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所有知識點（91）
整數四則與運算順序
位值、概數與估算
單位換算與時間計算
分數與小數運算
數論基礎（整除、質因數、餘數）
質因數分解與標準分解式
最大公因數與最小公倍數
餘數循環與週期規律
進位制與位數表示
數字與位數問題
整數解與不定方程
模運算與同餘
中國剩餘定理
因數個數與因數和
階乘的質因數次數
代數技巧（方程、不等式、數列）
巧設未知數與一次方程應用
等差數列與規律延伸
對稱式與代數恆等式
因式分解技巧（SFFT）
速率與工作問題
一次函數與圖形
指數與根式
二次函數與拋物線
多項式與因式餘式定理
不等式與絕對值
比例、速率與百分比
對數
複數
等比數列與無窮級數
函數概念與圖形變換
高斯取整函數
望遠鏡級數與裂項
遞迴數列
指數函數與指數方程
對數函數與對數方程
多項式函數與圖形
數列與級數
矩陣與線性變換
複數與多項式方程
幾何：角度與面積
角度追蹤
面積切割與補形
相似形與比例線段
畢氏定理與特殊直角三角形
幾何推理與證明
圓的性質
多邊形與正多邊形
立體幾何
坐標幾何
三角比與正餘弦定理
對稱與幾何變換
圓冪定理
圓錐曲線（截痕概念）
平面上的比例
二次曲線標準式
計數與機率
加法與乘法原理
系統列舉與分類討論
基礎機率
排列組合進階
容斥原理
期望值
幾何機率
遞迴與路徑計數
鴿籠原理與最壞情況
奇偶性與不變量
隔板法與重複組合
條件機率與貝氏
條件機率與貝氏定理
離散隨機變數
二項分布
幾何分布
邏輯推理與規律
統計圖表與資料判讀
平均數與加權平均
二維數據與相關
三角比與正餘弦定理
三角函數與和差角
三角函數建模
平面向量
空間向量
空間中的直線與平面
數列極限與收斂
無窮等比級數
函數極限與連續
導函數與微分法
微分應用（極值與圖形）
黎曼和與定積分
積分應用（面積與體積）
數線與絕對值
共
1383
題
・第 30／47 頁
大學學科能力測驗（數學）
圓的性質・角度追蹤
開始練習 →
如圖，校園圓形水池的邊界為圓
O
O
O
，通過
A
A
A
、
B
B
B
、
C
C
C
的步道為圓
O
O
O
在
B
B
B
點的切線，且
B
B
B
位於
A
A
A
、
C
C
C
之間；由
A
A
A
出發的另一條直線依序交圓於
D
D
D
、
E
E
E
。若小弧
B
D
BD
B
D
的度數為
x
∘
x^\circ
x
∘
，小弧
B
E
BE
B
E
的度數為
(
3
x
+
20
)
∘
(3x+20)^\circ
(
3
x
+
20
)
∘
，且
∠
E
A
C
=
50
∘
\angle EAC=50^\circ
∠
E
A
C
=
5
0
∘
，則小弧
B
D
BD
B
D
的度數為多少？
‹
1
…
29
30
31
…
47
›
大學學科能力測驗（數學）
圓的性質・比例、速率與百分比
開始練習 →
夜市攤位將一張半徑
10
10
10
公分的圓形紙牌沿兩條半徑剪開，分成圓心角比為
7
:
1
7:1
7
:
1
的兩個扇形。較小扇形的周長為多少公分？
大學學科能力測驗（數學）
等比數列與無窮級數・對數
開始練習 →
台中某咖啡店推出集點活動，第一週有
800
800
800
人加入，之後每週加入人數約為前一週的
1.25
1.25
1.25
倍。若第
n
n
n
週的加入人數用
800
⋅
1.25
n
−
1
800\cdot 1.25^{n-1}
800
⋅
1.2
5
n
−
1
估計，最早到第幾週，單週加入人數會超過
1500
1500
1500
人？
大學學科能力測驗（數學）
排列組合進階・對稱與幾何變換
開始練習 →
台南文創市集販售一款八格環形杯墊，
8
8
8
個等距格子要貼上
4
4
4
張相同藍貼、
2
2
2
張相同紅貼、
2
2
2
張相同白貼。若旋轉或翻面後能完全重合就視為同一款，則共有幾款不同設計？
大學學科能力測驗（數學）
不等式與絕對值
開始練習 →
某捷運站的設備校正測試中，輸入實數
x
x
x
後，測試值為
∣
∣
∣
x
−
4
∣
−
3
∣
−
2
∣
\bigl|\bigl||x-4|-3\bigr|-2\bigr|
∣
x
−
4∣
−
3
−
2
。若測試值等於
2
2
2
，則所有可能的
x
x
