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全部
易
中
難
知識點
所有知識點（91）
整數四則與運算順序
位值、概數與估算
單位換算與時間計算
分數與小數運算
數論基礎（整除、質因數、餘數）
質因數分解與標準分解式
最大公因數與最小公倍數
餘數循環與週期規律
進位制與位數表示
數字與位數問題
整數解與不定方程
模運算與同餘
中國剩餘定理
因數個數與因數和
階乘的質因數次數
代數技巧（方程、不等式、數列）
巧設未知數與一次方程應用
等差數列與規律延伸
對稱式與代數恆等式
因式分解技巧（SFFT）
速率與工作問題
一次函數與圖形
指數與根式
二次函數與拋物線
多項式與因式餘式定理
不等式與絕對值
比例、速率與百分比
對數
複數
等比數列與無窮級數
函數概念與圖形變換
高斯取整函數
望遠鏡級數與裂項
遞迴數列
指數函數與指數方程
對數函數與對數方程
多項式函數與圖形
數列與級數
矩陣與線性變換
複數與多項式方程
幾何：角度與面積
角度追蹤
面積切割與補形
相似形與比例線段
畢氏定理與特殊直角三角形
幾何推理與證明
圓的性質
多邊形與正多邊形
立體幾何
坐標幾何
三角比與正餘弦定理
對稱與幾何變換
圓冪定理
圓錐曲線（截痕概念）
平面上的比例
二次曲線標準式
計數與機率
加法與乘法原理
系統列舉與分類討論
基礎機率
排列組合進階
容斥原理
期望值
幾何機率
遞迴與路徑計數
鴿籠原理與最壞情況
奇偶性與不變量
隔板法與重複組合
條件機率與貝氏
條件機率與貝氏定理
離散隨機變數
二項分布
幾何分布
邏輯推理與規律
統計圖表與資料判讀
平均數與加權平均
二維數據與相關
三角比與正餘弦定理
三角函數與和差角
三角函數建模
平面向量
空間向量
空間中的直線與平面
數列極限與收斂
無窮等比級數
函數極限與連續
導函數與微分法
微分應用（極值與圖形）
黎曼和與定積分
積分應用（面積與體積）
數線與絕對值
共
1572
題
・第 50／53 頁
清除全部篩選
國中教育會考
相似形與比例線段・平面上的比例
開始練習 →
如圖，校園內一座梯形花圃
A
B
C
D
ABCD
A
B
C
D
中，
A
D
∥
B
C
AD\parallel BC
A
D
∥
B
C
且
B
C
>
A
D
BC>AD
B
C
>
A
D
。點
E
E
E
、
F
F
F
分別為兩腰
A
B
AB
A
B
、
C
D
CD
C
D
的中點，點
P
P
P
、
Q
Q
Q
分別為對角線
B
D
BD
B
D
、
A
C
AC
A
C
的中點。若
E
F
=
7
m
EF=7\,\mathrm{m}
E
F
=
7
m
、
P
Q
=
3
m
PQ=3\,\mathrm{m}
P
Q
=
3
m
，則
B
C
2
−
A
D
2
BC^2-AD^2
B
C
2
−
A
D
2
為何？
‹
1
…
49
50
51
…
53
›
國中教育會考
面積切割與補形・相似形與比例線段
開始練習 →
如圖，阿嬤有一塊三角形菜園
△
B
P
E
\triangle BPE
△
B
P
E
。點
A
A
A
在
B
P
‾
\overline{BP}
B
P
上，點
C
C
C
在
B
E
‾
\overline{BE}
B
E
上，點
D
D
D
在
P
E
‾
\overline{PE}
P
E
上，且
A
C
‾
∥
P
E
‾
\overline{AC} \parallel \overline{PE}
A
C
∥
P
E
、
C
D
‾
∥
B
P
‾
\overline{CD} \parallel \overline{BP}
C
D
∥
B
P
，所以四邊形
A
P
D
C
APDC
A
P
D
