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CEMC 滑鐵盧數學競賽
大學學科能力測驗（數學）
國中教育會考
難度
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易
中
難
知識點
所有知識點（91）
整數四則與運算順序
位值、概數與估算
單位換算與時間計算
分數與小數運算
數論基礎（整除、質因數、餘數）
質因數分解與標準分解式
最大公因數與最小公倍數
餘數循環與週期規律
進位制與位數表示
數字與位數問題
整數解與不定方程
模運算與同餘
中國剩餘定理
因數個數與因數和
階乘的質因數次數
代數技巧（方程、不等式、數列）
巧設未知數與一次方程應用
等差數列與規律延伸
對稱式與代數恆等式
因式分解技巧（SFFT）
速率與工作問題
一次函數與圖形
指數與根式
二次函數與拋物線
多項式與因式餘式定理
不等式與絕對值
比例、速率與百分比
對數
複數
等比數列與無窮級數
函數概念與圖形變換
高斯取整函數
望遠鏡級數與裂項
遞迴數列
指數函數與指數方程
對數函數與對數方程
多項式函數與圖形
數列與級數
矩陣與線性變換
複數與多項式方程
幾何：角度與面積
角度追蹤
面積切割與補形
相似形與比例線段
畢氏定理與特殊直角三角形
幾何推理與證明
圓的性質
多邊形與正多邊形
立體幾何
坐標幾何
三角比與正餘弦定理
對稱與幾何變換
圓冪定理
圓錐曲線（截痕概念）
平面上的比例
二次曲線標準式
計數與機率
加法與乘法原理
系統列舉與分類討論
基礎機率
排列組合進階
容斥原理
期望值
幾何機率
遞迴與路徑計數
鴿籠原理與最壞情況
奇偶性與不變量
隔板法與重複組合
條件機率與貝氏
條件機率與貝氏定理
離散隨機變數
二項分布
幾何分布
邏輯推理與規律
統計圖表與資料判讀
平均數與加權平均
二維數據與相關
三角比與正餘弦定理
三角函數與和差角
三角函數建模
平面向量
空間向量
空間中的直線與平面
數列極限與收斂
無窮等比級數
函數極限與連續
導函數與微分法
微分應用（極值與圖形）
黎曼和與定積分
積分應用（面積與體積）
數線與絕對值
共
1528
題
・第 48／51 頁
大學學科能力測驗（數學）
平面向量・平面上的比例
開始練習 →
嘉義一處社區農園的種植區為三角形
A
B
C
ABC
A
B
C
，面積為
450
450
450
平方公尺。圍籬上的標記點
D
D
D
、
E
E
E
分別位於邊
A
B
AB
A
B
、
A
C
AC
A
C
上，且
A
D
:
D
B
=
2
:
3
AD:DB=2:3
A
D
:
D
B
=
2
:
3
、
A
E
:
E
C
=
1
:
2
AE:EC=1:2
A
E
:
E
C
=
1
:
2
。自動灑水器的位置
P
P
P
位於線段
D
E
DE
D
E
上，並滿足
2
P
D
⃗
+
P
E
⃗
=
0
⃗
2\vec{PD}+\vec{PE}=\vec{0}
2
P
D
+
P
E
=
0
。若將三角形
B
P
C
BPC
B
P
C
規劃為獨立灑水區，則其面積為多少平方公尺？
‹
1
…
47
48
49
…
51
›
AMC 8
比例、速率與百分比・巧設未知數與一次方程應用
開始練習 →
彰化一位外送員從火車站送餐到學校，第一段騎
9
9
9
公里，速率為每小時
18
18
18
公里；中途等餐
10
10
10
分鐘；第二段再騎
6
6
6
公里，速率為每小時
30
30
30
公里。從出發到送達的平均速率是多少？
大學學科能力測驗（數學）
函數概念與圖形變換・多項式與因式餘式定理
開始練習 →
新竹一間便當店用
g
(
t
)
=
t
4
−
12
t
3
+
50
t
2
−
84
t
+
45
g(t)=t^4-12t^3+50t^2-84t+45
g
(
t
)
=
t
4
−
12
t
3
+
50
t
2
−
84
t
+
45
描述外送尖峰壓力，時間範圍為
0
≤
t
≤
6
0\le t\le 6
0
≤
t
≤
6
。店長規定當
g
(
t
)
≤
0
g(t)\le 0
g
(
t
)
≤
0
時要加派人手。已知
g
(
t
)
=
(
t
−
1
)
(
t
−
3
)
2
(
t
−
5
)
g(t)=(t-1)(t-3)^2(t-5)
g
(
t
)
=
(
t
−
1
)
(
t
−
3
)
2
(
t
−
