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易
中
難
知識點
所有知識點（91）
整數四則與運算順序
位值、概數與估算
單位換算與時間計算
分數與小數運算
數論基礎（整除、質因數、餘數）
質因數分解與標準分解式
最大公因數與最小公倍數
餘數循環與週期規律
進位制與位數表示
數字與位數問題
整數解與不定方程
模運算與同餘
中國剩餘定理
因數個數與因數和
階乘的質因數次數
代數技巧（方程、不等式、數列）
巧設未知數與一次方程應用
等差數列與規律延伸
對稱式與代數恆等式
因式分解技巧（SFFT）
速率與工作問題
一次函數與圖形
指數與根式
二次函數與拋物線
多項式與因式餘式定理
不等式與絕對值
比例、速率與百分比
對數
複數
等比數列與無窮級數
函數概念與圖形變換
高斯取整函數
望遠鏡級數與裂項
遞迴數列
指數函數與指數方程
對數函數與對數方程
多項式函數與圖形
數列與級數
矩陣與線性變換
複數與多項式方程
幾何：角度與面積
角度追蹤
面積切割與補形
相似形與比例線段
畢氏定理與特殊直角三角形
幾何推理與證明
圓的性質
多邊形與正多邊形
立體幾何
坐標幾何
三角比與正餘弦定理
對稱與幾何變換
圓冪定理
圓錐曲線（截痕概念）
平面上的比例
二次曲線標準式
計數與機率
加法與乘法原理
系統列舉與分類討論
基礎機率
排列組合進階
容斥原理
期望值
幾何機率
遞迴與路徑計數
鴿籠原理與最壞情況
奇偶性與不變量
隔板法與重複組合
條件機率與貝氏
條件機率與貝氏定理
離散隨機變數
二項分布
幾何分布
邏輯推理與規律
統計圖表與資料判讀
平均數與加權平均
二維數據與相關
三角比與正餘弦定理
三角函數與和差角
三角函數建模
平面向量
空間向量
空間中的直線與平面
數列極限與收斂
無窮等比級數
函數極限與連續
導函數與微分法
微分應用（極值與圖形）
黎曼和與定積分
積分應用（面積與體積）
數線與絕對值
共
765
題
・第 14／26 頁
AMC 8
平均數與加權平均・統計圖表與資料判讀
開始練習 →
新竹某社團原有
9
9
9
人，平均年齡是
14
14
14
歲。後來有
1
1
1
位
18
18
18
歲的學長退出，並加入
2
2
2
位
13
13
13
歲的新社員。現在社團成員的平均年齡是多少歲？
‹
1
…
13
14
15
…
26
›
AMC 8
面積切割與補形・對稱與幾何變換
開始練習 →
台中河濱公園的兩面三角旗共用底邊
A
B
AB
A
B
。圖中
A
(
0
,
0
)
A(0,0)
A
(
0
,
0
)
、
B
(
14
,
0
)
B(14,0)
B
(
14
,
0
)
，點
P
(
3
,
7
)
P(3,7)
P
(
3
,
7
)
與
Q
(
11
,
7
)
Q(11,7)
Q
(
11
,
7
)
都在與
A
B
AB
A
B
平行的直線上。若改把旗尖從
P
P
P
移到
Q
Q
Q
，三角形
A
B
Q
ABQ
A
B
Q
的面積是多少？
AMC 8
速率與工作問題・統計圖表與資料判讀
開始練習 →
台中某國中校門口到文具店是一條直路，且文具店距離校門口
1000
1000
1000
公尺。小妤從校門口出發，以每分鐘
80
80
80
公尺的速度走向文具店；
6
6
6
分鐘後，哥哥從同一地點騎腳踏車追她，速度是每分鐘
200
200
200
公尺。哥哥追上小妤時，離校門口多少公尺？
AMC 12
條件機率與貝氏
開始練習 →
獨立擲兩顆公正的六面骰子，各面的點數為
1
1
1
至
6
6
6
。已知至少一顆骰子的點數大於或等於
4
4
4
，求兩顆骰子點數和為偶數的機率。
AMC 8
