MathMagic
Contest
目前：台灣升學
國際競賽
知識點
練習題
訂閱方案
目前：台灣升學
國際競賽
練習題庫
所有題目皆為原創擬真題，附繁中完整詳解。標有「免登入試做」的題不用登入就能做；登入後每日可免費練習 5 題。
更多篩選
年級 · 競賽 · 難度 · 知識點
▾
年級
全部
高中
小學
國中
競賽
全部台灣升學
分科測驗（數學甲）
大學學科能力測驗（數學）
國小數學
國中教育會考
難度
全部
易
中
難
知識點
所有知識點（92）
整數四則與運算順序
位值、概數與估算
單位換算與時間計算
分數與小數運算
數論基礎（整除、質因數、餘數）
質因數分解與標準分解式
最大公因數與最小公倍數
餘數循環與週期規律
進位制與位數表示
數字與位數問題
整數解與不定方程
模運算與同餘
中國剩餘定理
因數個數與因數和
階乘的質因數次數
代數技巧（方程、不等式、數列）
巧設未知數與一次方程應用
等差數列與規律延伸
乘法公式與因式分解
對稱式與代數恆等式
因式分解技巧（SFFT）
速率與工作問題
指數與根式
一次函數與圖形
二次函數與拋物線
多項式與因式餘式定理
不等式與絕對值
比例、速率與百分比
對數
複數
等比數列與無窮級數
函數概念與圖形變換
高斯取整函數
望遠鏡級數與裂項
遞迴數列
指數函數與指數方程
對數函數與對數方程
多項式函數與圖形
數列與級數
矩陣與線性變換
複數與多項式方程
幾何：角度與面積
角度追蹤
面積切割與補形
相似形與比例線段
幾何推理與證明
畢氏定理與特殊直角三角形
圓的性質
多邊形與正多邊形
立體幾何
坐標幾何
三角比與正餘弦定理
對稱與幾何變換
圓冪定理
圓錐曲線（截痕概念）
平面上的比例
二次曲線標準式
計數與機率
加法與乘法原理
系統列舉與分類討論
基礎機率
排列組合進階
容斥原理
期望值
幾何機率
遞迴與路徑計數
鴿籠原理與最壞情況
奇偶性與不變量
隔板法與重複組合
條件機率與貝氏
條件機率與貝氏定理
離散隨機變數
二項分布
幾何分布
邏輯推理與規律
統計圖表與資料判讀
平均數與加權平均
二維數據與相關
三角比與正餘弦定理
三角函數與和差角
三角函數建模
平面向量
空間向量
空間中的直線與平面
數列極限與收斂
無窮等比級數
函數極限與連續
導函數與微分法
微分應用（極值與圖形）
黎曼和與定積分
積分應用（面積與體積）
數線與絕對值
共
2969
題
・第 66／99 頁
大學學科能力測驗（數學）
不等式與絕對值・二次函數與拋物線
開始練習 →
若
30
−
t
−
t
2
t
2
+
2
t
−
8
\dfrac{\sqrt{30-t-t^2}}{\sqrt{t^2+2t-8}}
t
2
+
2
t
−
8
30
−
t
−
t
2
在實數範圍內有意義，則實數
t
t
t
的範圍為何？
‹
1
…
65
66
67
…
99
›
國小數學
速率與工作問題
開始練習 →
兩列火車在平行的直線軌道上等速相向行駛，甲車長
90
90
90
公尺，乙車長
150
150
150
公尺，速率分別為每秒
12
12
12
公尺與每秒
18
18
18
公尺。從兩車車頭相遇，到兩車車尾恰好錯開、兩車完全分開，共經過幾秒？
國中教育會考
指數與根式・多項式與因式餘式定理
開始練習 →
設
x
>
1
x>1
x
>
1
，將
(
−
2
x
2
)
3
÷
(
−
4
x
)
÷
x
2
(-2x^2)^3\div(-4x)\div x^2
(
−
2
x
2
)
3
÷
(
−
4
x
)
÷
x
2
簡記後，下列何者正確？
大學學科能力測驗（數學）
平面向量・三角比與正餘弦定理
開始練習 →
台南廟會工作人員以兩條纜繩拖動大型燈車。以正東方向為
0
∘
0^\circ
0
∘
，逆時針方向角為正：第一條纜繩施力大小為
6
6
6
千牛頓，方向角為
150
∘
150^\circ
15
0
∘
；第二條纜繩施力大小為
8
8
8
千牛頓，方向角為
−
10
∘
-10^\circ
−
1
0
∘
。為使燈車暫時保持靜止，第三條纜繩須施加與前兩力合力大小相同、方向相反的力。第三條纜繩的施力大小應為多少千牛頓？
國小數學
速率與工作問題
開始練習 →
社區蓄水池目前已有全池容量的
2