x
為何？
大學學科能力測驗（數學）
對稱式與代數恆等式・指數與根式
開始練習 →
某捷運站燈箱以正數
x
x
x
表示版面比例，並定義平衡指標
B
=
(
x
−
1
)
2
x
B=\frac{(x-1)^2}{x}
B
=
x
(
x
−
1
)
2
。若
x
1
/
2
+
x
−
1
/
2
=
7
2
x^{1/2}+x^{-1/2}=\frac{7}{2}
x
1/2
+
x
−
1/2
=
2
7
，則
B
B
B
的值為何？
國中教育會考
等差數列與規律延伸
開始練習 →
美術社做一組紙花牆，第
1
1
1
天完成
4
4
4
朵，第
2
2
2
天完成
7
7
7
朵，第
3
3
3
天完成
12
12
12
朵，第
4
4
4
天完成
19
19
19
朵。若每天完成朵數的增加量依序為
3
,
5
,
7
,
9
,
…
3,5,7,9,\ldots
3
,
5
,
7
,
9
,
…
，則第
6
6
6
天完成幾朵紙花？
大學學科能力測驗（數學）
指數與根式・位值、概數與估算
開始練習 →
某校校慶的影像處理程式需要計算縮放參數
R
=
1.8496
×
10
3
R=\sqrt{1.8496\times10^3}
R
=
1.8496
×
1
0
3
。平方根表未列出原數，但列有
18.496
≈
4.301
\sqrt{18.496}\approx4.301
18.496
≈
4.301
，依該表估算
R
R
R
最接近下列何者？
大學學科能力測驗（數學）
相似形與比例線段・多邊形與正多邊形
開始練習 →
如圖，社區中秋燈會製作四邊形燈飾骨架
A
B
C
D
ABCD
A
B
C
D
，兩根對角支架互相垂直，且
A
C
=
24
m
AC=24\,\mathrm{m}
A
C
=
24
m
、
B
D
=
18
m
BD=18\,\mathrm{m}
B
D
=
18
m
。若
E
E
E
、
F
F
F
、
G
G
G
、
H
H
H
依序為四邊的中點，則四邊形
E
F
G
H
EFGH
E
F
G
H
的形狀與周長為何？
國中教育會考
巧設未知數與一次方程應用・代數技巧（方程、不等式、數列）
開始練習 →
高雄某學生每週搭公車補習，有兩種交通優惠方案。甲方案先付月費
120
120
120
元，每次搭車再付
10
10
10
元；乙方案不用月費，每次搭車付
22
22
22
元。若一個月搭車
n
n
n
次，至少搭幾次時，甲方案總費用會低於乙方案？
大學學科能力測驗（數學）
幾何：角度與面積・巧設未知數與一次方程應用
開始練習 →
校園內一座三角形花圃的三邊長皆為連續正整數，周長為
36
36
36
公尺。這座花圃的面積為多少平方公尺？
大學學科能力測驗（數學）
相似形與比例線段・幾何推理與證明
開始練習 →
如圖，梯形
A
B
C
D
ABCD
A
B
C
D
中，
A
D
‾
∥
B
C
‾
\overline{AD}\parallel\overline{BC}
A
D
∥
B
C
，點
E
E
E
、
F
F
F
分別為兩腰
A
B
‾
\overline{AB}
A
B
、
C
D
‾
\overline{CD}
C
D
的中點。延長
A
F
‾
\overline{AF}
A
F
，交
B
C
‾
\overline{BC}
B
C
的延長線於
P
P
P
。若要證明
E
F
‾
∥
A
D
‾
\overline{EF}\parallel\overline{AD}
E
F
∥
A
D
且
E
F
‾
=
A
D
‾
+
B
C
‾
2
\overline{EF}=\dfrac{\overline{AD}+\overline{BC}}{2}
E
F
=
2
A
D
+
B
C
，下列哪一個論證正確？
大學學科能力測驗（數學）
多邊形與正多邊形・畢氏定理與特殊直角三角形
開始練習 →
如圖，公園入口設有菱形燈飾骨架
A
B
C
D
ABCD
A
B
C
D
，兩條支撐桿
A
C
AC
A
C
、
B
D
BD
B
D
交於
O
O
O
。已知
A
B
=
12
AB=12
A
B
=
12
公尺，且
∠
D
A
B
=
60
∘
\angle DAB=60^\circ
∠
D
A
B
=
6
0
∘
。維修人員沿支撐桿由
B
B
B
經
O
O
O
走到
C
