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大學學科能力測驗（數學）
國中教育會考
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易
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所有知識點（90）
整數四則與運算順序
位值、概數與估算
單位換算與時間計算
分數與小數運算
數論基礎（整除、質因數、餘數）
質因數分解與標準分解式
最大公因數與最小公倍數
餘數循環與週期規律
進位制與位數表示
數字與位數問題
整數解與不定方程
模運算與同餘
中國剩餘定理
因數個數與因數和
階乘的質因數次數
代數技巧（方程、不等式、數列）
巧設未知數與一次方程應用
等差數列與規律延伸
對稱式與代數恆等式
因式分解技巧（SFFT）
速率與工作問題
一次函數與圖形
指數與根式
二次函數與拋物線
多項式與因式餘式定理
不等式與絕對值
比例、速率與百分比
對數
複數
等比數列與無窮級數
函數概念與圖形變換
高斯取整函數
望遠鏡級數與裂項
遞迴數列
指數函數與指數方程
對數函數與對數方程
多項式函數與圖形
數列與級數
矩陣與線性變換
複數與多項式方程
幾何：角度與面積
角度追蹤
面積切割與補形
相似形與比例線段
幾何推理與證明
畢氏定理與特殊直角三角形
圓的性質
多邊形與正多邊形
立體幾何
坐標幾何
三角比與正餘弦定理
對稱與幾何變換
圓冪定理
圓錐曲線（截痕概念）
平面上的比例
二次曲線標準式
計數與機率
加法與乘法原理
系統列舉與分類討論
基礎機率
排列組合進階
容斥原理
期望值
幾何機率
遞迴與路徑計數
鴿籠原理與最壞情況
奇偶性與不變量
隔板法與重複組合
條件機率與貝氏
條件機率與貝氏定理
離散隨機變數
二項分布
幾何分布
邏輯推理與規律
統計圖表與資料判讀
平均數與加權平均
二維數據與相關
三角比與正餘弦定理
三角函數與和差角
三角函數建模
平面向量
空間向量
空間中的直線與平面
數列極限與收斂
無窮等比級數
函數極限與連續
導函數與微分法
微分應用（極值與圖形）
黎曼和與定積分
積分應用（面積與體積）
共
724
題
・第 24／25 頁
清除全部篩選
大學學科能力測驗（數學）
幾何：角度與面積・三角比與正餘弦定理
開始練習 →
澎湖一段獨木舟練習航線有三個浮標
A
,
B
,
C
A,B,C
A
,
B
,
C
。測得
A
B
=
7
AB=7
A
B
=
7
公里、
A
C
=
5
AC=5
A
C
=
5
公里、
B
C
=
8
BC=8
B
C
=
8
公里。教練把三角形
A
B
C
ABC
A
B
C
內的海域規劃為慢速區，慢速區面積是多少平方公里？
‹
1
…
23
24
25
›
大學學科能力測驗（數學）
幾何：角度與面積・三角比與正餘弦定理
開始練習 →
台中某校把三個樹穴
A
A
A
、
B
B
B
、
C
C
C
連成三角形步道，量得
A
B
=
7
AB=7
A
B
=
7
公尺、
A
C
=
13
AC=13
A
C
=
13
公尺、
B
C
=
12
BC=12
B
C
=
12
公尺。若要在三角形
A
B
C
ABC
A
B
C
內鋪透水磚，鋪設面積為多少？
大學學科能力測驗（數學）
三角函數與和差角・函數概念與圖形變換
開始練習 →
高雄駁二藝術特區某互動燈牆進行一段 24 分鐘的測試。燈牆的基礎亮度函數為
f
(
x
)
=
sin
x
+
3
cos
x
f(x)=\sin x+\sqrt{3}\cos x
f
(
x
)
=
sin
x
+
3
cos
x
，其中
x
x
x
以弧度表示。控制器會先將測試開始後第
t
t
t
分鐘轉換成輸入
u
(
t
)
=
π
3
−
π
t
6
