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AMC 8
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AIME
CEMC 滑鐵盧數學競賽
難度
全部
易
中
難
知識點
所有知識點（91）
整數四則與運算順序
位值、概數與估算
單位換算與時間計算
分數與小數運算
數論基礎（整除、質因數、餘數）
質因數分解與標準分解式
最大公因數與最小公倍數
餘數循環與週期規律
進位制與位數表示
數字與位數問題
整數解與不定方程
模運算與同餘
中國剩餘定理
因數個數與因數和
階乘的質因數次數
代數技巧（方程、不等式、數列）
巧設未知數與一次方程應用
等差數列與規律延伸
對稱式與代數恆等式
因式分解技巧（SFFT）
速率與工作問題
一次函數與圖形
指數與根式
二次函數與拋物線
多項式與因式餘式定理
不等式與絕對值
比例、速率與百分比
對數
複數
等比數列與無窮級數
函數概念與圖形變換
高斯取整函數
望遠鏡級數與裂項
遞迴數列
指數函數與指數方程
對數函數與對數方程
多項式函數與圖形
數列與級數
矩陣與線性變換
複數與多項式方程
幾何：角度與面積
角度追蹤
面積切割與補形
相似形與比例線段
畢氏定理與特殊直角三角形
幾何推理與證明
圓的性質
多邊形與正多邊形
立體幾何
坐標幾何
三角比與正餘弦定理
對稱與幾何變換
圓冪定理
圓錐曲線（截痕概念）
平面上的比例
二次曲線標準式
計數與機率
加法與乘法原理
系統列舉與分類討論
基礎機率
排列組合進階
容斥原理
期望值
幾何機率
遞迴與路徑計數
鴿籠原理與最壞情況
奇偶性與不變量
隔板法與重複組合
條件機率與貝氏
條件機率與貝氏定理
離散隨機變數
二項分布
幾何分布
邏輯推理與規律
統計圖表與資料判讀
平均數與加權平均
二維數據與相關
三角比與正餘弦定理
三角函數與和差角
三角函數建模
平面向量
空間向量
空間中的直線與平面
數列極限與收斂
無窮等比級數
函數極限與連續
導函數與微分法
微分應用（極值與圖形）
黎曼和與定積分
積分應用（面積與體積）
數線與絕對值
共
760
題
・第 24／26 頁
AMC 8
系統列舉與分類討論
開始練習 →
珍珠奶茶店要把
7
7
7
張杯套貼紙排成一列，其中茶色貼紙
3
3
3
張、芒果色貼紙
2
2
2
張、海鹽色貼紙
2
2
2
張。同色貼紙只看顏色不分彼此，要求兩張芒果色貼紙不相鄰，且最左邊不能是海鹽色。共有幾種不同色序？
AMC 10
‹
1
…
23
24
25
26
›
奇偶性與不變量・計數與機率
開始練習 →
一個有序數列
(
a
1
,
a
2
,
…
,
a
8
)
(a_1,a_2,\ldots,a_8)
(
a
1
,
a
2
,
…
,
a
8
)
最初的各項皆為
0
0
0
。每次可選取一個滿足
1
≤
i
≤
7
1\le i\le7
1
≤
i
≤
7
的整數
i
i
i
，將
a
i
a_i
a
i
與
a
i
+
1
a_{i+1}
a
i
+
1
同時加上
1
1
1
，或同時減去
1
1
1
；操作過程中允許出現負整數。由
1
1
1
到
8
8
8
各使用一次所組成的所有有序數列中，有多少個可以經過有限次操作得到？
AMC 8
系統列舉與分類討論
開始練習 →
嘉義公車集章活動的票號從
1
1
1
到
200
200
200
。若一個票號的十進位表示中不出現數字
0
0
0
，且任兩個相鄰數字的差至少為
2
2
2
，則這樣的票號共有幾個？
AMC 10
遞迴與路徑計數・容斥原理
