MathMagic
Contest
AMC/AIME
▾
所有競賽
AMC 8
AMC 10
AMC 12
AIME
知識點
課程
練習題
訂閱方案
練習題庫
所有題目皆為原創擬真題，附繁中完整詳解。未登入可試做 Demo 題；登入後每日可免費練習 5 題。
全部
台灣升學
國際競賽
更多篩選
已選 1 項
▾
年級
全部
國中
高中
綜合
競賽
全部國際競賽
AMC 8
AMC 10
AMC 12
AIME
CEMC 滑鐵盧數學競賽
難度
全部
易
中
難
知識點
所有知識點（91）
整數四則與運算順序
位值、概數與估算
單位換算與時間計算
分數與小數運算
數論基礎（整除、質因數、餘數）
質因數分解與標準分解式
最大公因數與最小公倍數
餘數循環與週期規律
進位制與位數表示
數字與位數問題
整數解與不定方程
模運算與同餘
中國剩餘定理
因數個數與因數和
階乘的質因數次數
代數技巧（方程、不等式、數列）
巧設未知數與一次方程應用
等差數列與規律延伸
對稱式與代數恆等式
因式分解技巧（SFFT）
速率與工作問題
一次函數與圖形
指數與根式
二次函數與拋物線
多項式與因式餘式定理
不等式與絕對值
比例、速率與百分比
對數
複數
等比數列與無窮級數
函數概念與圖形變換
高斯取整函數
望遠鏡級數與裂項
遞迴數列
指數函數與指數方程
對數函數與對數方程
多項式函數與圖形
數列與級數
矩陣與線性變換
複數與多項式方程
幾何：角度與面積
角度追蹤
面積切割與補形
相似形與比例線段
畢氏定理與特殊直角三角形
幾何推理與證明
圓的性質
多邊形與正多邊形
立體幾何
坐標幾何
三角比與正餘弦定理
對稱與幾何變換
圓冪定理
圓錐曲線（截痕概念）
平面上的比例
二次曲線標準式
計數與機率
加法與乘法原理
系統列舉與分類討論
基礎機率
排列組合進階
容斥原理
期望值
幾何機率
遞迴與路徑計數
鴿籠原理與最壞情況
奇偶性與不變量
隔板法與重複組合
條件機率與貝氏
條件機率與貝氏定理
離散隨機變數
二項分布
幾何分布
邏輯推理與規律
統計圖表與資料判讀
平均數與加權平均
二維數據與相關
三角比與正餘弦定理
三角函數與和差角
三角函數建模
平面向量
空間向量
空間中的直線與平面
數列極限與收斂
無窮等比級數
函數極限與連續
導函數與微分法
微分應用（極值與圖形）
黎曼和與定積分
積分應用（面積與體積）
數線與絕對值
共
105
題
・第 3／4 頁
清除全部篩選
AMC 10
排列組合進階・容斥原理
開始練習 →
台南夜市某攤把甜點口味貼紙貼在圓形轉盤邊緣的
11
11
11
個等距位置上，其中芋頭記為
T
T
T
有
4
4
4
張，抹茶記為
M
M
M
有
3
3
3
張，花生記為
P
P
P
有
2
2
2
張，芝麻記為
S
S
S
有
2
2
2
張；同口味貼紙視為相同。要求兩張芝麻必須相鄰，任意兩張芋頭不得相鄰，且兩張花生不得相鄰。只因旋轉而相同的貼法視為同一種，左右翻面不視為同一種。共有幾種貼法？
‹
1
2
3
4
›
AMC 10
圓的性質・坐標幾何
開始練習 →
嘉義市政府把一座圓形廣場畫在座標地圖上，圖上每
1
1
1
單位代表
10
10
10
公尺。廣場邊界的方程式為
(
x
−
1
)
2
+
(
y
−
2
)
2
=
36
(x-1)^2+(y-2)^2=36
(
x
−
1
)
2
+
(
y
−
2
)
2
=
36
。阿蓉站在路口
P
(
7
,
10
)
P(7,10)
P
(
7
,
10
)
，從
P
P
P
向廣場作兩條切線，切點分別為
A
A
A
、
B
B
B
。求三角形
P
A
B
PAB
P
A
B
的實際面積是多少平方公尺？
AIME
等比數列與無窮級數・幾何：角度與面積
開始練習 →
高雄駁二的一個週末市集要拉三角形遮陽棚，三個固定柱為
A
A
A
、
B
B
B
、
C
C
C
。設計圖上三邊長（單位：公尺）分別標成
A
B
=
∑
n
=
1
∞
3
n
+
1
2
n
AB=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3n+1}{2^n}
A
B
=
∑
n
=
1
∞
2
n
3
n
+
1
、
A
C
=
∑
n
=
0
∞
(
3
n
+
13
)
(
−
1
2
)
n
