MathMagic
Contest
目前：台灣升學
國際競賽
知識點
練習題
訂閱方案
目前：台灣升學
國際競賽
練習題庫
所有題目皆為原創擬真題，附繁中完整詳解。標有「免登入試做」的題不用登入就能做；登入後每日可免費練習 5 題。
更多篩選
已選 1 項
▾
年級
全部
高中
小學
國中
競賽
全部台灣升學
分科測驗（數學甲）
大學學科能力測驗（數學）
國小數學
國中教育會考
難度
全部
易
中
難
知識點
所有知識點（91）
整數四則與運算順序
位值、概數與估算
單位換算與時間計算
分數與小數運算
數論基礎（整除、質因數、餘數）
質因數分解與標準分解式
最大公因數與最小公倍數
餘數循環與週期規律
進位制與位數表示
數字與位數問題
整數解與不定方程
模運算與同餘
中國剩餘定理
因數個數與因數和
階乘的質因數次數
代數技巧（方程、不等式、數列）
巧設未知數與一次方程應用
等差數列與規律延伸
對稱式與代數恆等式
因式分解技巧（SFFT）
速率與工作問題
一次函數與圖形
指數與根式
二次函數與拋物線
多項式與因式餘式定理
不等式與絕對值
比例、速率與百分比
對數
複數
等比數列與無窮級數
函數概念與圖形變換
高斯取整函數
望遠鏡級數與裂項
遞迴數列
指數函數與指數方程
對數函數與對數方程
多項式函數與圖形
數列與級數
矩陣與線性變換
複數與多項式方程
幾何：角度與面積
角度追蹤
面積切割與補形
相似形與比例線段
畢氏定理與特殊直角三角形
幾何推理與證明
圓的性質
多邊形與正多邊形
立體幾何
坐標幾何
三角比與正餘弦定理
對稱與幾何變換
圓冪定理
圓錐曲線（截痕概念）
平面上的比例
二次曲線標準式
計數與機率
加法與乘法原理
系統列舉與分類討論
基礎機率
排列組合進階
容斥原理
期望值
幾何機率
遞迴與路徑計數
鴿籠原理與最壞情況
奇偶性與不變量
隔板法與重複組合
條件機率與貝氏
條件機率與貝氏定理
離散隨機變數
二項分布
幾何分布
邏輯推理與規律
統計圖表與資料判讀
平均數與加權平均
二維數據與相關
三角比與正餘弦定理
三角函數與和差角
三角函數建模
平面向量
空間向量
空間中的直線與平面
數列極限與收斂
無窮等比級數
函數極限與連續
導函數與微分法
微分應用（極值與圖形）
黎曼和與定積分
積分應用（面積與體積）
數線與絕對值
共
1357
題
・第 44／46 頁
清除全部篩選
大學學科能力測驗（數學）
排列組合進階・對稱與幾何變換
開始練習 →
臺南夜市某攤要在可旋轉的圓形燈架上掛
9
9
9
盞小燈，位置等距。紅燈
4
4
4
盞、藍燈
3
3
3
盞、綠燈
2
2
2
盞，同色燈完全相同。若整個燈架旋轉後看起來相同視為同一種配置，但不把翻面視為相同，問共有幾種配置？
大學學科能力測驗（數學）
‹
1
…
43
44
45
46
›
平面向量・平面上的比例
開始練習 →
如圖，校園內有一塊三角形草地
A
B
C
ABC
A
B
C
，內部的灑水器位於點
P
P
P
，且
A
P
→
=
1
6
A
B
→
+
1
2
A
C
→
\overrightarrow{AP}=\frac16\overrightarrow{AB}+\frac12\overrightarrow{AC}
A
P
=
6
1
A
B
+
2
1
A
C
。射線
A
P
AP
A
P
與邊
B
C
BC
B
C
交於點
D
D
D
，設
A
D
→
=
k
A
P
→
\overrightarrow{AD}=k\overrightarrow{AP}
A
D
=
k
A
P
。以
[
X
Y
Z
]
[XYZ]
[
X
Y
Z
]
表示
△
X
Y
Z
\triangle XYZ
