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所有知識點（91）
整數四則與運算順序
位值、概數與估算
單位換算與時間計算
分數與小數運算
數論基礎（整除、質因數、餘數）
質因數分解與標準分解式
最大公因數與最小公倍數
餘數循環與週期規律
進位制與位數表示
數字與位數問題
整數解與不定方程
模運算與同餘
中國剩餘定理
因數個數與因數和
階乘的質因數次數
代數技巧（方程、不等式、數列）
巧設未知數與一次方程應用
等差數列與規律延伸
對稱式與代數恆等式
因式分解技巧（SFFT）
速率與工作問題
一次函數與圖形
指數與根式
二次函數與拋物線
多項式與因式餘式定理
不等式與絕對值
比例、速率與百分比
對數
複數
等比數列與無窮級數
函數概念與圖形變換
高斯取整函數
望遠鏡級數與裂項
遞迴數列
指數函數與指數方程
對數函數與對數方程
多項式函數與圖形
數列與級數
矩陣與線性變換
複數與多項式方程
幾何：角度與面積
角度追蹤
面積切割與補形
相似形與比例線段
畢氏定理與特殊直角三角形
幾何推理與證明
圓的性質
多邊形與正多邊形
立體幾何
坐標幾何
三角比與正餘弦定理
對稱與幾何變換
圓冪定理
圓錐曲線（截痕概念）
平面上的比例
二次曲線標準式
計數與機率
加法與乘法原理
系統列舉與分類討論
基礎機率
排列組合進階
容斥原理
期望值
幾何機率
遞迴與路徑計數
鴿籠原理與最壞情況
奇偶性與不變量
隔板法與重複組合
條件機率與貝氏
條件機率與貝氏定理
離散隨機變數
二項分布
幾何分布
邏輯推理與規律
統計圖表與資料判讀
平均數與加權平均
二維數據與相關
三角比與正餘弦定理
三角函數與和差角
三角函數建模
平面向量
空間向量
空間中的直線與平面
數列極限與收斂
無窮等比級數
函數極限與連續
導函數與微分法
微分應用（極值與圖形）
黎曼和與定積分
積分應用（面積與體積）
數線與絕對值
共
1383
題
・第 42／47 頁
大學學科能力測驗（數學）
圓的性質・畢氏定理與特殊直角三角形
開始練習 →
高雄某夜市設置一個圓形招牌，圓心為
O
O
O
。從招牌外一點
P
P
P
拉兩條切線，切點分別為
A
A
A
、
B
B
B
。已知半徑
O
A
=
12
OA=12
O
A
=
12
公分，且
O
P
=
20
OP=20
O
P
=
20
公分，若要在兩段切線
P
A
PA
P
A
、
P
B
PB
P
B
上裝等長燈條，兩段燈條總長為多少公分？
‹
1
…
41
42
43
…
47
›
大學學科能力測驗（數學）
不等式與絕對值・數線與絕對值
開始練習 →
夜市闖關遊戲以整數
x
x
x
表示玩家的得分等級。若獲獎條件為
∣
2
x
−
5
∣
≤
7.4
|2x-5|\le 7.4
∣2
x
−
5∣
≤
7.4
，則所有可獲獎的得分等級之和為何？
國中教育會考
面積切割與補形・比例、速率與百分比
開始練習 →
嘉義一座三角形花圃
A
B
D
ABD
A
B
D
的底邊
B
D
BD
B
D
沿著直線步道，點
C
C
C
在
B
D
BD
B
D
上。若
B
C
:
C
D
=
3
:
2
BC:CD=3:2
B
C
:
C
D
=
3
:
2
，且整個花圃
A
B
D
ABD
A
B
D
的面積為
75
75
75
平方公尺，則小花圃
A
C
D
ACD
A
C
D
的面積是多少？
大學學科能力測驗（數學）
對數函數與對數方程
開始練習 →
方程式
2
log
2
(
x
−
1
)
−
log
2
(
x
+
3
)
=
1
2\log_2(x-1)-\log_2(x+3)=1
2
lo
g
2
(
x
−
1
)
−
lo
g
2
(
x
+
3
)
=
1
的實數解為何？
大學學科能力測驗（數學）
整數四則與運算順序
開始練習 →
某高中園遊會班級用正數記錄收入、負數記錄支出。某時段依序記下
+
240
+240
+
240
元、
−
315
-315
−
315
元、
+
28
+28
+
28
元，這三筆紀錄使現金總額共改變多少元？
大學學科能力測驗（數學）
分數與小數運算・整數四則與運算順序
開始練習 →
某高中合作社盤點時，系統將三筆校正量合併為
17
(
20
119
−
9
85
)
−
18
(
