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AIME
CEMC 滑鐵盧數學競賽
難度
全部
易
中
難
知識點
所有知識點（91）
整數四則與運算順序
位值、概數與估算
單位換算與時間計算
分數與小數運算
數論基礎（整除、質因數、餘數）
質因數分解與標準分解式
最大公因數與最小公倍數
餘數循環與週期規律
進位制與位數表示
數字與位數問題
整數解與不定方程
模運算與同餘
中國剩餘定理
因數個數與因數和
階乘的質因數次數
代數技巧（方程、不等式、數列）
巧設未知數與一次方程應用
等差數列與規律延伸
對稱式與代數恆等式
因式分解技巧（SFFT）
速率與工作問題
一次函數與圖形
指數與根式
二次函數與拋物線
多項式與因式餘式定理
不等式與絕對值
比例、速率與百分比
對數
複數
等比數列與無窮級數
函數概念與圖形變換
高斯取整函數
望遠鏡級數與裂項
遞迴數列
指數函數與指數方程
對數函數與對數方程
多項式函數與圖形
數列與級數
矩陣與線性變換
複數與多項式方程
幾何：角度與面積
角度追蹤
面積切割與補形
相似形與比例線段
畢氏定理與特殊直角三角形
幾何推理與證明
圓的性質
多邊形與正多邊形
立體幾何
坐標幾何
三角比與正餘弦定理
對稱與幾何變換
圓冪定理
圓錐曲線（截痕概念）
平面上的比例
二次曲線標準式
計數與機率
加法與乘法原理
系統列舉與分類討論
基礎機率
排列組合進階
容斥原理
期望值
幾何機率
遞迴與路徑計數
鴿籠原理與最壞情況
奇偶性與不變量
隔板法與重複組合
條件機率與貝氏
條件機率與貝氏定理
離散隨機變數
二項分布
幾何分布
邏輯推理與規律
統計圖表與資料判讀
平均數與加權平均
二維數據與相關
三角比與正餘弦定理
三角函數與和差角
三角函數建模
平面向量
空間向量
空間中的直線與平面
數列極限與收斂
無窮等比級數
函數極限與連續
導函數與微分法
微分應用（極值與圖形）
黎曼和與定積分
積分應用（面積與體積）
數線與絕對值
共
65
題
・第 2／3 頁
清除全部篩選
AMC 12
幾何機率・基礎機率
開始練習 →
週六下午，小霖和阿捷約在台南火車站附近的一間豆花店碰面。兩人各自獨立且等可能地在
14
:
00
14:00
14
:
00
到
14
:
30
14:30
14
:
30
之間到達。先到的人只等
10
10
10
分鐘，若對方還沒到就離開。已知小霖到達時間不早於
14
:
05
14:05
14
:
05
，則兩人成功碰面的機率為何？
‹
1
2
3
›
AMC 12
三角比與正餘弦定理
開始練習 →
新竹一處夜市有三個攤位
A
A
A
、
B
B
B
、
C
C
C
。阿庭量得
A
B
=
40
AB=40
A
B
=
40
公尺、
A
C
=
25
AC=25
A
C
=
25
公尺，且從攤位
A
A
A
看向
B
B
B
與
C
C
C
的夾角為
120
∘
120^\circ
12
0
∘
。若要直接從
B
B
B
走到
C
C
C
，距離
B
C
BC
B
C
為多少公尺？
AMC 10
因式分解技巧（SFFT）・整數解與不定方程
開始練習 →
台北捷運某站電子置物櫃在校正座標時，技師輸入兩個整數修正量
x
x
x
、
y
y
y
。為避免門號偏移過大，規定
−
20
≤
x
≤
20
-20 \le x \le 20
−
20
≤
x
≤
20
且
−
15
≤
y
≤
15
-15 \le y \le 15
−
15
≤
y
≤
15
。若系統測試式為
x
y
+
5
x
−
3
y
=
91
xy+5x-3y=91
x
y
+
5
x
−
3
y
=
91
，共有幾組有序整數對
(
x
,
y
)
(x,y)
(
x
,
y
)
可通過測試？
AMC 12
排列組合進階・容斥原理
開始練習 →
台南某早餐店有
8
8
8
位不同的學生圍坐在一張圓桌旁，轉動後相同視為同一種坐法，左右翻轉視為不同。若阿廷與小芸必須相鄰，而小凱與阿蓉不能相鄰，則共有多少種坐法？