5
\frac{2}{5}
5
2
。甲、乙、丙、丁四條進水管若各自單獨將空池注滿，分別需要
12
12
12
小時、
15
15
15
小時、
20
20
20
小時、
30
30
30
小時。各管流量固定，同時開啟時互不影響，且注水期間沒有排水或用水。現在同時開啟四條進水管，還需要多少小時才能注滿？
國中教育會考
數論基礎（整除、質因數、餘數）
開始練習 →
校慶闖關卡要求依序輸入三個質數：第一個是
100
100
100
以內最大的質數，第二個是大於
100
100
100
且最接近
100
100
100
的質數，第三個是
1000
1000
1000
以內最大的質數。下列哪一組輸入正確？
國小數學
分數與小數運算
開始練習 →
社區園遊會準備了
24
5
18
24\frac{5}{18}
24
18
5
公升冬瓜茶，上午售出
7
7
12
7\frac{7}{12}
7
12
7
公升。將整數部分與分數部分分開處理，上午結束時還剩多少公升冬瓜茶？
國小數學
立體幾何・面積切割與補形
開始練習 →
如圖，一個封閉的直柱體收納盒，其底面為
L
L
L
形。底面可視為長
10
10
10
公分、寬
8
8
8
公分的長方形，挖去一個長
6
6
6
公分、寬
5
5
5
公分的長方形；柱高為
12
12
12
公分。此收納盒的表面積為多少平方公分？
大學學科能力測驗（數學）
三角函數與和差角・函數概念與圖形變換
開始練習 →
台北捷運站內的燈光測試程式使用六個標準三角函數之一
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
，並輸出
g
(
x
)
=
f
(
x
+
π
2
)
g(x)=f\left(x+\frac{\pi}{2}\right)
g
(
x
)
=
f
(
x
+
2
π
)
。測試人員記錄到
g
g
g
的定義域為
x
≠
π
2
+
k
π
x\ne\frac{\pi}{2}+k\pi
x
=
2
π
+
k
π
，其中
k
∈
Z
k\in\mathbb{Z}
k
∈
Z
；值域為
(
−
∞
,
−
1
]
∪
[
1
,
∞
)
(-\infty,-1]\cup[1,\infty)
(
−
∞
,
−
1
]
∪
[
1
,
∞
)
，基本週期為
2
π
2\pi
2
π
，且
g
g
g
為偶函數。則原函數
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
為何？
大學學科能力測驗（數學）
對數
開始練習 →
台北某捷運站量到一段施工音量為
78
78
78
分貝，附近巷口量到
68
68
68
分貝。已知分貝
L
=
10
log
I
I
0
L=10\log \frac{I}{I_0}
L
=
10
lo
g
I
0
I
，其中
I
I
I
為聲音強度。施工處的聲音強度約為巷口的幾倍？
大學學科能力測驗（數學）
指數與根式・指數函數與指數方程
開始練習 →
已知正數
x
,
y
,
z
x,y,z
x
,
y
,
z
滿足
4
x
=
8
y
=
64
z
4^x=8^y=64^z
4
x
=
8
y
=
6
4
z
，且
1
x
+
1
y
+
1
z
=
11
6
\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{11}{6}
x
1
+
y
1
+
z
1
=
6
11
，則此連等式的共同值為何？
國中教育會考
指數與根式・位值、概數與估算
開始練習 →
某校園氣象站一日產生的資料量記為
0.036
×
10
8
0.036\times 10^8
0.036
×
1
0
8
位元組。若同一資料量也可寫成
360
×
10
m
360\times 10^m
360
×
1
0
m
位元組，其中
m
m
m
為整數，則
m
m
m
為何？
國中教育會考
三角比與正餘弦定理・畢氏定理與特殊直角三角形
開始練習 →
校園園遊會搭一條直線斜坡連接舞台與操場，側面示意為直角三角形。斜坡與地面形成
30
∘
30^\circ
3
0
∘
，舞台高度為
1.2
1.2
1.2
公尺。若斜坡視為直線，斜坡長多少公尺？