14
63
−
11
45
)
+
17
(
8
119
+
4
85
)
17\left(\frac{20}{119}-\frac{9}{85}\right)-18\left(\frac{14}{63}-\frac{11}{45}\right)+17\left(\frac{8}{119}+\frac{4}{85}\right)
17
(
119
20
−
85
9
)
−
18
(
63
14
−
45
11
)
+
17
(
119
8
+
85
4
)
。合併後的校正量為何？
大學學科能力測驗（數學）
圓的性質・角度追蹤
開始練習 →
嘉義市的圓形夜跑路線上，打卡點
A
A
A
、
B
B
B
、
C
C
C
在同一段較短圓弧上依序排列，圓心為
O
O
O
。量得
∠
A
O
C
=
128
∘
\angle AOC=128^\circ
∠
A
O
C
=
12
8
∘
。另一個打卡點
D
D
D
在
A
A
A
到
C
C
C
的另一段較長圓弧上。攝影機放在
D
D
D
，拍攝方向分別對準
A
A
A
、
C
C
C
，求視角
∠
A
D
C
\angle ADC
∠
A
D
C
。
大學學科能力測驗（數學）
三角比與正餘弦定理
開始練習 →
阿里山步道管理員在相距
100
100
100
公尺的觀測點
A
A
A
、
B
B
B
發現迷途遊客位於
T
T
T
。測得
∠
T
A
B
=
30
∘
\angle TAB=30^\circ
∠
T
A
B
=
3
0
∘
，且
∠
A
B
T
=
45
∘
\angle ABT=45^\circ
∠
A
B
T
=
4
5
∘
。假設三點位於同一水平面，則遊客與觀測點
B
B
B
的直線距離
B
T
BT
B
T
為多少公尺？
大學學科能力測驗（數學）
分數與小數運算・整數四則與運算順序
開始練習 →
早餐店準備了
9
9
9
盤蘿蔔糕，每盤都有
14
14
14
塊。上午用掉
25
25
25
塊，下午又用掉
3
3
3
盤又
8
8
8
塊。剩下的蘿蔔糕相當於多少盤？
大學學科能力測驗（數學）
圓冪定理・圓的性質
開始練習 →
如圖，社區圓形噴水池外有一點
P
P
P
，由
P
P
P
引噴水池的切線段
P
T
PT
P
T
，並引一直線依序交圓於
A
A
A
、
B
B
B
。已知
P
T
=
6
PT=6
P
T
=
6
公尺、
A
B
=
5
AB=5
A
B
=
5
公尺，則
P
A
PA
P
A
為多少公尺？
大學學科能力測驗（數學）
圓的性質・角度追蹤
開始練習 →
台北某捷運站旁有一個圓形廣場，圓心為
O
O
O
。廣場邊上有三個入口
A
A
A
、
B
B
B
、
C
C
C
，其中中心角
∠
A
O
B
=
72
∘
\angle AOB=72^\circ
∠
A
O
B
=
7
2
∘
。若旅客站在入口
C
C
C
看向
A
A
A
、
B
B
B
形成的圓周角
∠
A
C
B
\angle ACB
∠
A
C
B
，且
C
C
C
位在不含小弧
A
B
AB
A
B
的另一段弧上，則
∠
A
C
B
\angle ACB
∠
A
C
B
為多少度？
大學學科能力測驗（數學）
二次函數與拋物線
開始練習 →
彰化一位花農整理長方形花圃，靠牆的一邊不用圍籬，其餘三邊共用
36
36
36
公尺圍籬。設垂直牆面的邊長為
x
x
x
公尺，則沿牆方向的邊長為
36
−
2
x
36-2x
36
−
2
x
公尺。若花圃面積要最大，垂直牆面的邊長應為多少公尺？
大學學科能力測驗（數學）
平面向量・坐標幾何
開始練習 →
校園中庭的一塊平行四邊形鋪面有四個頂點
P
P
P
、
Q
Q
Q
、
R
R
R
、
S
S
S
，其中
P
Q
PQ
P
Q
是一條對角線。已知
P
(
−
3
,
4
)
P(-3,4)
P
(
−
3
,
4
)
、
Q
(
5
,
1
)
Q(5,1)
Q
(
5
,
1
)
、
R
(
2
,
−
2
)
R(2,-2)
R
(
2
,
−
2
)
，則第四個頂點
S
S
S
的座標為何？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・二次曲線標準式
開始練習 →
高雄某廣場的圓形噴水池邊界方程式為
2
