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大學學科能力測驗（數學）
國中教育會考
難度
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易
中
難
知識點
所有知識點（90）
整數四則與運算順序
位值、概數與估算
單位換算與時間計算
分數與小數運算
數論基礎（整除、質因數、餘數）
質因數分解與標準分解式
最大公因數與最小公倍數
餘數循環與週期規律
進位制與位數表示
數字與位數問題
整數解與不定方程
模運算與同餘
中國剩餘定理
因數個數與因數和
階乘的質因數次數
代數技巧（方程、不等式、數列）
巧設未知數與一次方程應用
等差數列與規律延伸
對稱式與代數恆等式
因式分解技巧（SFFT）
速率與工作問題
一次函數與圖形
指數與根式
二次函數與拋物線
多項式與因式餘式定理
不等式與絕對值
比例、速率與百分比
對數
複數
等比數列與無窮級數
函數概念與圖形變換
高斯取整函數
望遠鏡級數與裂項
遞迴數列
指數函數與指數方程
對數函數與對數方程
多項式函數與圖形
數列與級數
矩陣與線性變換
複數與多項式方程
幾何：角度與面積
角度追蹤
面積切割與補形
相似形與比例線段
幾何推理與證明
畢氏定理與特殊直角三角形
圓的性質
多邊形與正多邊形
立體幾何
坐標幾何
三角比與正餘弦定理
對稱與幾何變換
圓冪定理
圓錐曲線（截痕概念）
平面上的比例
二次曲線標準式
計數與機率
加法與乘法原理
系統列舉與分類討論
基礎機率
排列組合進階
容斥原理
期望值
幾何機率
遞迴與路徑計數
鴿籠原理與最壞情況
奇偶性與不變量
隔板法與重複組合
條件機率與貝氏
條件機率與貝氏定理
離散隨機變數
二項分布
幾何分布
邏輯推理與規律
統計圖表與資料判讀
平均數與加權平均
二維數據與相關
三角比與正餘弦定理
三角函數與和差角
三角函數建模
平面向量
空間向量
空間中的直線與平面
數列極限與收斂
無窮等比級數
函數極限與連續
導函數與微分法
微分應用（極值與圖形）
黎曼和與定積分
積分應用（面積與體積）
共
474
題
・第 16／16 頁
清除全部篩選
大學學科能力測驗（數學）
遞迴數列
開始練習 →
宜蘭一間租車店以簡化模型估計某款電動自行車的每日可租數，設第
n
n
n
天可租數為
d
n
d_n
d
n
。已知
d
1
=
3
d_1=3
d
1
=
3
，且每一天的估計規則為
d
n
+
1
=
2
d
n
+
1
d_{n+1}=2d_n+1
d
n
+
1
=
2
d
n
+
1
。若店長只需要第
10
10
10
天的估計值，直接依規則遞推可得
d
10
d_{10}
d
10
為何？
‹
1
…
15
16
›
大學學科能力測驗（數學）
不等式與絕對值・二次函數與拋物線
開始練習 →
屏東某冰店做促銷，兩種配料的進貨量分別為
a
a
a
公斤與
b
b
b
公斤，且規定
a
>
0
a>0
a
>
0
、
b
>
0
b>0
b
>
0
、
a
+
b
=
18
a+b=18
a
+
b
=
18
。若當日預估成本中有一項為
a
b
ab
ab
，則
a
b
ab
ab
的最大可能值為何？
大學學科能力測驗（數學）
三角函數建模
開始練習 →
淡水河畔某觀景平台以正弦函數模擬潮位。設中午十二時後
t
t
t
小時的潮位為
h
(
t
)
h(t)
h
(
t
)
公分。觀測得潮位最高為
280
280
280
公分、最低為
160
160
160
公分，且每
12
12
12
小時完成一次週期。下午一時，也就是
t
=
1
t=1
t
=
1
時，潮位恰通過平均高度並持續上升。下列何者最適合表示
h
(
t
)
h(t)
h
(
t
)
？
AMC 10
遞迴與路徑計數・容斥原理
開始練習 →
台南一位學生從鹽行站外的路口
S
S
S
要走到小吃街入口
T
T
T
。把街道看成方格，每次只能向東或向北走一個街區。若
S
S
S
在
(
0
,
0
)
(0,0)
(
0
,
0
)
，
T
T
T
在
(
7
,
5
)
(7,5)
(
7
,
5
)
，且因施工不能經過路口
P
=
(
3
,
2
)
P=(3,2)
P
=
(
3
,
2
)
與
Q
=
(
5