大學學科能力測驗（數學）
圓的性質・畢氏定理與特殊直角三角形
開始練習 →
學校操場旁有一塊直角三角形草皮
A
B
C
ABC
A
B
C
，
∠
A
=
90
∘
\angle A=90^\circ
∠
A
=
9
0
∘
。草皮內有一個與三邊都相切的圓形花壇，花壇與斜邊
B
C
BC
B
C
相切於點
P
P
P
，量得
B
P
=
3
BP=3
B
P
=
3
公尺、
C
P
=
10
CP=10
C
P
=
10
公尺，如圖。這個圓形花壇的半徑是多少公尺？
國中教育會考
邏輯推理與規律
開始練習 →
某圖書館以資料卡記錄講座參加者的資料。每張卡的正面記載「已預約」或「未預約」，背面記載「有座號」或「無座號」，每面恰有一種記載。館員要檢查四張卡是否都符合規則：「若已預約，則有座號。」目前各卡朝上的一面分別為：①正面「已預約」；②正面「未預約」；③背面「有座號」；④背面「無座號」。在不知道另一面內容的情況下，至少必須翻看哪些卡，才能確定這四張卡是否都符合規則？
大學學科能力測驗（數學）
指數函數與指數方程・指數與根式
開始練習 →
設
f
(
x
)
=
2
x
+
2
−
x
2
x
−
2
−
x
f(x)=\frac{2^x+2^{-x}}{2^x-2^{-x}}
f
(
x
)
=
2
x
−
2
−
x
2
x
+
2
−
x
，其中
x
≠
0
x\ne0
x
=
0
。已知
a
a
a
、
b
b
b
為正實數，且
f
(
a
)
=
4
f(a)=4
f
(
a
)
=
4
、
f
(
b
)
=
5
f(b)=5
f
(
b
)
=
5
，則
f
(
a
+
b
)
f(a+b)
f
(
a
+
b
)
的值為何？
大學學科能力測驗（數學）
指數函數與指數方程・不等式與絕對值
開始練習 →
不等式
4
−
x
+
1
2
≤
2
1
−
x
+
2
−
x
−
2
4^{-x}+\frac12\le 2^{1-x}+2^{-x-2}
4
−
x
+
2
1
≤
2
1
−
x
+
2
−
x
−
2
的解集為何？
國中教育會考
坐標幾何・畢氏定理與特殊直角三角形
開始練習 →
如圖，校園導覽圖中的三處設施座標分別為
A
(
1
,
1
)
A(1,1)
A
(
1
,
1
)
、
B
(
7
,
3
)
B(7,3)
B
(
7
,
3
)
、
C
(
t
,
5
)
C(t,5)
C
(
t
,
5
)
，其中
t
t
t
為實數。若這三處設施構成等腰直角三角形，則
t
t
t
為何？
大學學科能力測驗（數學）
不等式與絕對值・一次函數與圖形
開始練習 →
某夜市以座標規劃餐車營業區，餐車位置須滿足
4
x
−
2
y
≥
6
4x-2y\ge 6
4
x
−
2
y
≥
6
。將此條件整理成以
y
y
y
為主的斜截式後，下列何者正確？
大學學科能力測驗（數學）
對數
開始練習 →
小美在數學小考中遇到下面這題：設
x
=
−
5
x=-5
x
=
−
5
，求
log
25
x
2
+
2
log
4
9
+
log
4
+
log
25
\log_{25}x^2+2^{\log_4 9}+\log 4+\log 25
lo
g
25
x
2
+
2
l
o
g
4
9
+
lo
g
4
+
lo
g
25
的值。
大學學科能力測驗（數學）
多項式函數與圖形・函數極限與連續
開始練習 →
設
a
,
b
a,b
a
,
b
為實數，函數
F
F
F
定義在全體實數上，且
F
(
x
)
=
{
(
x
+
1
)
(
x
−
1
)
2
(
x
+
1
)
(
x
−
1
)
,
x
≠
−
1
,
x
≠
1
,
a
,
x
=
−
1
,
b
,
x
=
1.
F(x)=\begin{cases}\frac{(x+1)(x-1)^2}{(x+1)(x-1)},&x\ne-1,\ x\ne1,\\a,&x=-1,\\b,&x=1.\end{cases}
F
(
x
)
=
⎩
⎨
⎧
(
x
+
1
)
(
x
−
1
)
(
x
+
1
)
(
x
−
1
)
2
,
a
,
b
,
x
=
−
1
,
x
=
1
,
x
=
−
1
,
x
=
1.