AC=\sum_{n=0}^{\infty}(3n+13)\left(-\frac{1}{2}\right)^n
A
C
=
∑
n
=
0
∞
(
3
n
+
13
)
(
−
2
1
)
n
、
B
C
=
∑
n
=
1
∞
6
n
+
1
2
n
BC=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{6n+1}{2^n}
B
C
=
∑
n
=
1
∞
2
n
6
n
+
1
。若
K
K
K
為遮陽棚的面積，求
K
2
K^2
K
2
。
AMC 8
系統列舉與分類討論・加法與乘法原理
開始練習 →
某間台南文創店的鑰匙圈編號有
4
4
4
位，依序記為
a
,
b
,
c
,
d
a,b,c,d
a
,
b
,
c
,
d
。每一位都從
1
1
1
到
7
7
7
選出，且四個數字互不相同。若編號滿足
a
+
b
=
c
+
d
a+b=c+d
a
+
b
=
c
+
d
且
a
<
d
a<d
a
<
d
，共有幾個不同編號？
AMC 10
立體幾何・面積切割與補形
開始練習 →
嘉義伴手禮店做一個邊長
6
6
6
公分的正方體鳳梨酥展示模型。店員從同一個頂點出發，在與此頂點相接的三條稜上各量出
2
2
2
公分，得到三點
P
,
Q
,
R
P,Q,R
P
,
Q
,
R
，再沿著通過
P
,
Q
,
R
P,Q,R
P
,
Q
,
R
的平面把這個角切掉。切掉後剩下立體的表面積是多少？
AMC 8
餘數循環與週期規律・數論基礎（整除、質因數、餘數）
開始練習 →
高雄夜市的飲料杯有數字碼與顏色標籤。第
1
1
1
杯的數字碼是
0
0
0
，之後每一杯的數字碼沿著
0
0
0
到
6
6
6
的圓環順時針移動，步數依序為
1
,
2
,
4
,
1
1,2,4,1
1
,
2
,
4
,
1
並不斷重複；顏色則依序為紅、藍、綠、黃、白並不斷重複，第
1
1
1
杯是紅色。第一杯杯號大於
2026
2026
2026
，且數字碼為
3
3
3
、顏色為綠色的是第幾杯？
AMC 8
計數與機率・系統列舉與分類討論
開始練習 →
台南夜市有一個丟圈圈遊戲，每圈若套中不同區域可得
4
4
4
分、
7
7
7
分或
9
9
9
分。小榆恰好丟
5
5
5
圈，且每圈都套中某一區域。她最後的總分可能有多少種不同數值？
AMC 8
系統列舉與分類討論
開始練習 →
台北市立圖書館在六月舉辦閱讀打卡，小安要選三個不同日期，依早到晚記為
a
<
b
<
c
a<b<c
a
<
b
<
c
。三個日期的和為
42
42
42
，且最晚日期與最早日期相差不超過
10
10
10
天。共有幾種選法？
AIME
高斯取整函數・模運算與同餘
開始練習 →
淡水夜市有一台集點機，對每個正整數
n
n
n
定義驗證碼
C
(
n
)
C(n)
C
(
n
)
為
C
(
n
)
=
∑
k
=
0
46
⌊
3
n
+
19
k
−
5
47
⌋
+
∑
k
=
0
42
⌊
2
n
+
17
k
+
8
43
⌋
C(n)=\sum_{k=0}^{46}\left\lfloor\frac{3n+19k-5}{47}\right\rfloor+\sum_{k=0}^{42}\left\lfloor\frac{2n+17k+8}{43}\right\rfloor
C
(
n
)
=
∑
k
=
0
46
⌊
47
3
n
+
19
k
−
5
⌋
+
∑
k
=
0
42
⌊
43
2
n
+
17
k
+
8
⌋
。 若
1
≤
n
≤
900
1\le n\le 900
1
≤
n
≤
900
，且
n
+
30
n+30
n
+
30
整除
C
(
n
)
C(n)
C
(
n
)
，求所有符合條件的
n
n
n
之和。
AMC 10
幾何機率・條件機率與貝氏
開始練習 →
週五傍晚，阿哲與庭安約在台中逢甲夜市的紅茶攤碰面。阿哲會在
18
:
00
18:00
18
:
00
到
18
:
50
18:50
18
:
50
間隨機且均勻地到達；庭安會在
18
:
10
18:10
18
:
10
到
19
:
00
19:00
19
:
00
間隨機且均勻地到達，兩人的到達時間互相獨立。阿哲若先到，只願意等庭安
18
18
18
分鐘；庭安若先到，只願意等阿哲