AMC 12
整數解與不定方程・系統列舉與分類討論
開始練習 →
台中逢甲夜市某射氣球攤整理兌換券庫存，把本週甲券的淨增加張數記為整數
x
x
x
，乙券的淨增加張數記為整數
y
y
y
；負數表示本週用掉的比補進的多。甲券每張代表
18
18
18
點，乙券每張代表
30
30
30
點。若總點數淨增加
114
114
114
點，且
−
12
≤
x
≤
16
-12 \le x \le 16
−
12
≤
x
≤
16
、
−
8
≤
y
≤
14
-8 \le y \le 14
−
8
≤
y
≤
14
，則可能的整數序對
(
x
,
y
)
(x,y)
(
x
,
y
)
共有幾種？
AMC 12
坐標幾何・圓的性質
開始練習 →
在台南夜市的平面導覽圖上，鹽酥雞攤位在
P
(
1
,
2
)
P(1,2)
P
(
1
,
2
)
，珍珠奶茶攤位在
Q
(
7
,
6
)
Q(7,6)
Q
(
7
,
6
)
。有一條圓形散步路線通過這兩個攤位，且圓心位在直線
y
=
x
+
1
y=x+1
y
=
x
+
1
上。這條圓形路線的方程式為何？
AMC 10
數字與位數問題・質因數分解與標準分解式
開始練習 →
嘉義火車站附近一間便當店推出集點卡，卡號是五位數
4
a
35
b
4a35b
4
a
35
b
，其中
a
a
a
、
b
b
b
都是數字。店長規定卡號必須同時可被
4
4
4
、
9
9
9
、
11
11
11
整除。若符合規定的最大卡號為
N
N
N
，求
N
N
N
的正因數個數。
AIME
對稱式與代數恆等式・模運算與同餘
開始練習 →
台南夜市某攤的電子號碼牌會用兩個隱藏數產生驗證碼。設
x
,
y
x,y
x
,
y
為方程式
3
t
2
−
21
t
+
33
=
0
3t^2-21t+33=0
3
t
2
−
21
t
+
33
=
0
的兩根，並令
C
=
x
4
+
y
4
+
11
(
x
3
+
y
3
)
(
1
x
+
1
y
)
C=x^4+y^4+11(x^3+y^3)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)
C
=
x
4
+
y
4
+
11
(
x
3
+
y
3
)
(
x
1
+
y
1
)
。驗證碼定為
C
C
C
除以
1000
1000
1000
的餘數，求此驗證碼。
AMC 10
等比數列與無窮級數・代數技巧（方程、不等式、數列）
開始練習 →
小晴在台中早餐店的集點 App 測試活動中，第
n
n
n
筆點數變化記為
a
n
=
(
3
n
+
2
)
(
−
1
2
)
n
−
1
a_n=(3n+2)(-\frac{1}{2})^{n-1}
a
n
=
(
3
n
+
2
)
(
−
2
1
)
n
−
1
，其中負值代表兌換時扣點。若這個規則無限延續，所有點數變化的總和為多少？
AMC 10
平均數與加權平均
開始練習 →
台南某飲料攤記錄週六銷售。上午賣出
18
18
18
杯，平均每杯收入
42
42
42
元；下午賣出
27
27
27
杯，平均每杯收入
50
50
50
元。收攤後發現上午資料中有
3
3
3
杯試喝樣品被誤記為每杯
30
30
30
元，這
3
3
3
杯不應計入正式銷售。移除這
3
3
3
筆資料後，週六正式售出的每杯平均收入為多少元？
AMC 12
三角比與正餘弦定理
開始練習 →
台南夜市的兩個攤位
A
A
A
、
B
B
B
相距
7
7
7
公尺。小恩站在位置
C
C
C
，量得
C
A
=
5
CA=5
C
A
=
5
公尺，且
∠
A
C
B
=
120
∘
\angle ACB=120^\circ
∠
A
C
B
=
12
0
∘
。若三角形
A
B
C
ABC
A
B
C
表示這三個位置圍成的區域，則其面積為多少平方公尺？
AMC 10
幾何機率・基礎機率
開始練習 →