平均數與加權平均・統計圖表與資料判讀
開始練習 →
某班
7
7
7
位同學這週閱讀頁數為
36
,
42
,
28
,
50
,
42
,
31
,
45
36, 42, 28, 50, 42, 31, 45
36
,
42
,
28
,
50
,
42
,
31
,
45
。若老師把其中一位同學的
28
28
28
頁改記為
38
38
38
頁，下列哪一個敘述正確？
AMC 8
面積切割與補形・對稱與幾何變換
開始練習 →
台北捷運站內的電子地圖把入口記成點
P
(
2
,
−
3
)
P(2,-3)
P
(
2
,
−
3
)
。系統先把整張地圖以原點為中心逆時針旋轉
90
∘
90^\circ
9
0
∘
，再以
y
y
y
軸為鏡射軸。點
P
P
P
最後的位置是哪一點？
AMC 8
平均數與加權平均
開始練習 →
小芸前
4
4
4
次跑步的平均距離是
3.6
3.6
3.6
公里。第
5
5
5
次跑完後，
5
5
5
次平均變成
4
4
4
公里。小芸第
5
5
5
次跑了多少公里？
AMC 8
餘數循環與週期規律
開始練習 →
夜市射氣球攤位有
4
4
4
個獎品依序循環擺放：小熊、鉛筆盒、貼紙、橡皮擦。第
1
1
1
個獎品是小熊。若小妍拿到第
73
73
73
個獎品，她拿到的是哪一種？
AMC 12
整數解與不定方程
開始練習 →
嘉義夜市在臨時攤位圖上用整數座標標記攤位，服務台為原點，往東與往北分別為
x
x
x
、
y
y
y
的正方向。某條照明線經過的格點滿足
18
x
+
30
y
=
126
18x+30y=126
18
x
+
30
y
=
126
。若可設攤的區域限制為
−
10
≤
x
≤
20
-10\le x\le 20
−
10
≤
x
≤
20
且
−
8
≤
y
≤
12
-8\le y\le 12
−
8
≤
y
≤
12
，共有多少個整數座標攤位可能落在這條照明線上？
AMC 12
等比數列與無窮級數・無窮等比級數
開始練習 →
設等比數列
a
1
,
a
2
,
…
a_1,a_2,\ldots
a
1
,
a
2
,
…
的首項為
8
8
8
，且無窮級數
a
1
+
a
2
+
a
3
+
⋯
a_1+a_2+a_3+\cdots
a
1
+
a
2
+
a
3
+
⋯
收斂，其和為
6
6
6
。求
a
2
+
a
4
+
a
6
+
⋯
a_2+a_4+a_6+\cdots
a
2
+
a
4
+
a
6
+
⋯
。
AMC 8
平均數與加權平均・巧設未知數與一次方程應用
開始練習 →
彰化某國中兩個班參加跳繩測驗，甲班有
18
18
18
人，平均每人跳
64
64
64
下；乙班有
27
27
27
人，平均每人跳
79
79
79
下。兩班合在一起，平均每人跳幾下？
AMC 8
質因數分解與標準分解式・系統列舉與分類討論
開始練習 →
花蓮某民宿有
4
4
4
間房，房號分別是
1
,
2
,
3
,
4
1,2,3,4
1
,
2
,
3
,
4
。老闆要安排阿哲和小琳各住一間不同房間，且阿哲的房號小於小琳的房號；另外，小琳不能住
4
4
4
號房。共有幾種安排方式？
AMC 8
系統列舉與分類討論
開始練習 →
高雄捷運置物櫃的編號從
10
10
10
到
89
89
89
。管理員想找出十位數字小於個位數字，且兩位數字和不等於
9
9
9
的編號。這樣的編號共有幾個？
AMC 12
相似形與比例線段・幾何：角度與面積
開始練習 →
如圖，梯形
A
B
C
D
ABCD
A
B
C
D
的兩底為
A
B
AB
A
B
與
C
D
CD
C
D
，且
A
B
∥
C
D
AB\parallel CD
A
B
∥
C
D