C
是平行四邊形。已知
△
A
B
C
\triangle ABC
△
A
B
C
的面積為
8
8
8
平方公尺，
△
C
D
E
\triangle CDE
△
C
D
E
的面積為
18
18
18
平方公尺，則
△
A
C
D
\triangle ACD
△
A
C
D
的面積是多少平方公尺？
國中教育會考
圓的性質・面積切割與補形
開始練習 →
如圖，社區的四邊形庭園
A
B
C
D
ABCD
A
B
C
D
內設有一座半徑為
3
3
3
公尺的圓形花圃，庭園四邊皆與花圃的圓周相切。庭園內、花圃外的部分全部鋪設地磚，鋪磚面積為
(
45
−
9
π
)
(45-9\pi)
(
45
−
9
π
)
平方公尺。庭園的周長為多少公尺？
大學學科能力測驗（數學）
多項式與因式餘式定理
開始練習 →
設多項式
f
(
x
)
=
3
x
3
−
22
x
2
+
64
x
−
55
f(x)=3x^3-22x^2+64x-55
f
(
x
)
=
3
x
3
−
22
x
2
+
64
x
−
55
，則
f
(
1.99
)
f(1.99)
f
(
1.99
)
的值為何？
國中教育會考
圓冪定理・圓的性質
開始練習 →
某公園圓形景觀水池的平面圖如圖，水池半徑為
13
13
13
公尺，圓心為
O
O
O
。弦
A
B
AB
A
B
通過水池內的點
P
P
P
，且
O
P
=
5
OP=5
O
P
=
5
公尺、
A
P
=
8
AP=8
A
P
=
8
公尺，則
P
B
PB
P
B
的長度為何？
大學學科能力測驗（數學）
多項式與因式餘式定理
開始練習 →
已知二次多項式
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
滿足
f
(
2024
)
=
4
f(2024)=4
f
(
2024
)
=
4
、
f
(
2026
)
=
−
2
f(2026)=-2
f
(
2026
)
=
−
2
、
f
(
2029
)
=
19
f(2029)=19
f
(
2029
)
=
19
。若將
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
表示為
f
(
x
)
=
a
(
x
−
2024
)
(
x
−
2027
)
+
b
(
x
−
2024
)
+
c
f(x)=a(x-2024)(x-2027)+b(x-2024)+c
f
(
x
)
=
a
(
x
−
2024
)
(
x
−
2027
)
+
b
(
x
−
2024
)
+
c
，則
(
a
,
b
,
c
)
(a,b,c)
(
a
,
b
,
c
)
為何？
大學學科能力測驗（數學）
條件機率與貝氏
開始練習 →
某圖書館統計借閱紀錄：借閱科普書的讀者占
30
%
30\%
30%
，借閱小說的讀者占
50
%
50\%
50%
，兩類都借的讀者占
18
%
18\%
18%
。若隨機選一位讀者，已知他有借閱小說，判斷「他有借閱科普書」與「他有借閱小說」是否獨立，並求已知借閱小說後也借閱科普書的機率。
大學學科能力測驗（數學）
平面向量・平面上的比例
開始練習 →
如圖，公園的三角形草地以
A
A
A
、
B
B
B
、
C
C
C
為頂點。點
P
P
P
在邊
B
C
BC
B
C
上，且
B
P
‾
:
P
C
‾
=
2
:
1
\overline{BP}:\overline{PC}=2:1
B
P
:
P
C
=
2
:
1
；點
Q
Q
Q
為邊
A
B
AB
A
B
的中點。沿直線步道由
A
A
A
經過
C
C
C
到達點
R
R
R
，且
A
R
‾
:
R
C
‾
=
3
:
1
