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整數四則與運算順序
位值、概數與估算
單位換算與時間計算
分數與小數運算
數論基礎（整除、質因數、餘數）
質因數分解與標準分解式
最大公因數與最小公倍數
餘數循環與週期規律
進位制與位數表示
數字與位數問題
整數解與不定方程
模運算與同餘
中國剩餘定理
因數個數與因數和
階乘的質因數次數
代數技巧（方程、不等式、數列）
巧設未知數與一次方程應用
等差數列與規律延伸
乘法公式與因式分解
對稱式與代數恆等式
因式分解技巧（SFFT）
速率與工作問題
指數與根式
一次函數與圖形
二次函數與拋物線
多項式與因式餘式定理
不等式與絕對值
對數
比例、速率與百分比
複數
等比數列與無窮級數
函數概念與圖形變換
高斯取整函數
望遠鏡級數與裂項
遞迴數列
指數函數與指數方程
對數函數與對數方程
多項式函數與圖形
數列與級數
矩陣與線性變換
複數與多項式方程
幾何：角度與面積
角度追蹤
面積切割與補形
相似形與比例線段
畢氏定理與特殊直角三角形
幾何推理與證明
圓的性質
多邊形與正多邊形
立體幾何
坐標幾何
三角比與正餘弦定理
對稱與幾何變換
圓冪定理
圓錐曲線（截痕概念）
平面上的比例
二次曲線標準式
計數與機率
加法與乘法原理
系統列舉與分類討論
基礎機率
排列組合進階
容斥原理
期望值
幾何機率
遞迴與路徑計數
鴿籠原理與最壞情況
奇偶性與不變量
隔板法與重複組合
條件機率與貝氏
條件機率與貝氏定理
離散隨機變數
二項分布
幾何分布
邏輯推理與規律
統計圖表與資料判讀
平均數與加權平均
二維數據與相關
三角比與正餘弦定理
三角函數與和差角
三角函數建模
平面向量
空間向量
空間中的直線與平面
數列極限與收斂
無窮等比級數
函數極限與連續
導函數與微分法
微分應用（極值與圖形）
黎曼和與定積分
積分應用（面積與體積）
數線與絕對值
共
3001
題
・第 58／101 頁
大學學科能力測驗（數學）
平面向量
開始練習 →
設
a
⃗
\vec a
a
、
b
⃗
\vec b
b
為平面上兩個非零向量，且
∣
b
⃗
∣
=
2
|\vec b|=2
∣
b
∣
=
2
。若
a
⃗
−
3
b
⃗
\vec a-3\vec b
a
−
3
b
與
b
⃗
\vec b
b
垂直，則
a
⃗
⋅
b
⃗
\vec a\cdot\vec b
a
⋅
b
之值為何？
‹
1
…
57
58
59
…
101
›
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何
開始練習 →
如圖，兩圓
C
1
:
x
2
+
y
2
+
2
x
−
2
y
−
7
=
0
C_1:x^2+y^2+2x-2y-7=0
C
1
:
x
2
+
y
2
+
2
x
−
2
y
−
7
=
0
與
C
2
:
x
2
+
y
2
−
6
x
+
2
y
−
3
=
0
C_2:x^2+y^2-6x+2y-3=0
C
2
:
x
2
+
y
2
−
6
x
+
2
y
−
3
=
0
相交於兩點。圓
C
C
C
通過這兩個交點，且圓心在直線
ℓ
:
x
−
y
=
2
\ell:x-y=2
ℓ
:
x
−
y
=
2
上。若圓
C
C
C
的半徑為
r
r
r
，則
r
2
r^2
r
2
為何？
國小數學
幾何：角度與面積・立體幾何
開始練習 →
公園的燈罩設計成正五角錐，展開圖如圖。若每一個側面的頂角均為
40
∘
40^\circ
4
0
∘
，則每一個側面的另外兩個角各為多少？
大學學科能力測驗（數學）
三角函數與和差角・函數概念與圖形變換
開始練習 →
台北捷運月台測試儀器的週期校正讀值可用函數
y
=
6
tan
(
a
x
−
9
)
+
11
y=6\tan(ax-9)+11
y
=
6
tan
(
a
x
−
9
)
+
11
描述，其中
x
x
x
的單位為秒。已知此函數的最小正週期為
7
π
2
\frac{7\pi}{2}
2
7
π
秒，且
a
<
0
a<0
a
<
0
，則
a
a
a
為何？
國中教育會考
整數四則與運算順序・邏輯推理與規律
開始練習 →
某計算程式要依照「
a
÷
b
=
c
a\div b=c
a
÷
b
=
c
必須滿足
a
=
b
×
c
