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CEMC 滑鐵盧數學競賽
大學學科能力測驗（數學）
國中教育會考
難度
全部
易
中
難
知識點
所有知識點（90）
整數四則與運算順序
位值、概數與估算
單位換算與時間計算
分數與小數運算
數論基礎（整除、質因數、餘數）
質因數分解與標準分解式
最大公因數與最小公倍數
餘數循環與週期規律
進位制與位數表示
數字與位數問題
整數解與不定方程
模運算與同餘
中國剩餘定理
因數個數與因數和
階乘的質因數次數
代數技巧（方程、不等式、數列）
巧設未知數與一次方程應用
等差數列與規律延伸
對稱式與代數恆等式
因式分解技巧（SFFT）
速率與工作問題
一次函數與圖形
指數與根式
二次函數與拋物線
多項式與因式餘式定理
不等式與絕對值
比例、速率與百分比
對數
複數
等比數列與無窮級數
函數概念與圖形變換
高斯取整函數
望遠鏡級數與裂項
遞迴數列
指數函數與指數方程
對數函數與對數方程
多項式函數與圖形
數列與級數
矩陣與線性變換
複數與多項式方程
幾何：角度與面積
角度追蹤
面積切割與補形
相似形與比例線段
幾何推理與證明
畢氏定理與特殊直角三角形
圓的性質
多邊形與正多邊形
立體幾何
坐標幾何
三角比與正餘弦定理
對稱與幾何變換
圓冪定理
圓錐曲線（截痕概念）
平面上的比例
二次曲線標準式
計數與機率
加法與乘法原理
系統列舉與分類討論
基礎機率
排列組合進階
容斥原理
期望值
幾何機率
遞迴與路徑計數
鴿籠原理與最壞情況
奇偶性與不變量
隔板法與重複組合
條件機率與貝氏
條件機率與貝氏定理
離散隨機變數
二項分布
幾何分布
邏輯推理與規律
統計圖表與資料判讀
平均數與加權平均
二維數據與相關
三角比與正餘弦定理
三角函數與和差角
三角函數建模
平面向量
空間向量
空間中的直線與平面
數列極限與收斂
無窮等比級數
函數極限與連續
導函數與微分法
微分應用（極值與圖形）
黎曼和與定積分
積分應用（面積與體積）
共
161
題
・第 3／6 頁
清除全部篩選
大學學科能力測驗（數學）
立體幾何・畢氏定理與特殊直角三角形
開始練習 →
台北車站置物櫃是一個長方體，左右寬
12
12
12
公分、前後深
8
8
8
公分、高
6
6
6
公分。令左前下角為
O
O
O
，
x
x
x
軸向右、
y
y
y
軸向後、
z
z
z
軸向上。貼紙
P
P
P
在前面，座標為
P
(
5
,
0
,
1
)
P(5,0,1)
P
(
5
,
0
,
1
)
；貼紙
Q
Q
Q
在右面，座標為
Q
(
12
,
6
,
4
)
Q(12,6,4)
Q
(
12
,
6
,
4
)
。一條裝飾線只能貼著置物櫃外表面，從
P
P
P
連到
Q
Q
Q
的最短長度為何？
‹
1
2
3
4
…
6
›
大學學科能力測驗（數學）
立體幾何・畢氏定理與特殊直角三角形
開始練習 →
一個長方體外帶保溫袋，長
18
18
18
公分、深
6
6
6
公分、高
10
10
10
公分。袋面上有兩個貼點：點
P
P
P
在前面，距左側邊
3
3
3
公分、距底邊
4
4
4
公分；點
Q
Q
Q
在上面，距左側邊
14
14
14
公分、距前邊
5
5
5
公分。若彩帶只能貼在袋子的表面，且取最短路徑，彩帶長度為多少？
大學學科能力測驗（數學）
多項式與因式餘式定理・巧設未知數與一次方程應用
開始練習 →
校園園遊會的集點機把每次掃描後的校正值記為三次多項式
P
(
x
)
=
x
3
+
a
x
2
+
b
x
+
c
P(x)=x^3+ax^2+bx+c
P
(
x
)
=
x
3
+
a
x
2
+
b
x
+
c
。測試時發現：除以
x
−
1
x-1
x
−
1
的餘式為
5
5
5
；除以
x
+
1
x+1
x
+
1
的餘式為
−
3
-3
−
3
；且
x
−
2
x-2
x
−
2
是
P
(
x
)
−
2
x
P(x)-2x
P
(
x
)
−
2
x
的因式。若正式機器要用
P
(
3
)
P(3)
P
(
3
)
作為檢核碼，檢核碼是多少？
AMC 8
系統列舉與分類討論・數字與位數問題
開始練習 →
捷運站置物櫃的臨時密碼是
3
3
3
位數，從
0
,
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
,
7