△
X
Y
Z
的面積，則數對
(
k
,
[
P
B
D
]
[
A
B
C
]
)
\left(k,\frac{[PBD]}{[ABC]}\right)
(
k
,
[
A
B
C
]
[
P
B
D
]
)
為何？
大學學科能力測驗（數學）
三角比與正餘弦定理・函數概念與圖形變換
開始練習 →
台北捷運月台導引燈的亮度相位用
x
x
x
表示，一次循環內
0
≤
x
<
2
π
0\le x<2\pi
0
≤
x
<
2
π
。某燈條亮度模型為
I
(
x
)
=
1
+
2
sin
(
x
+
π
6
)
I(x)=1+2\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)
I
(
x
)
=
1
+
2
sin
(
x
+
6
π
)
。當亮度等於
1
+
3
1+\sqrt{3}
1
+
3
時，
x
x
x
的所有可能值為何？
大學學科能力測驗（數學）
圓的性質・畢氏定理與特殊直角三角形
開始練習 →
新竹一座圓形親水廣場的半徑為
6
6
6
公尺，圓心為
O
O
O
。工程師在圓周上選兩點
A
,
B
A,B
A
,
B
，使
∠
A
O
B
=
120
∘
\angle AOB=120^\circ
∠
A
O
B
=
12
0
∘
，並在
A
,
B
A,B
A
,
B
兩點各作切線，兩切線交於
P
P
P
。若要在
P
A
PA
P
A
與
P
B
PB
P
B
兩段切線上裝燈條，總長是多少公尺？
大學學科能力測驗（數學）
餘數循環與週期規律・最大公因數與最小公倍數
開始練習 →
台中車站前的臨時市集有三個補貨點。米食攤每
18
18
18
天補一次、茶飲攤每
24
24
24
天補一次、文創攤每
30
30
30
天補一次。某次三攤在星期四同一天補貨；下次三攤再次同一天補貨會是星期幾？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・單位換算與時間計算
開始練習 →
校園園遊會規劃一塊四邊形攤位區，平面圖的四個角依序為
A
(
1
,
1
)
A(1,1)
A
(
1
,
1
)
、
B
(
6
,
2
)
B(6,2)
B
(
6
,
2
)
、
C
(
5
,
5
)
C(5,5)
C
(
5
,
5
)
、
D
(
2
,
4
)
D(2,4)
D
(
2
,
4
)
，每
1
1
1
個坐標單位代表
2
2
2
公尺。若每平方公尺最多安排
1
1
1
人，依面積估算最多可同時安排多少人？
大學學科能力測驗（數學）
排列組合進階・容斥原理
開始練習 →
高雄某高中園遊會有
8
8
8
個不同攤位排成一直線，其中米粉攤與湯圓攤必須相鄰；兩個飲料攤因動線考量不可相鄰。其餘
4
4
4
個攤位沒有額外限制。問共有幾種排法？
分科測驗（數學甲）
等比數列與無窮級數・對數函數與對數方程
開始練習 →
小婕從 2027 年起理財，每年年底存入
2
2
2
萬元到一個年利率
5
%
5\%
5%
、每年複利一次的帳戶（如圖，每個向下的箭頭代表該年年底存入的
2
2
2
萬元）。設第
n
n
n
年年底（該年這筆錢剛存入後）帳戶內的本利和為
S
n
S_n
S
n
萬元。已知
log
2
=
0.3010
\log 2 = 0.3010
lo
g
2
=
0.3010
、
log
3
=
0.4771
\log 3 = 0.4771
lo
g
3
=
0.4771
、
log
7
=
0.8451
\log 7 = 0.8451
lo
g
7
=
0.8451
，則使
S
n
>
40
S_n > 40
S
n
