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所有知識點（91）
整數四則與運算順序
位值、概數與估算
單位換算與時間計算
分數與小數運算
數論基礎（整除、質因數、餘數）
質因數分解與標準分解式
最大公因數與最小公倍數
餘數循環與週期規律
進位制與位數表示
數字與位數問題
整數解與不定方程
模運算與同餘
中國剩餘定理
因數個數與因數和
階乘的質因數次數
代數技巧（方程、不等式、數列）
巧設未知數與一次方程應用
等差數列與規律延伸
對稱式與代數恆等式
因式分解技巧（SFFT）
速率與工作問題
一次函數與圖形
指數與根式
二次函數與拋物線
多項式與因式餘式定理
不等式與絕對值
比例、速率與百分比
對數
複數
等比數列與無窮級數
函數概念與圖形變換
高斯取整函數
望遠鏡級數與裂項
遞迴數列
指數函數與指數方程
對數函數與對數方程
多項式函數與圖形
數列與級數
矩陣與線性變換
複數與多項式方程
幾何：角度與面積
角度追蹤
面積切割與補形
相似形與比例線段
畢氏定理與特殊直角三角形
幾何推理與證明
圓的性質
多邊形與正多邊形
立體幾何
坐標幾何
三角比與正餘弦定理
對稱與幾何變換
圓冪定理
圓錐曲線（截痕概念）
平面上的比例
二次曲線標準式
計數與機率
加法與乘法原理
系統列舉與分類討論
基礎機率
排列組合進階
容斥原理
期望值
幾何機率
遞迴與路徑計數
鴿籠原理與最壞情況
奇偶性與不變量
隔板法與重複組合
條件機率與貝氏
條件機率與貝氏定理
離散隨機變數
二項分布
幾何分布
邏輯推理與規律
統計圖表與資料判讀
平均數與加權平均
二維數據與相關
三角比與正餘弦定理
三角函數與和差角
三角函數建模
平面向量
空間向量
空間中的直線與平面
數列極限與收斂
無窮等比級數
函數極限與連續
導函數與微分法
微分應用（極值與圖形）
黎曼和與定積分
積分應用（面積與體積）
數線與絕對值
共
1357
題
・第 43／46 頁
清除全部篩選
大學學科能力測驗（數學）
多項式與因式餘式定理
開始練習 →
已知多項式
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
除以
x
−
2
3
x-\frac{2}{3}
x
−
3
2
的商為
Q
(
x
)
Q(x)
Q
(
x
)
，餘式為
4
4
4
，且
Q
(
x
)
Q(x)
Q
(
x
)
的次數至少為
1
1
1
。令
g
(
x
)
=
2
f
(
x
)
+
(
3
x
−
2
)
−
5
g(x)=2f(x)+(3x-2)-5
g
(
x
)
=
2
f
(
x
)
+
(
3
x
−
2
)
−
5
，則
g
(
x
)
g(x)
g
(
x
)
除以
3
x
−
2
3x-2
3
x
−
2
的商與餘式依序為何？
‹
1
…
42
43
44
…
46
›
大學學科能力測驗（數學）
遞迴數列・等差數列與規律延伸
開始練習 →
嘉義某咖啡攤推出集點活動，設第
n
n
n
天新增會員數為
b
n
b_n
b
n
。攤主觀察到
b
1
=
5
b_1=5
b
1
=
5
、
b
2
=
8
b_2=8
b
2
=
8
，且從第
3
3
3
天起，每天都滿足
b
n
=
2
b
n
−
1
−
b
n
−
2
b_n=2b_{n-1}-b_{n-2}
b
n
=
2
b
n
−
1
−
b
n
−
2
（
n
≥
3
n\ge 3
n
≥
3
）。若此規律不變，則第
20
20
20
天新增會員數
b
20
b_{20}
b
20
為何？
分科測驗（數學甲）
空間向量・立體幾何
開始練習 →
台南某廣場有一件三角錐形的玻璃裝置藝術，內部要灌入透明樹脂。以廣場地面的某個角落為原點建立空間坐標系（單位：公尺），四個頂點的座標為
A
(
1
,
1
,
4
)
A(1,1,4)
A
(
1
,
1
,
4
)
、
B
(
3
,
3
,
3
)
B(3,3,3)
B
(
3
,
3
,
3
)
、
C
(
3
,
0
,
6
)
C(3,0,6)
C
(
3
,
0
,
6
)
、
P
(
3
,
1
,
1
)
P(3,1,1)
P
(
3
,
1
,
1
)
，如圖。則四面體
P
A
B
C
PABC
P
A
B
C
的體積為多少立方公尺？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・平均數與加權平均
開始練習 →
某高中在校園平面圖上以公尺為單位標出三處樹穴：
A
(
2
,