,
3
)
Q=(5,3)
Q
=
(
5
,
3
)
，則從
S
S
S
到
T
T
T
的最短走法共有多少種？
大學學科能力測驗（數學）
三角比與正餘弦定理・三角函數與和差角
開始練習 →
嘉義布袋一處鹽田規劃三角形體驗區
O
A
B
OAB
O
A
B
。在平面地圖上，以正東為起始邊、逆時針為正方向；步道
O
A
OA
O
A
長
40
40
40
公尺，其方向角為
θ
\theta
θ
，已知
θ
\theta
θ
的終邊位於第二象限且
cos
θ
=
−
3
5
\cos\theta=-\frac{3}{5}
cos
θ
=
−
5
3
。另一條步道
O
B
OB
O
B
長
50
50
50
公尺，方向角為
330
∘
330^\circ
33
0
∘
。三角形體驗區
O
A
B
OAB
O
A
B
的面積為多少平方公尺？
AIME
坐標幾何・圓的性質
開始練習 →
台南花園夜市的簡化平面圖上，兩個攤位在
A
=
(
15
,
20
)
A=(15,20)
A
=
(
15
,
20
)
與
B
=
(
22
,
13
)
B=(22,13)
B
=
(
22
,
13
)
。一條圓形動線
Γ
\Gamma
Γ
通過
A
A
A
、
B
B
B
，且圓心在直線
2
x
+
y
=
28
2x+y=28
2
x
+
y
=
28
上。直線
x
+
y
=
11
x+y=11
x
+
y
=
11
與
Γ
\Gamma
Γ
交於兩點，其中
C
C
C
的
x
x
x
坐標較小，
D
D
D
的
x
x
x
坐標較大。將
A
,
C
,
D
,
B
A,C,D,B
A
,
C
,
D
,
B
依序連成四邊形，求其面積。
大學學科能力測驗（數學）
三角比與正餘弦定理・函數概念與圖形變換
開始練習 →
高雄輕軌某站的候車人潮可用
P
(
t
)
=
120
+
30
sin
π
t
4
P(t)=120+30\sin\frac{\pi t}{4}
P
(
t
)
=
120
+
30
sin
4
π
t
估計，其中
t
t
t
是上午
8
8
8
點後經過的小時數，
0
≤
t
≤
8
0\le t\le 8
0
≤
t
≤
8
。若人潮至少
135
135
135
人就需加派站務員，則在這
8
8
8
小時內，需要加派站務員的總時間長度為多少小時？
大學學科能力測驗（數學）
矩陣與線性變換・遞迴數列
開始練習 →
高雄港的工程師以座標標記貨櫃的位置，並用行向量的轉置形式記錄。每個校正循環會先做水平剪切變換
H
=
(
1
1
0
1
)
H=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}
H
=
(
1
0
1
1
)
，再做水平方向伸縮變換
D
=
(
2
0
0
1
)
D=\begin{pmatrix}2&0\\0&1\end{pmatrix}
D
=
(
2
0
0
1
)
。第
n
n
n
次檢修需執行的校正循環數為
c
n
c_n
c
n
，其中
c
1
=
1
c_1=1
c
1
=
1
、
c
2
=
2
c_2=2
c
2
=
2
，且
c
n
=
2
c
n
−
1
−
c
n
−
2
c_n=2c_{n-1}-c_{n-2}
c
n
=
2
c
n
−
1
−
c
n
−
2
。每次檢修均由原始座標
(
0
1
)
\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}
(
0
1
)
重新模擬。第
4
4
4
次檢修完成全部校正循環後，該座標標記會變成下列何者？
AMC 10
奇偶性與不變量
開始練習 →
士林夜市某攤位有一張
4
×
5
4\times 5
4
×
5
的貼紙板，格子位置記為
(
r
,
c
)
(r,c)
(
r
,
c
)
，其中
r
r
r
是第
r
r
r
橫列，
c
c
c
是第
c
c
c
直行。起初所有格子都沒有貼紙。每次操作可選擇任一相鄰的
2
×
2
2\times 2
2
×
2
小方格，將這四格的狀態切換：有貼紙則撕下，無貼紙則貼上。以下哪一組可能正好是最後有貼紙的位置？
大學學科能力測驗（數學）
三角函數與和差角・函數概念與圖形變換
開始練習 →
社團把舊版集點模型
y
=
