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CEMC 滑鐵盧數學競賽
大學學科能力測驗（數學）
國中教育會考
難度
全部
易
中
難
知識點
所有知識點（91）
整數四則與運算順序
位值、概數與估算
單位換算與時間計算
分數與小數運算
數論基礎（整除、質因數、餘數）
質因數分解與標準分解式
最大公因數與最小公倍數
餘數循環與週期規律
進位制與位數表示
數字與位數問題
整數解與不定方程
模運算與同餘
中國剩餘定理
因數個數與因數和
階乘的質因數次數
代數技巧（方程、不等式、數列）
巧設未知數與一次方程應用
等差數列與規律延伸
對稱式與代數恆等式
因式分解技巧（SFFT）
速率與工作問題
一次函數與圖形
指數與根式
二次函數與拋物線
多項式與因式餘式定理
不等式與絕對值
比例、速率與百分比
對數
複數
等比數列與無窮級數
函數概念與圖形變換
高斯取整函數
望遠鏡級數與裂項
遞迴數列
指數函數與指數方程
對數函數與對數方程
多項式函數與圖形
數列與級數
矩陣與線性變換
複數與多項式方程
幾何：角度與面積
角度追蹤
面積切割與補形
相似形與比例線段
畢氏定理與特殊直角三角形
幾何推理與證明
圓的性質
多邊形與正多邊形
立體幾何
坐標幾何
三角比與正餘弦定理
對稱與幾何變換
圓冪定理
圓錐曲線（截痕概念）
平面上的比例
二次曲線標準式
計數與機率
加法與乘法原理
系統列舉與分類討論
基礎機率
排列組合進階
容斥原理
期望值
幾何機率
遞迴與路徑計數
鴿籠原理與最壞情況
奇偶性與不變量
隔板法與重複組合
條件機率與貝氏
條件機率與貝氏定理
離散隨機變數
二項分布
幾何分布
邏輯推理與規律
統計圖表與資料判讀
平均數與加權平均
二維數據與相關
三角比與正餘弦定理
三角函數與和差角
三角函數建模
平面向量
空間向量
空間中的直線與平面
數列極限與收斂
無窮等比級數
函數極限與連續
導函數與微分法
微分應用（極值與圖形）
黎曼和與定積分
積分應用（面積與體積）
數線與絕對值
共
1528
題
・第 31／51 頁
大學學科能力測驗（數學）
畢氏定理與特殊直角三角形・幾何推理與證明
開始練習 →
某活動中心入口的屋架截面為等腰三角形
A
B
C
ABC
A
B
C
，其中
A
B
=
A
C
AB=AC
A
B
=
A
C
。工人從頂點
A
A
A
沿著
∠
B
A
C
\angle BAC
∠
B
A
C
的角平分線架設支柱
A
D
AD
A
D
至底邊
B
C
BC
B
C
，且
D
D
D
在
B
C
BC
B
C
上。測得
B
D
=
x
+
1
BD=x+1
B
D
=
x
+
1
公尺、
D
C
=
2
x
−
4
DC=2x-4
D
C
=
2
x
−
4
公尺、
A
D
=
6
AD=6
A
D
=
6
公尺。則屋架的腰長為何？
‹
1
…
30
31
32
…
51
›
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何
開始練習 →
某物流站用平面直角坐標標示三角形配送區域，三頂點為
A
(
1
,
1
)
A(1,1)
A
(
1
,
1
)
、
B
(
7
,
1
)
B(7,1)
B
(
7
,
1
)
與
C
(
1
,
t
)
C(1,t)
C
(
1
,
t
)
，其中
t
>
1
t>1
t
>
1
。由
A
A
A
向
B
C
BC
B
C
所作中線的方程式為
y
=
4
3
x
−
1
3
y=\frac{4}{3}x-\frac{1}{3}
y
=
3
4
x
−
3
1
。設此三角形的重心為
G
G
G
、內心為
I
I
I
，則
G
I
2
GI^2
G
I
2
為何？
AMC 8
數論基礎（整除、質因數、餘數）・質因數分解與標準分解式
開始練習 →
高雄校園園遊會做方形拼貼，現有
3024
3024
3024