1
)
A(2,1)
A
(
2
,
1
)
、
B
(
10
,
3
)
B(10,3)
B
(
10
,
3
)
、
C
(
4
,
11
)
C(4,11)
C
(
4
,
11
)
。灑水器
P
P
P
在
A
B
‾
\overline{AB}
A
B
上，且
A
P
:
P
B
=
3
:
1
AP:PB=3:1
A
P
:
P
B
=
3
:
1
；感測器
Q
Q
Q
在
A
C
‾
\overline{AC}
A
C
上，且
A
Q
:
Q
C
=
1
:
2
AQ:QC=1:2
A
Q
:
QC
=
1
:
2
。若控制盒裝在
△
P
B
Q
\triangle PBQ
△
P
B
Q
的重心，控制盒座標為何？
大學學科能力測驗（數學）
三角比與正餘弦定理・坐標幾何
開始練習 →
花蓮某社區把三個燈柱
A
A
A
、
B
B
B
、
C
C
C
拉成三角形燈串，已知
A
B
‾
=
12
\overline{AB}=12
A
B
=
12
公尺、
A
C
‾
=
9
\overline{AC}=9
A
C
=
9
公尺，且
∠
B
A
C
=
120
∘
\angle BAC=120^\circ
∠
B
A
C
=
12
0
∘
。若無線控制器放在
△
A
B
C
\triangle ABC
△
A
B
C
的重心
G
G
G
，從
A
A
A
拉到
G
G
G
的訊號線長度應是多少公尺？
大學學科能力測驗（數學）
多項式與因式餘式定理
開始練習 →
將多項式
P
(
x
)
P(x)
P
(
x
)
的係數以
3
2
\frac{3}{2}
2
3
進行綜合除法，所得最後一列依序為
8
,
−
12
,
4
,
−
5
8,-12,4,-5
8
,
−
12
,
4
,
−
5
，其中最後一個數為餘式。若將
3
P
(
x
)
+
10
3P(x)+10
3
P
(
x
)
+
10
除以
−
4
x
+
6
-4x+6
−
4
x
+
6
，則商式與餘式為何？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・巧設未知數與一次方程應用
開始練習 →
夜市入口要新增一支指示箭頭。以入口為原點，兩條既有動線向量分別為
a
⃗
=
(
6
,
2
)
\vec a=(6,2)
a
=
(
6
,
2
)
與
b
⃗
=
(
1
,
5
)
\vec b=(1,5)
b
=
(
1
,
5
)
。設新箭頭方向為
a
⃗
+
t
b
⃗
\vec a+t\vec b
a
+
t
b
，為避免指向攤位後方，規定它必須與
a
⃗
−
b
⃗
\vec a-\vec b
a
−
b
垂直。
t
t
t
應為多少？
分科測驗（數學甲）
複數・等比數列與無窮級數
開始練習 →
小婕在高雄駁二的手作工作坊折鋁線螺旋掛飾。她把設計圖畫在複數平面上：第
0
0
0
個折點
P
0
P_0
P
0
對應複數
1
1
1
，其後每一個折點都由前一個折點所對應的複數乘上
w
=
3
4
+
3
4
i
w=\frac{3}{4}+\frac{\sqrt{3}}{4}i
w
=
4
3
+
4
3
i
而得，也就是折點
P
n
P_n
P
n
對應複數
w
n
w^{n}
w
n
（
n
=
0
,
1
,
2
,
…
n=0,1,2,\ldots
n
=
0
,
1
,
2
,
…
）。她再依序用鋁線把
P
0
,
P
1
,
P
2
,
…
P_0,P_1,P_2,\ldots
P
0
,
P
1
,
P
2
,
…
連成一條折線（如圖）。若這個折法無限做下去，則所需鋁線的總長
P
0
P
1
‾
+
P
1
P
2
‾
+
P
2
P
3
‾
+
⋯
\overline{P_0P_1}+\overline{P_1P_2}+\overline{P_2P_3}+\cdots
P
0
P
1
+
P
1
P
2
+
P
2
P
3
+
⋯
為何？
大學學科能力測驗（數學）
多項式與因式餘式定理
開始練習 →
設多項式
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
滿足
f
(
0
)
=
2
f(0)=2
f
(
0
)
=
2
、
f
(
1
)
=
5
f(1)=5
f
(
1
)
=
5
、
f
(
3
)
=
−
1
f(3)=-1
f
(
3
)
=
−
1
。若
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