開始練習 →
彰化一個棋盤狀巷弄以座標表示交叉路口。阿凱從早餐店
S
=
(
0
,
0
)
S=(0,0)
S
=
(
0
,
0
)
走到飲料店
T
=
(
9
,
7
)
T=(9,7)
T
=
(
9
,
7
)
，每一步只能向東或向北走一格，且必須走最短路徑。施工中的三個路口
A
=
(
3
,
2
)
A=(3,2)
A
=
(
3
,
2
)
、
B
=
(
5
,
4
)
B=(5,4)
B
=
(
5
,
4
)
、
C
=
(
7
,
5
)
C=(7,5)
C
=
(
7
,
5
)
不能經過。共有多少種走法？
AMC 10
面積切割與補形・平面上的比例
開始練習 →
如圖，
D
D
D
、
E
E
E
、
F
F
F
分別在
△
A
B
C
\triangle ABC
△
A
B
C
的邊
B
C
BC
B
C
、
C
A
CA
C
A
、
A
B
AB
A
B
上，且
A
D
AD
A
D
、
B
E
BE
B
E
、
C
F
CF
C
F
交於三角形內部的同一點
P
P
P
。已知
△
B
P
D
\triangle BPD
△
B
P
D
、
△
C
P
D
\triangle CPD
△
C
P
D
、
△
C
P
A
\triangle CPA
△
C
P
A
的面積依序為
21
21
21
、
35
35
35
、
70
70
70
。求
△
D
E
F
\triangle DEF
△
D
E
F
的面積。
AMC 12
對數函數與對數方程・代數技巧（方程、不等式、數列）
開始練習 →
台中某高中數學社設計校慶闖關題。對正實數
x
≠
1
x\ne 1
x
=
1
，令
t
=
log
2
x
+
log
x
2
t=\log_2 x+\log_x 2
t
=
lo
g
2
x
+
lo
g
x
2
。若解鎖條件為
log
3
(
t
2
−
6
t
+
5
)
+
log
3
(
t
2
−
6
t
+
7
)
=
1
\log_3(t^2-6t+5)+\log_3(t^2-6t+7)=1
lo
g
3
(
t
2
−
6
t
+
5
)
+
lo
g
3
(
t
2
−
6
t
+
7
)
=
1
，將所有符合條件的
x
x
x
所對應的
(
log
2
x
)
2
(\log_2 x)^2
(
lo
g
2
x
)
2
相加，結果為何？
AMC 12
遞迴與路徑計數・容斥原理
開始練習 →
台中柳川旁有一片棋盤式巷弄，阿澤從咖啡店
S
=
(
0
,
0
)
S=(0,0)
S
=
(
0
,
0
)
走到甜點店
T
=
(
9
,
6
)
T=(9,6)
T
=
(
9
,
6
)
。每次只能向東或向北走一個街口，因此走到
T
T
T
的路線都是最短路線。現在三個路口
P
=
(
3
,
2
)
P=(3,2)
P
=
(
3
,
2
)
、
Q
=
(
6
,
4
)
Q=(6,4)
Q
=
(
6
,
4
)
、
R
=
(
5
,
1
)
R=(5,1)
R
=
(
5
,
1
)
正在施工，不能經過。阿澤共有多少種最短走法？
AMC 12
遞迴數列・質因數分解與標準分解式
開始練習 →
台南某夜市攤位設計了一款數字闖關遊戲。遊戲使用數列
a
0
,
a
1
,
a
2
,
…
a_0,a_1,a_2,\ldots
a
0
,
a
1
,
a
2
,
…
，其中
a
0
=
1
a_0=1
a
0
=
1
、
a
1
=
6
a_1=6
a
1
=
6
，且對所有非負整數
n
n
n
，都有
a
n
+
2
=
6
a
n
+
1
−
9
a
n