。對角線
A
C
AC
A
C
、
B
D
BD
B
D
相交於
O
O
O
。若
A
B
=
6
AB=6
A
B
=
6
、
C
D
=
10
CD=10
C
D
=
10
，且
△
A
O
B
\triangle AOB
△
A
O
B
的面積為
9
9
9
，求梯形
A
B
C
D
ABCD
A
B
C
D
的面積。
AIME
條件機率與貝氏・排列組合進階
開始練習 →
台南國華街某果茶攤有
12
12
12
箱抽獎貼紙，其中
5
5
5
箱來自供應商
A
A
A
，
4
4
4
箱來自供應商
B
B
B
，
3
3
3
箱來自供應商
C
C
C
。每箱內貼紙顏色如下：
A
A
A
箱有
5
5
5
張紅、
3
3
3
張藍、
2
2
2
張綠；
B
B
B
箱有
4
4
4
張紅、
4
4
4
張藍、
2
2
2
張綠；
C
C
C
箱有
3
3
3
張紅、
5
5
5
張藍、
2
2
2
張綠。店員先從
12
12
12
箱中等機率選一箱，再從該箱不放回依序抽出
4
4
4
張貼在杯身上。已知第
1
1
1
張是紅色，且這
4
4
4
張中恰有
2
2
2
張紅色、恰有
1
1
1
張綠色。若所選箱來自
A
A
A
的條件機率為最簡分數
m
/
n
m/n
m
/
n
，求
m
+
n
m+n
m
+
n
。
AMC 8
鴿籠原理與最壞情況・加法與乘法原理
開始練習 →
嘉義國中校外教學報名時，每位學生要選
4
4
4
種便當之一，並選
5
5
5
種識別帶顏色之一。最少報名幾人，才能保證至少有
4
4
4
人的兩項選擇完全相同？
AMC 10
基礎機率・系統列舉與分類討論
開始練習 →
永康街一間甜點店準備抽獎盒，盒中有
5
5
5
張紅券、
4
4
4
張藍券、
3
3
3
張綠券，所有券除了顏色外都視為不同。小晴一次從盒中不放回抽出
4
4
4
張，抽完後只看抽到哪些券。求抽到的
4
4
4
張中至少有一張紅券，且恰好出現兩種顏色的機率為何？
AMC 8
面積切割與補形・幾何：角度與面積
開始練習 →
阿辰在夜市攤位前鋪了一塊地墊，外框原本可補成長
12
12
12
公尺、寬
8
8
8
公尺的長方形。右上角缺一塊長
5
5
5
公尺、寬
3
3
3
公尺的長方形，左下角缺一塊直角三角形，兩股分別為
4
4
4
公尺與
3
3
3
公尺。地墊面積是多少平方公尺？
AMC 8
單位換算與時間計算・餘數循環與週期規律
開始練習 →
某年四月二日是星期三。班級從當天開始，只在星期一到星期五安排資源回收值日，並依「阿蓉、柏宇、承恩、德馨」的順序循環，四月二日由阿蓉值日。假設期間沒有放假，四月十八日由誰值日？
AMC 8
速率與工作問題
開始練習 →
嘉義某班整理園遊會傳單，怡君單獨整理完要
24
24
24
分鐘，柏翰單獨整理完要
36
36
36
分鐘。怡君先做
8
8
8
分鐘後，柏翰才加入一起做。從怡君開始算起，全部整理完共需多久？
CEMC 滑鐵盧數學競賽
遞迴數列・代數技巧（方程、不等式、數列）
開始練習 →
台北捷運站內一面燈牆記錄第
n
n
n
分鐘亮起的燈數
a
n
a_n
a
n
，模型給定
a
0
=
2
a_0=2
a
0
=
2
、
a
1
=
9
a_1=9
a
1
=
9
，且對所有
n
≥
0
n\ge 0
n
≥
0
有
a
n
+
2
=
6
a
n
+
1
−
9
a
n
a_{n+2}=6a_{n+1}-9a_n
a
n
+
2
=
6
a
n
+
1
−
9
a
n
。求
a
8
a_8
a
8
。
AMC 8
鴿籠原理與最壞情況
開始練習 →
新竹一間手搖飲店有
6
6
6
種杯套顏色。老闆把外送飲料貼上其中一種杯套。若想不管怎麼貼，都能保證至少有