除以
x
(
x
−
1
)
(
x
−
3
)
x(x-1)(x-3)
x
(
x
−
1
)
(
x
−
3
)
的餘式為
r
(
x
)
r(x)
r
(
x
)
，則
r
(
x
)
r(x)
r
(
x
)
為下列哪一個？
大學學科能力測驗（數學）
比例、速率與百分比・幾何：角度與面積
開始練習 →
一張夜市攤位平面圖的比例尺為
1
:
250
1:250
1
:
250
。圖上某長方形攤區長
4.8
4.8
4.8
公分、寬
3.2
3.2
3.2
公分。主辦單位將同一攤區改畫在另一張比例尺為
1
:
200
1:200
1
:
200
的圖上。若形狀不變，則新圖上此攤區的面積約為多少平方公分？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・幾何：角度與面積
開始練習 →
台南一場文創市集用平面座標規劃地貼區，主舞台在
A
(
1
,
1
)
A(1,1)
A
(
1
,
1
)
，咖啡車在
B
(
9
,
3
)
B(9,3)
B
(
9
,
3
)
，拍照點在
C
(
4
,
8
)
C(4,8)
C
(
4
,
8
)
。地貼的一角
P
P
P
是從
C
C
C
沿著往
B
B
B
的方向走完整段
C
B
‾
\overline{CB}
C
B
的
1
4
\frac{1}{4}
4
1
後到達的位置。若地貼區是
△
A
B
P
\triangle ABP
△
A
B
P
，面積是多少平方單位？
大學學科能力測驗（數學）
條件機率與貝氏
開始練習 →
某早餐店推出兩種套餐：飯糰套餐占訂單的
70
%
70\%
70%
，蛋餅套餐占
30
%
30\%
30%
。飯糰套餐中有
20
%
20\%
20%
會加購豆漿，蛋餅套餐中有
50
%
50\%
50%
會加購豆漿。店員隨機看到一張訂單，若已知該訂單有加購豆漿，則它是蛋餅套餐的機率為何？
大學學科能力測驗（數學）
三角函數與和差角・函數概念與圖形變換
開始練習 →
夜市攤位用人流估計式
f
(
u
)
=
u
+
5
f(u)=\sqrt{u+5}
f
(
u
)
=
u
+
5
表示基本擁擠指標。新系統使用
g
(
x
)
=
3
−
2
f
(
x
−
4
)
g(x)=3-2f(x-4)
g
(
x
)
=
3
−
2
f
(
x
−
4
)
作為螢幕上的顯示值。若
x
x
x
是新系統輸入值，
g
g
g
的定義域與值域為何？
大學學科能力測驗（數學）
多項式與因式餘式定理
開始練習 →
已知多項式
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
滿足
f
(
x
)
x
−
2
=
2
x
−
1
+
3
x
+
4
x
−
2
\dfrac{f(x)}{x-2}=2x-1+\dfrac{3x+4}{x-2}
x
−
2
f
(
x
)
=
2
x
−
1
+
x
−
2
3
x
+
4
，其中
x
≠
2
x\ne2
x
=
2
。將
2
f
(
x
)
2f(x)
2
f
(
x
)
除以
3
x
−
6
3x-6
3
x
−
6
，所得的商式與餘式依序為何？
大學學科能力測驗（數學）
條件機率與貝氏
開始練習 →
某校高一、高二學生共同參加校園志工。高一學生占全體志工的
60
%
60\%
60%
，其中
30
%
30\%
30%
選擇整理圖書；高二學生中有
45
%
45\%
45%
選擇整理圖書。若從所有志工中隨機抽出一人，已知此人選擇整理圖書，則此人是高二學生的機率為何？
大學學科能力測驗（數學）
三角比與正餘弦定理・坐標幾何
開始練習 →
某河濱公園以租借站
O
O
O
為起點，直線步道到補水站
A
A
A
的位移為
O
A
→
\overrightarrow{OA}
O
A
，到觀景點
B
B
B
的位移為
O
B
→
\overrightarrow{OB}
O
B
。已知
∣
O
A
→
∣
=
60
|\overrightarrow{OA}|=60
∣
O
A
∣
=
60
公尺、
∣
O
B
→
∣
=
40
|\overrightarrow{OB}|=40
∣
O
B
∣
=
40
公尺，且兩步道夾角為
60
∘
60^\circ
6
0
∘
。導覽牌
P
P
P
的位置滿足
O
P
→
=
O
A
→
−
1
2
O
B
→
\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}-\frac{1}{2}\overrightarrow{OB}