u(t)=\frac{\pi}{3}-\frac{\pi t}{6}
u
(
t
)
=
3
π
−
6
π
t
，再顯示亮度
G
(
t
)
=
f
(
u
(
t
)
)
G(t)=f(u(t))
G
(
t
)
=
f
(
u
(
t
))
，其中
0
≤
t
<
24
0\le t<24
0
≤
t
<
24
。下列何者列出
G
(
t
)
G(t)
G
(
t
)
達到最大值的所有時刻？
大學學科能力測驗（數學）
三角比與正餘弦定理・坐標幾何
開始練習 →
台北捷運站外兩條連通道方向可用單位向量
u
⃗
,
v
⃗
\vec u,\vec v
u
,
v
表示，且兩通道夾角為
60
∘
60^\circ
6
0
∘
。從服務台
O
O
O
到出口
M
M
M
的位移為
O
M
→
=
2
u
⃗
+
v
⃗
\overrightarrow{OM}=2\vec u+\vec v
O
M
=
2
u
+
v
，到出口
N
N
N
的位移為
O
N
→
=
u
⃗
+
3
v
⃗
\overrightarrow{ON}=\vec u+3\vec v
O
N
=
u
+
3
v
。則兩出口方向
O
M
→
\overrightarrow{OM}
O
M
與
O
N
→
\overrightarrow{ON}
O
N
的夾角餘弦值為何？
大學學科能力測驗（數學）
平面向量・平面上的比例
開始練習 →
嘉義一處社區農園的種植區為三角形
A
B
C
ABC
A
B
C
，面積為
450
450
450
平方公尺。圍籬上的標記點
D
D
D
、
E
E
E
分別位於邊
A
B
AB
A
B
、
A
C
AC
A
C
上，且
A
D
:
D
B
=
2
:
3
AD:DB=2:3
A
D
:
D
B
=
2
:
3
、
A
E
:
E
C
=
1
:
2
AE:EC=1:2
A
E
:
E
C
=
1
:
2
。自動灑水器的位置
P
P
P
位於線段
D
E
DE
D
E
上，並滿足
2
P
D
⃗
+
P
E
⃗
=
0
⃗
2\vec{PD}+\vec{PE}=\vec{0}
2
P
D
+
P
E
=
0
。若將三角形
B
P
C
BPC
B
P
C
規劃為獨立灑水區，則其面積為多少平方公尺？
大學學科能力測驗（數學）
函數概念與圖形變換・多項式與因式餘式定理
開始練習 →
新竹一間便當店用
g
(
t
)
=
t
4
−
12
t
3
+
50
t
2
−
84
t
+
45
g(t)=t^4-12t^3+50t^2-84t+45
g
(
t
)
=
t
4
−
12
t
3
+
50
t
2
−
84
t
+
45
描述外送尖峰壓力，時間範圍為
0
≤
t
≤
6
0\le t\le 6
0
≤
t
≤
6
。店長規定當
g
(
t
)
≤
0
g(t)\le 0
g
(
t
)
≤
0
時要加派人手。已知
g
(
t
)
=
(
t
−
1
)
(
t
−
3
)
2
(
t
−
5
)
g(t)=(t-1)(t-3)^2(t-5)
g
(
t
)
=
(
t
−
1
)
(
t
−
3
)
2
(
t
−
5
)
，下列哪一個時段表示正確？
大學學科能力測驗（數學）
二次函數與拋物線・函數概念與圖形變換
開始練習 →
某手機相機的夜景模式先把實際拍攝距離
x
x
x
公尺校正成
f
(
x
)
=
2
x
−
3
f(x)=2x-3
f
(
x
)
=
2
x
−
3
，再把校正值轉成模糊指標
g
(
t
)
=
t
2
+
4
g(t)=t^2+4
g
(
t
)
=
t
2
+
4
。為了讓模糊指標能唯一回推距離，系統只接受
x
≥
3
2
x\ge \frac{3}{2}
x
≥
2
3
的資料。令
h
(
x
)
=
g
(
f
(
x
)
)
h(x)=g(f(x))
h
(
x
)
