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全部
易
中
難
知識點
所有知識點（91）
整數四則與運算順序
位值、概數與估算
單位換算與時間計算
分數與小數運算
數論基礎（整除、質因數、餘數）
質因數分解與標準分解式
最大公因數與最小公倍數
餘數循環與週期規律
進位制與位數表示
數字與位數問題
整數解與不定方程
模運算與同餘
中國剩餘定理
因數個數與因數和
階乘的質因數次數
代數技巧（方程、不等式、數列）
巧設未知數與一次方程應用
等差數列與規律延伸
對稱式與代數恆等式
因式分解技巧（SFFT）
速率與工作問題
一次函數與圖形
指數與根式
二次函數與拋物線
多項式與因式餘式定理
不等式與絕對值
比例、速率與百分比
對數
複數
等比數列與無窮級數
函數概念與圖形變換
高斯取整函數
望遠鏡級數與裂項
遞迴數列
指數函數與指數方程
對數函數與對數方程
多項式函數與圖形
數列與級數
矩陣與線性變換
複數與多項式方程
幾何：角度與面積
角度追蹤
面積切割與補形
相似形與比例線段
畢氏定理與特殊直角三角形
幾何推理與證明
圓的性質
多邊形與正多邊形
立體幾何
坐標幾何
三角比與正餘弦定理
對稱與幾何變換
圓冪定理
圓錐曲線（截痕概念）
平面上的比例
二次曲線標準式
計數與機率
加法與乘法原理
系統列舉與分類討論
基礎機率
排列組合進階
容斥原理
期望值
幾何機率
遞迴與路徑計數
鴿籠原理與最壞情況
奇偶性與不變量
隔板法與重複組合
條件機率與貝氏
條件機率與貝氏定理
離散隨機變數
二項分布
幾何分布
邏輯推理與規律
統計圖表與資料判讀
平均數與加權平均
二維數據與相關
三角比與正餘弦定理
三角函數與和差角
三角函數建模
平面向量
空間向量
空間中的直線與平面
數列極限與收斂
無窮等比級數
函數極限與連續
導函數與微分法
微分應用（極值與圖形）
黎曼和與定積分
積分應用（面積與體積）
數線與絕對值
共
1307
題
・第 43／44 頁
清除全部篩選
大學學科能力測驗（數學）
二次函數與拋物線・系統列舉與分類討論
開始練習 →
台中某夜市手搖飲攤原本每杯售價
50
50
50
元時，預估一天可賣
180
180
180
杯；每杯成本
28
28
28
元。老闆規定售價只能調成
5
5
5
元的整數倍，每調漲
5
5
5
元，預估銷量會減少
10
10
10
杯。若令調漲次數為非負整數
k
k
k
，且只考慮仍有銷量的情況，為使一天利潤最大，售價應訂為多少元？
‹
1
…
42
43
44
›
大學學科能力測驗（數學）
立體幾何・相似形與比例線段
開始練習 →
彰化燈會做一個截頭圓錐燈罩。它由一個底半徑
9
9
9
公分、高
12
12
12
公分的正圓錐，從頂端用平行底面的平面切去高
4
4
4
公分的小圓錐而成。若只在剩下燈罩的外側曲面與上方小圓口貼透明膜，不貼下方大圓口，透明膜面積為多少？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・三角比與正餘弦定理
開始練習 →
台中一處斜交廣場用兩個基底向量
u
⃗
,
v
⃗
\vec u,\vec v
u
,
v
表示地面格線，兩方向夾角為
60
∘
60^\circ
6
0
∘
，且
∣
u
⃗
∣
=
∣
v
⃗
∣
=
10
|\vec u|=|\vec v|=10
∣
u
∣
=
∣
v
∣
=
10
公尺。以
A
A
A
為原點，攤位
B
,
C
B,C
B
,
C
的位置向量分別為
B
=
6
u
⃗
B=6\vec u
B
=
6
u
、
C
=
2
u
⃗
+
6
v
⃗
C=2\vec u+6\vec v
C
=
2
u
+
6
v
。工作人員在
A
B
AB
A
B
上取
P
P
P
使
A
P
:
P
B
=
2
:
1
