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AIME
CEMC 滑鐵盧數學競賽
難度
全部
易
中
難
知識點
所有知識點（91）
整數四則與運算順序
位值、概數與估算
單位換算與時間計算
分數與小數運算
數論基礎（整除、質因數、餘數）
質因數分解與標準分解式
最大公因數與最小公倍數
餘數循環與週期規律
進位制與位數表示
數字與位數問題
整數解與不定方程
模運算與同餘
中國剩餘定理
因數個數與因數和
階乘的質因數次數
代數技巧（方程、不等式、數列）
巧設未知數與一次方程應用
等差數列與規律延伸
對稱式與代數恆等式
因式分解技巧（SFFT）
速率與工作問題
一次函數與圖形
指數與根式
二次函數與拋物線
多項式與因式餘式定理
不等式與絕對值
比例、速率與百分比
對數
複數
等比數列與無窮級數
函數概念與圖形變換
高斯取整函數
望遠鏡級數與裂項
遞迴數列
指數函數與指數方程
對數函數與對數方程
多項式函數與圖形
數列與級數
矩陣與線性變換
複數與多項式方程
幾何：角度與面積
角度追蹤
面積切割與補形
相似形與比例線段
畢氏定理與特殊直角三角形
幾何推理與證明
圓的性質
多邊形與正多邊形
立體幾何
坐標幾何
三角比與正餘弦定理
對稱與幾何變換
圓冪定理
圓錐曲線（截痕概念）
平面上的比例
二次曲線標準式
計數與機率
加法與乘法原理
系統列舉與分類討論
基礎機率
排列組合進階
容斥原理
期望值
幾何機率
遞迴與路徑計數
鴿籠原理與最壞情況
奇偶性與不變量
隔板法與重複組合
條件機率與貝氏
條件機率與貝氏定理
離散隨機變數
二項分布
幾何分布
邏輯推理與規律
統計圖表與資料判讀
平均數與加權平均
二維數據與相關
三角比與正餘弦定理
三角函數與和差角
三角函數建模
平面向量
空間向量
空間中的直線與平面
數列極限與收斂
無窮等比級數
函數極限與連續
導函數與微分法
微分應用（極值與圖形）
黎曼和與定積分
積分應用（面積與體積）
數線與絕對值
共
797
題
・第 26／27 頁
AMC 8
計數與機率・系統列舉與分類討論
開始練習 →
台南夜市有一個丟圈圈遊戲，每圈若套中不同區域可得
4
4
4
分、
7
7
7
分或
9
9
9
分。小榆恰好丟
5
5
5
圈，且每圈都套中某一區域。她最後的總分可能有多少種不同數值？
AMC 12
‹
1
…
25
26
27
›
圓冪定理・圓的性質
開始練習 →
如圖，某社區規劃一座直角三角形庭園，
∠
A
C
B
=
90
∘
\angle ACB=90^\circ
∠
A
C
B
=
9
0
∘
，
C
A
=
15
CA=15
C
A
=
15
公尺、
C
B
=
20
CB=20
C
B
=
20
公尺。庭園的內切圓與
A
B
AB
A
B
相切於
D
D
D
；射線
C
D
CD
C
D
與三角形的外接圓再次相交於
P
P
P
。從
P
P
P
向內切圓作切線，切點為
T
T
T
。若各線段長度均以公尺為單位，則
P
T
2
PT^2
P
T
2
等於多少？
AMC 8
系統列舉與分類討論
開始練習 →
台北市立圖書館在六月舉辦閱讀打卡，小安要選三個不同日期，依早到晚記為
a
<
b
<
c
a<b<c
a
<
b
<
c
。三個日期的和為
42
42
42
，且最晚日期與最早日期相差不超過
10
10
10
天。共有幾種選法？
AIME
高斯取整函數・模運算與同餘
開始練習 →
淡水夜市有一台集點機，對每個正整數
n
n
n
定義驗證碼
C
(
n
)
C(n)
C
(
n
)
為
C
(
n
)
=
∑
k
=
0
46
⌊
3
n
+
19
k
−
5
47
⌋
+
∑
k
=
0
42
⌊
2
n
+
17
k
+
8
43
⌋
C(n)=\sum_{k=0}^{46}\left\lfloor\frac{3n+19k-5}{47}\right\rfloor+\sum_{k=0}^{42}\left\lfloor\frac{2n+17k+8}{43}\right\rfloor
C
(
n
)
=
∑
k
=
0
46
⌊
47
3
n
+
19
k
−
5
⌋
+
∑
k
=
0
42
⌊
43
2
n
+
17
k
+
8
⌋
。 若
1
≤
n
≤
900
1\le n\le 900