=
g
(
f
(
x
))
。若輸入模糊指標為
y
y
y
，下列何者是正確的回推距離
h
−
1
(
y
)
h^{-1}(y)
h
−
1
(
y
)
與可接受的
y
y
y
範圍？
大學學科能力測驗（數學）
立體幾何・坐標幾何
開始練習 →
台東熱氣球嘉年華的臨時展示架以地面固定點
O
(
0
,
0
,
0
)
O(0,0,0)
O
(
0
,
0
,
0
)
為共同端點，三支桿的另一端分別在
P
(
4
,
1
,
2
)
P(4,1,2)
P
(
4
,
1
,
2
)
、
Q
(
1
,
5
,
3
)
Q(1,5,3)
Q
(
1
,
5
,
3
)
、
R
(
2
,
0
,
6
)
R(2,0,6)
R
(
2
,
0
,
6
)
，單位公尺。若用透明帆布連成四面體
O
P
Q
R
OPQR
O
P
QR
，此四面體的體積為何？
大學學科能力測驗（數學）
函數概念與圖形變換
開始練習 →
某高鐵站以基準函數
f
f
f
描述進站後第
x
x
x
分鐘的擁擠指標。已知
f
f
f
的定義域為
[
−
2
,
6
]
[-2,6]
[
−
2
,
6
]
，值域為
[
1
,
9
]
[1,9]
[
1
,
9
]
。新閘門上線後，系統將時間提前
2
2
2
分鐘讀取，並把擁擠指標轉為舒適度
g
(
x
)
=
3
−
f
(
x
+
2
)
g(x)=3-f(x+2)
g
(
x
)
=
3
−
f
(
x
+
2
)
。下列何者為
g
g
g
的定義域與值域？
大學學科能力測驗（數學）
立體幾何・畢氏定理與特殊直角三角形
開始練習 →
台北車站置物櫃是一個長方體，左右寬
12
12
12
公分、前後深
8
8
8
公分、高
6
6
6
公分。令左前下角為
O
O
O
，
x
x
x
軸向右、
y
y
y
軸向後、
z
z
z
軸向上。貼紙
P
P
P
在前面，座標為
P
(
5
,
0
,
1
)
P(5,0,1)
P
(
5
,
0
,
1
)
；貼紙
Q
Q
Q
在右面，座標為
Q
(
12
,
6
,
4
)
Q(12,6,4)
Q
(
12
,
6
,
4
)
。一條裝飾線只能貼著置物櫃外表面，從
P
P
P
連到
Q
Q
Q
的最短長度為何？
大學學科能力測驗（數學）
立體幾何・畢氏定理與特殊直角三角形
開始練習 →
一個長方體外帶保溫袋，長
18
18
18
公分、深
6
6
6
公分、高
10
10
10
公分。袋面上有兩個貼點：點
P
P
P
在前面，距左側邊
3
3
3
公分、距底邊
4
4
4
公分；點
Q
Q
Q
在上面，距左側邊
14
14
14
公分、距前邊
5
5
5
公分。若彩帶只能貼在袋子的表面，且取最短路徑，彩帶長度為多少？
大學學科能力測驗（數學）
多項式與因式餘式定理・巧設未知數與一次方程應用
開始練習 →
校園園遊會的集點機把每次掃描後的校正值記為三次多項式
P
(
x
)
=
x
3
+
a
x
2
+
b
x
+
c
P(x)=x^3+ax^2+bx+c
P
(
x
)
=
x
3
+
a
x
2
+
b
x
+
c
。測試時發現：除以
x
−
1
x-1
x
−
1
的餘式為
5
5
5
；除以
x
+
1
x+1
x
+
1
的餘式為
−
3
-3
−
3
；且
x
−
2
x-2
x
−
2
是
P
(
x
)
−
2
x
P(x)-2x
P
(
x
)
−
2
x
的因式。若正式機器要用
P
(
3
)
P(3)
P
(
3
)
作為檢核碼，檢核碼是多少？
大學學科能力測驗（數學）
二次函數與拋物線・函數概念與圖形變換
開始練習 →
嘉義某市集入口拱門的內緣以拋物線模型設計，左右落地點在
x
=
2
x=2
x
=
2
與
x
=
10
x=10
x
=
10
，最高點的高度為
4
4
4
公尺。設地面為
y
=
0