片小磁磚。若可以再買同樣大小的磁磚，最少要把
3024
3024
3024
乘上哪一個正整數
k
k
k
，才能排成一個完整的大正方形？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・單位換算與時間計算
開始練習 →
高雄港區一塊臨時活動區在簡化平面圖上的頂點依序為
P
(
1
,
1
)
P\left(1,1\right)
P
(
1
,
1
)
、
Q
(
7
,
2
)
Q\left(7,2\right)
Q
(
7
,
2
)
、
R
(
6
,
6
)
R\left(6,6\right)
R
(
6
,
6
)
、
S
(
2
,
5
)
S\left(2,5\right)
S
(
2
,
5
)
。平面圖上每
1
1
1
個座標單位代表實際
10
10
10
公尺。此活動區的實際面積為多少？
AMC 8
坐標幾何・面積切割與補形
開始練習 →
小芸在方格紙上畫了一個四邊形花圃，頂點依序為
A
(
0
,
0
)
A(0,0)
A
(
0
,
0
)
、
B
(
8
,
0
)
B(8,0)
B
(
8
,
0
)
、
C
(
7
,
5
)
C(7,5)
C
(
7
,
5
)
、
D
(
1
,
5
)
D(1,5)
D
(
1
,
5
)
，每個小方格邊長為
1
1
1
公尺。這個花圃的面積是多少平方公尺？
國中教育會考
角度追蹤
開始練習 →
台南夜市攤位在三角形招牌
A
B
C
ABC
A
B
C
的底邊
B
C
BC
B
C
上方貼一條水平燈條
A
D
AD
A
D
，且
A
D
∥
B
C
AD \parallel BC
A
D
∥
B
C
。點
D
D
D
在
A
A
A
的右側，量得招牌外側的
∠
D
A
B
=
128
∘
\angle DAB=128^\circ
∠
D
A
B
=
12
8
∘
，另一個底角
∠
A
C
B
=
54
∘
\angle ACB=54^\circ
∠
A
C
B
=
5
4
∘
。求
∠
B
A
C
\angle BAC
∠
B
A
C
的度數。
大學學科能力測驗（數學）
圓的性質・比例、速率與百分比
開始練習 →
夜市攤位將一張半徑
10
10
10
公分的圓形紙牌沿兩條半徑剪開，分成圓心角比為
7
:
1
7:1
7
:
1
的兩個扇形。較小扇形的周長為多少公分？
大學學科能力測驗（數學）
等比數列與無窮級數・對數
開始練習 →
台中某咖啡店推出集點活動，第一週有
800
800
800
人加入，之後每週加入人數約為前一週的
1.25
1.25
1.25
倍。若第
n
n
n
週的加入人數用
800
⋅
1.25
n
−
1
800\cdot 1.25^{n-1}
800
⋅
1.2
5
n
−
1
估計，最早到第幾週，單週加入人數會超過
1500
1500
1500
人？
大學學科能力測驗（數學）
排列組合進階・對稱與幾何變換
開始練習 →
台南文創市集販售一款八格環形杯墊，
8
8
8
個等距格子要貼上
4
4
4
張相同藍貼、
2
2
2
張相同紅貼、
2
2
2
張相同白貼。若旋轉或翻面後能完全重合就視為同一款，則共有幾款不同設計？
大學學科能力測驗（數學）
不等式與絕對值
開始練習 →
某捷運站的設備校正測試中，輸入實數
x
x
x
後，測試值為
∣
∣
∣
x
−
4
∣
−
3
∣
−
2
∣
\bigl|\bigl||x-4|-3\bigr|-2\bigr|
∣
x
−
4∣
−
3
−
2
。若測試值等於
2
2
2
，則所有可能的
x
x
x
為何？
大學學科能力測驗（數學）
對稱式與代數恆等式・指數與根式
開始練習 →
某捷運站燈箱以正數
x
x
x
表示版面比例，並定義平衡指標
B
=
(
x
−
1
)
2
x
B=\frac{(x-1)^2}{x}
B
=
x
(
x
−
1
)
2
。若
x
1
/
2
+
x
−