0,1,2,3,4,5,6,7
0
,
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
,
7
中選互不相同的數字。密碼必須大於
300
300
300
且小於
700
700
700
，十位數小於個位數，且三位數的各位數字和是
3
3
3
的倍數。符合的密碼有幾個？
AMC 8
相似形與比例線段・面積切割與補形
開始練習 →
鹿港燈會有一面三角形裝飾旗
△
A
B
C
\triangle ABC
△
A
B
C
，面積為
96
96
96
平方公分。點
D
D
D
是
A
B
AB
A
B
的中點，通過
D
D
D
作
D
E
∥
B
C
DE\parallel BC
D
E
∥
B
C
，交
A
C
AC
A
C
於
E
E
E
。四邊形
D
B
C
E
DBCE
D
B
C
E
的面積是多少平方公分？
國中教育會考
最大公因數與最小公倍數
開始練習 →
嘉義一間烘焙教室要把
84
84
84
顆鳳梨酥與
126
126
126
顆蛋黃酥平均分裝成若干盒，同一種點心在每盒中的數量皆相同，且全部分完。若希望盒數最多，則每盒共有幾顆點心？
AMC 8
計數與機率・基礎機率
開始練習 →
班級園遊會的抽獎箱中有
4
4
4
張紅票、
3
3
3
張藍票與
2
2
2
張綠票。小晴連續抽出
2
2
2
張票，抽出後不放回。兩張票顏色不同，且其中至少一張是綠票的機率是多少？
大學學科能力測驗（數學）
二次函數與拋物線・函數概念與圖形變換
開始練習 →
嘉義某市集入口拱門的內緣以拋物線模型設計，左右落地點在
x
=
2
x=2
x
=
2
與
x
=
10
x=10
x
=
10
，最高點的高度為
4
4
4
公尺。設地面為
y
=
0
y=0
y
=
0
，並假設拱門關於中線對稱。下列哪一個函數可描述拱門高度
y
y
y
與水平位置
x
x
x
的關係？
AMC 8
比例、速率與百分比・巧設未知數與一次方程應用
開始練習 →
嘉義一間果菜行把香蕉、芭樂、蘋果裝成義賣果箱。香蕉重量與芭樂重量比為
2
:
3
2:3
2
:
3
，芭樂重量與蘋果重量比為
4
:
5
4:5
4
:
5
。若三種水果總重
350
350
350
公斤，蘋果有多少公斤？
AMC 8
速率與工作問題・平均數與加權平均
開始練習 →
小蓁從台中車站騎 YouBike 前往
18
18
18
公里外的彩虹眷村，去程平均速率為每小時
12
12
12
公里。回程走同一路線，但前
9
9
9
公里平均速率為每小時
18
18
18
公里，後
9
9
9
公里因逆風平均速率為每小時
9
9
9
公里。她來回全程的平均速率是多少公里/小時？
AMC 10
排列組合進階・容斥原理
開始練習 →
台南夜市一間鹹酥雞攤旁有一張無標記圓桌，
9
9
9
位同學要入座。其中阿仁、宥庭、品妤三人必須連續坐在一起；柏翰與家瑜不能相鄰，亭安與冠宇也不能相鄰。只考慮相對座次，整桌旋轉視為同一種，鏡射視為不同種。共有多少種入座方式？
AMC 8
速率與工作問題
開始練習 →
永康街一家甜點店要包裝一批禮盒。阿蓉單獨包裝需要
18
18
18
分鐘，小柏單獨包裝需要
30
30
30
分鐘。兩人先合作
6
6
6
分鐘，接著小柏離開，由阿蓉獨自完成。從開始到全部完成共需多少時間？
AMC 8
整數解與不定方程・系統列舉與分類討論
開始練習 →
嘉義文化路夜市的集點卡可以用
3
3
3
點換一張紅貼紙、
5
5
5
點換一張藍貼紙、
8
8
8
點換一張金貼紙。小穎剛好用完
40
40
40
點，且三種貼紙都至少換
1
1
1
張。只看三種貼紙的張數組合，不管拿取順序，共有幾種？
AIME
三角比與正餘弦定理・圓的性質
開始練習 →
台南夜市攤位示意圖中，從路口
A
A
A
到兩攤
B
,
C
B,C
B
,
C
的直線距離分別為
12
12
12
公尺與
6
6
6
公尺，且
∠
B
A
C
=
120
∘
\angle BAC=120^\circ
∠
B
A
C
=
12
0
∘
。攤車連線
B
C
BC
B
C
上有兩個掛燈點
D
,
E
D,E
D
,
E
，其中
∠
B
A
D
=
30
∘
\angle BAD=30^\circ
∠
B
A
D
=
3
0
∘
，且
A
E
AE
A
E
垂直於
A
B
AB
A
B
。設通過
A
,
D
,
E
A,D,E
A