若要求存在一個多項式
P
(
x
)
P(x)
P
(
x
)
，使每個實數
x
x
x
都滿足
F
(
x
)
=
P
(
x
)
F(x)=P(x)
F
(
x
)
=
P
(
x
)
，則下列何者正確？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何
開始練習 →
某共享單車站的平面座標圖上，兩處停放點分別為
P
=
(
1
,
0
)
P=(1,0)
P
=
(
1
,
0
)
與
Q
=
(
a
,
b
)
Q=(a,b)
Q
=
(
a
,
b
)
。已知直線
L
:
y
=
x
+
1
L:y=x+1
L
:
y
=
x
+
1
恰為線段
P
Q
PQ
P
Q
的垂直平分線，則
Q
Q
Q
的座標為何？
國小數學
立體幾何・巧設未知數與一次方程應用
開始練習 →
某無蓋長方體塑膠零件盒的四側與底部厚度皆為
1
1
1
公分，外部寬為
8
8
8
公分，外部高為
6
6
6
公分，內部容量為
840
840
840
立方公分。此零件盒的外部長度為多少公分？
大學學科能力測驗（數學）
平面向量
開始練習 →
已知
a
⃗
=
(
k
,
6
)
\vec a=(k,6)
a
=
(
k
,
6
)
，其中
k
>
0
k>0
k
>
0
。若與
a
⃗
\vec a
a
同方向的單位向量之第一個分量為
4
5
\frac45
5
4
，則
k
k
k
為何？
國中教育會考
指數與根式・不等式與絕對值
開始練習 →
小芸比較三款行動電源，依測試公式得到效能指標
P
=
4
6
P=\frac{4}{\sqrt{6}}
P
=
6
4
、
Q
=
6
10
Q=\frac{6}{\sqrt{10}}
Q
=
10
6
、
R
=
7
15
R=\frac{7}{\sqrt{15}}
R
=
15
7
。將三個指標的分母有理化並通分後，下列敘述何者正確？
國中教育會考
分數與小數運算
開始練習 →
某社區團購店盤點米袋時，系統顯示四筆重量修正值：
7
−
60
\frac{7}{-60}
−
60
7
公斤、
−
2
−
15
\frac{-2}{-15}
−
15
−
2
公斤、
−
1
6
\frac{-1}{6}
6
−
1
公斤與
3
−
20
\frac{3}{-20}
−
20
3
公斤。將結果寫成分母為正的最簡分數，四筆修正值的合計為何？
國中教育會考
不等式與絕對值・指數與根式
開始練習 →
合歡山某日清晨的氣溫為
x
x
x
攝氏度，已知
x
<
3
x<3
x
<
3
，且滿足
(
x
−
3
)
2
−
2
x
=
1
\sqrt{(x-3)^2}-2x=1
(
x
−
3
)
2
−
2
x
=
1
，則
x
x
x
為何？
國中教育會考
圓冪定理・畢氏定理與特殊直角三角形
開始練習 →
夜市遊戲攤有一個圓形轉盤，圓心為
O
O
O
，半徑為
5
5
5
公分。攤主從轉盤外一點
P
P
P
拉出兩條剛好碰到圓的直線，切點分別為
A
A
A
、
B
B
B
。若
O
P
=
13
OP=13
O
P
=
13
公分，則兩條切線段長度和
P
A
+
P
B
PA+PB
P
A
+
P
B
為多少公分？
大學學科能力測驗（數學）
多項式與因式餘式定理・指數與根式
開始練習 →
設
x
=
2
−
3
x=2-\sqrt{3}
x
=
2
−
3
，則
x
4
−
4
x
3
+
2
x
2
−
x
+
5
x^{4}-4x^{3}+2x^{2}-x+5
x
4
−
4
x
3
+
2
x
2
−
x
+
5
的值為下列哪一個？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何
開始練習 →
如圖，圓
C
:
x
2
+
y
2
+
2
x
−
4
y
−
4
=
0
C:x^2+y^2+2x-4y-4=0
C
:
x
2
+
y
2
+
2
x
−
4
y
−
4
=
0
與直線
L
:
2
x
−
y
+
4
=
0
L:2x-y+4=0
L
:
2
x
−
y
+
4
=
0
相交於
A
A
A
、
B
B
B
兩點。某圓通過
A
A
A
、
B
B
B
，其方程式寫成
x
2
+
y
2
+
2
x
−
4
y
−
4
+
(
2
k
−
1
)
(
2
x
−
y
+
4
)
=
0
x^2+y^2+2x-4y-4+(2k-1)(2x-y+4)=0
x
2
+
y
2
+
2
x
−
4
y
−
4
+
(
2
k
−
1
)
(
2
x
−
y
+
4
)
=
0
。若此圓也通過
P
(
1
,
4
)
P(1,4)
P
(
1
,
4
)
，則參數
k
k
k
的值為何？