a=b\times c
a
=
b
×
c
，且商須唯一確定」的原則處理除法。設計者主張：「因為
0
=
0
×
7
0=0\times 7
0
=
0
×
7
，所以可以把
0
÷
0
0\div 0
0
÷
0
的商唯一設定為
7
7
7
。」下列哪一項最能正確判斷這項主張？
國中教育會考
指數與根式・位值、概數與估算
開始練習 →
台灣燈會某感測器的記錄檔大小為
680000
680000
680000
位元組。若將此數寫成標準科學記號
a
×
10
n
a \times 10^n
a
×
1
0
n
，其中
1
≤
a
<
10
1 \le a<10
1
≤
a
<
10
且
n
n
n
為整數，則
a
+
n
a+n
a
+
n
為何？
國小數學
立體幾何
開始練習 →
正方形
A
B
C
D
ABCD
A
B
C
D
的四邊
A
B
AB
A
B
、
B
C
BC
B
C
、
C
D
CD
C
D
、
D
A
DA
D
A
外側，分別接上一個等腰三角形（四個三角形全等），其外頂點依序標為
E
E
E
、
F
F
F
、
G
G
G
、
H
H
H
，形成一張四角錐展開圖。將展開圖折合後，由
A
A
A
較近、
C
C
C
較遠的斜上方觀看，且視線與水平面的夾角不大，使得含
C
C
C
點的兩個側面被擋在後方、看不到外表面。以實線表示可見的稜、虛線表示被立體表面遮住的稜，下列立體圖的文字描述何者正確？
國中教育會考
相似形與比例線段・畢氏定理與特殊直角三角形
開始練習 →
如圖，校慶布置使用直角三角形支架
△
P
Q
R
\triangle PQR
△
P
QR
，其中
∠
P
R
Q
=
90
∘
\angle PRQ=90^\circ
∠
P
R
Q
=
9
0
∘
。支架內的補強桿
R
S
RS
R
S
垂直於斜邊
P
Q
PQ
P
Q
，已知
P
R
=
15
c
m
PR=15\,\mathrm{cm}
P
R
=
15
cm
、
R
S
=
12
c
m
RS=12\,\mathrm{cm}
R
S
=
12
cm
，則
R
Q
RQ
R
Q
的長度為何？
國中教育會考
圓的性質・畢氏定理與特殊直角三角形
開始練習 →
如圖，某圓形廣場的圓心為
O
O
O
，半徑為
10
10
10
公尺，
A
A
A
為圓周上一點。廣場旁的攤位位於
B
B
B
點，測得
A
B
=
24
AB=24
A
B
=
24
公尺、
O
B
=
26
OB=26
O
B
=
26
公尺。關於直線
A
B
AB
A
B
與圓的位置關係，下列何者正確？
大學學科能力測驗（數學）
對數函數與對數方程・對數
開始練習 →
某日臺北測得一場雨的雨水
pH
\text{pH}
pH
值為
4.4
4.4
4.4
。已知
pH
=
−
log
[
H
+
]
\text{pH}=-\log[\text{H}^+]
pH
=
−
lo
g
[
H
+
]
，其中
[
H
+
]
[\text{H}^+]
[
H
+
]
為氫離子濃度（單位：莫耳／公升），且
log
2
≈
0.3
\log 2\approx 0.3
lo
g
2
≈
0.3
。則這場雨水的氫離子濃度最接近下列哪一個值？
大學學科能力測驗（數學）
對數・數字與位數問題
開始練習 →
某雲端備份系統可使用的檔案編號總數為正整數
x
x
x
。已知
70
<
log
2
x
<
70.5
70<\log_2 x<70.5
70
<
lo
g
2
x
<
70.5
，且
log
2
≈
0.3010
\log 2\approx0.3010
lo
g
2
≈
0.3010
，則
x
x
x
是幾位數？
大學學科能力測驗（數學）
二次函數與拋物線
開始練習 →
台中某共享機車公司推出短程租借方案。租借
t
t
t
小時的優惠費用可用
C
(
t
)
=
20
t
2
−
120
t
+
260
C(t)=20t^2-120t+260
C
(
t
)
=
20
t
2
−
120
t
+
260
表示，單位為元，且
0
≤
t
≤
5
0\le t\le 5
0
≤
t
≤
5
。小安想知道費用是否可能低於
100
100
100
元。下列判斷何者正確？
大學學科能力測驗（數學）
三角比與正餘弦定理・三角比與正餘弦定理
開始練習 →
兩條步道由觀景台
B
B
B
分別通往涼亭