,
D
,
E
的圓半徑為
R
R
R
。若
R
2
=
m
n
R^2=\frac{m}{n}
R
2
=
n
m
為最簡分數，求
m
+
n
m+n
m
+
n
。
AMC 8
邏輯推理與規律・巧設未知數與一次方程應用
開始練習 →
校園園遊會的飲料分小杯、中杯、大杯，三種價格成等差，且大杯比小杯貴
20
20
20
元。某班一次買了
4
4
4
杯小杯、
6
6
6
杯中杯、
5
5
5
杯大杯，共付
715
715
715
元。中杯一杯多少元？
大學學科能力測驗（數學）
多項式與因式餘式定理
開始練習 →
台南某飲料店的會員系統以多項式
P
(
x
)
P(x)
P
(
x
)
記錄折扣碼。已知
P
(
x
)
P(x)
P
(
x
)
除以
x
−
2
x-2
x
−
2
的餘式為
5
5
5
，除以
x
+
1
x+1
x
+
1
的餘式為
−
4
-4
−
4
。更新後的檢核多項式定義為
Q
(
x
)
=
(
x
−
1
)
P
(
x
)
+
2
Q(x)=(x-1)P(x)+2
Q
(
x
)
=
(
x
−
1
)
P
(
x
)
+
2
。若將
Q
(
x
)
Q(x)
Q
(
x
)
除以
x
2
−
x
−
2
x^2-x-2
x
2
−
x
−
2
，其餘式為何？
大學學科能力測驗（數學）
立體幾何・畢氏定理與特殊直角三角形
開始練習 →
台南一間飲料店要在圓柱形保溫桶的側面貼一條斜向防水膠帶。桶身半徑為
6
6
6
公分、高為
18
18
18
公分。膠帶從側面底緣的點
P
P
P
貼到側面頂緣的點
Q
Q
Q
，且
Q
Q
Q
在圓周方向上正好位於
P
P
P
的對面。若膠帶只能沿桶身側面貼，最短長度為多少？
國中教育會考
相似形與比例線段・面積切割與補形
開始練習 →
台南老街導覽牌上，有一個三角形街區示意圖。
D
D
D
在
A
B
AB
A
B
上，
E
E
E
在
A
C
AC
A
C
上，且
D
E
∥
B
C
DE\parallel BC
D
E
∥
B
C
。已知
A
D
=
6
AD=6
A
D
=
6
公分、
D
B
=
3
DB=3
D
B
=
3
公分，梯形
D
B
C
E
DBCE
D
B
C
E
的面積為
35
35
35
平方公分。求整個
△
A
B
C
\triangle ABC
△
A
B
C
的面積。
國中教育會考
比例、速率與百分比・巧設未知數與一次方程應用
開始練習 →
一件外套在百貨週年慶先漲價
20
%
20\%
20%
，隔週又以漲價後的價格打
8
8
8
折出售。小芸看到最後售價比原價少
160
160
160
元，則這件外套的原價是多少元？
大學學科能力測驗（數學）
三角比與正餘弦定理・幾何：角度與面積
開始練習 →
澎湖某碼頭
O
O
O
要估算兩個浮標與碼頭圍成的警戒水域。浮標
A
A
A
距離碼頭
4
4
4
公里，方位角為
015
∘
015^\circ
01
5
∘
；浮標
B
B
B
距離碼頭
7
7
7
公里，方位角為
075
∘
075^\circ
07
5
∘
。若方位角以正北順時針量，則三角形
O
A
B
OAB
O
A
B
的面積為多少？
大學學科能力測驗（數學）
圓的性質・畢氏定理與特殊直角三角形
開始練習 →
某校把圓形中庭的圓心記為
O
O
O
，半徑為
12
12
12
公尺。校門口標示牌在點
P
P
P
，且
O
P
=
24
OP=24
O
P
=
24
公尺；從
P
P
P
拉兩條直線步道分別切中庭於
A
A
A
、
B
B
B
。若觀景點
C
C
C
在圓周上且位於較大的弧
A
B
AB
A
B
上，則
∠
A
C
B
\angle ACB
∠
A
C
B
為多少？
AIME
中國剩餘定理・模運算與同餘
開始練習 →
台南轉運站旁的飲料店把第
j
j
j
張收據的檢查值設為
2
j
+
1
2j+1
2
j
+
1
。某天從
j
=
0
j=0
j
=
0
到
j
=
998
j=998
j
=
998
共
999
999
999
張收據，結帳機的日終碼
C
C
C
定義為下列整數除以
1000
1000
1000
的餘數：
∑
j
=
0
998
(
2
j
+
1
)
2026
\sum_{j=0}^{998}(2j+1)^{2026}
∑
j
=
0
998
(
2
j
+
1
)
2026
。求
C
C
C
。
AMC 8