C
C
，其行走距離為何？
大學學科能力測驗（數學）
分數與小數運算
開始練習 →
環保活動統計五個回收站的實際回收量與目標量之比：甲為
991
999
\frac{991}{999}
999
991
、乙為
997
1005
\frac{997}{1005}
1005
997
、丙為
1009
1001
\frac{1009}{1001}
1001
1009
、丁為
1013
1005
\frac{1013}{1005}
1005
1013
、戊為
1
1
1
。由大到小排列，何者正確？
大學學科能力測驗（數學）
立體幾何・畢氏定理與特殊直角三角形
開始練習 →
一個密閉的等腰梯形柱收納盒，其底面的兩條平行邊長分別為
7
7
7
公分與
13
13
13
公分，兩腰長皆為
5
5
5
公分。若收納盒的總表面積為
350
350
350
平方公分，則柱高為多少公分？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・平面上的比例
開始練習 →
某捷運站內的平面座標圖如圖，直線通道的兩端為
A
A
A
、
B
B
B
，緊急設備設於
P
P
P
。已知
A
=
(
−
2
,
1
)
A=(-2,1)
A
=
(
−
2
,
1
)
、
P
=
(
2
,
3
)
P=(2,3)
P
=
(
2
,
3
)
，且
P
P
P
位於
A
B
‾
\overline{AB}
A
B
上，
P
A
‾
:
P
B
‾
=
2
:
3
\overline{PA}:\overline{PB}=2:3
P
A
:
P
B
=
2
:
3
，則
B
B
B
的座標為何？
大學學科能力測驗（數學）
數論基礎（整除、質因數、餘數）・系統列舉與分類討論
開始練習 →
某社區包裹櫃以正整數作為櫃號。對
a
<
b
a<b
a
<
b
，定義
a
⋆
b
a\star b
a
⋆
b
為嚴格介於
a
a
a
與
b
b
b
之間的質數個數。管理員要找出所有滿足
47
⋆
n
=
6
47\star n=6
47
⋆
n
=
6
的櫃號
n
n
n
，這些櫃號的總和為何？
大學學科能力測驗（數學）
指數與根式
開始練習 →
某高中數學社為校慶闖關設計兩個實數密碼
p
p
p
、
q
q
q
，規則為
p
4
=
16
p^4=16
p
4
=
16
、
q
3
=
−
8
q^3=-8
q
3
=
−
8
。依此規則，
p
+
q
p+q
p
+
q
所有可能值組成的集合為何？
大學學科能力測驗（數學）
三角函數與和差角
開始練習 →
台南某校數學闖關卡的通關條件為
−
sin
θ
+
3
cos
θ
=
1
-\sin\theta+\sqrt{3}\cos\theta=1
−
sin
θ
+
3
cos
θ
=
1
，其中
0
≤
θ
<
2
π
0\leq\theta<2\pi
0
≤
θ
<
2
π
。下列何者同時正確地將左式寫成
R
sin
(
θ
+
ϕ
)
R\sin(\theta+\phi)
R
sin
(
θ
+
ϕ
)
，其中
R
>
0
R>0
R
>
0
、
0
≤
ϕ
<
2
π
0\leq\phi<2\pi
0
≤
ϕ
<
2
π
，並列出所有符合條件的
θ
\theta
θ
？
國中教育會考
角度追蹤
開始練習 →
社區中庭有一塊三角形花圃
A
B
C
ABC
A
B
C
，其中
A
B
=
A
C
AB=AC
A
B
=
A
C
。工人把邊
B
C
BC
B
C
往
C
C
C
的方向延長到
D
D
D
，量得外角
∠
A
C
D
=
124
∘
\angle ACD=124^\circ
∠
A
C
D
=
12
4
∘
。求
∠
B
A
C
\angle BAC
∠
B
A
C
的度數。
大學學科能力測驗（數學）
圓的性質・巧設未知數與一次方程應用
開始練習 →
如圖，店家將
4
4
4
個大小相同的圓形杯墊排成一列，恰好放入長方形收納盤中；相鄰杯墊彼此相切，兩端的杯墊分別與收納盤的左右邊相切，每個杯墊也與收納盤的上下邊相切。收納盤的內部長邊比短邊多
24
cm
24\text{ cm}
24
cm
。若杯墊半徑為
r
r
r
，收納盤內部短邊長為
w
w
w
，則
(
r
,
w
)
(r,w)
(
r
,
w
)