12
12
12
分鐘。已知兩人最後有碰到面，則阿哲比庭安早到的機率是多少？
AMC 8
邏輯推理與規律・系統列舉與分類討論
開始練習 →
彩虹夜市有
5
5
5
個攤位排成一直列，從左到右是第
1
1
1
到第
5
5
5
格。攤位名稱為牛排、珍奶、雞排、滷味、甜不辣。已知：牛排不在兩端；珍奶在雞排左邊且不相鄰；滷味在牛排右邊；甜不辣緊貼在滷味左邊；雞排在滷味右邊。從左到右的順序是哪一個？
AMC 8
計數與機率・系統列舉與分類討論
開始練習 →
台北車站的寄物櫃代碼是四位數，第一位不可為
0
0
0
，且四位數字不可重複。若從所有符合規定的代碼中等機率選出一個，代碼中至少出現一個
6
6
6
或
8
8
8
的機率是多少？
AMC 8
鴿籠原理與最壞情況
開始練習 →
一排寄物櫃依序編號為
1
1
1
到
42
42
42
。至少任選多少個不同編號，才能保證其中有兩個編號的差不超過
4
4
4
？
AMC 8
計數與機率・系統列舉與分類討論
開始練習 →
台中一所國中製作校慶摸彩券，編號為三位數。可使用的數字只有
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
,
7
1,2,3,4,5,6,7
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
,
7
，且同一編號中數字不得重複。若編號必須是
3
3
3
的倍數，並且百位數小於十位數，這樣的編號共有多少個？
AMC 8
整數解與不定方程・系統列舉與分類討論
開始練習 →
小港麵包店的貼紙包有小包、中包、大包，價格分別是
4
4
4
元、
7
7
7
元、
10
10
10
元。小晴三種都至少買一包，剛好花
100
100
100
元，且中包數量比大包多。共有幾種買法？
AMC 8
質因數分解與標準分解式・因數個數與因數和
開始練習 →
嘉義某班把
2520
t
2520t
2520
t
張貼紙重新包成一個正方形展示板，每邊貼紙數必須是整數。若
t
t
t
是能做到這件事的最小正整數，則
2520
t
2520t
2520
t
有幾個正因數？
AMC 8
質因數分解與標準分解式
開始練習 →
宜蘭一間文具店把當日售出的貼紙數量記為
108108
108108
108108
。下列何者是
108108
108108
108108
的標準質因數分解式？
AMC 8
指數與根式・質因數分解與標準分解式
開始練習 →
屏東果農用同一種網袋裝芒果，記錄表上有一個化簡題：將
194400
2205
\sqrt{\frac{194400}{2205}}
2205
194400
化成
a
b
c
\frac{a\sqrt{b}}{c}
c
a
b
，其中
a
,
c
a,c
a
,
c
是正整數、
b
b
b
不含大於
1
1
1
的平方因數，且
a
c
\frac{a}{c}
c
a
已約分。正確的化簡結果是哪一個？
AMC 8
鴿籠原理與最壞情況・加法與乘法原理
開始練習 →
校慶園遊會的便當預購單中，每張單會勾選
6
6
6
種主菜之一、
4
4
4
個取餐時段之一，以及
3
3
3
種辣度之一。其中有
2
2
2
種素食主菜在最後一個取餐時段不供應大辣。至少收到多少張預購單，才能保證有
3
3
3
張單的主菜、取餐時段與辣度完全相同？
AMC 8
系統列舉與分類討論
開始練習 →
高鐵站置物櫃使用四位數密碼
a
b
c
d
abcd
ab
c
d
，其中
a
a
a
不是
0
0
0
，四個數字互不相同，且滿足
a
+
b
=
c
+
d
a+b=c+d
a
+
b
=
c
+
d
與
a
<
d
a<d
a
<
d
。共有幾個這樣的密碼？
AMC 8
數字與位數問題・數論基礎（整除、質因數、餘數）
開始練習 →
台南燈會志工有五張數字牌
0
,
1
,
2
,
6
,
9
0,1,2,6,9
0
,
1
,
2
,
6
,
9
，各用一次排成五位數。若排出的數同時是
9
9
9
的倍數與
4
4
4
的倍數，則共有幾種排法？
AMC 8
餘數循環與週期規律・單位換算與時間計算
開始練習 →
從
7
7
7
月
1
1
1
日星期三開始，到
8
8
8
月
29
29
29