多邊形與正多邊形・對稱與幾何變換
開始練習 →
台南燈會的紙窗花是正
n
n
n
邊形。設計規定：每個內角比中心角的
4
4
4
倍還多
30
∘
30^\circ
3
0
∘
。這個窗花有幾條對稱軸？
AIME
複數・多項式與因式餘式定理
開始練習 →
台南花園夜市的燈飾設計圖畫在複數平面上。第
k
k
k
盞燈的位置為
L
k
=
3
+
2
i
+
(
1
−
i
)
ζ
k
L_k=3+2i+(1-i)\zeta^k
L
k
=
3
+
2
i
+
(
1
−
i
)
ζ
k
，其中
k
=
0
,
1
,
…
,
8
k=0,1,\ldots,8
k
=
0
,
1
,
…
,
8
，且
ζ
=
cos
2
π
9
+
i
sin
2
π
9
\zeta=\cos\frac{2\pi}{9}+i\sin\frac{2\pi}{9}
ζ
=
cos
9
2
π
+
i
sin
9
2
π
。攤位
P
P
P
的位置是
6
+
i
6+i
6
+
i
。設
N
=
∏
k
=
1
8
∣
P
−
L
k
∣
2
N=\prod_{k=1}^{8}|P-L_k|^2
N
=
∏
k
=
1
8
∣
P
−
L
k
∣
2
。求
N
N
N
除以
1000
1000
1000
的餘數。
AMC 8
鴿籠原理與最壞情況
開始練習 →
夜市遊戲攤的每張兌獎券都印有
6
6
6
種圖案之一，並使用
4
4
4
種底色之一。至少收集多少張兌獎券，才能保證「有至少
3
3
3
張圖案相同」或「有至少
4
4
4
張底色相同」其中一件事發生？
AMC 10
整數解與不定方程・因式分解技巧（SFFT）
開始練習 →
台中一間早餐店把每週兩項庫存調整量記為整數
x
,
y
x,y
x
,
y
，其中調整量可為負數或
0
0
0
。為了讓自動補貨表通過檢查，必須同時滿足
−
35
≤
x
≤
60
-35\le x\le 60
−
35
≤
x
≤
60
、
−
20
≤
y
≤
80
-20\le y\le 80
−
20
≤
y
≤
80
，且
1
x
+
4
+
1
y
−
3
=
1
18
\frac{1}{x+4}+\frac{1}{y-3}=\frac{1}{18}
x
+
4
1
+
y
−
3
1
=
18
1
，其中分母需有意義。共有幾組有序整數對
(
x
,
y
)
(x,y)
(
x
,
y
)
可以通過檢查？
AMC 8
計數與機率・系統列舉與分類討論
開始練習 →
嘉義美術課有
5
5
5
張紅色、
4
4
4
張藍色、
3
3
3
張綠色的不同圖案貼紙。老師從
12
12
12
張中不放回等機率抽出
4
4
4
張。已知抽出的
4
4
4
張不是同一種顏色，則其中恰有
2
2
2
張紅色的機率是多少？
大學學科能力測驗（數學）
三角比與正餘弦定理
開始練習 →
嘉義布袋港的兩座岸上觀測站
A
A
A
、
B
B
B
位於同一條東西向堤岸，
A
A
A
在
B
B
B
的正西方，且
A
B
=
1.2
AB=1.2
A
B
=
1.2
公里。一艘漁船位於堤岸北側的
C
C
C
點。從
A
A
A
觀測，
C
C
C
的方位為北偏東
35
∘
35^\circ
3
5
∘
；從
B
B
B
觀測，
C
C
C
的方位為北偏西
50
∘
50^\circ
5
0
∘
。若
1
1
1
平方公里等於
100
100
100
公頃，則三角形
A
B
C
ABC
A
B
C
所圍海域的面積為多少公頃？
AMC 8
指數與根式・質因數分解與標準分解式
開始練習 →
台中一間招牌店把燈箱設計稿的縮放量記為
r
=
8316
21
r=\frac{\sqrt{8316}}{\sqrt{21}}
r
=
21
8316
。將
r
r
r
化為最簡根式後，下列何者正確？
大學學科能力測驗（數學）
角度追蹤・圓的性質
開始練習 →
某公園圓形廣場以
O
O
O
為圓心，
A
,
B
,
C
,
D
A,B,C,D
A
,
B
,
C
,
D
依序位於同一圓周上。已知
A
B
=
B
C
AB=BC
A
B
=
B
C
、
∠
O
B
A
=
35
∘
\angle OBA=35^\circ
∠
O
B
A
=
3
5
∘
、
∠
O
C
D
=
40
∘
\angle OCD=40^\circ
∠
O
C
D
=
4
0
∘
。求
∠
B
A
D
\angle BAD
∠
B
A
D
。