1
/
2
=
7
2
x^{1/2}+x^{-1/2}=\frac{7}{2}
x
1/2
+
x
−
1/2
=
2
7
，則
B
B
B
的值為何？
國中教育會考
等差數列與規律延伸
開始練習 →
美術社做一組紙花牆，第
1
1
1
天完成
4
4
4
朵，第
2
2
2
天完成
7
7
7
朵，第
3
3
3
天完成
12
12
12
朵，第
4
4
4
天完成
19
19
19
朵。若每天完成朵數的增加量依序為
3
,
5
,
7
,
9
,
…
3,5,7,9,\ldots
3
,
5
,
7
,
9
,
…
，則第
6
6
6
天完成幾朵紙花？
國中教育會考
巧設未知數與一次方程應用・代數技巧（方程、不等式、數列）
開始練習 →
高雄某學生每週搭公車補習，有兩種交通優惠方案。甲方案先付月費
120
120
120
元，每次搭車再付
10
10
10
元；乙方案不用月費，每次搭車付
22
22
22
元。若一個月搭車
n
n
n
次，至少搭幾次時，甲方案總費用會低於乙方案？
AMC 8
平均數與加權平均
開始練習 →
便當店今天賣出雞腿便當和排骨便當共
36
36
36
個。雞腿便當每個
95
95
95
元，排骨便當每個
80
80
80
元，全部便當的平均售價是
87.5
87.5
87.5
元。今天賣出雞腿便當幾個？
大學學科能力測驗（數學）
幾何：角度與面積・巧設未知數與一次方程應用
開始練習 →
校園內一座三角形花圃的三邊長皆為連續正整數，周長為
36
36
36
公尺。這座花圃的面積為多少平方公尺？
大學學科能力測驗（數學）
立體幾何・畢氏定理與特殊直角三角形
開始練習 →
一個密閉的等腰梯形柱收納盒，其底面的兩條平行邊長分別為
7
7
7
公分與
13
13
13
公分，兩腰長皆為
5
5
5
公分。若收納盒的總表面積為
350
350
350
平方公分，則柱高為多少公分？
大學學科能力測驗（數學）
指數與根式
開始練習 →
某高中數學社為校慶闖關設計兩個實數密碼
p
p
p
、
q
q
q
，規則為
p
4
=
16
p^4=16
p
4
=
16
、
q
3
=
−
8
q^3=-8
q
3
=
−
8
。依此規則，
p
+
q
p+q
p
+
q
所有可能值組成的集合為何？
國中教育會考
角度追蹤
開始練習 →
社區中庭有一塊三角形花圃
A
B
C
ABC
A
B
C
，其中
A
B
=
A
C
AB=AC
A
B
=
A
C
。工人把邊
B
C
BC
B
C
往
C
C
C
的方向延長到
D
D
D
，量得外角
∠
A
C
D
=
124
∘
\angle ACD=124^\circ
∠
A
C
D
=
12
4
∘
。求
∠
B
A
C
\angle BAC
∠
B
A
C
的度數。
AMC 8
平均數與加權平均
開始練習 →
小宇記錄一週前
7
7
7
天每天走路的步數，平均是
8600
8600
8600
步。後來發現其中一天其實是搭車日，只有
4400
4400
4400
步，決定把這一天移除。剩下
6
6
6
天的平均步數是多少？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何
開始練習 →
新竹市府在簡化地圖上以座標表示兩個公車站
A
(
2
,
1
)
A\left(2,1\right)
A
(
2
,
1
)
、
B
(
8
,
5
)
B\left(8,5\right)
B
(
8
,
5
)
。規劃一條新接駁線要通過
A
B
AB
A
B
的中點，並且與連線
A
B
AB
A
B
垂直。下列哪一個是新接駁線的方程式？
國中教育會考
多邊形與正多邊形
開始練習 →
小彤設計一個正多邊形桌墊，從中心連到相鄰兩個頂點形成的中心角是
24
∘
24^\circ
2
4
∘
。這個正多邊形的內角和是多少？
AMC 10
基礎機率・計數與機率
開始練習 →