AP:PB=2:1
A
P
:
P
B
=
2
:
1
，在
A
C
AC
A
C
上取
Q
Q
Q
使
A
Q
:
Q
C
=
1
:
2
AQ:QC=1:2
A
Q
:
QC
=
1
:
2
。若臨時活動區為四邊形
B
P
Q
C
BPQC
B
P
QC
，其實際面積為多少平方公尺？
大學學科能力測驗（數學）
三角比與正餘弦定理・巧設未知數與一次方程應用
開始練習 →
台南鹽田木棧道旁有一座觀景塔。木棧道上兩點
A
,
B
A,B
A
,
B
與塔腳
F
F
F
在同一直線上，且順序為
A
,
B
,
F
A,B,F
A
,
B
,
F
，
A
B
=
40
AB=40
A
B
=
40
公尺。從
A
A
A
看塔頂
T
T
T
的仰角為
30
∘
30^\circ
3
0
∘
，從
B
B
B
看塔頂
T
T
T
的仰角為
45
∘
45^\circ
4
5
∘
，忽略觀測者眼高，塔高
T
F
TF
T
F
為多少公尺？
大學學科能力測驗（數學）
空間向量
開始練習 →
高雄輕軌站旁的公共藝術有一條斜拉索，兩端可視為
P
(
0
,
0
,
2
)
P(0,0,2)
P
(
0
,
0
,
2
)
、
Q
(
6
,
8
,
5
)
Q(6,8,5)
Q
(
6
,
8
,
5
)
，單位公尺。夜間投影燈的光束方向可用向量
s
⃗
=
(
−
3
,
4
,
12
)
\vec{s}=(-3,4,12)
s
=
(
−
3
,
4
,
12
)
表示。求向量
s
⃗
\vec{s}
s
在向量
P
Q
→
\overrightarrow{PQ}
P
Q
上的正射影長度。
大學學科能力測驗（數學）
多項式與因式餘式定理・因式分解技巧（SFFT）
開始練習 →
台中某共享腳踏車站用多項式
P
(
x
)
=
x
4
−
2
x
3
−
4
x
2
+
10
x
−
5
P(x)=x^4-2x^3-4x^2+10x-5
P
(
x
)
=
x
4
−
2
x
3
−
4
x
2
+
10
x
−
5
估計尖峰時段車位差，
P
(
x
)
=
0
P(x)=0
P
(
x
)
=
0
代表供需平衡。站長只看整數測試點時發現
P
(
1
)
=
0
P(1)=0
P
(
1
)
=
0
，下列關於平衡點與正負的敘述何者正確？
大學學科能力測驗（數學）
二次函數與拋物線・坐標幾何
開始練習 →
台南老街入口有一座拱門，側面內緣可用座標模型
y
=
−
x
2
+
6
x
−
5
y=-x^2+6x-5
y
=
−
x
2
+
6
x
−
5
表示，單位為公尺，地面為
y
=
0
y=0
y
=
0
。策展人要在高度
k
k
k
公尺處水平掛一條燈帶，燈帶與拱門內緣的兩個固定點水平距離剛好為
2
2
2
公尺。
k
k
k
應為多少？
大學學科能力測驗（數學）
圓的性質・角度追蹤
開始練習 →
台南某圓形市集在邊緣設了四個燈點
A
A
A
、
B
B
B
、
C
C
C
、
D
D
D
，依序在同一圓周上。工作人員測得
∠
A
B
C
=
102
∘
\angle ABC=102^\circ
∠
A
B
C
=
10
2
∘
，且
∠
C
A
D
=
33
∘
\angle CAD=33^\circ
∠
C
A
D
=
3
3
∘
。若要調整從
C
C
C
指向
D
D
D
與
A
A
A
的燈束夾角，則
∠
D
C
A
\angle DCA
∠
D
C
A
應為多少？
大學學科能力測驗（數學）
三角比與正餘弦定理
開始練習 →
海巡人員在筆直海堤上取兩點
A
A
A
、
B
B
B
，兩點相距
100
100
100
公尺。從
A
A
A
觀測海上浮標
T
T
T
，視線與
A
B
AB
A
B
的夾角為
45
∘
45^\circ
4
5
∘
；從
B
B
B
觀測
T
T
T
，視線與
B
A
BA
B