A
A
A
與平台
C
C
C
。已知
A
B
=
6
AB=6
A
B
=
6
公里、
A
C
=
14
AC=14
A
C
=
14
公里，且
∠
A
B
C
=
120
∘
\angle ABC=120^\circ
∠
A
B
C
=
12
0
∘
，則步道
B
C
BC
B
C
長多少公里？
大學學科能力測驗（數學）
平面向量
開始練習 →
已知非零向量
a
⃗
\vec a
a
與
b
⃗
\vec b
b
不平行，並令
u
⃗
=
a
⃗
+
2
b
⃗
\vec u=\vec a+2\vec b
u
=
a
+
2
b
、
v
⃗
=
2
a
⃗
+
k
b
⃗
\vec v=2\vec a+k\vec b
v
=
2
a
+
k
b
，其中
k
k
k
為實數。若向量等式
p
u
⃗
+
q
v
⃗
=
3
a
⃗
+
6
b
⃗
p\vec u+q\vec v=3\vec a+6\vec b
p
u
+
q
v
=
3
a
+
6
b
至少有兩組相異的實數有序數對
(
p
,
q
)
(p,q)
(
p
,
q
)
滿足，則
k
k
k
為何？
國中教育會考
指數與根式・位值、概數與估算
開始練習 →
校園科學社的感測器記錄一顆微粒的直徑為
0.01
×
10
−
4
0.01\times10^{-4}
0.01
×
1
0
−
4
公尺。若將此數改寫成標準科學記號
a
×
10
n
a\times10^n
a
×
1
0
n
，則
n
n
n
為何？
國中教育會考
代數技巧（方程、不等式、數列）・幾何：角度與面積
開始練習 →
如圖，社區原有一塊邊長為
x
x
x
公尺的正方形菜圃，調整成長方形後，一邊的長度變為原邊長的
3
3
3
倍，另一邊的長度比原邊長減少
4
4
4
公尺。調整後的面積反而比原面積少
10
10
10
平方公尺。若沿新菜圃四周設置圍籬，不留缺口，則共需要多少公尺的圍籬？
大學學科能力測驗（數學）
排列組合進階
開始練習 →
嘉義某咖啡攤把
6
6
6
張圓形口味貼紙貼在圓桌邊緣等距位置，貼紙顏色為
2
2
2
張紅色、
2
2
2
張藍色、
1
1
1
張黃色、
1
1
1
張綠色。同一種貼法若只是整個圓桌旋轉後相同，視為同一種；翻面看到的順序不同，視為不同種。共有幾種貼法？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何
開始練習 →
設
a
a
a
、
b
b
b
為固定實數，圓系為
C
k
:
x
2
+
y
2
+
(
a
k
+
b
)
x
+
(
3
k
−
2
)
y
+
b
k
−
3
=
0
C_k:x^2+y^2+(ak+b)x+(3k-2)y+bk-3=0
C
k
:
x
2
+
y
2
+
(
ak
+
b
)
x
+
(
3
k
−
2
)
y
+
bk
−
3
=
0
。如圖，當
k
=
2
k=2
k
=
2
與
k
=
4
k=4
k
=
4
時，兩圓的一個交點為
A
(
−
1
,
2
)
A(-1,2)
A
(
−
1
,
2
)
，則
a
+
b
a+b
a
+
b
的值為何？
大學學科能力測驗（數學）
指數函數與指數方程・不等式與絕對值
開始練習 →
滿足
(
1
4
)
x
−
1
<
1
8
2
≤
(
1
8
)
x
−
2
\left(\dfrac14\right)^{x-1}<\dfrac{1}{8\sqrt2}\leq\left(\dfrac18\right)^{x-2}
(
4
1
)
x
−
1
<
8
2
1
≤
(
8
1
)
x
−
2
的所有實數
x
x
x
所成的解集為何？
國中教育會考
最大公因數與最小公倍數・質因數分解與標準分解式
開始練習 →
某飲料店整理活動用杯墊，以短除法記錄依序分裝後每組的數量，如圖。左側兩個
k
k
k
代表相同的正整數，且
A
−
B
=
432
A-B=432
A
−
B
=
432
。求
A
+
C
A+C
A
+
C
的值。
國小數學
速率與工作問題
開始練習 →
某公園的環形跑道全長為
360
360
360
公尺。甲、乙各以固定速率跑步，甲跑完一圈需
3
3
3
分鐘，乙跑完一圈需
6
6
6
分鐘。兩人同時從同一地點朝相反方向出發，出發後經過多少分鐘首次相遇？
國中教育會考
面積切割與補形
開始練習 →