y=0
y
=
0
，並假設拱門關於中線對稱。下列哪一個函數可描述拱門高度
y
y
y
與水平位置
x
x
x
的關係？
大學學科能力測驗（數學）
多項式與因式餘式定理
開始練習 →
台南某飲料店的會員系統以多項式
P
(
x
)
P(x)
P
(
x
)
記錄折扣碼。已知
P
(
x
)
P(x)
P
(
x
)
除以
x
−
2
x-2
x
−
2
的餘式為
5
5
5
，除以
x
+
1
x+1
x
+
1
的餘式為
−
4
-4
−
4
。更新後的檢核多項式定義為
Q
(
x
)
=
(
x
−
1
)
P
(
x
)
+
2
Q(x)=(x-1)P(x)+2
Q
(
x
)
=
(
x
−
1
)
P
(
x
)
+
2
。若將
Q
(
x
)
Q(x)
Q
(
x
)
除以
x
2
−
x
−
2
x^2-x-2
x
2
−
x
−
2
，其餘式為何？
大學學科能力測驗（數學）
立體幾何・畢氏定理與特殊直角三角形
開始練習 →
台南一間飲料店要在圓柱形保溫桶的側面貼一條斜向防水膠帶。桶身半徑為
6
6
6
公分、高為
18
18
18
公分。膠帶從側面底緣的點
P
P
P
貼到側面頂緣的點
Q
Q
Q
，且
Q
Q
Q
在圓周方向上正好位於
P
P
P
的對面。若膠帶只能沿桶身側面貼，最短長度為多少？
大學學科能力測驗（數學）
三角比與正餘弦定理・幾何：角度與面積
開始練習 →
澎湖某碼頭
O
O
O
要估算兩個浮標與碼頭圍成的警戒水域。浮標
A
A
A
距離碼頭
4
4
4
公里，方位角為
015
∘
015^\circ
01
5
∘
；浮標
B
B
B
距離碼頭
7
7
7
公里，方位角為
075
∘
075^\circ
07
5
∘
。若方位角以正北順時針量，則三角形
O
A
B
OAB
O
A
B
的面積為多少？
大學學科能力測驗（數學）
圓的性質・畢氏定理與特殊直角三角形
開始練習 →
某校把圓形中庭的圓心記為
O
O
O
，半徑為
12
12
12
公尺。校門口標示牌在點
P
P
P
，且
O
P
=
24
OP=24
O
P
=
24
公尺；從
P
P
P
拉兩條直線步道分別切中庭於
A
A
A
、
B
B
B
。若觀景點
C
C
C
在圓周上且位於較大的弧
A
B
AB
A
B
上，則
∠
A
C
B
\angle ACB
∠
A
C
B
為多少？
大學學科能力測驗（數學）
三角比與正餘弦定理
開始練習 →
嘉義布袋港的兩座岸上觀測站
A
A
A
、
B
B
B
位於同一條東西向堤岸，
A
A
A
在
B
B
B
的正西方，且
A
B
=
1.2
AB=1.2
A
B
=
1.2
公里。一艘漁船位於堤岸北側的
C
C
C
點。從
A
A
A
觀測，
C
C
C
的方位為北偏東
35
∘
35^\circ
3
5
∘
；從
B
B
B
觀測，
C
C
C
的方位為北偏西
50
∘
50^\circ
5
0
∘
。若
1
1
1
平方公里等於
100
100
100
公頃，則三角形
A
B
C
ABC
A
B
C
所圍海域的面積為多少公頃？
大學學科能力測驗（數學）
角度追蹤・圓的性質
開始練習 →
某公園圓形廣場以
O
O
O
為圓心，
A
,
B
,
C
,
D
A,B,C,D
A
,
B
,
C
,
D
依序位於同一圓周上。已知
A
B
=
B
C
AB=BC
A
B
=
B
C
、
∠
O
B
A
=
35
∘
\angle OBA=35^\circ
∠
O
B
A
=
3
5
∘
、
∠
O
C
D
=
40
∘
\angle OCD=40^\circ
∠
O
C
D
=
4
0
∘
。求
∠
B
A
D
\angle BAD
∠
B
A
D
。
大學學科能力測驗（數學）
三角函數與和差角・平面向量
開始練習 →
台南一場廟會的兩條遊行道路形成一個轉角
θ