1
≤
n
≤
900
，且
n
+
30
n+30
n
+
30
整除
C
(
n
)
C(n)
C
(
n
)
，求所有符合條件的
n
n
n
之和。
AMC 10
幾何機率・條件機率與貝氏
開始練習 →
週五傍晚，阿哲與庭安約在台中逢甲夜市的紅茶攤碰面。阿哲會在
18
:
00
18:00
18
:
00
到
18
:
50
18:50
18
:
50
間隨機且均勻地到達；庭安會在
18
:
10
18:10
18
:
10
到
19
:
00
19:00
19
:
00
間隨機且均勻地到達，兩人的到達時間互相獨立。阿哲若先到，只願意等庭安
18
18
18
分鐘；庭安若先到，只願意等阿哲
12
12
12
分鐘。已知兩人最後有碰到面，則阿哲比庭安早到的機率是多少？
AMC 10
函數概念與圖形變換
開始練習 →
如圖，函數
f
f
f
的定義域為
0
≤
x
≤
4
0\le x\le 4
0
≤
x
≤
4
，圖形是依序連接
(
0
,
0
)
(0,0)
(
0
,
0
)
、
(
2
,
4
)
(2,4)
(
2
,
4
)
、
(
4
,
0
)
(4,0)
(
4
,
0
)
的兩條線段。所有同時滿足
f
(
f
(
f
(
x
)
)
)
=
x
f(f(f(x)))=x
f
(
f
(
f
(
x
)))
=
x
與
f
(
x
)
≠
x
f(x)\ne x
f
(
x
)
=
x
的實數
x
x
x
，其總和為何？
AMC 8
邏輯推理與規律・系統列舉與分類討論
開始練習 →
彩虹夜市有
5
5
5
個攤位排成一直列，從左到右是第
1
1
1
到第
5
5
5
格。攤位名稱為牛排、珍奶、雞排、滷味、甜不辣。已知：牛排不在兩端；珍奶在雞排左邊且不相鄰；滷味在牛排右邊；甜不辣緊貼在滷味左邊；雞排在滷味右邊。從左到右的順序是哪一個？
AMC 10
進位制與位數表示・整數解與不定方程
開始練習 →
考慮所有整數
b
b
b
，其中
4
≤
b
≤
60
4\leq b\leq60
4
≤
b
≤
60
。對每個底數
b
b
b
，計算滿足下列條件的三位
b
b
b
進位數
(
a
d
c
)
b
(adc)_b
(
a
d
c
)
b
的個數：
a
a
a
、
d
d
d
、
c
c
c
是互不相同的非零數字，且
3
(
a
d
c
)
b
=
(
c
d
a
)
b
3(adc)_b=(cda)_b
3
(
a
d
c
)
b
=
(
c
d
a
)
b
。將各底數得到的個數相加，總和是多少？
AMC 8
計數與機率・系統列舉與分類討論
開始練習 →
台北車站的寄物櫃代碼是四位數，第一位不可為
0
0
0
，且四位數字不可重複。若從所有符合規定的代碼中等機率選出一個，代碼中至少出現一個
6
6
6
或
8
8
8
的機率是多少？
AMC 12
對數・數字與位數問題
開始練習 →
高雄某高中數學社準備數字卡。對每個正整數
n
n
n
，分別把
2
n
2^n
2
n
與
5
n
5^n
5
n
的完整十進位表示寫在兩張卡上，不補前導零。若
5
n
5^n
5
n
的位數恰好比
2
n
2^n
2
n
位數的兩倍多
4
4
4
位，則所有符合條件的
n
n
n
的總和為何？已知
0.30102
<
log
10
2
<
0.30104
0.30102<\log_{10}2<0.30104
0.30102
<
lo
g
10
2
<
0.30104
。
AMC 8
鴿籠原理與最壞情況
開始練習 →
一排寄物櫃依序編號為
1
1
1
到
42
42
42
。至少任選多少個不同編號，才能保證其中有兩個編號的差不超過
4
4
4
？
AMC 10
因數個數與因數和・質因數分解與標準分解式
開始練習 →
從
2
6
×
3
6
2^6\times 3^6
2
6
×
3
6
的所有正因數中選取互不相同的數。至少要選取多少個，才能保證其中有三個數
x
<
y
<
z
x<y<z
x
<
y
<
z
，使得
y
y
y
是
x
x
x
的倍數，且
z
z
z
是
y
y
y
的倍數？
AMC 10
整數解與不定方程・系統列舉與分類討論
開始練習 →
設
x
x
x
、
y
y
y
、
z
z
z
為整數，且
3
≤
x
≤
y
≤
z
3\leq x\leq y\leq z