A
的夾角為
60
∘
60^\circ
6
0
∘
。若三點在同一水平面上，則
B
B
B
到浮標
T
T
T
的距離為多少？
大學學科能力測驗（數學）
圓的性質・畢氏定理與特殊直角三角形
開始練習 →
社區圓形花圃半徑為
13
13
13
公尺，兩條平行步道在花圃邊界上分別留下弦
A
B
AB
A
B
與弦
C
D
CD
C
D
。已知
A
B
=
24
AB=24
A
B
=
24
公尺、
C
D
=
10
CD=10
C
D
=
10
公尺，且兩條步道位在圓心
O
O
O
的相反兩側，則兩條步道之間的距離為多少？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・立體幾何
開始練習 →
臺南一所學校在屋頂裝三角形太陽能板，三個固定點在空間座標為
A
(
1
,
2
,
3
)
A(1,2,3)
A
(
1
,
2
,
3
)
、
B
(
5
,
2
,
4
)
B(5,2,4)
B
(
5
,
2
,
4
)
、
C
(
2
,
6
,
5
)
C(2,6,5)
C
(
2
,
6
,
5
)
，單位公尺。維修吊點
D
(
3
,
3
,
8
)
D(3,3,8)
D
(
3
,
3
,
8
)
要垂直降到太陽能板所在平面。若忽略吊鉤大小，吊點到該平面的最短距離為何？
大學學科能力測驗（數學）
圓的性質・角度追蹤
開始練習 →
嘉義某圓形親水廣場的圓心為
O
O
O
，半徑為
6
6
6
公尺。四座地燈
A
A
A
、
B
B
B
、
C
C
C
、
D
D
D
依順時針順序設在圓周上。維修單位沿弦
A
D
AD
A
D
設置直線纜線槽，
M
M
M
為
A
D
AD
A
D
的中點，並預計從
O
O
O
鋪設纜線至
M
M
M
。現場測得
∠
O
A
B
=
30
∘
\angle OAB=30^\circ
∠
O
A
B
=
3
0
∘
、
∠
B
C
D
=
105
∘
\angle BCD=105^\circ
∠
B
C
D
=
10
5
∘
，則所需纜線長
O
M
OM
O
M
為多少公尺？
大學學科能力測驗（數學）
立體幾何・面積切割與補形
開始練習 →
新竹一間木工社做一個長方體展示座，尺寸為長
8
8
8
公分、寬
7
7
7
公分、高
6
6
6
公分。從同一個角
O
O
O
出發，沿長、寬、高三條棱分別量到
A
A
A
、
B
B
B
、
C
C
C
，其中
O
A
=
4
OA=4
O
A
=
4
公分、
O
B
=
3
OB=3
O
B
=
3
公分、
O
C
=
6
OC=6
O
C
=
6
公分，再用通過
A
,
B
,
C
A,B,C
A
,
B
,
C
的平面把角
O
O
O
切掉。切割後剩下立體的表面積為多少平方公分？
大學學科能力測驗（數學）
幾何：角度與面積・三角比與正餘弦定理
開始練習 →
澎湖一段獨木舟練習航線有三個浮標
A
,
B
,
C
A,B,C
A
,
B
,
C
。測得
A
B
=
7
AB=7
A
B
=
7
公里、
A
C
=
5
AC=5
A
C
=
5
公里、
B
C
=
8
BC=8
B
C
=
8
公里。教練把三角形
A
B
C
ABC
A
B
C
內的海域規劃為慢速區，慢速區面積是多少平方公里？
大學學科能力測驗（數學）
立體幾何・畢氏定理與特殊直角三角形
開始練習 →
台南一間文創店要在長方體透明展示盒外側貼一條細燈帶。展示盒的長、寬、高分別為
18
18
18
公分、
12
12
12
公分、
8
8
8
公分。燈帶要從底面前左角
P
P
P
沿著展示盒表面貼到頂面後右角
Q
Q
Q
，且不能穿過盒內。燈帶最短需要多長？
大學學科能力測驗（數學）
幾何：角度與面積・三角比與正餘弦定理
開始練習 →
台中某校把三個樹穴
A
A
A
、
B
B
B
、
C
C
C