O
P
=
O
A
−
2
1
O
B
。請問
P
P
P
距離租借站
O
O
O
多遠？
大學學科能力測驗（數學）
最大公因數與最小公倍數
開始練習 →
新竹兩個社區共用智慧濾水器管理系統。甲社區每
140
140
140
天更換濾芯一次，乙社區每
x
x
x
天更換一次。已知兩社區更換週期的最大公因數是
28
28
28
天，且從某次同日更換後，下一次同日更換相隔
840
840
840
天。乙社區的更換週期
x
x
x
是多少天？
大學學科能力測驗（數學）
遞迴數列
開始練習 →
宜蘭一間租車店以簡化模型估計某款電動自行車的每日可租數，設第
n
n
n
天可租數為
d
n
d_n
d
n
。已知
d
1
=
3
d_1=3
d
1
=
3
，且每一天的估計規則為
d
n
+
1
=
2
d
n
+
1
d_{n+1}=2d_n+1
d
n
+
1
=
2
d
n
+
1
。若店長只需要第
10
10
10
天的估計值，直接依規則遞推可得
d
10
d_{10}
d
10
為何？
大學學科能力測驗（數學）
不等式與絕對值・二次函數與拋物線
開始練習 →
屏東某冰店做促銷，兩種配料的進貨量分別為
a
a
a
公斤與
b
b
b
公斤，且規定
a
>
0
a>0
a
>
0
、
b
>
0
b>0
b
>
0
、
a
+
b
=
18
a+b=18
a
+
b
=
18
。若當日預估成本中有一項為
a
b
ab
ab
，則
a
b
ab
ab
的最大可能值為何？
大學學科能力測驗（數學）
三角函數建模
開始練習 →
淡水河畔某觀景平台以正弦函數模擬潮位。設中午十二時後
t
t
t
小時的潮位為
h
(
t
)
h(t)
h
(
t
)
公分。觀測得潮位最高為
280
280
280
公分、最低為
160
160
160
公分，且每
12
12
12
小時完成一次週期。下午一時，也就是
t
=
1
t=1
t
=
1
時，潮位恰通過平均高度並持續上升。下列何者最適合表示
h
(
t
)
h(t)
h
(
t
)
？
大學學科能力測驗（數學）
三角函數建模
開始練習 →
高雄某親水廣場的水柱高度會依正弦曲線規律升降。從表演開始計時，設第
t
t
t
秒的水柱高度為
y
(
t
)
y(t)
y
(
t
)
公尺。水柱最高為
2.8
2.8
2.8
公尺、最低為
1.2
1.2
1.2
公尺，每
40
40
40
秒完成一次週期；在
t
=
5
t=5
t
=
5
時，水柱恰通過平均高度且正在上升。表演開始後第
31
31
31
秒起，水柱第一次達到
2.4
2.4
2.4
公尺是在第幾秒？
大學學科能力測驗（數學）
三角比與正餘弦定理・三角函數與和差角
開始練習 →
嘉義布袋一處鹽田規劃三角形體驗區
O
A
B
OAB
O
A
B
。在平面地圖上，以正東為起始邊、逆時針為正方向；步道
O
A
OA
O
A
長
40
40
40
公尺，其方向角為
θ
\theta
θ
，已知
θ
\theta
θ
的終邊位於第二象限且
cos
θ
=
−
3
5
\cos\theta=-\frac{3}{5}
cos
θ
=
−
5
3
。另一條步道
O
B
OB
O
B
長
50
50
50
公尺，方向角為
330
∘
330^\circ
33
0
∘
。三角形體驗區
O
A
B
OAB
O
A
B
的面積為多少平方公尺？
大學學科能力測驗（數學）
三角比與正餘弦定理・函數概念與圖形變換
開始練習 →
高雄輕軌某站的候車人潮可用
P
(
t
)
=
120
+
30
sin
π
t
4
P(t)=120+30\sin\frac{\pi t}{4}
P
(
t
)
=
120
+
30
sin
4
π
t
估計，其中
t
t
t
是上午
8
8
8
點後經過的小時數，
0
≤
t
≤
8
0\le t\le 8
0
≤
t
≤
8
。若人潮至少
135
135
135
人就需加派站務員，則在這
8
8
8
小時內，需要加派站務員的總時間長度為多少小時？
大學學科能力測驗（數學）
矩陣與線性變換・遞迴數列
開始練習 →
高雄港的工程師以座標標記貨櫃的位置，並用行向量的轉置形式記錄。每個校正循環會先做水平剪切變換
H
=
(
1
1
0
1
)
H=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}
H
=
(
1
0
1
1
)
，再做水平方向伸縮變換
D
=
(
2
0
0
1
)
