MathMagic
Contest
目前：台灣升學
國際競賽
知識點
練習題
訂閱方案
目前：台灣升學
國際競賽
練習題庫
所有題目皆為原創擬真題，附繁中完整詳解。未登入可試做 Demo 題；登入後每日可免費練習 5 題。
更多篩選
年級 · 競賽 · 難度 · 知識點
▾
年級
全部
高中
國中
競賽
全部台灣升學
大學學科能力測驗（數學）
國中教育會考
難度
全部
易
中
難
知識點
所有知識點（91）
整數四則與運算順序
位值、概數與估算
單位換算與時間計算
分數與小數運算
數論基礎（整除、質因數、餘數）
質因數分解與標準分解式
最大公因數與最小公倍數
餘數循環與週期規律
進位制與位數表示
數字與位數問題
整數解與不定方程
模運算與同餘
中國剩餘定理
因數個數與因數和
階乘的質因數次數
代數技巧（方程、不等式、數列）
巧設未知數與一次方程應用
等差數列與規律延伸
對稱式與代數恆等式
因式分解技巧（SFFT）
速率與工作問題
一次函數與圖形
指數與根式
二次函數與拋物線
多項式與因式餘式定理
不等式與絕對值
比例、速率與百分比
對數
複數
等比數列與無窮級數
函數概念與圖形變換
高斯取整函數
望遠鏡級數與裂項
遞迴數列
指數函數與指數方程
對數函數與對數方程
多項式函數與圖形
數列與級數
矩陣與線性變換
複數與多項式方程
幾何：角度與面積
角度追蹤
面積切割與補形
相似形與比例線段
畢氏定理與特殊直角三角形
幾何推理與證明
圓的性質
多邊形與正多邊形
立體幾何
坐標幾何
三角比與正餘弦定理
對稱與幾何變換
圓冪定理
圓錐曲線（截痕概念）
平面上的比例
二次曲線標準式
計數與機率
加法與乘法原理
系統列舉與分類討論
基礎機率
排列組合進階
容斥原理
期望值
幾何機率
遞迴與路徑計數
鴿籠原理與最壞情況
奇偶性與不變量
隔板法與重複組合
條件機率與貝氏
條件機率與貝氏定理
離散隨機變數
二項分布
幾何分布
邏輯推理與規律
統計圖表與資料判讀
平均數與加權平均
二維數據與相關
三角比與正餘弦定理
三角函數與和差角
三角函數建模
平面向量
空間向量
空間中的直線與平面
數列極限與收斂
無窮等比級數
函數極限與連續
導函數與微分法
微分應用（極值與圖形）
黎曼和與定積分
積分應用（面積與體積）
數線與絕對值
共
1383
題
・第 31／47 頁
國中教育會考
三角比與正餘弦定理・畢氏定理與特殊直角三角形
開始練習 →
校園園遊會搭一條直線斜坡連接舞台與操場，側面示意為直角三角形。斜坡與地面形成
30
∘
30^\circ
3
0
∘
，舞台高度為
1.2
1.2
1.2
公尺。若斜坡視為直線，斜坡長多少公尺？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・畢氏定理與特殊直角三角形
‹
1
…
30
31
32
…
47
›
開始練習 →
如圖，校園導覽圖中的三處設施座標分別為
A
(
1
,
1
)
A(1,1)
A
(
1
,
1
)
、
B
(
7
,
3
)
B(7,3)
B
(
7
,
3
)
、
C
(
t
,
5
)
C(t,5)
C
(
t
,
5
)
，其中
t
t
t
為實數。若這三處設施構成等腰直角三角形，則
t
t
t
為何？
大學學科能力測驗（數學）
不等式與絕對值・一次函數與圖形
開始練習 →
某夜市以座標規劃餐車營業區，餐車位置須滿足
4
x
−
2
y
≥
6
4x-2y\ge 6
4
x
−
2
y
≥
6
。將此條件整理成以
y
y
y
為主的斜截式後，下列何者正確？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何
開始練習 →
某共享單車站的平面座標圖上，兩處停放點分別為
P
=
(
1
,
0
)
P=(1,0)
P
=
(
1
,
0
)
與
Q
=
(
a
,
b
)
Q=(a,b)
Q
=
(
a
,
b
)
。已知直線
L
:
y
=
x
+
1
L:y=x+1
L
:
y