\overline{AR}:\overline{RC}=3:1
A
R
:
R
C
=
3
:
1
。已知
P
Q
→
=
(
6
,
−
3
)
\overrightarrow{PQ}=(6,-3)
P
Q
=
(
6
,
−
3
)
、
P
R
→
=
(
−
9
,
3
)
\overrightarrow{PR}=(-9,3)
P
R
=
(
−
9
,
3
)
，則
A
B
→
\overrightarrow{AB}
A
B
為何？
大學學科能力測驗（數學）
三角比與正餘弦定理・函數概念與圖形變換
開始練習 →
台北捷運某月台邊緣感測器的警示值在前
8
8
8
秒內可用
R
(
t
)
=
3
sin
(
π
4
t
)
+
cos
(
π
4
t
)
R(t)=\sqrt{3}\sin(\frac{\pi}{4}t)+\cos(\frac{\pi}{4}t)
R
(
t
)
=
3
sin
(
4
π
t
)
+
cos
(
4
π
t
)
表示，
0
≤
t
≤
8
0\le t\le 8
0
≤
t
≤
8
。系統在
R
(
t
)
≥
1
R(t)\ge 1
R
(
t
)
≥
1
時亮黃燈；若只計算有正長度的亮燈時間，前
8
8
8
秒內黃燈總共亮多久？
大學學科能力測驗（數學）
餘數循環與週期規律・模運算與同餘
開始練習 →
基隆一所高中園遊會的電子集章卡有
6
6
6
種封面。第
1
1
1
張固定是紀念封面
S
S
S
；從第
2
2
2
張開始，封面依序以
A
,
B
,
C
,
D
,
E
A,B,C,D,E
A
,
B
,
C
,
D
,
E
五種循環。某攤位今天發出的張數編號為
N
=
2
2026
+
1
N=2^{2026}+1
N
=
2
2026
+
1
。若曉安拿到第
N
N
N
張，她的封面是哪一種？
大學學科能力測驗（數學）
角度追蹤・圓的性質
開始練習 →
某公園圓形廣場以
O
O
O
為圓心，
A
,
B
,
C
,
D
A,B,C,D
A
,
B
,
C
,
D
依序位於同一圓周上。已知
A
B
=
B
C
AB=BC
A
B
=
B
C
、
∠
O
B
A
=
35
∘
\angle OBA=35^\circ
∠
O
B
A
=
3
5
∘
、
∠
O
C
D
=
40
∘
\angle OCD=40^\circ
∠
O
C
D
=
4
0
∘
。求
∠
B
A
D
\angle BAD
∠
B
A
D
。
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・面積切割與補形
開始練習 →
高雄某社區在方格紙上設計一塊四邊形花圃，四個頂點依序為
A
(
1
,
1
)
A(1,1)
A
(
1
,
1
)
、
B
(
7
,
2
)
B(7,2)
B
(
7
,
2
)
、
C
(
6
,
6
)
C(6,6)
C
(
6
,
6
)
、
D
(
2
,
5
)
D(2,5)
D
(
2
,
5
)
，每一格代表
1
1
1
公尺。若施工隊想知道此花圃面積，最接近下列哪一個數值？
分科測驗（數學甲）
二次曲線標準式・矩陣與線性變換
開始練習 →
小澔在設計課用繪圖軟體做捷運站的裝置藝術草圖，原始圖案是雙曲線
C
:
x
2
9
−
y
2
4
=
1
C:\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1
C
:
9
x
2
−
4
y
2
=
1
（如圖）。他先把整個圖案對直線
y
=
x
y=x
y
=
x
作鏡射，接著把鏡射後的結果沿
y
y
y
軸方向拉伸為原來的
2
2
2
倍（也就是
(
x
,
y
)
↦
(
x
,
2
y
)