5
)
，下列哪一個時段表示正確？
大學學科能力測驗（數學）
二次函數與拋物線・函數概念與圖形變換
開始練習 →
某手機相機的夜景模式先把實際拍攝距離
x
x
x
公尺校正成
f
(
x
)
=
2
x
−
3
f(x)=2x-3
f
(
x
)
=
2
x
−
3
，再把校正值轉成模糊指標
g
(
t
)
=
t
2
+
4
g(t)=t^2+4
g
(
t
)
=
t
2
+
4
。為了讓模糊指標能唯一回推距離，系統只接受
x
≥
3
2
x\ge \frac{3}{2}
x
≥
2
3
的資料。令
h
(
x
)
=
g
(
f
(
x
)
)
h(x)=g(f(x))
h
(
x
)
=
g
(
f
(
x
))
。若輸入模糊指標為
y
y
y
，下列何者是正確的回推距離
h
−
1
(
y
)
h^{-1}(y)
h
−
1
(
y
)
與可接受的
y
y
y
範圍？
大學學科能力測驗（數學）
立體幾何・坐標幾何
開始練習 →
台東熱氣球嘉年華的臨時展示架以地面固定點
O
(
0
,
0
,
0
)
O(0,0,0)
O
(
0
,
0
,
0
)
為共同端點，三支桿的另一端分別在
P
(
4
,
1
,
2
)
P(4,1,2)
P
(
4
,
1
,
2
)
、
Q
(
1
,
5
,
3
)
Q(1,5,3)
Q
(
1
,
5
,
3
)
、
R
(
2
,
0
,
6
)
R(2,0,6)
R
(
2
,
0
,
6
)
，單位公尺。若用透明帆布連成四面體
O
P
Q
R
OPQR
O
P
QR
，此四面體的體積為何？
AMC 10
排列組合進階
開始練習 →
台南夜市在圓形廣場周圍安排
8
8
8
個臨時攤位，其中有
3
3
3
個完全相同的珍珠奶茶攤、
2
2
2
個完全相同的鹽酥雞攤，另外還有臭豆腐攤、地瓜球攤、果汁攤各
1
1
1
個。若要求任兩個珍珠奶茶攤不可相鄰，且兩個鹽酥雞攤必須相鄰，則共有多少種不同的環狀排列方式？只把旋轉後相同的排法視為同一種，鏡射後不同的排法仍視為不同。
AMC 8
速率與工作問題
開始練習 →
小晴從淡水騎自行車到八里，路程為
24
24
24
公里，去程平均速率為每小時
16
16
16
公里。她在八里休息
15
15
15
分鐘後沿原路返回，回程平均速率為每小時
24
24
24
公里。若休息時間也計入，全程的平均速率是多少？
AMC 8
邏輯推理與規律・巧設未知數與一次方程應用
開始練習 →
一台扭蛋機的電子看板會顯示一串數字。第一項是
1
1
1
；之後每一項都等於「前一項乘以
2
2
2
再加
3
3
3
」除以
11
11
11
的餘數，餘數可能是
0
0
0
。第
2026
2026
2026
項是多少？
AMC 8
比例、速率與百分比・巧設未知數與一次方程應用
開始練習 →
台中一間安全帽店把某款安全帽的標價先調高
25
%
25\%
25%
。隔週促銷時，店家希望促銷後的價格比原價便宜
4
%
4\%
4%
。促銷時應該把調高後的標價打幾折？
AMC 10
基礎機率・系統列舉與分類討論
開始練習 →
台南夜市有一個抽珠遊戲。先同時擲兩顆公平六面骰，若點數和至少為
9
9
9
，就從甲盒抽；否則從乙盒抽。甲盒中有
5
5
5
顆紅珠與
5
5
5
顆白珠，乙盒中有
3
3
3
顆紅珠與
7
7
7
顆白珠。接著從選到的盒中連續抽出
2
2
2
顆珠子，抽出後不放回。若至少抽到
1
1
1
顆紅珠即中獎，則中獎的機率為何？
AMC 8
邏輯推理與規律・巧設未知數與一次方程應用
開始練習 →
鹿港糕餅店要把一批鳳梨酥裝盒。若每盒裝
6
6
6
顆，裝滿若干盒後會多
4
4
4
顆；若改成每盒裝
8
8
8
顆，且盒數比前一種裝法少
3
3
3
盒，最後會多
2
2
2
顆給客人試吃。這批鳳梨酥共有多少顆？
AMC 8
速率與工作問題
開始練習 →
阿凱以每小時
12
12
12
公里的速率沿河濱自行車道前進。當他通過一面里程牌後
8
8
8
分鐘，小岑才從同一面里程牌出發，沿同方向以每小時
18
18
18
公里的速率追趕。小岑追上阿凱時，兩人距離該里程牌多少公里？
AMC 8
系統列舉與分類討論・邏輯推理與規律
開始練習 →
夜市抽號碼牌要用
1
,
2
,
3
,
4
,
5
1,2,3,4,5
1
,
2
,
3
,
4
,
5
中互不相同的三個數字排成三位數。規定十位數字必須同時大於百位與個位，且這個三位數能被