連成三角形步道，量得
A
B
=
7
AB=7
A
B
=
7
公尺、
A
C
=
13
AC=13
A
C
=
13
公尺、
B
C
=
12
BC=12
B
C
=
12
公尺。若要在三角形
A
B
C
ABC
A
B
C
內鋪透水磚，鋪設面積為多少？
大學學科能力測驗（數學）
三角函數與和差角・函數概念與圖形變換
開始練習 →
高雄駁二藝術特區某互動燈牆進行一段 24 分鐘的測試。燈牆的基礎亮度函數為
f
(
x
)
=
sin
x
+
3
cos
x
f(x)=\sin x+\sqrt{3}\cos x
f
(
x
)
=
sin
x
+
3
cos
x
，其中
x
x
x
以弧度表示。控制器會先將測試開始後第
t
t
t
分鐘轉換成輸入
u
(
t
)
=
π
3
−
π
t
6
u(t)=\frac{\pi}{3}-\frac{\pi t}{6}
u
(
t
)
=
3
π
−
6
π
t
，再顯示亮度
G
(
t
)
=
f
(
u
(
t
)
)
G(t)=f(u(t))
G
(
t
)
=
f
(
u
(
t
))
，其中
0
≤
t
<
24
0\le t<24
0
≤
t
<
24
。下列何者列出
G
(
t
)
G(t)
G
(
t
)
達到最大值的所有時刻？
大學學科能力測驗（數學）
三角比與正餘弦定理・坐標幾何
開始練習 →
台北捷運站外兩條連通道方向可用單位向量
u
⃗
,
v
⃗
\vec u,\vec v
u
,
v
表示，且兩通道夾角為
60
∘
60^\circ
6
0
∘
。從服務台
O
O
O
到出口
M
M
M
的位移為
O
M
→
=
2
u
⃗
+
v
⃗
\overrightarrow{OM}=2\vec u+\vec v
O
M
=
2
u
+
v
，到出口
N
N
N
的位移為
O
N
→
=
u
⃗
+
3
v
⃗
\overrightarrow{ON}=\vec u+3\vec v
O
N
=
u
+
3
v
。則兩出口方向
O
M
→
\overrightarrow{OM}
O
M
與
O
N
→
\overrightarrow{ON}
O
N
的夾角餘弦值為何？
大學學科能力測驗（數學）
平面向量・平面上的比例
開始練習 →
嘉義一處社區農園的種植區為三角形
A
B
C
ABC
A
B
C
，面積為
450
450
450
平方公尺。圍籬上的標記點
D
D
D
、
E
E
E
分別位於邊
A
B
AB
A
B
、
A
C
AC
A
C
上，且
A
D
:
D
B
=
2
:
3
AD:DB=2:3
A
D
:
D
B
=
2
:
3
、
A
E
:
E
C
=
1
:
2
AE:EC=1:2
A
E
:
E
C
=
1
:
2
。自動灑水器的位置
P
P
P
位於線段
D
E
DE
D
E
上，並滿足
2
P
D
⃗
+
P
E
⃗
=
0
⃗
2\vec{PD}+\vec{PE}=\vec{0}
2
P
D
+
P
E
=
0
。若將三角形
B
P
C
BPC
B
P
C
規劃為獨立灑水區，則其面積為多少平方公尺？
大學學科能力測驗（數學）
多項式與因式餘式定理・多項式函數與圖形
開始練習 →
如圖，三次多項式
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
的圖形通過
(
2
,
3
)
(2,3)
(
2
,
3
)
、
(
−
1
,
9
)
(-1,9)
(
−
1
,
9
)
、
(
4
,
19
)
(4,19)
(
4
,
19
)
、
(
6
,
11
)
(6,11)
(
6
,
11
)
。將它設為
f
(
x
)
=
a
(
x
−
2
)
(
x
+
1
)
(
x
−
4
)
+
b
(
x
−
2
)
(
x
−
v
)
+
c
(
x
−
u
)
+
d