D=\begin{pmatrix}2&0\\0&1\end{pmatrix}
D
=
(
2
0
0
1
)
。第
n
n
n
次檢修需執行的校正循環數為
c
n
c_n
c
n
，其中
c
1
=
1
c_1=1
c
1
=
1
、
c
2
=
2
c_2=2
c
2
=
2
，且
c
n
=
2
c
n
−
1
−
c
n
−
2
c_n=2c_{n-1}-c_{n-2}
c
n
=
2
c
n
−
1
−
c
n
−
2
。每次檢修均由原始座標
(
0
1
)
\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}
(
0
1
)
重新模擬。第
4
4
4
次檢修完成全部校正循環後，該座標標記會變成下列何者？
大學學科能力測驗（數學）
矩陣與線性變換
開始練習 →
已知三階行列式
∣
a
b
c
d
e
f
g
h
i
∣
=
5
\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = 5
a
d
g
b
e
h
c
f
i
=
5
，則
∣
3
d
a
+
2
d
g
3
e
b
+
2
e
h
3
f
c
+
2
f
i
∣
\begin{vmatrix} 3d & a+2d & g \\ 3e & b+2e & h \\ 3f & c+2f & i \end{vmatrix}
3
d
3
e
3
f
a
+
2
d
b
+
2
e
c
+
2
f
g
h
i
之值為何？
大學學科能力測驗（數學）
三角函數與和差角・函數概念與圖形變換
開始練習 →
社團把舊版集點模型
y
=
f
(
x
)
y=f(x)
y
=
f
(
x
)
的圖形做成新版顯示
y
=
g
(
x
)
y=g(x)
y
=
g
(
x
)
，規則為
g
(
x
)
=
3
−
2
f
(
x
−
4
2
)
g(x)=3-2f\left(\frac{x-4}{2}\right)
g
(
x
)
=
3
−
2
f
(
2
x
−
4
)
。若舊圖形上有一點
P
(
3
,
−
1
)
P(3,-1)
P
(
3
,
−
1
)
，則新版圖形上與
P
P
P
對應的點為何？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・單位換算與時間計算
開始練習 →
台中一處小型市集用座標規劃遮雨棚，四個角點依順時針為
P
(
1
,
1
)
P(1,1)
P
(
1
,
1
)
、
Q
(
7
,
2
)
Q(7,2)
Q
(
7
,
2
)
、
R
(
6
,
6
)
R(6,6)
R
(
6
,
6
)
、
S
(
2
,
5
)
S(2,5)
S
(
2
,
5
)
。地圖上一單位代表
10
10
10
公尺。遮雨棚的實際面積為多少平方公尺？
大學學科能力測驗（數學）
三角函數與和差角・不等式與絕對值
開始練習 →
小芸整理悠遊卡紀錄，發現某天通勤花費
x
x
x
元需同時符合
∣
x
−
72
∣
≤
18
|x-72|\le 18
∣
x
−
72∣
≤
18
，且因搭乘折扣規則又需符合
2
x
−
150
<
30
2x-150<30
2
x
−
150
<
30
。若
x
x
x
以整數元計，則可能的
x
x
x
有幾個？
大學學科能力測驗（數學）
三角比與正餘弦定理・函數概念與圖形變換
開始練習 →
台南一座橋上的兩個同頻振動感測器合成讀數為
S
(
t
)
=
5
sin
(
π
6
t
)
+
5
3
cos
(
π
6
t
)
S(t)=5\sin\left(\frac{\pi}{6}t\right)+5\sqrt{3}\cos\left(\frac{\pi}{6}t\right)
S
(
t
)
=
5
sin
(
6
π
t
)
+
5
3
cos
(
6
π
t
)
，其中
t
t
t
以秒計，且
0
≤
t
<
12
0\le t<12
0
≤
t
<
12
。讀數第一次達到最大值時，
t
t
t
為多少秒？
分科測驗（數學甲）
微分應用（極值與圖形）
開始練習 →
高三生阿哲在準備分科測驗時，複習講義上出現函數
f
(
x
)
=
3
x
5
−
20
x
4
+
40
x
3
+
7
f(x)=3x^5-20x^4+40x^3+7
f
(
x
)
=
3
x
5
−
20
x
4
+
40
x
3
+
7
，定義域為全體實數。他想弄清楚這個函數的圖形長什麼樣子。關於
y
=
f
(
x
)
y=f(x)
y
=
f
(
x
)
的圖形，下列敘述何者正確？