>
40
的最小正整數
n
n
n
為何？
大學學科能力測驗（數學）
三角函數與和差角・函數概念與圖形變換
開始練習 →
某校園餐車用函數
f
f
f
將排隊人數換算成等候指數，且
f
f
f
為一對一函數。已知
f
(
2
)
=
5
f(2)=5
f
(
2
)
=
5
、
f
(
6
)
=
13
f(6)=13
f
(
6
)
=
13
。新版系統把輸入先扣掉
3
3
3
人，再把指數放大並校正，定義
g
(
x
)
=
2
f
(
x
−
3
)
+
1
g(x)=2f(x-3)+1
g
(
x
)
=
2
f
(
x
−
3
)
+
1
。若新版等候指數為
27
27
27
，則對應的排隊人數
g
−
1
(
27
)
g^{-1}(27)
g
−
1
(
27
)
為多少？
大學學科能力測驗（數學）
隔板法與重複組合・容斥原理
開始練習 →
某高中園遊會準備
15
15
15
枚完全相同的抽獎貼紙，分給數學攤、英文攤、自然攤、社團攤、服務台共
5
5
5
個攤位。每個攤位至少
1
1
1
枚，其中自然攤至少
3
3
3
枚，服務台至多
4
4
4
枚。問共有幾種分法？
分科測驗（數學甲）
複數與多項式方程・微分應用（極值與圖形）
開始練習 →
某科技大學機械系的小昀用電腦繪圖設計一段凸輪的側面輪廓，其形狀為三次多項式函數
y
=
f
(
x
)
=
x
3
+
a
x
2
+
b
x
+
c
y=f(x)=x^3+ax^2+bx+c
y
=
f
(
x
)
=
x
3
+
a
x
2
+
b
x
+
c
（其中
a
a
a
、
b
b
b
、
c
c
c
均為實數）的圖形，如圖。已知方程式
f
(
x
)
=
0
f(x)=0
f
(
x
)
=
0
有一根為
5
+
3
i
5+3i
5
+
3
i
（
i
i
i
為虛數單位），且圖形的反曲點
I
I
I
的
x
x
x
坐標為
3
3
3
。試問
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
的極大值為何？
大學學科能力測驗（數學）
三角比與正餘弦定理・坐標幾何
開始練習 →
嘉義沿海有兩座觀測站
A
,
B
A,B
A
,
B
，
B
B
B
在
A
A
A
的正東方，且
A
B
=
200
3
AB=200\sqrt{3}
A
B
=
200
3
公尺。某風箏的位置為
T
T
T
。觀測員在
A
A
A
量到
T
T
T
的方位是北偏東
45
∘
45^\circ
4
5
∘
，在
B
B
B
量到
T
T
T
的方位是北偏西
15
∘
15^\circ
1
5
∘
。若把海岸線
A
B
AB
A
B
視為一直線，
T
T
T
到海岸線的垂直距離是多少公尺？
大學學科能力測驗（數學）
三角比與正餘弦定理
開始練習 →
台東海堤旁有兩個測量點
A
A
A
、
B
B
B
，沿直線海堤相距
300
300
300
公尺。救生浮臺
P
P
P
在海堤同一側，從
A
A
A
看
P
P
P
與方向
A
B
AB
A
B
的夾角為
75
∘
75^\circ
7
5
∘
，從
B
B
B
看
P
P
P
與方向
B
A
BA
B
A
的夾角為
45
∘
45^\circ
4
5
∘
。若繩索沿直線從
A
A
A
拉到
P
P
P
，長度為多少？
大學學科能力測驗（數學）
二次函數與拋物線・系統列舉與分類討論
開始練習 →
台中某夜市手搖飲攤原本每杯售價
50
50
50
元時，預估一天可賣
180
180
180
杯；每杯成本
28
28
28
元。老闆規定售價只能調成
5
5
5
元的整數倍，每調漲
5
5
5