為何？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何
開始練習 →
新竹市府在簡化地圖上以座標表示兩個公車站
A
(
2
,
1
)
A\left(2,1\right)
A
(
2
,
1
)
、
B
(
8
,
5
)
B\left(8,5\right)
B
(
8
,
5
)
。規劃一條新接駁線要通過
A
B
AB
A
B
的中點，並且與連線
A
B
AB
A
B
垂直。下列哪一個是新接駁線的方程式？
國中教育會考
多邊形與正多邊形
開始練習 →
小彤設計一個正多邊形桌墊，從中心連到相鄰兩個頂點形成的中心角是
24
∘
24^\circ
2
4
∘
。這個正多邊形的內角和是多少？
大學學科能力測驗（數學）
三角函數與和差角・二次函數與拋物線
開始練習 →
設
x
x
x
為實數且
sin
x
+
cos
x
≥
0
\sin x+\cos x\ge 0
sin
x
+
cos
x
≥
0
。若
y
=
2
sin
x
cos
x
−
4
(
sin
x
+
cos
x
)
+
3
y=2\sin x\cos x-4(\sin x+\cos x)+3
y
=
2
sin
x
cos
x
−
4
(
sin
x
+
cos
x
)
+
3
，則
y
y
y
的最小值為何？
大學學科能力測驗（數學）
因式分解技巧（SFFT）・代數技巧（方程、不等式、數列）
開始練習 →
方程式
(
x
−
4
)
(
2
x
+
1
)
=
5
(
x
−
4
)
(x-4)(2x+1)=5(x-4)
(
x
−
4
)
(
2
x
+
1
)
=
5
(
x
−
4
)
的所有實數解為何？
大學學科能力測驗（數學）
分數與小數運算
開始練習 →
合歡山某觀測站清晨的氣溫為
−
3
1
2
∘
C
-3\frac{1}{2}\,{}^\circ\mathrm{C}
−
3
2
1
∘
C
，中午的氣溫為
−
1
2
∘
C
-\frac{1}{2}\,{}^\circ\mathrm{C}
−
2
1
∘
C
。中午氣溫減去清晨氣溫的結果為多少？
大學學科能力測驗（數學）
代數技巧（方程、不等式、數列）
開始練習 →
超商的庫存系統以實數參數
k
k
k
設定調整倍率
a
=
k
−
2
k
+
1
a=\frac{k-2}{k+1}
a
=
k
+
1
k
−
2
。若要求倍率
a
a
a
存在倒數，則
k
k
k
的取值條件為何？
大學學科能力測驗（數學）
數論基礎（整除、質因數、餘數）
開始練習 →
校慶闖關卡要求依序輸入三個質數：第一個是
100
100
100
以內最大的質數，第二個是大於
100
100
100
且最接近
100
100
100
的質數，第三個是
1000
1000
1000
以內最大的質數。下列哪一組輸入正確？
大學學科能力測驗（數學）
分數與小數運算
開始練習 →
社區園遊會準備了
24
5
18
24\frac{5}{18}
24
18
5
公升冬瓜茶，上午售出
7
7
12
7\frac{7}{12}
7
12
7
公升。將整數部分與分數部分分開處理，上午結束時還剩多少公升冬瓜茶？
大學學科能力測驗（數學）
三角函數與和差角・函數概念與圖形變換
開始練習 →
台北捷運站內的燈光測試程式使用六個標準三角函數之一
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
，並輸出
g
(
x
)
=
f
(
x
+
π
2
)
g(x)=f\left(x+\frac{\pi}{2}\right)
g
(
x
)
=
f
(
x
+
2
π
)
。測試人員記錄到
g
g
g
的定義域為
x
≠
π
2
+
k
π
x\ne\frac{\pi}{2}+k\pi
x
=
2
π
+
k
π
，其中
k
∈
Z
k\in\mathbb{Z}
k
∈
Z
；值域為
(
−
∞
,
−
1
]
∪
[
1
,
∞
)
(-\infty,-1]\cup[1,\infty)
(
−
∞
,
−
1
]
∪
[
1
,
∞
)
，基本週期為
2
π
2\pi
2
π
，且
g
g
g
為偶函數。則原函數
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
為何？