f(x)=a(x-2)(x+1)(x-4)+b(x-2)(x-v)+c(x-u)+d
f
(
x
)
=
a
(
x
−
2
)
(
x
+
1
)
(
x
−
4
)
+
b
(
x
−
2
)
(
x
−
v
)
+
c
(
x
−
u
)
+
d
，其中
u
u
u
、
v
v
v
為待選定的實數。若依序代入
x
=
2
x=2
x
=
2
、
x
=
−
1
x=-1
x
=
−
1
、
x
=
4
x=4
x
=
4
、
x
=
6
x=6
x
=
6
，要求每一步所得的等式都只含一個尚未求出的係數，並依序求出
d
d
d
、
c
c
c
、
b
b
b
、
a
a
a
，則
(
u
,
v
,
b
)
(u,v,b)
(
u
,
v
,
b
)
為何？
大學學科能力測驗（數學）
函數概念與圖形變換・多項式與因式餘式定理
開始練習 →
新竹一間便當店用
g
(
t
)
=
t
4
−
12
t
3
+
50
t
2
−
84
t
+
45
g(t)=t^4-12t^3+50t^2-84t+45
g
(
t
)
=
t
4
−
12
t
3
+
50
t
2
−
84
t
+
45
描述外送尖峰壓力，時間範圍為
0
≤
t
≤
6
0\le t\le 6
0
≤
t
≤
6
。店長規定當
g
(
t
)
≤
0
g(t)\le 0
g
(
t
)
≤
0
時要加派人手。已知
g
(
t
)
=
(
t
−
1
)
(
t
−
3
)
2
(
t
−
5
)
g(t)=(t-1)(t-3)^2(t-5)
g
(
t
)
=
(
t
−
1
)
(
t
−
3
)
2
(
t
−
5
)
，下列哪一個時段表示正確？
大學學科能力測驗（數學）
二次函數與拋物線・函數概念與圖形變換
開始練習 →
某手機相機的夜景模式先把實際拍攝距離
x
x
x
公尺校正成
f
(
x
)
=
2
x
−
3
f(x)=2x-3
f
(
x
)
=
2
x
−
3
，再把校正值轉成模糊指標
g
(
t
)
=
t
2
+
4
g(t)=t^2+4
g
(
t
)
=
t
2
+
4
。為了讓模糊指標能唯一回推距離，系統只接受
x
≥
3
2
x\ge \frac{3}{2}
x
≥
2
3
的資料。令
h
(
x
)
=
g
(
f
(
x
)
)
h(x)=g(f(x))
h
(
x
)
=
g
(
f
(
x
))
。若輸入模糊指標為
y
y
y
，下列何者是正確的回推距離
h
−
1
(
y
)
h^{-1}(y)
h
−
1
(
y
)
與可接受的
y
y
y
範圍？
大學學科能力測驗（數學）
立體幾何・坐標幾何
開始練習 →
台東熱氣球嘉年華的臨時展示架以地面固定點
O
(
0
,
0
,
0
)
O(0,0,0)
O
(
0
,
0
,
0
)
為共同端點，三支桿的另一端分別在
P
(
4
,
1
,
2
)
P(4,1,2)
P
(
4
,
1
,
2
)
、
Q
(
1
,
5
,
3
)
Q(1,5,3)
Q
(
1
,
5
,
3
)
、
R
(
2
,
0
,
6
)
R(2,0,6)
R
(
2
,
0
,
6
)
，單位公尺。若用透明帆布連成四面體
O
P
Q
R
OPQR
O
P
QR
，此四面體的體積為何？
大學學科能力測驗（數學）
函數概念與圖形變換
開始練習 →
某高鐵站以基準函數
f
f
f
描述進站後第
x
x
x
分鐘的擁擠指標。已知
f
f
f
的定義域為
[
−
2
,
6
]
[-2,6]
[
−
2
,
6
]
，值域為
[
1
,
9
]
[1,9]
[
1
,
9
]
。新閘門上線後，系統將時間提前
2
2
2
分鐘讀取，並把擁擠指標轉為舒適度
g
(
x
)
=
3
−
f
(
x
+
2
)
g(x)=3-f(x+2)
g
(
x
)
=
3
−
f
(
x
+