3
≤
x
≤
y
≤
z
。若
x
y
z
−
x
y
−
y
z
−
z
x
=
60
xyz-xy-yz-zx=60
x
y
z
−
x
y
−
y
z
−
z
x
=
60
，求所有符合條件的有序三元組
(
x
,
y
,
z
)
(x,y,z)
(
x
,
y
,
z
)
中，
z
z
z
值的總和。
AMC 8
計數與機率・系統列舉與分類討論
開始練習 →
台中一所國中製作校慶摸彩券，編號為三位數。可使用的數字只有
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
,
7
1,2,3,4,5,6,7
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
,
7
，且同一編號中數字不得重複。若編號必須是
3
3
3
的倍數，並且百位數小於十位數，這樣的編號共有多少個？
AMC 10
排列組合進階・基礎機率
開始練習 →
從
1
1
1
至
13
13
13
的整數中，等可能地選取五個不同的數，不計選取順序。若兩個選出的數相差
1
1
1
，便算作一對；例如選出的數包含
4
,
5
,
6
4,5,6
4
,
5
,
6
時，其中有
(
4
,
5
)
(4,5)
(
4
,
5
)
與
(
5
,
6
)
(5,6)
(
5
,
6
)
兩對。選出的五個數中至少有兩對相差
1
1
1
的數，其機率是多少？
AMC 8
整數解與不定方程・系統列舉與分類討論
開始練習 →
小港麵包店的貼紙包有小包、中包、大包，價格分別是
4
4
4
元、
7
7
7
元、
10
10
10
元。小晴三種都至少買一包，剛好花
100
100
100
元，且中包數量比大包多。共有幾種買法？
AMC 8
質因數分解與標準分解式・因數個數與因數和
開始練習 →
嘉義某班把
2520
t
2520t
2520
t
張貼紙重新包成一個正方形展示板，每邊貼紙數必須是整數。若
t
t
t
是能做到這件事的最小正整數，則
2520
t
2520t
2520
t
有幾個正因數？
AMC 10
幾何機率・不等式與絕對值
開始練習 →
如圖，在三角形
O
A
B
OAB
O
A
B
的內部均勻隨機選取一點
(
x
,
y
)
(x,y)
(
x
,
y
)
，其中
O
=
(
0
,
0
)
O=(0,0)
O
=
(
0
,
0
)
、
A
=
(
12
,
0
)
A=(12,0)
A
=
(
12
,
0
)
、
B
=
(
0
,
12
)
B=(0,12)
B
=
(
0
,
12
)
。將
x
x
x
、
y
y
y
、
12
−
x
−
y
12-x-y
12
−
x
−
y
視為三條線段的長。已知這三條線段能組成三角形，則最長邊不超過最短邊的
2
2
2
倍的機率為何？
AMC 8
質因數分解與標準分解式
開始練習 →
宜蘭一間文具店把當日售出的貼紙數量記為
108108
108108
108108
。下列何者是
108108
108108
108108
的標準質因數分解式？
AMC 10
對稱式與代數恆等式・複數與多項式方程
開始練習 →
設
a
a
a
、
b
b
b
、
c
c
c
、
d
d
d
為方程式
x
4
−
6
x
3
+
10
x
2
−
3
x
−
1
=
0
x^4-6x^3+10x^2-3x-1=0
x
4
−
6
x
3
+
10
x
2
−
3
x
−
1
=
0
的四個實根。求
(
a
2
+
1
)
(
b
2
+
1
)
(
c
2
+
1
)
(
d
2
+
1
)
(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)(d^2+1)
(
a
2
+
1
)
(
b
2
+
1
)
(
c
2
+
1
)
(
d
2
+
1
)
的值。
AMC 8
指數與根式・質因數分解與標準分解式
開始練習 →
屏東果農用同一種網袋裝芒果，記錄表上有一個化簡題：將
194400
2205
\sqrt{\frac{194400}{2205}}
2205
194400
化成
a
b
c
\frac{a\sqrt{b}}{c}
c
a
b
，其中
a
,
c
a,c
a
,
c
是正整數、
b
b
b
不含大於
1
1