x
2
+
2
y
2
+
a
x
+
b
y
+
c
=
0
2x^2+2y^2+ax+by+c=0
2
x
2
+
2
y
2
+
a
x
+
b
y
+
c
=
0
，圓心為
O
(
4
,
−
3
)
O(4,-3)
O
(
4
,
−
3
)
，且邊界經過點
P
(
7
,
1
)
P(7,1)
P
(
7
,
1
)
。下列哪一組
(
a
,
b
,
c
)
(a,b,c)
(
a
,
b
,
c
)
正確？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・一次函數與圖形
開始練習 →
某公園平面座標圖上，一條自行車道的中心線通過
P
(
−
2
,
5
)
P(-2,5)
P
(
−
2
,
5
)
、
Q
(
4
,
2
)
Q(4,2)
Q
(
4
,
2
)
兩點。下列哪一組依序正確表示此直線的點斜式、斜截式與截距式？
大學學科能力測驗（數學）
容斥原理・奇偶性與不變量
開始練習 →
校慶園遊會的數學攤位準備了
60
60
60
個正數因數
1
2
,
3
4
,
5
6
,
…
,
119
120
\frac{1}{2},\frac{3}{4},\frac{5}{6},\ldots,\frac{119}{120}
2
1
,
4
3
,
6
5
,
…
,
120
119
，並依兩項規則改變符號：分母為
4
4
4
的倍數時，在該因數前加一個負號；分母為
6
6
6
的倍數時，再加一個負號。同一因數若同時符合兩項規則，兩個負號都要計入。設改變符號後的所有因數之乘積為
B
B
B
，則其中負值因數共有幾個，且
B
B
B
的正負為何？
大學學科能力測驗（數學）
三角函數與和差角
開始練習 →
設
f
(
x
)
=
12
sin
x
+
5
cos
x
f(x)=12\sin x+5\cos x
f
(
x
)
=
12
sin
x
+
5
cos
x
，且
θ
∈
[
0
,
2
π
)
\theta\in[0,2\pi)
θ
∈
[
0
,
2
π
)
為
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
取得最大值時的
x
x
x
值，則
tan
θ
2
\tan\frac{\theta}{2}
tan
2
θ
為何？
大學學科能力測驗（數學）
指數與根式・速率與工作問題
開始練習 →
某物流站的甲、乙、丙三台電動搬運車同時出發，沿三條長度相同的直線通道行駛，途中均維持固定速率。三車的速率分別為甲車
37
−
5
\sqrt{37}-5
37
−
5
、乙車
34
−
22
\sqrt{34}-\sqrt{22}
34
−
22
、丙車
30
−
18
\sqrt{30}-\sqrt{18}
30
−
18
。三車由最早到最晚抵達終點的順序為何？
大學學科能力測驗（數學）
相似形與比例線段・巧設未知數與一次方程應用
開始練習 →
如圖，島腳
O
O
O
、近島標竿底部
A
A
A
與遠島標竿底部
B
B
B
位於同一水平直線，島頂為
T
T
T
。兩竿皆高
5
5
5
公尺，且
A
B
=
24
AB=24
A
B
=
24
公尺。觀測者站在
A
A
A
背向小島
6
6
6
公尺的
P
P
P
點時，眼睛
E
1
E_1
E
1
、近竿頂與
T
T
T
共線；站在
B
B
B
背向小島
10
10
10
公尺的
Q
Q
Q
點時，眼睛
E
2
E_2
E
2
、遠竿頂與
T
T
T
共線。兩次觀測的眼睛高度皆為
1.5
1.5
1.5
公尺，則島高
O
T
OT
O
T
為多少公尺？
大學學科能力測驗（數學）
質因數分解與標準分解式
開始練習 →
園遊會準備一批抽獎券，總數大於
300
300
300
且小於
400
400
400
。其完整質因數分解恰有三個相異的質因數，每個質因數都只出現一次；其中兩個質因數是
3
3
3
與
5
5
5
，第三個質因數大於
5
5
5
。抽獎券共有多少張？
大學學科能力測驗（數學）
因式分解技巧（SFFT）・代數技巧（方程、不等式、數列）
開始練習 →
方程式
(
x
−
2
)
(
x
2
+
1
)
=
3
(
x
−
2
)
(x-2)(x^2+1)=3(x-2)
(
x
−