元，預估銷量會減少
10
10
10
杯。若令調漲次數為非負整數
k
k
k
，且只考慮仍有銷量的情況，為使一天利潤最大，售價應訂為多少元？
大學學科能力測驗（數學）
立體幾何・相似形與比例線段
開始練習 →
彰化燈會做一個截頭圓錐燈罩。它由一個底半徑
9
9
9
公分、高
12
12
12
公分的正圓錐，從頂端用平行底面的平面切去高
4
4
4
公分的小圓錐而成。若只在剩下燈罩的外側曲面與上方小圓口貼透明膜，不貼下方大圓口，透明膜面積為多少？
分科測驗（數學甲）
積分應用（面積與體積）
開始練習 →
南投一家木工坊用車床製作實心木質檯燈底座。在座標平面上（長度單位：公分），第一象限中由拋物線
y
=
x
2
y=x^2
y
=
x
2
、直線
x
+
y
=
6
x+y=6
x
+
y
=
6
與
y
y
y
軸所圍成的區域
R
R
R
（如圖），繞
y
y
y
軸旋轉一圈。所得旋轉體的體積為多少立方公分？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・三角比與正餘弦定理
開始練習 →
台中一處斜交廣場用兩個基底向量
u
⃗
,
v
⃗
\vec u,\vec v
u
,
v
表示地面格線，兩方向夾角為
60
∘
60^\circ
6
0
∘
，且
∣
u
⃗
∣
=
∣
v
⃗
∣
=
10
|\vec u|=|\vec v|=10
∣
u
∣
=
∣
v
∣
=
10
公尺。以
A
A
A
為原點，攤位
B
,
C
B,C
B
,
C
的位置向量分別為
B
=
6
u
⃗
B=6\vec u
B
=
6
u
、
C
=
2
u
⃗
+
6
v
⃗
C=2\vec u+6\vec v
C
=
2
u
+
6
v
。工作人員在
A
B
AB
A
B
上取
P
P
P
使
A
P
:
P
B
=
2
:
1
AP:PB=2:1
A
P
:
P
B
=
2
:
1
，在
A
C
AC
A
C
上取
Q
Q
Q
使
A
Q
:
Q
C
=
1
:
2
AQ:QC=1:2
A
Q
:
QC
=
1
:
2
。若臨時活動區為四邊形
B
P
Q
C
BPQC
B
P
QC
，其實際面積為多少平方公尺？
大學學科能力測驗（數學）
三角比與正餘弦定理・巧設未知數與一次方程應用
開始練習 →
台南鹽田木棧道旁有一座觀景塔。木棧道上兩點
A
,
B
A,B
A
,
B
與塔腳
F
F
F
在同一直線上，且順序為
A
,
B
,
F
A,B,F
A
,
B
,
F
，
A
B
=
40
AB=40
A
B
=
40
公尺。從
A
A
A
看塔頂
T
T
T
的仰角為
30
∘
30^\circ
3
0
∘
，從
B
B
B
看塔頂
T
T
T
的仰角為
45
∘
45^\circ
4
5
∘
，忽略觀測者眼高，塔高
T
F
TF
T
F
為多少公尺？
大學學科能力測驗（數學）
空間向量
開始練習 →
高雄輕軌站旁的公共藝術有一條斜拉索，兩端可視為
P
(
0
,
0
,
2
)
P(0,0,2)
P
(
0
,
0
,
2
)
、
Q
(
6
,
8
,
5
)
Q(6,8,5)
Q
(
6
,
8
,
5
)
，單位公尺。夜間投影燈的光束方向可用向量
s
⃗
=
(
−
3
,
4
,
12
)
\vec{s}=(-3,4,12)
s
=
(
−
3
,
4
,
12
)
表示。求向量
s
⃗
\vec{s}
s
在向量
P
Q
→
\overrightarrow{PQ}
P
Q
上的正射影長度。
分科測驗（數學甲）
平面向量・三角比與正餘弦定理
開始練習 →
某社區中庭有一塊三角形花圃
A
B
C
ABC