f
(
x
)
y=f(x)
y
=
f
(
x
)
的圖形做成新版顯示
y
=
g
(
x
)
y=g(x)
y
=
g
(
x
)
，規則為
g
(
x
)
=
3
−
2
f
(
x
−
4
2
)
g(x)=3-2f\left(\frac{x-4}{2}\right)
g
(
x
)
=
3
−
2
f
(
2
x
−
4
)
。若舊圖形上有一點
P
(
3
,
−
1
)
P(3,-1)
P
(
3
,
−
1
)
，則新版圖形上與
P
P
P
對應的點為何？
大學學科能力測驗（數學）
三角函數與和差角・不等式與絕對值
開始練習 →
小芸整理悠遊卡紀錄，發現某天通勤花費
x
x
x
元需同時符合
∣
x
−
72
∣
≤
18
|x-72|\le 18
∣
x
−
72∣
≤
18
，且因搭乘折扣規則又需符合
2
x
−
150
<
30
2x-150<30
2
x
−
150
<
30
。若
x
x
x
以整數元計，則可能的
x
x
x
有幾個？
AMC 12
整數解與不定方程・因式分解技巧（SFFT）
開始練習 →
台中一中園遊會的飲料攤用兩種貼紙記錄結算差額。設
x
x
x
表示甲班比乙班多出的紅貼紙張數，
y
y
y
表示甲班比乙班多出的藍貼紙張數，所以
x
,
y
x,y
x
,
y
都可以是負整數、
0
0
0
或正整數。若結算時發現
x
y
+
4
x
−
7
y
=
33
xy+4x-7y=33
x
y
+
4
x
−
7
y
=
33
，且
−
20
≤
x
≤
20
-20 \le x \le 20
−
20
≤
x
≤
20
，則符合條件的整數有序對
(
x
,
y
)
(x,y)
(
x
,
y
)
共有幾組？
大學學科能力測驗（數學）
三角比與正餘弦定理・函數概念與圖形變換
開始練習 →
台南一座橋上的兩個同頻振動感測器合成讀數為
S
(
t
)
=
5
sin
(
π
6
t
)
+
5
3
cos
(
π
6
t
)
S(t)=5\sin\left(\frac{\pi}{6}t\right)+5\sqrt{3}\cos\left(\frac{\pi}{6}t\right)
S
(
t
)
=
5
sin
(
6
π
t
)
+
5
3
cos
(
6
π
t
)
，其中
t
t
t
以秒計，且
0
≤
t
<
12
0\le t<12
0
≤
t
<
12
。讀數第一次達到最大值時，
t
t
t
為多少秒？
大學學科能力測驗（數學）
排列組合進階・對稱與幾何變換
開始練習 →
臺南夜市某攤要在可旋轉的圓形燈架上掛
9
9
9
盞小燈，位置等距。紅燈
4
4
4
盞、藍燈
3
3
3
盞、綠燈
2
2
2
盞，同色燈完全相同。若整個燈架旋轉後看起來相同視為同一種配置，但不把翻面視為相同，問共有幾種配置？
大學學科能力測驗（數學）
三角比與正餘弦定理・函數概念與圖形變換
開始練習 →
台北捷運月台導引燈的亮度相位用
x
x
x
表示，一次循環內
0
≤
x
<
2
π
0\le x<2\pi
0
≤
x
<
2
π
。某燈條亮度模型為
I
(
x
)
=
1
+
2
sin
(
x
+
π
6
)
I(x)=1+2\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)
I
(
x
)
=
1
+
2
sin
(
x
+
6
π
)
。當亮度等於
1
+
3
1+\sqrt{3}
1
+
3
時，
x
x
x
的所有可能值為何？
大學學科能力測驗（數學）
圓的性質・畢氏定理與特殊直角三角形
開始練習 →
新竹一座圓形親水廣場的半徑為
6
6
6
公尺，圓心為
O
O
O
。工程師在圓周上選兩點
A
,
B
A,B
A
,
B
，使
∠
A
O
B
=
120
∘
\angle AOB=120^\circ
∠
A
O
B
=
12
0
∘
，並在
A
,
B
A,B
A
,
B
兩點各作切線，兩切線交於
P
P
P
。若要在
P
A
PA
P
A
與
P
B
PB
P
B
兩段切線上裝燈條，總長是多少公尺？
AMC 12
三角比與正餘弦定理
開始練習 →
台中一個夜市廣場有三個入口
A
,
B
,
C
A,B,C
A
,
B
,
C
。入口
A
A
A
到入口
B
B