嘉義文化路夜市的兩位同學約在飲料攤旁交換筆記。從約定時間起算，兩人各自會在第
0
0
0
分鐘到第
30
30
30
分鐘之間獨立且均勻到達；每人到達後只等
10
10
10
分鐘。若兩人能在等待時間內碰面，原本算交換成功；但若兩人都在第
20
20
20
分鐘以後才到，攤位開始排長隊，他們就改用手機聯絡，不算當面交換成功。當面交換成功的機率是多少？
AMC 12
整數解與不定方程・系統列舉與分類討論
開始練習 →
台南夜市某攤位盤點雲端訂單時，發現蔥抓餅每份
42
42
42
元、冬瓜茶每杯
30
30
30
元的數量需要修正。令
x
x
x
表示蔥抓餅的淨修正份數，
y
y
y
表示冬瓜茶的淨修正杯數；正數代表補登，負數代表扣回，
0
0
0
代表不變。若總金額需增加
210
210
210
元，且系統允許
−
20
≤
x
≤
20
-20 \le x \le 20
−
20
≤
x
≤
20
、
−
14
≤
y
≤
35
-14 \le y \le 35
−
14
≤
y
≤
35
，共有幾組整數
(
x
,
y
)
(x,y)
(
x
,
y
)
？
AMC 10
進位制與位數表示・模運算與同餘
開始練習 →
台南安平一家飲料店把每日折扣碼用六進位記錄。某天收據上的折扣碼是
(
3
a
25
)
6
(3a25)_6
(
3
a
25
)
6
，其中
a
a
a
是一個六進位數字。店長規定此折扣碼換成十進位後必須能被
11
11
11
整除。若再把加碼點數
(
154
)
6
(154)_6
(
154
)
6
加上去，所得總數改寫成八進位後是多少？
AMC 10
排列組合進階・基礎機率
開始練習 →
台南某高中園遊會有
10
10
10
張不同的攤位卡，其中
4
4
4
張是小吃攤、
3
3
3
張是遊戲攤、
3
3
3
張是手作攤。阿軒從中隨機抽出
5
5
5
張不同卡片，再將這
5
5
5
張隨機排成參觀順序（所有不重複的有序順序等可能）。若要求順序中至少有
1
1
1
張小吃攤、至少有
1
1
1
張遊戲攤，且任兩張手作攤卡不相鄰，則符合要求的機率為何？
AMC 10
排列組合進階
開始練習 →
台南夜市的集點活動要把
8
8
8
張不同圖案的貼紙貼在一個圓形轉盤的
8
8
8
個等距位置上。其中
3
3
3
張是不同的飲料貼紙，另外
5
5
5
張是不同的小吃貼紙。若任兩張飲料貼紙不可相鄰，且旋轉後相同的貼法視為同一種、翻面不視為相同，則共有多少種貼法？
AMC 12
坐標幾何・圓的性質
開始練習 →
嘉義文化路夜市的簡化座標圖中，每一格代表相同距離。小昕要在兩個攤位
A
(
−
1
,
2
)
A(-1,2)
A
(
−
1
,
2
)
與
B
(
5
,
6
)
B(5,6)
B
(
5
,
6
)
之間設計一個圓形打卡區，圓周必須通過這兩個攤位，且圓心要落在服務動線
x
+
2
y
=
7
x+2y=7
x
+
2
y
=
7
上。下列哪一個可能是這個圓形打卡區的圓方程？
AIME
複數・對稱式與代數恆等式
開始練習 →
台中逢甲夜市有一串互動燈，設計師用多項式記錄第
x
x
x
段的亮度校正。令
α
=
1
+
3
i
\alpha=1+\sqrt3 i
α
=
1
+
3
i
，並令
P
(
x
)
=
∏
k
=
0
5
(
x
−
(
α
k
+
α
‾
k
)
)
P(x)=\prod_{k=0}^{5}(x-(\alpha^k+\overline{\alpha}^k))
P
(
x
)
=
∏
k
=
0
5
(
x
−
(
α
k
+
α
k
))
。將
P
(
x
)
P(x)
P
(
x
)
展開為
x
6
+
a
5
x
5
+
a
4
x
4
+
a
3
x
3
+
a
2
x
2
+
a
1
x
+
a
0
x^6+a_5x^5+a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0
x
6
+
a
5
x
5
+
a
4
x
4
+
a
3
x