a_{n+2}=6a_{n+1}-9a_n
a
n
+
2
=
6
a
n
+
1
−
9
a
n
。編號從
1
1
1
到
2026
2026
2026
的關卡中，若
a
n
a_n
a
n
是完全平方數，第
n
n
n
關就被標為獎勵關。這些關卡中共有多少個獎勵關？
AMC 8
質因數分解與標準分解式
開始練習 →
新竹一間米店有
7560
7560
7560
包試吃米，店員想把包數增加為原來的
k
k
k
倍，使總包數
7560
k
7560k
7560
k
成為完全平方數。若
k
k
k
為正整數，則最小的
k
k
k
是多少？
AMC 10
空間向量・立體幾何
開始練習 →
如圖，正方體
O
A
B
C
−
D
E
F
G
OABC-DEFG
O
A
B
C
−
D
E
F
G
的邊長為
6
6
6
，其中
O
D
OD
O
D
、
A
E
AE
A
E
、
B
F
BF
B
F
、
C
G
CG
C
G
為連接兩個相對面的四條稜。點
P
P
P
、
Q
Q
Q
、
R
R
R
分別位於稜
A
B
AB
A
B
、
C
G
CG
C
G
、
D
E
DE
D
E
上，且
A
P
=
C
Q
=
D
R
=
2
AP=CQ=DR=2
A
P
=
C
Q
=
D
R
=
2
。平面
P
Q
R
PQR
P
QR
將正方體分成兩個立體，其中包含頂點
O
O
O
的立體體積為何？
AMC 10
角度追蹤・幾何推理與證明
開始練習 →
如圖，在
△
A
B
C
\triangle ABC
△
A
B
C
中，
A
B
=
A
C
AB=AC
A
B
=
A
C
。點
D
D
D
位於邊
B
C
BC
B
C
上，點
E
E
E
位於邊
A
C
AC
A
C
上，且兩點皆不是端點。若
A
D
=
B
D
AD=BD
A
D
=
B
D
，且
A
E
=
D
E
=
D
C
AE=DE=DC
A
E
=
D
E
=
D
C
，求
∠
B
A
C
\angle BAC
∠
B
A
C
。
AMC 8
系統列舉與分類討論
開始練習 →
新竹夜市炸物攤把抽籤牌編成三位數。號碼的三個數字互不相同，三個數字和為
12
12
12
，號碼是
6
6
6
的倍數，且百位數字小於個位數字。共有幾個這樣的號碼？
AMC 8
因數個數與因數和・質因數分解與標準分解式
開始練習 →
台中一間社團要把
360
n
360n
360
n
顆徽章排成正方形陣列，且希望這個總數剛好有
75
75
75
個正因數。若
n
n
n
是滿足條件的最小正整數，則
n
n
n
等於多少？
AMC 8
數字與位數問題・數論基礎（整除、質因數、餘數）
開始練習 →
花蓮早餐店的取餐號是一個三位數
N
N
N
，百位、十位、個位數字互不相同。把
N
N
N
的三個數字倒過來後仍是三位數，且
N
N
N
比倒過來的數大
297
297
297
；又知
N
N
N
是
9
9
9
的倍數。所有可能的
N
N
N
相加是多少？
AMC 10
幾何：角度與面積・相似形與比例線段
開始練習 →
如圖，點
D
D
D
、
E
E
E
分別在線段
A
B
AB
A
B
、
A
C
AC
A
C
的內部，且
D
E
∥
B
C
DE\parallel BC
D
E
∥
B
C
。線段
B
E
BE
B
E
與
C
D
CD
C
D
交於點
P
P
P
。已知
△
A
P
D
\triangle APD
△
A
P
D
的面積為
18
18
18
，
△
B
P
C
\triangle BPC
△
B
P
C
的面積為
20
20
20
，求
△
A
B
C