=
x
+
1
恰為線段
P
Q
PQ
P
Q
的垂直平分線，則
Q
Q
Q
的座標為何？
大學學科能力測驗（數學）
立體幾何・巧設未知數與一次方程應用
開始練習 →
某無蓋長方體塑膠零件盒的四側與底部厚度皆為
1
1
1
公分，外部寬為
8
8
8
公分，外部高為
6
6
6
公分，內部容量為
840
840
840
立方公分。此零件盒的外部長度為多少公分？
大學學科能力測驗（數學）
指數與根式・不等式與絕對值
開始練習 →
小芸比較三款行動電源，依測試公式得到效能指標
P
=
4
6
P=\frac{4}{\sqrt{6}}
P
=
6
4
、
Q
=
6
10
Q=\frac{6}{\sqrt{10}}
Q
=
10
6
、
R
=
7
15
R=\frac{7}{\sqrt{15}}
R
=
15
7
。將三個指標的分母有理化並通分後，下列敘述何者正確？
國中教育會考
圓冪定理・畢氏定理與特殊直角三角形
開始練習 →
夜市遊戲攤有一個圓形轉盤，圓心為
O
O
O
，半徑為
5
5
5
公分。攤主從轉盤外一點
P
P
P
拉出兩條剛好碰到圓的直線，切點分別為
A
A
A
、
B
B
B
。若
O
P
=
13
OP=13
O
P
=
13
公分，則兩條切線段長度和
P
A
+
P
B
PA+PB
P
A
+
P
B
為多少公分？
大學學科能力測驗（數學）
最大公因數與最小公倍數・質因數分解與標準分解式
開始練習 →
學生會設計園遊會抽獎活動的兩個循環編號，其中一個循環長度為
84
84
84
，另一個循環長度必須是合數，且與
84
84
84
互質。下列哪一個數可以作為另一個循環長度？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・圓的性質
開始練習 →
某市規劃圓形公共自行車服務區，三個租借站在平面座標圖上的位置分別為
A
(
5
,
5
)
A(5,5)
A
(
5
,
5
)
、
B
(
2
,
6
)
B(2,6)
B
(
2
,
6
)
、
C
(
3
,
4
)
C(3,4)
C
(
3
,
4
)
，且三站皆位於服務區的圓周上。該圓形服務區的圓心座標為何？
大學學科能力測驗（數學）
不等式與絕對值
開始練習 →
某 YouBike 站以站內可借車數
x
x
x
計算調度指標
∣
30
−
2
x
∣
|30-2x|
∣30
−
2
x
∣
，其中
x
x
x
為非負整數。當調度指標至少為
10
10
10
時，系統會啟動調度。下列何者為所有會啟動調度的
x
x
x
？
大學學科能力測驗（數學）
二次函數與拋物線・不等式與絕對值
開始練習 →
高雄某停車場週末開場後第
x
x
x
小時的車流壓力指標為
P
(
x
)
=
2
x
2
−
12
x
+
17
P(x)=2x^2-12x+17
P
(
x
)
=
2
x
2
−
12
x
+
17
，其中
0
≤
x
≤
8
0\le x\le 8
0
≤
x
≤
8
。當
P
(
x
)
>
7
P(x)>7
P
(
x
)
>
7
時，停車場會啟動第二出口。第二出口啟動的時間範圍為何？
大學學科能力測驗（數學）
三角函數與和差角・函數概念與圖形變換
開始練習 →
在
0
≤
x
<
2
π
0\le x<2\pi
0
≤
x
<
2
π
中，不等式
−
1
<
3
sin
x
+
cos
x
≤
3
-1<\sqrt{3}\sin x+\cos x\le\sqrt{3}
−
1
<
3
sin
x
+
cos
x
≤
3
的解集為何？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・圓的性質
開始練習 →
市公所準備在河濱公園鋪設一條圓形自行車試騎路線，並以公尺為坐標單位。下列哪一份測量資料足以讓施工人員唯一確定這條圓形路線？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・巧設未知數與一次方程應用