早餐店週年慶摸彩箱中有
4
4
4
張奶茶券、
3
3
3
張蛋餅券、
2
2
2
張銘謝惠顧券。小芸一次抽
2
2
2
張，先抽一張後不放回，再抽第二張。若兩張中至少有一張是奶茶券，就可以兌換加碼獎。小芸得到加碼獎的機率是多少？
AMC 8
餘數循環與週期規律
開始練習 →
新竹某文具店的電子招牌第
1
1
1
分鐘固定顯示紅色；從第
2
2
2
分鐘開始，依照綠色、黃色、藍色、白色的順序反覆變換。第
2026
2026
2026
分鐘顯示什麼顏色？
大學學科能力測驗（數學）
分數與小數運算
開始練習 →
合歡山某觀測站清晨的氣溫為
−
3
1
2
∘
C
-3\frac{1}{2}\,{}^\circ\mathrm{C}
−
3
2
1
∘
C
，中午的氣溫為
−
1
2
∘
C
-\frac{1}{2}\,{}^\circ\mathrm{C}
−
2
1
∘
C
。中午氣溫減去清晨氣溫的結果為多少？
AMC 8
系統列舉與分類討論
開始練習 →
台中巷弄中，從早餐店到圖書館的最短路線需要向東走
4
4
4
步、向北走
3
3
3
步。因為第一個路口施工，第一步必須向東；又因為要避開一段長牆，不可以連續
3
3
3
步都向東。這樣的最短走法共有幾種？
大學學科能力測驗（數學）
三角函數與和差角・函數概念與圖形變換
開始練習 →
台北捷運站內的燈光測試程式使用六個標準三角函數之一
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
，並輸出
g
(
x
)
=
f
(
x
+
π
2
)
g(x)=f\left(x+\frac{\pi}{2}\right)
g
(
x
)
=
f
(
x
+
2
π
)
。測試人員記錄到
g
g
g
的定義域為
x
≠
π
2
+
k
π
x\ne\frac{\pi}{2}+k\pi
x
=
2
π
+
k
π
，其中
k
∈
Z
k\in\mathbb{Z}
k
∈
Z
；值域為
(
−
∞
,
−
1
]
∪
[
1
,
∞
)
(-\infty,-1]\cup[1,\infty)
(
−
∞
,
−
1
]
∪
[
1
,
∞
)
，基本週期為
2
π
2\pi
2
π
，且
g
g
g
為偶函數。則原函數
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
為何？
國中教育會考
三角比與正餘弦定理・畢氏定理與特殊直角三角形
開始練習 →
校園園遊會搭一條直線斜坡連接舞台與操場，側面示意為直角三角形。斜坡與地面形成
30
∘
30^\circ
3
0
∘
，舞台高度為
1.2
1.2
1.2
公尺。若斜坡視為直線，斜坡長多少公尺？
大學學科能力測驗（數學）
不等式與絕對值・一次函數與圖形
開始練習 →
某夜市以座標規劃餐車營業區，餐車位置須滿足
4
x
−
2
y
≥
6
4x-2y\ge 6
4
x
−
2
y
≥
6
。將此條件整理成以
y
y
y
為主的斜截式後，下列何者正確？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何
開始練習 →
某共享單車站的平面座標圖上，兩處停放點分別為
P
=
(
1
,
0
)
P=(1,0)
P
=
(
1
,
0
)
與
Q
=
(
a
,
b
)
Q=(a,b)
Q
=
(
a
,
b
)
。已知直線
L
:
y
=
x
+
1
L:y=x+1
L
:
y
=
x
+
1
恰為線段
P
Q
PQ
P
Q
的垂直平分線，則
Q
Q
Q
的座標為何？
大學學科能力測驗（數學）
立體幾何・巧設未知數與一次方程應用
開始練習 →
某無蓋長方體塑膠零件盒的四側與底部厚度皆為
1
1
1
公分，外部寬為
8
8
8
公分，外部高為
6
6
6
公分，內部容量為
840
840
840
立方公分。此零件盒的外部長度為多少公分？