如圖，高雄某公園有一塊四邊形鋪面
A
B
C
D
ABCD
A
B
C
D
。
E
E
E
、
F
F
F
、
G
G
G
、
H
H
H
分別為
A
B
AB
A
B
、
B
C
BC
B
C
、
C
D
CD
C
D
、
D
A
DA
D
A
的中點；
P
P
P
、
Q
Q
Q
、
R
R
R
、
S
S
S
又分別為
E
F
EF
E
F
、
F
G
FG
F
G
、
G
H
GH
G
H
、
H
E
HE
H
E
的中點。若四邊形
P
Q
R
S
PQRS
P
QR
S
的面積為
27
m
2
27\,\mathrm{m}^2
27
m
2
，則鋪面
A
B
C
D
ABCD
A
B
C
D
的面積為何？
國中教育會考
單位換算與時間計算・比例、速率與百分比
開始練習 →
外送員的定位紀錄顯示平均速率為
7.5
7.5
7.5
公尺/秒。若系統改以公里/分鐘顯示速率，應顯示多少？
國中教育會考
代數技巧（方程、不等式、數列）・二次函數與拋物線
開始練習 →
已知二次方程式
6
x
2
+
a
x
+
b
=
0
6x^2+ax+b=0
6
x
2
+
a
x
+
b
=
0
的兩根為
−
1
+
5
2
\frac{-1+\sqrt{5}}{2}
2
−
1
+
5
與
−
1
−
5
2
\frac{-1-\sqrt{5}}{2}
2
−
1
−
5
，則此方程式為下列何者？
國中教育會考
指數與根式
開始練習 →
雷射切割機以直式開平方法計算正方形壓克力價牌的邊長，被開方數為
0.05363856
0.05363856
0.05363856
。計算時已依序使用
05
05
05
與
36
36
36
兩組，為求商的後續各位，接下來應依序放下哪幾組數字？
國中教育會考
指數與根式・數線與絕對值
開始練習 →
已知
1
<
a
<
2
1<a<2
1
<
a
<
2
，則
(
a
−
1
)
2
−
(
a
−
4
)
2
\sqrt{(a-1)^2}-\sqrt{(a-4)^2}
(
a
−
1
)
2
−
(
a
−
4
)
2
等於下列何者？
國中教育會考
模運算與同餘・最大公因數與最小公倍數
開始練習 →
某社區園遊會共有四位數張園遊券
N
N
N
，且
3000
≤
N
≤
6500
3000\leq N\leq 6500
3000
≤
N
≤
6500
。若分別以每束
12
12
12
張、
15
15
15
張、
18
18
18
張整理，最後依序剩下
5
5
5
張、
8
8
8
張、
11
11
11
張，則
N
N
N
最大可能為何？
大學學科能力測驗（數學）
平面向量・坐標幾何
開始練習 →
某河濱步道地圖以公里為座標單位，入口
A
=
(
−
4
,
1
)
A=(-4,1)
A
=
(
−
4
,
1
)
、補給站
P
=
(
2
,
5
)
P=(2,5)
P
=
(
2
,
5
)
，終點為
B
B
B
。已知
P
P
P
在線段
A
B
‾
\overline{AB}
A
B
上，且
A
P
‾
:
P
B
‾
=
2
:
3
\overline{AP}:\overline{PB}=2:3
A
P
:
P
B
=
2
:
3
，則
(
B
,
A
B
‾
)
(B,\overline{AB})
(
B
,
A
B
)
為何？
國中教育會考
不等式與絕對值・巧設未知數與一次方程應用
開始練習 →
社團要租借
1
1
1
組露營燈，這組的固定租金為
80
80
80
元，另外每小時收
25
25
25
元。若社團預算最多
230
230
230
元，且至少要租
4
4
4
小時，則最多可以租幾小時？
國中教育會考
指數與根式・分數與小數運算
開始練習 →
台北捷運站內某電子看板的測試值由算式
M
=
−
2
4
+
(
−
2
)
3
×
(
−
1
)
2025
(
−
1
)
2024
+
1
+
3
÷
(
−
1
2
)
2
M=\frac{-2^4+(-2)^3\times(-1)^{2025}}{(-1)^{2024}+1}+3\div\left(-\frac{1}{2}\right)^2
M
=
(
−
1
)
2024
+
1
−
2
4
+
(
−
2
)
3
×
(
−
1
)
2025
+
3
÷
(
−
2
1
)
2
定義，則
M
M
M
的值為何？