開始練習 →
如圖，捷運站周邊地圖以座標表示位置。共享單車站點
P
(
k
+
1
,
2
k
−
3
)
P(k+1,2k-3)
P
(
k
+
1
,
2
k
−
3
)
位於直線
5
x
+
2
y
=
7
5x+2y=7
5
x
+
2
y
=
7
上，則
k
k
k
的值為何？
大學學科能力測驗（數學）
條件機率與貝氏
開始練習 →
某校圖書館推廣電子借閱卡。全校學生中，
60
%
60\%
60%
曾使用電子借閱卡；曾使用者中有
25
%
25\%
25%
這學期借過自然科普書，未曾使用者中有
10
%
10\%
10%
這學期借過自然科普書。若隨機選一位學生，已知他這學期借過自然科普書，求他曾使用電子借閱卡的機率。
大學學科能力測驗（數學）
指數與根式・位值、概數與估算
開始練習 →
某高中實驗室的微量天平將一筆質量資料暫記為
375
×
10
m
+
2
375\times10^{m+2}
375
×
1
0
m
+
2
公克，轉成科學記號後為
3.75
×
10
−
3
3.75\times10^{-3}
3.75
×
1
0
−
3
公克，其中
m
m
m
為整數。則
m
m
m
為何？
大學學科能力測驗（數學）
空間中的直線與平面・空間向量
開始練習 →
山區救援纜線的中心線以空間直線
L
:
(
x
,
y
,
z
)
=
(
2
t
,
t
,
0
)
L:(x,y,z)=(2t,t,0)
L
:
(
x
,
y
,
z
)
=
(
2
t
,
t
,
0
)
表示，座標單位為公尺。一架無人機位於
P
(
1
,
3
,
2
)
P(1,3,2)
P
(
1
,
3
,
2
)
，則無人機到纜線中心線
L
L
L
的距離為何？
大學學科能力測驗（數學）
畢氏定理與特殊直角三角形・面積切割與補形
開始練習 →
如圖，社區花圃為梯形
A
B
C
D
ABCD
A
B
C
D
，其中
A
B
∥
C
D
AB\parallel CD
A
B
∥
C
D
，
A
B
=
9
AB=9
A
B
=
9
公尺，
C
D
=
30
CD=30
C
D
=
30
公尺，
A
D
=
10
AD=10
A
D
=
10
公尺，
B
C
=
17
BC=17
B
C
=
17
公尺。此花圃的面積為多少平方公尺？
大學學科能力測驗（數學）
不等式與絕對值・代數技巧（方程、不等式、數列）
開始練習 →
台北兩處 YouBike 租借站相較平日的標準化借還變動值分別為
x
x
x
、
y
y
y
，其中
x
∈
[
−
3
,
2
]
x\in[-3,2]
x
∈
[
−
3
,
2
]
、
y
∈
[
−
5
,
4
]
y\in[-5,4]
y
∈
[
−
5
,
4
]
，且兩者可獨立取各自區間內的任意實數。管理系統定義調度指標
Q
=
12
−
x
y
Q=12-xy
Q
=
12
−
x
y
，則
Q
Q
Q
的範圍為何？
大學學科能力測驗（數學）
圓的性質・畢氏定理與特殊直角三角形
開始練習 →
如圖，一面圓形窗框的直徑為
20
20
20
公分，裝飾桿
A
B
AB
A
B
是一條長
16
16
16
公分的弦。圓心
O
O
O
到
A
B
AB
A
B
的垂足為
M
M
M
，射線
O
M
OM
O
M
與圓周交於
C
C
C
。裝飾桿到同側圓周的最短距離
M
C
MC
M
C
為多少公分？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・一次函數與圖形
開始練習 →
玉山氣象站某感測器的輸入溫度
x
x
x
與輸出訊號
y
y
y
呈直線關係。當
x
=
−
3
x=-3
x
=
−
3
時，
y
=
7
y=7
y
=
7
；當
x
=
5
x=5
x
=
5
時，
y
=
−
1
y=-1
y
=
−
1
。若以點
(
−
3
,
7
)
(-3,7)
(
−
3
,
7
)
寫成點斜式，下列何者正確？
大學學科能力測驗（數學）
圓的性質・畢氏定理與特殊直角三角形