(x,y)\mapsto(x,2y)
(
x
,
y
)
↦
(
x
,
2
y
)
），得到新曲線
C
′
C'
C
′
。則
C
′
C'
C
′
的離心率為何？
國中教育會考
幾何推理與證明
開始練習 →
學校布告欄貼上兩條寬度皆為
w
w
w
的直線形膠帶，重疊區為平行四邊形
A
B
C
D
ABCD
A
B
C
D
，且未碰到膠帶端點。如圖，從
C
C
C
分別向
A
B
AB
A
B
、
A
D
AD
A
D
作垂線，垂足
P
P
P
、
Q
Q
Q
分別在線段
A
B
AB
A
B
、
A
D
AD
A
D
內部。四位同學提出以下論證，欲證明
∠
B
A
C
=
∠
C
A
D
\angle BAC=\angle CAD
∠
B
A
C
=
∠
C
A
D
。 甲：設重疊區面積為
S
S
S
，由
S
=
A
B
⋅
w
=
A
D
⋅
w
S=AB\cdot w=AD\cdot w
S
=
A
B
⋅
w
=
A
D
⋅
w
得
A
B
=
A
D
AB=AD
A
B
=
A
D
；再配合平行四邊形的對邊等長及共同邊
A
C
AC
A
C
，得
△
B
A
C
≅
△
D
A
C
\triangle BAC\cong\triangle DAC
△
B
A
C
≅
△
D
A
C
，所以結論成立。 乙：由平行四邊形的對邊等長及共同邊
A
C
AC
A
C
，得
△
A
B
C
≅
△
C
D
A
\triangle ABC\cong\triangle CDA
△
A
B
C
≅
△
C
D
A
；依此對應順序，
∠
B
A
C
\angle BAC
∠
B
A
C
與
∠
C
A
D
\angle CAD
∠
C
A
D
是對應角，所以結論成立。 丙：由
C
P
=
C
Q
=
w
CP=CQ=w
C
P
=
C
Q
=
w
、共同斜邊
A
C
AC
A
C
及兩個直角，得
△
A
P
C
≅
△
A
Q
C
\triangle APC\cong\triangle AQC
△
A
P
C
≅
△
A
QC
，所以結論成立。 丁：對角線
A
C
AC
A
C
將重疊區分成面積各占一半的兩個三角形；兩者又有共同邊
A
C
AC
A
C
，因此
∠
B
A
C
=
∠
C
A
D
\angle BAC=\angle CAD
∠
B
A
C
=
∠
C
A
D
。 哪些同學的論證完整且正確？
大學學科能力測驗（數學）
三角函數與和差角・三角函數建模
開始練習 →
嘉義某農場的自動灑水器噴水方向角為
θ
\theta
θ
弧度，水柱覆蓋寬度與
W
=
8
sin
θ
+
6
cos
θ
W=8\sin\theta+6\cos\theta
W
=
8
sin
θ
+
6
cos
θ
成正比。若
0
≤
θ
≤
π
2
0\le\theta\le\frac{\pi}{2}
0
≤
θ
≤
2
π
，則使
W
W
W
最大的
θ
\theta
θ
滿足下列何者？
大學學科能力測驗（數學）
相似形與比例線段・幾何：角度與面積
開始練習 →
台中一間文創店要把牆上的三角形招牌放大做成地貼。原招牌中有三角形
A
B
C
ABC
A
B
C
，其中
D
D
D
在
A
B
AB
A
B
上、
E
E
E
在
A
C
AC
A
C
上，且
D
E
DE
D
E
平行
B
C
BC
B
C
。設
A
D
:
D
B
=
2
:
3
AD:DB=2:3
A
D
:
D
B
=
2
:
3
。若小三角形
A
D
E
ADE
A
D
E
的面積為
12
12
12
平方公分，則整個三角形
A
B
C
ABC
A
B
C
的面積為多少平方公分？
大學學科能力測驗（數學）
排列組合進階・對稱與幾何變換
開始練習 →