2
)
。下列何者為
g
g
g
的定義域與值域？
大學學科能力測驗（數學）
立體幾何・畢氏定理與特殊直角三角形
開始練習 →
台北車站置物櫃是一個長方體，左右寬
12
12
12
公分、前後深
8
8
8
公分、高
6
6
6
公分。令左前下角為
O
O
O
，
x
x
x
軸向右、
y
y
y
軸向後、
z
z
z
軸向上。貼紙
P
P
P
在前面，座標為
P
(
5
,
0
,
1
)
P(5,0,1)
P
(
5
,
0
,
1
)
；貼紙
Q
Q
Q
在右面，座標為
Q
(
12
,
6
,
4
)
Q(12,6,4)
Q
(
12
,
6
,
4
)
。一條裝飾線只能貼著置物櫃外表面，從
P
P
P
連到
Q
Q
Q
的最短長度為何？
大學學科能力測驗（數學）
立體幾何・畢氏定理與特殊直角三角形
開始練習 →
一個長方體外帶保溫袋，長
18
18
18
公分、深
6
6
6
公分、高
10
10
10
公分。袋面上有兩個貼點：點
P
P
P
在前面，距左側邊
3
3
3
公分、距底邊
4
4
4
公分；點
Q
Q
Q
在上面，距左側邊
14
14
14
公分、距前邊
5
5
5
公分。若彩帶只能貼在袋子的表面，且取最短路徑，彩帶長度為多少？
大學學科能力測驗（數學）
二次函數與拋物線・函數概念與圖形變換
開始練習 →
嘉義某市集入口拱門的內緣以拋物線模型設計，左右落地點在
x
=
2
x=2
x
=
2
與
x
=
10
x=10
x
=
10
，最高點的高度為
4
4
4
公尺。設地面為
y
=
0
y=0
y
=
0
，並假設拱門關於中線對稱。下列哪一個函數可描述拱門高度
y
y
y
與水平位置
x
x
x
的關係？
大學學科能力測驗（數學）
多項式與因式餘式定理
開始練習 →
台南某飲料店的會員系統以多項式
P
(
x
)
P(x)
P
(
x
)
記錄折扣碼。已知
P
(
x
)
P(x)
P
(
x
)
除以
x
−
2
x-2
x
−
2
的餘式為
5
5
5
，除以
x
+
1
x+1
x
+
1
的餘式為
−
4
-4
−
4
。更新後的檢核多項式定義為
Q
(
x
)
=
(
x
−
1
)
P
(
x
)
+
2
Q(x)=(x-1)P(x)+2
Q
(
x
)
=
(
x
−
1
)
P
(
x
)
+
2
。若將
Q
(
x
)
Q(x)
Q
(
x
)
除以
x
2
−
x
−
2
x^2-x-2
x
2
−
x
−
2
，其餘式為何？
大學學科能力測驗（數學）
多項式與因式餘式定理・多項式函數與圖形
開始練習 →
臺中一間冷鏈物流站以
x
x
x
表示冷藏櫃內溫度與設定溫度的差值，感測器允許的範圍為
−
3
≤
x
≤
5
-3\le x\le 5
−
3
≤
x
≤
5
。系統的校正指標為首項係數是
1
1
1
的三次多項式
P
(
x
)
P(x)
P
(
x
)
。已知以
(
x
−
2
)
(
x
−
3
)
(x-2)(x-3)
(
x
−
2
)
(
x
−
3
)
除
P
(
x
)
P(x)
P
(
x
)
，所得餘式為
−
4
x
+
8
-4x+8
−
4
x
+
8
，且
P
(
−
1
)
=
0
P(-1)=0
P
(
−
1
)
=
0
。當
P
(
x
)
<
0
P(x)<0
P
(
x
)
<
0
時，系統會啟動保護模式。請問在允許範圍內，哪些
x
x
x
值會使系統啟動保護模式？
大學學科能力測驗（數學）
立體幾何・畢氏定理與特殊直角三角形
開始練習 →
台南一間飲料店要在圓柱形保溫桶的側面貼一條斜向防水膠帶。桶身半徑為
6
6
6
公分、高為
18
18
18
公分。膠帶從側面底緣的點
P
P
P
貼到側面頂緣的點
Q
Q
Q
，且
Q
Q
Q
在圓周方向上正好位於
P
P
P
的對面。若膠帶只能沿桶身側面貼，最短長度為多少？