開始練習 →
如圖，圓形廣場的圓心為
A
A
A
，半徑
A
B
=
6
AB=6
A
B
=
6
公尺。由廣場外的
P
P
P
點鋪設一條直線步道，步道與圓相切於
B
B
B
點。若
∠
A
P
B
=
30
∘
\angle APB=30^\circ
∠
A
P
B
=
3
0
∘
，則
△
A
P
B
\triangle APB
△
A
P
B
的面積為何？
大學學科能力測驗（數學）
指數與根式
開始練習 →
小芸整理複習筆記時，令
S
S
S
表示方程式
x
2
=
72
x^2=72
x
2
=
72
的所有實數解所成的集合，並令
t
=
72
t=\sqrt{72}
t
=
72
。將根式化為最簡根式後，下列哪一個有序對
(
S
,
t
)
(S,t)
(
S
,
t
)
正確？
大學學科能力測驗（數學）
指數與根式
開始練習 →
某高中資訊社將容量為
2
18
2^{18}
2
18
KB 的校慶影像備份平均分給
2
5
2^5
2
5
位社員，每位社員分得的檔案再壓縮為原容量的
1
2
3
\frac{1}{2^3}
2
3
1
。每位社員壓縮後的檔案容量為多少 KB？
大學學科能力測驗（數學）
不等式與絕對值・二次函數與拋物線
開始練習 →
滿足不等式
∣
x
2
−
6
x
−
7
∣
<
9
\left|x^2-6x-7\right|<9
x
2
−
6
x
−
7
<
9
的整數
x
x
x
共有幾個？
國中教育會考
等差數列與規律延伸
開始練習 →
捷運站旁的共享傘架，每天傍晚補傘數量成等差數列。第
1
1
1
天補
12
12
12
支，第
2
2
2
天補
15
15
15
支，第
3
3
3
天補
18
18
18
支，依此規律。從第
1
1
1
天到第
10
10
10
天，共補了幾支傘？
大學學科能力測驗（數學）
指數與根式・對數
開始練習 →
設
a
>
0
a>0
a
>
0
且
a
≠
1
a\ne1
a
=
1
，並令
x
,
y
,
z
>
0
x,y,z>0
x
,
y
,
z
>
0
。令
log
a
x
=
A
\log_a x=A
lo
g
a
x
=
A
、
log
a
y
=
B
\log_a y=B
lo
g
a
y
=
B
、
log
a
z
=
C
\log_a z=C
lo
g
a
z
=
C
。將
x
=
a
A
x=a^A
x
=
a
A
、
y
=
a
B
y=a^B
y
=
a
B
、
z
=
a
C
z=a^C
z
=
a
C
代入
(
x
y
2
z
)
3
\left(\frac{xy^2}{z}\right)^3
(
z
x
y
2
)
3
後，下列哪一個等式恆成立？
大學學科能力測驗（數學）
圓的性質・代數技巧（方程、不等式、數列）
開始練習 →
某圓形無線網路服務區的圓心為
O
O
O
，半徑為
r
=
x
+
4
r=x+4
r
=
x
+
4
公尺，其中
x
≥
1
x\geq 1
x
≥
1
。接收點
P
P
P
到圓心的距離為
O
P
=
2
x
−
1
OP=2x-1
O
P
=
2
x
−
1
公尺。若點
P
P
P
位於此圓的內部，則
x
x
x
的範圍為何？
大學學科能力測驗（數學）
三角函數與和差角・函數概念與圖形變換
開始練習 →
台北某展場的燈光控制程式使用函數
y
=
2
tan
(
3
x
−
π
4
)
−
1
y=2\tan\left(3x-\frac{\pi}{4}\right)-1
y
=
2
tan
(
3
x
−
4
π
)
−
1
描述控制訊號。下列何者正確？其中
k
∈
Z
k\in\mathbb Z
k
∈
Z
。
大學學科能力測驗（數學）
分數與小數運算
開始練習 →
某河川今日水位相較昨日的變化為：甲測站下降
1
3
8
1\frac{3}{8}
1
8
3
公尺，乙測站下降
2
5
6
2\frac{5}{6}
2
6
5
公尺。若將下降記為負數，甲測站的水位變化值比乙測站大多少公尺？