嘉義一間文創店設計圓形鑰匙圈，外圈有
6
6
6
個等距孔位，要掛
3
3
3
個相同紅色吊飾、
2
2
2
個相同藍色吊飾、
1
1
1
個黃色吊飾。若旋轉或翻面後看起來相同都視為同一款設計，問共有幾款？
國中教育會考
圓的性質・幾何：角度與面積
開始練習 →
如圖，校園中有三角形花圃
A
B
C
ABC
A
B
C
與四邊形花圃
D
E
F
G
DEFG
D
E
F
G
，兩座花圃各有一個內切圓，且兩個內切圓的半徑相等。已知三角形花圃的周長為
36
36
36
公尺、面積為
60
60
60
平方公尺，四邊形花圃的周長為
48
48
48
公尺，則四邊形花圃的面積為多少平方公尺？
大學學科能力測驗（數學）
二次函數與拋物線・對稱與幾何變換
開始練習 →
臺南某校在園遊會入口設置光雕，原始畫面中的拋物線光帶可用
y
=
−
1
2
x
2
+
3
x
+
2
y=-\frac{1}{2}x^2+3x+2
y
=
−
2
1
x
2
+
3
x
+
2
表示。控制程式先將畫面對
y
y
y
軸鏡射，再以原點為中心順時針旋轉
90
∘
90^\circ
9
0
∘
，最後平移向量
(
1
,
−
2
)
\left(1,-2\right)
(
1
,
−
2
)
。完成三次變換後，拋物線的頂點座標為何？
大學學科能力測驗（數學）
對數函數與對數方程・對數
開始練習 →
設
x
>
0
x>0
x
>
0
且滿足
x
log
3
4
+
4
log
3
x
=
32
x^{\log_3 4}+4^{\log_3 x}=32
x
l
o
g
3
4
+
4
l
o
g
3
x
=
32
，則
x
x
x
的值為何？
大學學科能力測驗（數學）
排列組合進階
開始練習 →
台北捷運站內一排
10
10
10
面數位看板，要顯示固定縮圖：美食廣告
4
4
4
張相同、旅遊廣告
3
3
3
張相同、公益提醒
3
3
3
張相同。為避免畫面連續太像公告欄，任兩張公益提醒不可相鄰。問這排縮圖共有幾種排列？
國中教育會考
畢氏定理與特殊直角三角形
開始練習 →
台南一間木工教室要用三根木條排成一個直角三角形的外框。下列哪一組木條長度可以排成直角三角形？
大學學科能力測驗（數學）
三角比與正餘弦定理・函數概念與圖形變換
開始練習 →
基隆港某浮標的相對高度以
h
(
t
)
=
1.5
+
sin
(
π
4
t
−
π
6
)
h(t)=1.5+\sin(\frac{\pi}{4}t-\frac{\pi}{6})
h
(
t
)
=
1.5
+
sin
(
4
π
t
−
6
π
)
公尺表示，
t
t
t
為上午
6
:
00
6:00
6
:
00
後的時數，且
0
≤
t
≤
12
0\le t\le 12
0
≤
t
≤
12
。工作船只在
h
(
t
)
=
2
h(t)=2
h
(
t
)
=
2
時靠近浮標校正，從上午
6
:
00
6:00
6
:
00
到下午
6
:
00
6:00
6
:
00
共有幾個校正時刻？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・圓的性質
開始練習 →
一座捷運站前廣場的 Wi-Fi 覆蓋邊界在平面圖上滿足
x
2
+
y
2
−
6
x
+
4
y
−
12
=
0
x^2+y^2-6x+4y-12=0
x
2
+
y
2
−
6
x
+
4
y
−
12
=
0
，每
1
1
1
個坐標單位代表
10
10
10
公尺。施工隊沿水平通道
y
=
1
y=1
y
=
1
測量落在覆蓋範圍內的路段長度。這段實際長度為多少公尺？
國中教育會考
畢氏定理與特殊直角三角形
開始練習 →
夜市攤位掛了一個正方形招牌，邊長為
18