3
3
3
整除。符合規定的號碼共有幾個？
AIME
圓的性質・坐標幾何
開始練習 →
台南某夜市的平面導覽圖以公尺為單位，入口設為原點
O
O
O
。圓形水池
Γ
\Gamma
Γ
的邊界滿足
x
2
+
y
2
−
8
x
−
12
y
−
92
=
0
x^2+y^2-8x-12y-92=0
x
2
+
y
2
−
8
x
−
12
y
−
92
=
0
。攤位
P
=
(
13
,
22
)
P=(13,22)
P
=
(
13
,
22
)
往水池拉出兩條直線棚架，分別與
Γ
\Gamma
Γ
相切於
A
A
A
、
B
B
B
。直線
A
B
AB
A
B
分別與
x
x
x
軸、
y
y
y
軸交於
E
E
E
、
F
F
F
。求三角形
O
E
F
OEF
O
E
F
面積的兩倍。
AMC 8
面積切割與補形・幾何：角度與面積
開始練習 →
花蓮一家文創店製作長方形明信片
A
B
C
D
ABCD
A
B
C
D
，其中
A
B
=
18
AB=18
A
B
=
18
公分、
B
C
=
12
BC=12
B
C
=
12
公分。點
P
P
P
在
A
B
AB
A
B
上且
A
P
=
7
AP=7
A
P
=
7
公分；點
Q
Q
Q
在
B
C
BC
B
C
上且
B
Q
=
4
BQ=4
B
Q
=
4
公分。連接
D
P
DP
D
P
、
P
Q
PQ
P
Q
與
Q
D
QD
Q
D
，三角形
D
P
Q
DPQ
D
P
Q
的面積是多少平方公分？
AMC 8
系統列舉與分類討論・邏輯推理與規律
開始練習 →
台南冰店的集章活動要設計四格密碼。每格填入
1
,
2
,
3
,
4
,
5
1,2,3,4,5
1
,
2
,
3
,
4
,
5
中的一個數字，可重複；四格總和為
12
12
12
，且第一格的數字必須是四格中唯一最大的數字。共有幾種密碼？
大學學科能力測驗（數學）
函數概念與圖形變換
開始練習 →
某高鐵站以基準函數
f
f
f
描述進站後第
x
x
x
分鐘的擁擠指標。已知
f
f
f
的定義域為
[
−
2
,
6
]
[-2,6]
[
−
2
,
6
]
，值域為
[
1
,
9
]
[1,9]
[
1
,
9
]
。新閘門上線後，系統將時間提前
2
2
2
分鐘讀取，並把擁擠指標轉為舒適度
g
(
x
)
=
3
−
f
(
x
+
2
)
g(x)=3-f(x+2)
g
(
x
)
=
3
−
f
(
x
+
2
)
。下列何者為
g
g
g
的定義域與值域？
大學學科能力測驗（數學）
立體幾何・畢氏定理與特殊直角三角形
開始練習 →
台北車站置物櫃是一個長方體，左右寬
12
12
12
公分、前後深
8
8
8
公分、高
6
6
6
公分。令左前下角為
O
O
O
，
x
x
x
軸向右、
y
y
y
軸向後、
z
z
z
軸向上。貼紙
P
P
P
在前面，座標為
P
(
5
,
0
,
1
)
P(5,0,1)
P
(
5
,
0
,
1
)
；貼紙
Q
Q
Q
在右面，座標為
Q
(
12
,
6
,
4
)
Q(12,6,4)
Q
(
12
,
6
,
4
)
。一條裝飾線只能貼著置物櫃外表面，從
P
P
P
連到
Q
Q
Q
的最短長度為何？
大學學科能力測驗（數學）
立體幾何・畢氏定理與特殊直角三角形
開始練習 →
一個長方體外帶保溫袋，長
18
18
18
公分、深
6
6
6
公分、高
10
10
10
公分。袋面上有兩個貼點：點
P
P
P
在前面，距左側邊
3
3
3
公分、距底邊
4
4
4
公分；點
Q
Q
Q
在上面，距左側邊
14
14
14
公分、距前邊
5
5
5
公分。若彩帶只能貼在袋子的表面，且取最短路徑，彩帶長度為多少？
大學學科能力測驗（數學）
多項式與因式餘式定理・巧設未知數與一次方程應用
開始練習 →
校園園遊會的集點機把每次掃描後的校正值記為三次多項式
P
(
x
)
=
x
3
+
a
x
2
+
b
x
+
c
P(x)=x^3+ax^2+bx+c
P
(
x
)
=
x
3
+
a
x
2
+
b
x
+
c
。測試時發現：除以
x
−
1
x-1
x
−
1
的餘式為
5
5
5
；除以
x
+
1
x+1
x
+
1
的餘式為
−
3
-3
−
3
；且
x
−
2
x-2
x
−
2
是
P
(
x
)
−
2
x
P(x)-2x
P
(
x
)