\triangle ABC
△
A
B
C
的面積。
AMC 10
無窮等比級數・因數個數與因數和
開始練習 →
一實數等比數列的首項為正整數，第二項為非零整數，第三項也為整數。若此數列的無窮級數收斂且和為
2160
2160
2160
，則首項共有多少種可能的值？
AMC 8
因數個數與因數和・質因數分解與標準分解式
開始練習 →
台南廟會準備了
453600
453600
453600
張祈福卡。若每袋裝相同張數且恰好裝完，則每一個正因數都代表一種可能的每袋張數。共有多少種不同的裝袋方式？
AMC 8
多邊形與正多邊形
開始練習 →
佳佳設計了一個拼貼圖案，只使用正六邊形和正方形。她想讓這些多邊形在某個點完美接合，不留任何空隙也不重疊。請問，如果一個點周圍已經放置了
1
1
1
個正六邊形，且最後仍要完美接合，那麼在同一個點周圍還必須再放置幾個正六邊形？
AMC 8
鴿籠原理與最壞情況
開始練習 →
飲料店當日發票的整數金額可能是
1
1
1
元到
41
41
41
元。至少選出多少個互不相同的金額，才能保證其中有兩個不同金額的和為
42
42
42
元？
AMC 10
排列組合進階・容斥原理
開始練習 →
台南夜市某攤把甜點口味貼紙貼在圓形轉盤邊緣的
11
11
11
個等距位置上，其中芋頭記為
T
T
T
有
4
4
4
張，抹茶記為
M
M
M
有
3
3
3
張，花生記為
P
P
P
有
2
2
2
張，芝麻記為
S
S
S
有
2
2
2
張；同口味貼紙視為相同。要求兩張芝麻必須相鄰，任意兩張芋頭不得相鄰，且兩張花生不得相鄰。只因旋轉而相同的貼法視為同一種，左右翻面不視為同一種。共有幾種貼法？
AMC 10
對稱式與代數恆等式・代數技巧（方程、不等式、數列）
開始練習 →
設實數
x
x
x
、
y
y
y
滿足
x
2
+
y
2
=
13
x^2+y^2=13
x
2
+
y
2
=
13
與
x
3
+
y
3
=
35
x^3+y^3=35
x
3
+
y
3
=
35
。求
x
y
xy
x
y
的所有不同可能值之和。
AMC 8
系統列舉與分類討論・加法與乘法原理
開始練習 →
某間台南文創店的鑰匙圈編號有
4
4
4
位，依序記為
a
,
b
,
c
,
d
a,b,c,d
a
,
b
,
c
,
d
。每一位都從
1
1
1
到
7
7
7
選出，且四個數字互不相同。若編號滿足
a
+
b
=
c
+
d
a+b=c+d
a
+
b
=
c
+
d
且
a
<
d
a<d
a
<
d
，共有幾個不同編號？
AMC 8
餘數循環與週期規律・數論基礎（整除、質因數、餘數）
開始練習 →
高雄夜市的飲料杯有數字碼與顏色標籤。第
1
1
1
杯的數字碼是
0
0
0
，之後每一杯的數字碼沿著
0
0
0
到
6
6
6
的圓環順時針移動，步數依序為
1
,
2
,
4
,
1
1,2,4,1
1
,
2
,
4
,
1
並不斷重複；顏色則依序為紅、藍、綠、黃、白並不斷重複，第
1
1
1
杯是紅色。第一杯杯號大於
2026
2026
2026
，且數字碼為
3
3
3
、顏色為綠色的是第幾杯？
AMC 8
計數與機率・系統列舉與分類討論
開始練習 →
台南夜市有一個丟圈圈遊戲，每圈若套中不同區域可得
4
4
4
分、
7
7
7
分或
9
9
9
分。小榆恰好丟
5
5
5
圈，且每圈都套中某一區域。她最後的總分可能有多少種不同數值？
AMC 12
圓冪定理・圓的性質
開始練習 →
如圖，某社區規劃一座直角三角形庭園，
∠
A
C
B
=
90
∘
\angle ACB=90^\circ