B
的步道長
8
8
8
公尺，入口
A
A
A
到入口
C
C
C
的步道長
6
2
6\sqrt{2}
6
2
公尺。從入口
B
B
B
看向入口
A
A
A
與入口
C
C
C
的夾角為
45
∘
45^\circ
4
5
∘
。若三個入口圍成一個三角形，求此三角形廣場的面積為多少平方公尺？
大學學科能力測驗（數學）
餘數循環與週期規律・最大公因數與最小公倍數
開始練習 →
台中車站前的臨時市集有三個補貨點。米食攤每
18
18
18
天補一次、茶飲攤每
24
24
24
天補一次、文創攤每
30
30
30
天補一次。某次三攤在星期四同一天補貨；下次三攤再次同一天補貨會是星期幾？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・單位換算與時間計算
開始練習 →
校園園遊會規劃一塊四邊形攤位區，平面圖的四個角依序為
A
(
1
,
1
)
A(1,1)
A
(
1
,
1
)
、
B
(
6
,
2
)
B(6,2)
B
(
6
,
2
)
、
C
(
5
,
5
)
C(5,5)
C
(
5
,
5
)
、
D
(
2
,
4
)
D(2,4)
D
(
2
,
4
)
，每
1
1
1
個坐標單位代表
2
2
2
公尺。若每平方公尺最多安排
1
1
1
人，依面積估算最多可同時安排多少人？
大學學科能力測驗（數學）
多項式與因式餘式定理・多項式函數與圖形
開始練習 →
臺中一間冷鏈物流站以
x
x
x
表示冷藏櫃內溫度與設定溫度的差值，感測器允許的範圍為
−
3
≤
x
≤
5
-3\le x\le 5
−
3
≤
x
≤
5
。系統的校正指標為首項係數是
1
1
1
的三次多項式
P
(
x
)
P(x)
P
(
x
)
。已知以
(
x
−
2
)
(
x
−
3
)
(x-2)(x-3)
(
x
−
2
)
(
x
−
3
)
除
P
(
x
)
P(x)
P
(
x
)
，所得餘式為
−
4
x
+
8
-4x+8
−
4
x
+
8
，且
P
(
−
1
)
=
0
P(-1)=0
P
(
−
1
)
=
0
。當
P
(
x
)
<
0
P(x)<0
P
(
x
)
<
0
時，系統會啟動保護模式。請問在允許範圍內，哪些
x
x
x
值會使系統啟動保護模式？
大學學科能力測驗（數學）
排列組合進階・容斥原理
開始練習 →
高雄某高中園遊會有
8
8
8
個不同攤位排成一直線，其中米粉攤與湯圓攤必須相鄰；兩個飲料攤因動線考量不可相鄰。其餘
4
4
4
個攤位沒有額外限制。問共有幾種排法？
AMC 12
圓的性質・畢氏定理與特殊直角三角形
開始練習 →
嘉義某夜市的圓形招牌以
O
O
O
為圓心。攤主從招牌外一點
P
P
P
拉兩條等長燈線
P
A
PA
P
A
、
P
B
PB
P
B
，分別切圓於
A
A
A
、
B
B
B
。直線
P
O
PO
P
O
與圓交於較靠近
P
P
P
的點
C
C
C
，且
P
C
=
8
PC=8
P
C
=
8
、
P
A
=
12
PA=12
P
A
=
12
。求兩個切點間的直線距離
A
B
AB
A
B
。
大學學科能力測驗（數學）
三角函數與和差角・函數概念與圖形變換
開始練習 →
某校園餐車用函數
f
f
f
將排隊人數換算成等候指數，且
f
f
f
為一對一函數。已知
f
(
2
)
=
5
f(2)=5
f
(
2
)
=
5
、
f
(
6
)
=
13
f(6)=13
f
(
6
)
=
13
。新版系統把輸入先扣掉
3
3
3
人，再把指數放大並校正，定義
g
(
x
)
=
2
f
(
x
−
3
)
+
1
g(x)=2f(x-3)+1
g
(
x
)
=
2
f
(
x
−
3
)
+
1
。若新版等候指數為
27
27
27
，則對應的排隊人數
g
−
1
(
27
)
g^{-1}(27)
g
−
1
(
27
)
為多少？
大學學科能力測驗（數學）
隔板法與重複組合・容斥原理
開始練習 →
某高中園遊會準備
15
15
15
枚完全相同的抽獎貼紙，分給數學攤、英文攤、自然攤、社團攤、服務台共
5
5
5
個攤位。每個攤位至少
1
1
1
枚，其中自然攤至少
3
3
3
枚，服務台至多
4
4
4
枚。問共有幾種分法？