\theta
θ
，其中
π
2
<
θ
<
π
\frac{\pi}{2}<\theta<\pi
2
π
<
θ
<
π
且
cos
θ
=
−
7
25
\cos\theta=-\frac{7}{25}
cos
θ
=
−
25
7
。工作人員從轉角頂點沿內角平分線拉出一條長
15
15
15
公尺的布幕拉索。若第一條道路指向正東，第二條道路由正東逆時針轉過
θ
\theta
θ
，則拉索末端向北的位移比向東的位移多多少公尺？
大學學科能力測驗（數學）
三角函數建模
開始練習 →
台中逢甲商圈在某時段的人流量可用週期模型估計。設
t
t
t
為觀測開始後的小時數，入口
X
X
X
每小時人流量為
N
X
(
t
)
=
300
+
120
sin
(
π
6
(
t
−
1
)
)
N_X(t)=300+120\sin\left(\frac{\pi}{6}(t-1)\right)
N
X
(
t
)
=
300
+
120
sin
(
6
π
(
t
−
1
)
)
。人潮由入口
X
X
X
移動到入口
Y
Y
Y
的波峰約延遲
2
2
2
小時；入口
Y
Y
Y
的平均人流量比入口
X
X
X
多
40
40
40
人次，而相對平均值的變動幅度比入口
X
X
X
少
25
%
25\%
25%
。依此模型，
N
Y
(
6
)
N_Y(6)
N
Y
(
6
)
約為多少人次？
大學學科能力測驗（數學）
平面向量・三角比與正餘弦定理
開始練習 →
台南廟會工作人員以兩條纜繩拖動大型燈車。以正東方向為
0
∘
0^\circ
0
∘
，逆時針方向角為正：第一條纜繩施力大小為
6
6
6
千牛頓，方向角為
150
∘
150^\circ
15
0
∘
；第二條纜繩施力大小為
8
8
8
千牛頓，方向角為
−
10
∘
-10^\circ
−
1
0
∘
。為使燈車暫時保持靜止，第三條纜繩須施加與前兩力合力大小相同、方向相反的力。第三條纜繩的施力大小應為多少千牛頓？
大學學科能力測驗（數學）
條件機率與貝氏定理・三角函數建模
開始練習 →
基隆港的波高可近似為
H
(
t
)
=
2
+
sin
(
π
6
(
t
−
1
)
)
H(t)=2+\sin\left(\frac{\pi}{6}(t-1)\right)
H
(
t
)
=
2
+
sin
(
6
π
(
t
−
1
)
)
公尺，週期為
12
12
12
小時。系統從完整週期中等可能地隨機抽取一個時刻；若當時
H
(
t
)
≥
2.5
H(t)\ge2.5
H
(
t
)
≥
2.5
，便定義為危險時刻。警示器在危險時刻發出警示的機率為
9
10
\frac9{10}
10
9
，在非危險時刻誤發警示的機率為
3
20
\frac3{20}
20
3
。已知警示器發出警示，該時刻實際危險的機率為何？
大學學科能力測驗（數學）
三角函數與和差角・三角函數建模
開始練習 →
花蓮一處自行車道旁的坡面與水平面夾角為銳角
α
\alpha
α
，且坡面每水平前進
12
12
12
公尺便上升
5
5
5
公尺。入口地面的投射燈相對坡面再向上仰一銳角
β
\beta
β
，其中
sin
β
=
3
5
\sin\beta=\frac{3}{5}
sin
β
=
5
3
。若一面鉛直布幕位於投射燈正前方水平距離
33
10
\frac{33}{10}
10
33
公尺處，忽略燈具本身高度，光束照在布幕上的高度為何？
大學學科能力測驗（數學）
三角函數建模
開始練習 →
高雄港邊一座摩天輪以等速轉動。某車廂在
t
=
0
t=0
t
=
0
分鐘時位於最低點，高度為
2
2
2
公尺；在
t
=
6
t=6
t
=
6
分鐘時位於最高點，高度為
42
42
42
公尺；並在
t
=
12
t=12
t
=
12
分鐘時回到最低點。在第
1