3
+
a
2
x
2
+
a
1
x
+
a
0
。求
a
2
+
a
0
a_2+a_0
a
2
+
a
0
除以
1000
1000
1000
的餘數。
AIME
圓冪定理・面積切割與補形
開始練習 →
台南安平運河旁有一個圓形地燈圖樣，在平面圖中以
O
O
O
為圓心。維修點
P
P
P
在圓外，射線
P
O
PO
P
O
依序交圓於
C
,
D
C,D
C
,
D
。從
P
P
P
向圓作兩條切線，切點為
A
,
B
A,B
A
,
B
，且
A
,
B
A,B
A
,
B
在直線
P
O
PO
P
O
的兩側。已知
P
A
=
12
PA=12
P
A
=
12
、
P
C
=
8
PC=8
P
C
=
8
。若凸四邊形
A
D
B
C
ADBC
A
D
B
C
的面積為最簡分數
m
n
\frac{m}{n}
n
m
，求
m
+
n
m+n
m
+
n
。
AMC 12
整數解與不定方程・系統列舉與分類討論
開始練習 →
台中車站附近的文創市集，阿澤把同款鑰匙圈裝成小盒與大盒販售。小盒每盒有
12
12
12
個，大盒每盒有
20
20
20
個，某天剛好把
504
504
504
個鑰匙圈全部裝完。若小盒數為
x
x
x
、大盒數為
y
y
y
，其中
x
,
y
x,y
x
,
y
為非負整數，且小盒數不超過大盒數的
3
3
3
倍，大盒數也不比小盒數多超過
10
10
10
盒，則共有多少種可能的裝盒方式？
AMC 10
數字與位數問題・數論基礎（整除、質因數、餘數）
開始練習 →
台中一間手搖飲店用三位數取餐號。小芷的取餐號為
N
=
100
a
+
10
b
+
c
N=100a+10b+c
N
=
100
a
+
10
b
+
c
，其中
a
,
b
,
c
a,b,c
a
,
b
,
c
是三個互不相同的數字；把它倒著讀得到的
R
=
100
c
+
10
b
+
a
R=100c+10b+a
R
=
100
c
+
10
b
+
a
也必須是三位數。若
a
+
b
+
c
=
13
a+b+c=13
a
+
b
+
c
=
13
，且
N
+
R
N+R
N
+
R
是
7
7
7
的倍數，則可能的取餐號
N
N
N
有幾種？
AMC 10
排列組合進階・容斥原理
開始練習 →
台南某鹹酥雞攤有
8
8
8
位同學圍著一張圓桌入座，座位沒有編號；只把整桌旋轉視為同一種坐法，鏡像反轉不視為同一種。已知阿哲與小芸必須相鄰，阿凱與小薇不能相鄰，其餘
4
4
4
人都沒有特殊限制。共有多少種入座方式？
AIME
容斥原理・遞迴與路徑計數
開始練習 →
台中車站附近的步道畫成方格，小禾從西南角
S
=
(
0
,
0
)
S=(0,0)
S
=
(
0
,
0
)
走到東北角
T
=
(
8
,
6
)
T=(8,6)
T
=
(
8
,
6
)
，每一步只能往東或往北，因此只走最短路。三個集章攤位分別在
A
=
(
2
,
2
)
A=(2,2)
A
=
(
2
,
2
)
、
B
=
(
4
,
3
)
B=(4,3)
B
=
(
4
,
3
)
、
C
=
(
6
,
5
)
C=(6,5)
C
=
(
6
,
5
)
，施工中的路口
X
=
(
3
,
3
)
X=(3,3)
X
=
(
3
,
3
)
不能經過。問小禾有多少條最短路徑會經過恰好一個集章攤位？
AMC 10
相似形與比例線段・面積切割與補形
開始練習 →
台南某夜市攤位做一片三角形招牌
A
B
C
ABC
A
B
C
，在邊
A
B
AB
A
B
上依序取
D
,
F
D,F
D
,
F
，使
A
D
=
4
AD=4
A
D
=
4
、
D
F
=
2
DF=2
D
F
=
2
、
F
B
=
3
FB=3
F
B
=
3
。過
D
,
F
D,F
D
,
F
分別作
D
E
∥
B
C
DE \parallel BC
D
E
∥
B
C
、
F
G
∥
B
C
FG \parallel BC
F
G
∥
B
C
，交
A