18
18
公分。老闆想在招牌背面沿對角線貼一條支撐條。支撐條至少要多長？
分科測驗（數學甲）
複數・等比數列與無窮級數
開始練習 →
台中一家手作燈飾店的師傅在複數平面上設計一串「螺旋燈」：第
0
0
0
顆燈掛在
z
0
=
4
3
+
4
i
z_0=4\sqrt{3}+4i
z
0
=
4
3
+
4
i
的位置，之後每一顆燈的位置都由前一顆乘上同一個複數
w
=
1
−
1
+
i
w=\dfrac{1}{-1+i}
w
=
−
1
+
i
1
得到，也就是
z
n
+
1
=
z
n
w
z_{n+1}=z_n\,w
z
n
+
1
=
z
n
w
（
n
=
0
,
1
,
2
,
…
n=0,1,2,\ldots
n
=
0
,
1
,
2
,
…
）。如圖標出了第
0
0
0
顆到第
3
3
3
顆燈的位置。試求第
6
6
6
顆燈的位置
z
6
z_6
z
6
為下列何者？
大學學科能力測驗（數學）
遞迴數列
開始練習 →
台南某早餐店統計每週外帶杯數，設第
n
n
n
週的杯數估計值為
a
n
a_n
a
n
。店長根據前兩週資料建立遞迴模型：
a
1
=
4
a_1=4
a
1
=
4
、
a
2
=
7
a_2=7
a
2
=
7
，且對所有
n
≥
1
n\ge 1
n
≥
1
，
a
n
+
2
=
3
a
n
+
1
−
2
a
n
a_{n+2}=3a_{n+1}-2a_n
a
n
+
2
=
3
a
n
+
1
−
2
a
n
。若模型持續適用，則第
8
8
8
週的估計值
a
8
a_8
a
8
為何？
大學學科能力測驗（數學）
三角比與正餘弦定理・函數概念與圖形變換
開始練習 →
某校園太陽能遮棚會依感測指標自動展開。從上午
8
8
8
點起第
t
t
t
小時的指標為
R
(
t
)
=
6
+
4
cos
(
π
6
t
+
π
3
)
R(t)=6+4\cos\left(\frac{\pi}{6}t+\frac{\pi}{3}\right)
R
(
t
)
=
6
+
4
cos
(
6
π
t
+
3
π
)
，其中
0
≤
t
≤
12
0\le t\le 12
0
≤
t
≤
12
。當
R
(
t
)
≤
4
R(t)\le 4
R
(
t
)
≤
4
時遮棚展開。上午
8
8
8
點到晚上
8
8
8
點之間，遮棚共展開多久？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何
開始練習 →
城市團隊把河濱路線畫在坐標平面上，單位為百公尺。充電點
A
(
2
,
1
)
A(2,1)
A
(
2
,
1
)
與
B
(
8
,
4
)
B(8,4)
B
(
8
,
4
)
之間是一段直線自行車道。若要在
A
A
A
、
B
B
B
的中點
M
M
M
設休息站，並由
M
M
M
開一條與自行車道垂直的步道，下列哪一個是這條步道的方程式？
大學學科能力測驗（數學）
二維數據與相關
開始練習 →
新竹某高中想規劃校門口 YouBike 站的調度量，記錄冬季
12
12
12
個上課日的上午
7
7
7
時氣溫
x
x
x
（攝氏度）與當日上午租借量
y
y
y
（輛）。資料中氣溫介於
12
12
12
至
28
28
28
度，且得到
x
ˉ
=
20
\bar{x}=20
x
ˉ
=
20
、
s
x
=
4
s_x=4
s
x
=
4
、
y
ˉ
=
150
\bar{y}=150
y
ˉ
=
150
、
s
y
=
30
s_y=30
s
y
=
30
，相關係數為
r
=
−
0.80
r=-0.80
r
=
−
0.80
。若以最小平方法建立由氣溫預測租借量的迴歸直線，下列敘述何者最適當？