∠
A
C
B
=
9
0
∘
，
C
A
=
15
CA=15
C
A
=
15
公尺、
C
B
=
20
CB=20
C
B
=
20
公尺。庭園的內切圓與
A
B
AB
A
B
相切於
D
D
D
；射線
C
D
CD
C
D
與三角形的外接圓再次相交於
P
P
P
。從
P
P
P
向內切圓作切線，切點為
T
T
T
。若各線段長度均以公尺為單位，則
P
T
2
PT^2
P
T
2
等於多少？
AMC 8
系統列舉與分類討論
開始練習 →
台北市立圖書館在六月舉辦閱讀打卡，小安要選三個不同日期，依早到晚記為
a
<
b
<
c
a<b<c
a
<
b
<
c
。三個日期的和為
42
42
42
，且最晚日期與最早日期相差不超過
10
10
10
天。共有幾種選法？
AIME
高斯取整函數・模運算與同餘
開始練習 →
淡水夜市有一台集點機，對每個正整數
n
n
n
定義驗證碼
C
(
n
)
C(n)
C
(
n
)
為
C
(
n
)
=
∑
k
=
0
46
⌊
3
n
+
19
k
−
5
47
⌋
+
∑
k
=
0
42
⌊
2
n
+
17
k
+
8
43
⌋
C(n)=\sum_{k=0}^{46}\left\lfloor\frac{3n+19k-5}{47}\right\rfloor+\sum_{k=0}^{42}\left\lfloor\frac{2n+17k+8}{43}\right\rfloor
C
(
n
)
=
∑
k
=
0
46
⌊
47
3
n
+
19
k
−
5
⌋
+
∑
k
=
0
42
⌊
43
2
n
+
17
k
+
8
⌋
。 若
1
≤
n
≤
900
1\le n\le 900
1
≤
n
≤
900
，且
n
+
30
n+30
n
+
30
整除
C
(
n
)
C(n)
C
(
n
)
，求所有符合條件的
n
n
n
之和。
AMC 10
幾何機率・條件機率與貝氏
開始練習 →
週五傍晚，阿哲與庭安約在台中逢甲夜市的紅茶攤碰面。阿哲會在
18
:
00
18:00
18
:
00
到
18
:
50
18:50
18
:
50
間隨機且均勻地到達；庭安會在
18
:
10
18:10
18
:
10
到
19
:
00
19:00
19
:
00
間隨機且均勻地到達，兩人的到達時間互相獨立。阿哲若先到，只願意等庭安
18
18
18
分鐘；庭安若先到，只願意等阿哲
12
12
12
分鐘。已知兩人最後有碰到面，則阿哲比庭安早到的機率是多少？
AMC 10
函數概念與圖形變換
開始練習 →
如圖，函數
f
f
f
的定義域為
0
≤
x
≤
4
0\le x\le 4
0
≤
x
≤
4
，圖形是依序連接
(
0
,
0
)
(0,0)
(
0
,
0
)
、
(
2
,
4
)
(2,4)
(
2
,
4
)
、
(
4
,
0
)
(4,0)
(
4
,
0
)
的兩條線段。所有同時滿足
f
(
f
(
f
(
x
)
)
)
=
x
f(f(f(x)))=x
f
(
f
(
f
(
x
)))
=
x
與
f
(
x
)
≠
x
f(x)\ne x
f
(
x
)
=
x
的實數
x
x
x
，其總和為何？
AMC 8
邏輯推理與規律・系統列舉與分類討論
開始練習 →
彩虹夜市有
5
5
5
個攤位排成一直列，從左到右是第
1
1
1
到第
5
5
5
格。攤位名稱為牛排、珍奶、雞排、滷味、甜不辣。已知：牛排不在兩端；珍奶在雞排左邊且不相鄰；滷味在牛排右邊；甜不辣緊貼在滷味左邊；雞排在滷味右邊。從左到右的順序是哪一個？