1
的平方因數，且
a
c
\frac{a}{c}
c
a
已約分。正確的化簡結果是哪一個？
AMC 8
鴿籠原理與最壞情況・加法與乘法原理
開始練習 →
校慶園遊會的便當預購單中，每張單會勾選
6
6
6
種主菜之一、
4
4
4
個取餐時段之一，以及
3
3
3
種辣度之一。其中有
2
2
2
種素食主菜在最後一個取餐時段不供應大辣。至少收到多少張預購單，才能保證有
3
3
3
張單的主菜、取餐時段與辣度完全相同？
AMC 8
鴿籠原理與最壞情況
開始練習 →
早餐店要把
73
73
73
份餐點裝入
11
11
11
個保溫箱，每個保溫箱最多裝
8
8
8
份。至少有多少個保溫箱必須各裝有
7
7
7
份以上？
AMC 8
系統列舉與分類討論
開始練習 →
高鐵站置物櫃使用四位數密碼
a
b
c
d
abcd
ab
c
d
，其中
a
a
a
不是
0
0
0
，四個數字互不相同，且滿足
a
+
b
=
c
+
d
a+b=c+d
a
+
b
=
c
+
d
與
a
<
d
a<d
a
<
d
。共有幾個這樣的密碼？
AMC 8
數字與位數問題・數論基礎（整除、質因數、餘數）
開始練習 →
台南燈會志工有五張數字牌
0
,
1
,
2
,
6
,
9
0,1,2,6,9
0
,
1
,
2
,
6
,
9
，各用一次排成五位數。若排出的數同時是
9
9
9
的倍數與
4
4
4
的倍數，則共有幾種排法？
AMC 8
餘數循環與週期規律・單位換算與時間計算
開始練習 →
從
7
7
7
月
1
1
1
日星期三開始，到
8
8
8
月
29
29
29
日為止，班上資源回收值日依序按甲、乙、乙、丙、甲、丁不斷循環。每逢星期二或星期五，值日小組還要整理舊報紙。這段期間中，由乙值日且需要整理舊報紙的日子有幾天？
AMC 12
排列組合進階・整數解與不定方程
開始練習 →
台南某班做夜市攤位集點卡展示，要把
7
7
7
張不同店家的明信片與
8
8
8
張完全相同的貼紙沿圓形桌邊排成一圈。明信片彼此不同，貼紙彼此相同；只差一個整體旋轉視為同一種排法。把每兩張相鄰明信片之間的貼紙張數稱為一個空格的張數。若恰有
3
3
3
個空格各有至少
2
2
2
張貼紙，而且這
3
3
3
個空格在圓周上任兩個都不相鄰，則共有多少種排法？
AMC 12
條件機率與貝氏・條件機率與貝氏定理
開始練習 →
夜市攤位設計了一個抽球遊戲。甲袋原有
4
4
4
顆紅球、
2
2
2
顆藍球，乙袋原有
2
2
2
顆紅球、
3
3
3
顆藍球。所有球的大小與觸感相同，每顆球都有編號可辨認原屬哪一袋。 工作人員先從甲袋隨機抽出
2
2
2
顆球放入乙袋，充分混合後，再從乙袋逐顆隨機抽球，抽出的球不放回，直到首次抽到紅球便停止。每次抽取時，袋內各球被抽中的機率相同。 已知遊戲恰在第
3
3
3
次抽取時停止，則最後抽出的紅球原屬甲袋的條件機率為
m
n
\frac{m}{n}
n
m
，其中
m
,
n
m,n
m
,
n
為互質正整數。求
m
+
n
m+n
m
+
n
。
AMC 10
整數解與不定方程・巧設未知數與一次方程應用
開始練習 →
台南某早市的阿姨把豆花裝成大碗與小碗販售。大碗每碗
30
30
30
元，小碗每碗
18
18
18
元。某班同學剛好花了
246
246
246
元，且兩種豆花都至少買
1
1
1
碗。若大碗數為
x
x
x
、小碗數為
y
y
y
，共有幾組正整數解
(
x
,
y
)
(x,y)
(
x
,
y
)
？
AMC 8
加法與乘法原理・系統列舉與分類討論
開始練習 →
淡水校外教學有
5
5
5
款水果、
4
4
4
款動物、
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款交通工具紀念貼紙，款式彼此不同。小隊要從中挑
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張貼成一排，要求水果貼紙恰好
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張且不相鄰，並且交通工具貼紙至少
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張。共有幾種貼法？