−
2
x
的因式。若正式機器要用
P
(
3
)
P(3)
P
(
3
)
作為檢核碼，檢核碼是多少？
AMC 8
系統列舉與分類討論・數字與位數問題
開始練習 →
捷運站置物櫃的臨時密碼是
3
3
3
位數，從
0
,
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
,
7
0,1,2,3,4,5,6,7
0
,
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
,
7
中選互不相同的數字。密碼必須大於
300
300
300
且小於
700
700
700
，十位數小於個位數，且三位數的各位數字和是
3
3
3
的倍數。符合的密碼有幾個？
AMC 8
相似形與比例線段・面積切割與補形
開始練習 →
鹿港燈會有一面三角形裝飾旗
△
A
B
C
\triangle ABC
△
A
B
C
，面積為
96
96
96
平方公分。點
D
D
D
是
A
B
AB
A
B
的中點，通過
D
D
D
作
D
E
∥
B
C
DE\parallel BC
D
E
∥
B
C
，交
A
C
AC
A
C
於
E
E
E
。四邊形
D
B
C
E
DBCE
D
B
C
E
的面積是多少平方公分？
國中教育會考
最大公因數與最小公倍數
開始練習 →
嘉義一間烘焙教室要把
84
84
84
顆鳳梨酥與
126
126
126
顆蛋黃酥平均分裝成若干盒，同一種點心在每盒中的數量皆相同，且全部分完。若希望盒數最多，則每盒共有幾顆點心？
AMC 8
計數與機率・基礎機率
開始練習 →
班級園遊會的抽獎箱中有
4
4
4
張紅票、
3
3
3
張藍票與
2
2
2
張綠票。小晴連續抽出
2
2
2
張票，抽出後不放回。兩張票顏色不同，且其中至少一張是綠票的機率是多少？
大學學科能力測驗（數學）
二次函數與拋物線・函數概念與圖形變換
開始練習 →
嘉義某市集入口拱門的內緣以拋物線模型設計，左右落地點在
x
=
2
x=2
x
=
2
與
x
=
10
x=10
x
=
10
，最高點的高度為
4
4
4
公尺。設地面為
y
=
0
y=0
y
=
0
，並假設拱門關於中線對稱。下列哪一個函數可描述拱門高度
y
y
y
與水平位置
x
x
x
的關係？
AMC 8
比例、速率與百分比・巧設未知數與一次方程應用
開始練習 →
嘉義一間果菜行把香蕉、芭樂、蘋果裝成義賣果箱。香蕉重量與芭樂重量比為
2
:
3
2:3
2
:
3
，芭樂重量與蘋果重量比為
4
:
5
4:5
4
:
5
。若三種水果總重
350
350
350
公斤，蘋果有多少公斤？
AMC 8
速率與工作問題・平均數與加權平均
開始練習 →
小蓁從台中車站騎 YouBike 前往
18
18
18
公里外的彩虹眷村，去程平均速率為每小時
12
12
12
公里。回程走同一路線，但前
9
9
9
公里平均速率為每小時
18
18
18
公里，後
9
9
9
公里因逆風平均速率為每小時
9
9
9
公里。她來回全程的平均速率是多少公里/小時？
AMC 10
排列組合進階・容斥原理
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台南夜市一間鹹酥雞攤旁有一張無標記圓桌，
9
9
9
位同學要入座。其中阿仁、宥庭、品妤三人必須連續坐在一起；柏翰與家瑜不能相鄰，亭安與冠宇也不能相鄰。只考慮相對座次，整桌旋轉視為同一種，鏡射視為不同種。共有多少種入座方式？
AMC 8
速率與工作問題
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永康街一家甜點店要包裝一批禮盒。阿蓉單獨包裝需要
18
18
18
分鐘，小柏單獨包裝需要
30
30
30
分鐘。兩人先合作
6
6
6
分鐘，接著小柏離開，由阿蓉獨自完成。從開始到全部完成共需多少時間？
AMC 8
整數解與不定方程・系統列舉與分類討論
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嘉義文化路夜市的集點卡可以用
3
3
3
點換一張紅貼紙、
5
5
5
點換一張藍貼紙、
8
8
8
點換一張金貼紙。小穎剛好用完
40
40
40
點，且三種貼紙都至少換
1
1
1
張。只看三種貼紙的張數組合，不管拿取順序，共有幾種？