A
B
C
，如圖。已知
A
B
‾
=
6
\overline{AB}=6
A
B
=
6
公尺、
A
C
‾
=
4
\overline{AC}=4
A
C
=
4
公尺，且
∠
B
A
C
=
120
∘
\angle BAC=120^{\circ}
∠
B
A
C
=
12
0
∘
。園藝志工在
B
C
‾
\overline{BC}
B
C
上取一點
D
D
D
，使
B
D
‾
:
D
C
‾
=
2
:
1
\overline{BD}:\overline{DC}=2:1
B
D
:
D
C
=
2
:
1
，並取
A
C
‾
\overline{AC}
A
C
的中點
E
E
E
；接著沿
A
D
‾
\overline{AD}
A
D
與
B
E
‾
\overline{BE}
B
E
各鋪一條直線碎石步道，兩條步道交於
P
P
P
點。若要在
P
P
P
處裝設一座灑水器，則
A
P
‾
\overline{AP}
A
P
的長度為多少公尺？
大學學科能力測驗（數學）
多項式與因式餘式定理・因式分解技巧（SFFT）
開始練習 →
台中某共享腳踏車站用多項式
P
(
x
)
=
x
4
−
2
x
3
−
4
x
2
+
10
x
−
5
P(x)=x^4-2x^3-4x^2+10x-5
P
(
x
)
=
x
4
−
2
x
3
−
4
x
2
+
10
x
−
5
估計尖峰時段車位差，
P
(
x
)
=
0
P(x)=0
P
(
x
)
=
0
代表供需平衡。站長只看整數測試點時發現
P
(
1
)
=
0
P(1)=0
P
(
1
)
=
0
，下列關於平衡點與正負的敘述何者正確？
分科測驗（數學甲）
矩陣與線性變換・對稱與幾何變換
開始練習 →
高雄駁二特區的光雕表演中，工程師以矩陣控制雷射光點在牆面座標平面上的位置。設
M
M
M
為「對直線
y
=
3
x
y=\sqrt{3}x
y
=
3
x
鏡射」的變換矩陣，
R
R
R
為「繞原點逆時針旋轉
30
∘
30^\circ
3
0
∘
」的變換矩陣，光點的起始位置為
P
(
6
,
0
)
P(6,0)
P
(
6
,
0
)
（如圖）。程式甲讓光點先做
M
M
M
再做
R
R
R
，落點記為
P
1
P_1
P
1
；程式乙讓光點先做
R
R
R
再做
M
M
M
，落點記為
P
2
P_2
P
2
。則線段
P
1
P
2
‾
\overline{P_1P_2}
P
1
P
2
的長度為何？
大學學科能力測驗（數學）
二次函數與拋物線・坐標幾何
開始練習 →
台南老街入口有一座拱門，側面內緣可用座標模型
y
=
−
x
2
+
6
x
−
5
y=-x^2+6x-5
y
=
−
x
2
+
6
x
−
5
表示，單位為公尺，地面為
y
=
0
y=0
y
=
0
。策展人要在高度
k
k
k
公尺處水平掛一條燈帶，燈帶與拱門內緣的兩個固定點水平距離剛好為
2
2
2
公尺。
k
k
k
應為多少？
大學學科能力測驗（數學）
圓的性質・角度追蹤
開始練習 →
台南某圓形市集在邊緣設了四個燈點
A
A
A
、
B
B
B
、
C
C
C
、
D
D
D
，依序在同一圓周上。工作人員測得
∠
A
B
C
=
102
∘
\angle ABC=102^\circ
∠
A
B
C
=
10
2
∘
，且
∠
C
A
D
=
33
∘
\angle CAD=33^\circ
∠
C
A
D
=
3
3
∘
。若要調整從
C
C
C
指向
D
D
D
與
A
A
A
的燈束夾角，則
∠
D
C
A
\angle DCA
∠
D
C
A
應為多少？
大學學科能力測驗（數學）