1
1
圈中，該車廂高度至少為
32
32
32
公尺的時間範圍為何？
大學學科能力測驗（數學）
三角函數建模
開始練習 →
澎湖一處潮間帶步道的積水深度可用正弦函數近似。以午夜後
t
t
t
小時表示時間，觀測到上午
2
2
2
時水深通過平均水位
2
2
2
公尺且正在上升，上午
5
5
5
時達最高水位
2.8
2.8
2.8
公尺，上午
11
11
11
時達最低水位
1.2
1.2
1.2
公尺。下列何者最適合作為水深
d
(
t
)
d(t)
d
(
t
)
的模型？
大學學科能力測驗（數學）
三角比與正餘弦定理・坐標幾何
開始練習 →
鹿港廟口燈球在平面座標圖上移動，東方為正
x
x
x
軸、北方為正
y
y
y
軸，方向角由正
x
x
x
軸逆時針量起。燈球先從
O
O
O
沿方向角
θ
\theta
θ
移動
26
26
26
公尺，其中
θ
\theta
θ
在第二象限且
sin
θ
=
5
13
\sin\theta=\frac{5}{13}
sin
θ
=
13
5
；接著再沿方向角
θ
+
60
∘
\theta+60^\circ
θ
+
6
0
∘
移動
26
26
26
公尺。求最後位置的
x
x
x
座標。
大學學科能力測驗（數學）
三角函數與和差角
開始練習 →
高雄港一座橋梁進行振動測試，兩個致動器產生的訊號分別為
u
1
(
t
)
=
sin
(
π
3
t
)
u_1(t)=\sin\left(\frac{\pi}{3}t\right)
u
1
(
t
)
=
sin
(
3
π
t
)
與
u
2
(
t
)
=
sin
(
π
3
(
t
−
τ
)
)
u_2(t)=\sin\left(\frac{\pi}{3}(t-\tau)\right)
u
2
(
t
)
=
sin
(
3
π
(
t
−
τ
)
)
，其中
t
t
t
與延遲量
τ
\tau
τ
均以秒為單位，且
0
<
τ
<
3
0<\tau<3
0
<
τ
<
3
。若合成訊號
u
(
t
)
=
u
1
(
t
)
+
u
2
(
t
)
u(t)=u_1(t)+u_2(t)
u
(
t
)
=
u
1
(
t
)
+
u
2
(
t
)
的振幅恰為
1
1
1
，則
τ
\tau
τ
與合成訊號第一次達到最大值的正時刻
t
0
t_0
t
0
所成的有序對
(
τ
,
t
0
)
(\tau,t_0)
(
τ
,
t
0
)
為何？
大學學科能力測驗（數學）
三角函數建模・三角函數與和差角
開始練習 →
宜蘭一座滯洪池以感測器記錄水位，啟動後第
t
t
t
小時的水位模型為
h
(
t
)
=
2
+
sin
(
π
6
(
t
−
1
)
)
h(t)=2+\sin\left(\frac{\pi}{6}(t-1)\right)
h
(
t
)
=
2
+
sin
(
6
π
(
t
−
1
)
)
公尺，其中
0
≤
t
<
24
0\le t<24
0
≤
t
<
24
。清理機器人只會在水位恰為
5
2
\frac{5}{2}
2
5
公尺，且水位正由低於
5
2
\frac{5}{2}
2
5
公尺變為高於
5
2
\frac{5}{2}
2
5
公尺時啟動。機器人的啟動時刻為何？
大學學科能力測驗（數學）
三角比與正餘弦定理・幾何：角度與面積
開始練習 →
台南某校園有三個路口
A
,
B
,
C
A,B,C
A
,
B
,
C
，其中
A
B
=
300
AB=300
A
B
=
300
公尺、
A
C
=
500
AC=500
A
C
=
500
公尺，且兩條路在
A
A
A
夾角為
120
∘
120^\circ
12
0
∘
。校方要在
B
,
C
B,C
B
,
C
之間畫一條直線導引路線，求路口
A
A
A
到直線
B
C
BC
B
C
的最短距離。