,
6
)
，每一步只能沿一小段路向東或向北，且必須走最短路。因廟會搭棚，交叉口
(
2
,
1
)
(2,1)
(
2
,
1
)
、
(
3
,
3
)
(3,3)
(
3
,
3
)
、
(
5
,
2
)
(5,2)
(
5
,
2
)
、
(
6
,
4
)
(6,4)
(
6
,
4
)
不能經過。合法的最短路線共有幾條？
AIME
圓的性質・坐標幾何
開始練習 →
台南某夜市的平面導覽圖以公尺為單位，入口設為原點
O
O
O
。圓形水池
Γ
\Gamma
Γ
的邊界滿足
x
2
+
y
2
−
8
x
−
12
y
−
92
=
0
x^2+y^2-8x-12y-92=0
x
2
+
y
2
−
8
x
−
12
y
−
92
=
0
。攤位
P
=
(
13
,
22
)
P=(13,22)
P
=
(
13
,
22
)
往水池拉出兩條直線棚架，分別與
Γ
\Gamma
Γ
相切於
A
A
A
、
B
B
B
。直線
A
B
AB
A
B
分別與
x
x
x
軸、
y
y
y
軸交於
E
E
E
、
F
F
F
。求三角形
O
E
F
OEF
O
E
F
面積的兩倍。
AIME
三角比與正餘弦定理・圓的性質
開始練習 →
台南夜市攤位示意圖中，從路口
A
A
A
到兩攤
B
,
C
B,C
B
,
C
的直線距離分別為
12
12
12
公尺與
6
6
6
公尺，且
∠
B
A
C
=
120
∘
\angle BAC=120^\circ
∠
B
A
C
=
12
0
∘
。攤車連線
B
C
BC
B
C
上有兩個掛燈點
D
,
E
D,E
D
,
E
，其中
∠
B
A
D
=
30
∘
\angle BAD=30^\circ
∠
B
A
D
=
3
0
∘
，且
A
E
AE
A
E
垂直於
A
B
AB
A
B
。設通過
A
,
D
,
E
A,D,E
A
,
D
,
E
的圓半徑為
R
R
R
。若
R
2
=
m
n
R^2=\frac{m}{n}
R
2
=
n
m
為最簡分數，求
m
+
n
m+n
m
+
n
。
AIME
中國剩餘定理・模運算與同餘
開始練習 →
台南轉運站旁的飲料店把第
j
j
j
張收據的檢查值設為
2
j
+
1
2j+1
2
j
+
1
。某天從
j
=
0
j=0
j
=
0
到
j
=
998
j=998
j
=
998
共
999
999
999
張收據，結帳機的日終碼
C
C
C
定義為下列整數除以
1000
1000
1000
的餘數：
∑
j
=
0
998
(
2
j
+
1
)
2026
\sum_{j=0}^{998}(2j+1)^{2026}
∑
j
=
0
998
(
2
j
+
1
)
2026
。求
C
C
C
。
AIME
複數・多項式與因式餘式定理
開始練習 →
台南花園夜市的燈飾設計圖畫在複數平面上。第
k
k
k
盞燈的位置為
L
k
=
3
+
2
i
+
(
1
−
i
)
ζ
k
L_k=3+2i+(1-i)\zeta^k
L
k
=
3
+
2
i
+
(
1
−
i
)
ζ
k
，其中
k
=
0
,
1
,
…
,
8
k=0,1,\ldots,8
k
=
0
,
1
,
…
,
8
，且
ζ
=
cos
2
π
9
+
i
sin
2
π
9
\zeta=\cos\frac{2\pi}{9}+i\sin\frac{2\pi}{9}
ζ
=
cos
9
2
π
+
i
sin
9
2
π
。攤位
P
P
P
的位置是
6
+
i
6+i
6
+
i
。設
N
=
∏
k
=
1
8
∣
P
−
L
k
∣
2
N=\prod_{k=1}^{8}|P-L_k|^2
N
=
∏
k
=
1
8
∣
P
−
L
k
∣
2
。求
N
N
N
除以
1000
1000
1000
的餘數。
AIME
等比數列與無窮級數・幾何：角度與面積
開始練習 →
高雄駁二的一個週末市集要拉三角形遮陽棚，三個固定柱為
A
A
A
、
B
B
B
、
C
C
C
。設計圖上三邊長（單位：公尺）分別標成
A
B
=
∑
n
=
1
∞
3
n
+
1
2
n
AB=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3n+1}{2^n}
A
B
=
∑
n
=
1
∞
2
n
3
n
+
1
、
A
C
=
∑
n
=
0
∞
(
3
n
+
13
)
(
−
1
2
)
n
AC=\sum_{n=0}^{\infty}(3n+13)\left(-\frac{1}{2}\right)^n
A
C
=
∑
n
=
0
∞
(
3
n
+
13
)
(
−
2
1
)
n
、
B
C
=
∑
n
=
1
∞
6
n
+
1
2
n
BC=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{6n+1}{2^n}
B
C
=
∑
n
=
1
∞
2
n
6
n
+
1
。若
K
K
K
為遮陽棚的面積，求
K
2
K^2
K
2
。
AIME
高斯取整函數・模運算與同餘
開始練習 →
淡水夜市有一台集點機，對每個正整數
n
n
n
定義驗證碼
C
(
n
)
C(n)
C
(
n
)
為
C
(
n
)
=
∑
k
=
0
46
⌊
3
n
+
19
k
−
5
47
⌋
+
∑
k
=
0
42
⌊
2
n
+
17
k
+
8
43
⌋
C(n)=\sum_{k=0}^{46}\left\lfloor\frac{3n+19k-5}{47}\right\rfloor+\sum_{k=0}^{42}\left\lfloor\frac{2n+17k+8}{43}\right\rfloor
C
(
n
)
=
∑
k
=
0
46
⌊
47
3
n
+
19
k
−
5
⌋
+
∑
k
=
0
42
⌊
43
2
n
+
17
k
+
8
⌋
。 若
1
≤
n
≤
900
1\le n\le 900
1
≤
n
≤
900
，且
n
+
30
n+30
n
+
30
整除
C
(
n
)
C(n)
C
(
n
)
，求所有符合條件的
n
n
n
之和。
AIME
三角比與正餘弦定理・對稱式與代數恆等式
開始練習 →
台南安平碼頭旁的三支路燈標成
A
,
B
,
C
A,B,C
A
,
B
,
C
，形成三角形
A
B
C
ABC
A
B
C
。已知
∠
B
A
C
\angle BAC
∠
B
A
C
為鈍角，且
sin
∠
B
A
C
=
3
2
\sin\angle BAC=\frac{\sqrt3}{2}
sin
∠
B
A
C
=
2
3
。從
A
A
A
向
B
C
BC
B
C
作內角平分線交
B
C
BC
B
C
於
D
D
D
，令
M
M
M
為
B
C
BC
B
C
的中點。若
A
D
=
24
AD=24
A
D
=
24
且
D
M
=
6
7
DM=6\sqrt7
D
M
=
6
7
，三角形
A
B
C
ABC
A
B
C
的面積可寫成
K
3
K\sqrt3
K
3
，求整數
K
K
K
。