C
AC
A
C
於
E
,
G
E,G
E
,
G
。已知四邊形
D
F
G
E
DFGE
D
F
GE
的面積為
60
60
60
平方公分，求四邊形
F
B
C
G
FBCG
F
B
C
G
的面積為多少平方公分？
AMC 10
面積切割與補形・畢氏定理與特殊直角三角形
開始練習 →
如圖，台中一所高中在長方形操場
A
B
C
D
ABCD
A
B
C
D
內畫夜市攤位區，
A
B
=
30
AB=30
A
B
=
30
、
A
D
=
22
AD=22
A
D
=
22
。點
P
P
P
在
A
D
AD
A
D
上，點
Q
Q
Q
在
B
C
BC
B
C
上，
A
P
=
18
AP=18
A
P
=
18
，且線段
P
Q
=
34
PQ=34
P
Q
=
34
。灰色攤位區先取四邊形
A
B
Q
P
ABQP
A
B
QP
，再挖掉一個直角三角形空位
R
S
T
RST
R
S
T
；其中
R
R
R
是直角，
R
T
=
7
RT=7
R
T
=
7
，
S
T
=
25
ST=25
S
T
=
25
。若
R
S
T
RST
R
S
T
完全在
A
B
Q
P
ABQP
A
B
QP
內，灰色面積是多少平方公尺？
AMC 10
圓的性質・畢氏定理與特殊直角三角形
開始練習 →
台中某公園有一座圓形花圃，圓心為
O
O
O
。小雅站在花圃外一點
P
P
P
，且直線
P
O
PO
P
O
穿過花圃，交圓於較近的點
C
C
C
與較遠的點
D
D
D
。已知
P
C
=
4
PC=4
P
C
=
4
、
C
D
=
12
CD=12
C
D
=
12
。小雅從
P
P
P
拉出兩條切線，分別切圓於
A
A
A
、
B
B
B
。求
A
B
AB
A
B
的長度。
AMC 10
鴿籠原理與最壞情況
開始練習 →
高雄駁二週末市集有一個台鐵便當集點攤，每張集點卡會記錄購買車站與便當口味。指定車站共有
6
6
6
個：台北、台中、高雄各有
4
4
4
種口味，花蓮、台東各有
3
3
3
種口味，嘉義有
2
2
2
種口味。至少要收集幾張集點卡，才能保證一定出現下列其中一種情況：有
10
10
10
張集點卡來自同一個車站，或有
4
4
4
張集點卡同時來自同一個車站且口味相同？
AMC 10
多項式與因式餘式定理・對稱式與代數恆等式
開始練習 →
台南安平某豆花店把一組集點檢核碼設計成首一四次多項式
P
(
x
)
=
x
4
+
a
x
3
+
b
x
2
+
c
x
+
d
P(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d
P
(
x
)
=
x
4
+
a
x
3
+
b
x
2
+
c
x
+
d
。已知
P
(
x
)
−
4
P(x)-4
P
(
x
)
−
4
有兩個根為
2
2
2
與
−
4
-4
−
4
，另外兩個根的和為
3
3
3
；又
P
(
x
)
P(x)
P
(
x
)
除以
x
+
1
x+1
x
+
1
的餘式為
−
41
-41
−
41
。求
b
+
c
b+c
b
+
c
。
AMC 10
排列組合進階・容斥原理
開始練習 →
中秋烤肉時，
7
7
7
位同學圍坐一張圓桌，圓桌旋轉後相同的坐法視為同一種。若小廷和小禹一定要相鄰，而小安和小晴不能相鄰，則共有多少種坐法？
AMC 10
遞迴與路徑計數・容斥原理
開始練習 →
台南一位學生從鹽行站外的路口
S
S
S
要走到小吃街入口
T
T
T
。把街道看成方格，每次只能向東或向北走一個街區。若
S
S
S
在
(
0
,
0
)
(0,0)
(
0
,
0
)
，
T
T
T
在
(
7
,
5
)
(7,5)
(
7
,
5
)
，且因施工不能經過路口
P
=
(
3
,
2
)
P=(3,2)
P
=
(
3
,
2
)
與
Q
=
(
5
,
3
)
Q=(5,3)
Q
=
(
5
,
3
)
，則從
S
S
S
到
T
T
T
的最短走法共有多少種？