2
)
(
x
2
+
1
)
=
3
(
x
−
2
)
的所有實數解為何？
大學學科能力測驗（數學）
質因數分解與標準分解式
開始練習 →
某店家核對商品數量
360
360
360
的兩份質因數分解紀錄，兩式的數值皆正確：甲為
2
3
×
5
×
3
2
2^3\times 5\times 3^2
2
3
×
5
×
3
2
，乙為
2
×
2
2
×
3
2
×
5
2\times 2^2\times 3^2\times 5
2
×
2
2
×
3
2
×
5
。關於兩式不符合標準分解式的原因，下列何者正確？
大學學科能力測驗（數學）
三角函數與和差角
開始練習 →
小晴整理課後講義時，計算
T
=
2
sin
150
∘
−
3
cos
210
∘
+
tan
315
∘
T=2\sin150^\circ-\sqrt{3}\cos210^\circ+\tan315^\circ
T
=
2
sin
15
0
∘
−
3
cos
21
0
∘
+
tan
31
5
∘
。則
T
T
T
的值為何？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・面積切割與補形
開始練習 →
公園活動使用一塊長方形釘板，共有 8 列、6 行釘子，相鄰兩釘的水平距離為
2
2
2
公分，垂直距離為
1
1
1
公分。由左至右編為第 1 至第 8 列，由上至下編為第 1 至第 6 行。依序連接第 2 列第 1 行、第 8 列第 2 行、第 6 列第 4 行、第 8 列第 6 行、第 1 列第 5 行的釘子，再連回起點，所得五邊形的面積為多少平方公分？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・二次曲線標準式
開始練習 →
市府以座標平面記錄一處圓形廣場，其邊界的一般式為
x
2
+
y
2
+
(
2
m
−
6
)
x
−
4
y
+
m
2
−
6
m
−
3
=
0
x^2+y^2+(2m-6)x-4y+m^2-6m-3=0
x
2
+
y
2
+
(
2
m
−
6
)
x
−
4
y
+
m
2
−
6
m
−
3
=
0
，且圓心位於步道中線
x
+
y
=
1
x+y=1
x
+
y
=
1
上。以配方法求得的圓形廣場標準式為何？
大學學科能力測驗（數學）
圓的性質・比例、速率與百分比
開始練習 →
一輛自行車的圓形輪框上，橘色反光條沿輪框連續貼成一段弧。反光條的弧長是其餘未貼輪框弧長的
3
5
\frac{3}{5}
5
3
。連結反光條兩端與輪軸中心後，所得較小圓心角為多少？
大學學科能力測驗（數學）
圓冪定理
開始練習 →
如圖，圓形花圃外有一點
P
P
P
。一條直線步道由
P
P
P
出發，依序交花圃圓周於
A
A
A
、
B
B
B
兩點；另一條步道由
P
P
P
出發並與花圃相切於
C
C
C
。若
P
A
=
4
PA=4
P
A
=
4
公尺、
A
B
=
12
AB=12
A
B
=
12
公尺，則切線段
P
C
PC
P
C
的長度為何？
大學學科能力測驗（數學）
分數與小數運算・比例、速率與百分比
開始練習 →
茶行有
77
120
\frac{77}{120}
120
77
公斤的茶葉，每一標準份使用
7
30
\frac{7}{30}
30
7
公斤。若每小包的使用量是標準份的
11
24
\frac{11}{24}
24
11
，將茶葉全部分裝後，共可裝成多少小包？
大學學科能力測驗（數學）
二次函數與拋物線
開始練習 →
新竹某文創市集規劃一個長方形拍照區，靠牆的一邊不用圍繩，其餘三邊共用
24
24
24
公尺圍繩。若垂直牆面的寬為
x
x
x
公尺，則平行牆面的長為
24
−
2
x
24-2x
24
−
2
x
公尺。要使拍照區面積最大，寬
x
x
x
應為多少公尺？
國中教育會考
加法與乘法原理・系統列舉與分類討論
開始練習 →
某國中園遊會設計攤位代號。代號由兩個不同數字組成，十位數可用
1
,
2
,
3
,
4
1,2,3,4
1
,
2
,
3
,
4
，個位數可用
0
,
1
,
2
,
3
,
4
0,1,2,3,4
0
,
1
,
2
,
3
,
4
，且代號必須是偶數。共有多少種不同代號？