日為止，班上資源回收值日依序按甲、乙、乙、丙、甲、丁不斷循環。每逢星期二或星期五，值日小組還要整理舊報紙。這段期間中，由乙值日且需要整理舊報紙的日子有幾天？
AMC 12
排列組合進階・整數解與不定方程
開始練習 →
台南某班做夜市攤位集點卡展示，要把
7
7
7
張不同店家的明信片與
8
8
8
張完全相同的貼紙沿圓形桌邊排成一圈。明信片彼此不同，貼紙彼此相同；只差一個整體旋轉視為同一種排法。把每兩張相鄰明信片之間的貼紙張數稱為一個空格的張數。若恰有
3
3
3
個空格各有至少
2
2
2
張貼紙，而且這
3
3
3
個空格在圓周上任兩個都不相鄰，則共有多少種排法？
AMC 8
加法與乘法原理・系統列舉與分類討論
開始練習 →
淡水校外教學有
5
5
5
款水果、
4
4
4
款動物、
3
3
3
款交通工具紀念貼紙，款式彼此不同。小隊要從中挑
5
5
5
張貼成一排，要求水果貼紙恰好
2
2
2
張且不相鄰，並且交通工具貼紙至少
1
1
1
張。共有幾種貼法？
AMC 8
基礎機率・系統列舉與分類討論
開始練習 →
便當店的集點袋中有雞腿貼紙
4
4
4
張、排骨貼紙
3
3
3
張、魚排貼紙
2
2
2
張。阿謙依序抽出
2
2
2
張貼紙，抽出後不放回。若恰有
1
1
1
張魚排，或第
1
1
1
張是雞腿，就送飲料。送飲料的機率為何？
AMC 8
立體幾何・畢氏定理與特殊直角三角形
開始練習 →
台中一間茶館在天花板上裝兩個掛鉤
A
A
A
與
B
B
B
，兩鉤在同一水平線上且相距
18
18
18
公分。燈籠點
P
P
P
在兩鉤下方，繩子
A
P
AP
A
P
長
12
12
12
公分，且與天花板成
60
∘
60^\circ
6
0
∘
；點
P
P
P
的鉛直投影落在
A
A
A
與
B
B
B
之間。另一條繩子
B
P
BP
B
P
長多少公分？
AMC 12
函數概念與圖形變換
開始練習 →
台中一間飲料店的集點機用一個一對一函數
f
f
f
做校正。已知
f
f
f
的定義域為
[
−
4
,
2
]
[-4,2]
[
−
4
,
2
]
，值域為
[
1
,
7
]
[1,7]
[
1
,
7
]
，且
f
(
−
3
)
=
5
f(-3)=5
f
(
−
3
)
=
5
。老闆把螢幕上的圖形改成新函數
g
(
x
)
=
2
f
(
1
−
3
x
)
−
5
g(x)=2f(1-3x)-5
g
(
x
)
=
2
f
(
1
−
3
x
)
−
5
，並令
G
=
g
−
1
G=g^{-1}
G
=
g
−
1
。再定義
H
(
x
)
=
G
(
2
f
(
x
)
−
5
)
H(x)=G(2f(x)-5)
H
(
x
)
=
G
(
2
f
(
x
)
−
5
)
。若
S
S
S
是所有使
H
(
x
)
H(x)
H
(
x
)
為整數的整數
x
x
x
所成的集合，求
∑
x
∈
S
(
x
+
H
(
x
)
)
+
6
G
(
5
)
\sum_{x\in S}(x+H(x))+6G(5)
∑
x
∈
S
(
x
+
H
(
x
))
+
6
G
(
5
)
。
AMC 8
基礎機率・系統列舉與分類討論
開始練習 →
夜市彈珠攤改用紅、藍兩顆公平骰決定優惠。紅骰點數為
r
r
r
、藍骰點數為
b
b
b
，把它讀成兩位數
10
r
+
b
10r+b
10
r
+
b
，例如紅骰
3
3
3
、藍骰
5
5
5
代表
35
35
35
。若
10
r
+
b
10r+b
10
r
+
b
是
4
4
4
的倍數，或
r
+
b
≥
10
r+b\ge10
r
+
b
≥
10
，就可中獎。中獎機率為何？
AMC 8
立體幾何・畢氏定理與特殊直角三角形
開始練習 →
一位木工做了一個實心圓柱形鳳梨酥模具，半徑
5
5
5
公分、高
12
12
12
公分。她從上方整個圓面往下挖出一個正圓錐形凹洞，錐尖剛好在下底面的圓心。挖完後的物體總表面積是多少平方公分？
AMC 8
基礎機率・加法與乘法原理
開始練習 →
台南文創市集有
4
4
4
款紅貼紙、
3
3
3
款藍貼紙、
2
2
2
款綠貼紙，款式彼此不同。小芸從
9
9
9
款中抽出
4
4
4
款不同貼紙，依序貼在相簿的
1
1
1
到
4
4
4
號格，每種貼法等可能。求三種顏色都出現，且
1
1
1
號格不是綠色的機率。