三角比與正餘弦定理
開始練習 →
海巡人員在筆直海堤上取兩點
A
A
A
、
B
B
B
，兩點相距
100
100
100
公尺。從
A
A
A
觀測海上浮標
T
T
T
，視線與
A
B
AB
A
B
的夾角為
45
∘
45^\circ
4
5
∘
；從
B
B
B
觀測
T
T
T
，視線與
B
A
BA
B
A
的夾角為
60
∘
60^\circ
6
0
∘
。若三點在同一水平面上，則
B
B
B
到浮標
T
T
T
的距離為多少？
大學學科能力測驗（數學）
圓的性質・畢氏定理與特殊直角三角形
開始練習 →
社區圓形花圃半徑為
13
13
13
公尺，兩條平行步道在花圃邊界上分別留下弦
A
B
AB
A
B
與弦
C
D
CD
C
D
。已知
A
B
=
24
AB=24
A
B
=
24
公尺、
C
D
=
10
CD=10
C
D
=
10
公尺，且兩條步道位在圓心
O
O
O
的相反兩側，則兩條步道之間的距離為多少？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・立體幾何
開始練習 →
臺南一所學校在屋頂裝三角形太陽能板，三個固定點在空間座標為
A
(
1
,
2
,
3
)
A(1,2,3)
A
(
1
,
2
,
3
)
、
B
(
5
,
2
,
4
)
B(5,2,4)
B
(
5
,
2
,
4
)
、
C
(
2
,
6
,
5
)
C(2,6,5)
C
(
2
,
6
,
5
)
，單位公尺。維修吊點
D
(
3
,
3
,
8
)
D(3,3,8)
D
(
3
,
3
,
8
)
要垂直降到太陽能板所在平面。若忽略吊鉤大小，吊點到該平面的最短距離為何？
大學學科能力測驗（數學）
圓的性質・角度追蹤
開始練習 →
嘉義某圓形親水廣場的圓心為
O
O
O
，半徑為
6
6
6
公尺。四座地燈
A
A
A
、
B
B
B
、
C
C
C
、
D
D
D
依順時針順序設在圓周上。維修單位沿弦
A
D
AD
A
D
設置直線纜線槽，
M
M
M
為
A
D
AD
A
D
的中點，並預計從
O
O
O
鋪設纜線至
M
M
M
。現場測得
∠
O
A
B
=
30
∘
\angle OAB=30^\circ
∠
O
A
B
=
3
0
∘
、
∠
B
C
D
=
105
∘
\angle BCD=105^\circ
∠
B
C
D
=
10
5
∘
，則所需纜線長
O
M
OM
O
M
為多少公尺？
大學學科能力測驗（數學）
立體幾何・面積切割與補形
開始練習 →
新竹一間木工社做一個長方體展示座，尺寸為長
8
8
8
公分、寬
7
7
7
公分、高
6
6
6
公分。從同一個角
O
O
O
出發，沿長、寬、高三條棱分別量到
A
A
A
、
B
B
B
、
C
C
C
，其中
O
A
=
4
OA=4
O
A
=
4
公分、
O
B
=
3
OB=3
O
B
=
3
公分、
O
C
=
6
OC=6
O
C
=
6
公分，再用通過
A
,
B
,
C
A,B,C
A
,
B
,
C
的平面把角
O
O
O
切掉。切割後剩下立體的表面積為多少平方公分？
大學學科能力測驗（數學）
幾何：角度與面積・三角比與正餘弦定理
開始練習 →
澎湖一段獨木舟練習航線有三個浮標
A
,
B
,
C
A,B,C
A
,
B
,
C
。測得
A
B
=
7
AB=7
A
B
=
7
公里、
A
C
=
5
AC=5
A
C
=
5
公里、
B
C
=
8
BC=8
B
C
=
8
公里。教練把三角形
A
B
C
ABC
A
B
C
內的海域規劃為慢速區，慢速區面積是多少平方公里？