8
8
8
杯使用同一種杯套，外送至少要有幾杯飲料？
AMC 8
邏輯推理與規律
開始練習 →
苗栗一間文具店的電子看板每天顯示一個數字，第
1
1
1
天顯示
1
1
1
。從第
2
2
2
天起，每天先把前一天的數字乘以
2
2
2
；若結果是兩位數，就只顯示個位數。第
64
64
64
天顯示的數字是多少？
AIME
高斯取整函數・模運算與同餘
開始練習 →
台中一間飲料店的集點機把第
n
n
n
張發票的兌換碼定義為
C
(
n
)
=
∑
i
=
0
9
⌊
n
7
+
i
10
⌋
+
∑
j
=
0
6
⌊
n
10
+
j
7
⌋
C(n)=\sum_{i=0}^{9}\left\lfloor \frac{n}{7}+\frac{i}{10}\right\rfloor+\sum_{j=0}^{6}\left\lfloor \frac{n}{10}+\frac{j}{7}\right\rfloor
C
(
n
)
=
∑
i
=
0
9
⌊
7
n
+
10
i
⌋
+
∑
j
=
0
6
⌊
10
n
+
7
j
⌋
。在
1
≤
n
≤
999
1\le n\le 999
1
≤
n
≤
999
的整數
n
n
n
中，有多少個使得
C
(
n
)
−
2
n
C(n)-2n
C
(
n
)
−
2
n
是
9
9
9
的倍數？
AMC 12
遞迴與路徑計數
開始練習 →
在台南一條用方格地磚鋪成的小巷中，小芸從路口
S
S
S
走到甜點店
T
T
T
。把
S
S
S
設為座標
(
0
,
0
)
(0,0)
(
0
,
0
)
，
T
T
T
設為
(
6
,
5
)
(6,5)
(
6
,
5
)
。她每一步只能往東或往北走一格，且不能經過施工中的兩個路口
(
2
,
2
)
(2,2)
(
2
,
2
)
與
(
4
,
3
)
(4,3)
(
4
,
3
)
。請問她共有多少種最短走法？
AMC 8
數字與位數問題・數論基礎（整除、質因數、餘數）
開始練習 →
大稻埕一家茶行的置物櫃密碼是三位數
4
a
6
‾
\overline{4a6}
4
a
6
，其中
a
a
a
是一個數字。店員說這個密碼同時可被
3
3
3
與
8
8
8
整除。
a
a
a
是多少？
AMC 12
因數個數與因數和・質因數分解與標準分解式
開始練習 →
正整數
n
n
n
是完全平方數，且恰有
45
45
45
個正因數。求
n
n
n
的最小可能值。
AMC 8
餘數循環與週期規律・模運算與同餘
開始練習 →
台南一間文具店依序製作貼紙。顏色按「紅、藍、綠、黃」重複，圖案按「梅花、雨傘、鳳梨」重複。第
1
1
1
張是紅色梅花。第
74
74
74
張貼紙是哪一種？
AMC 10
對稱與幾何變換・坐標幾何
開始練習 →
如圖，
A
=
(
6
,
2
)
A=(6,2)
A
=
(
6
,
2
)
、
B
=
(
3
,
7
)
B=(3,7)
B
=
(
3
,
7
)
。點
P
P
P
可在
x
x
x
軸的非負半軸上移動，點
Q
Q
Q
可在
y
y
y
軸的非負半軸上移動，且兩點都可取原點。求
A
P
+
P
Q
+
Q
B
AP+PQ+QB
A
P
+
P
Q
+
QB
的最小值。
AMC 12
函數概念與圖形變換
開始練習 →
台南一間飲料店用函數描述點數兌換規則。原本規則為
f
(
x
)
=
2
x
+
5
f(x)=2x+5
f
(
x
)
=
2
x
+
5
，新活動規則
g
g
g
是把
f
f
f
的圖形向左平移
3
3
3
單位，再向下平移
4
4
4
單位後得到。若
h
h
h
是
g
g
g
的反函數，則
(
h
∘
f
)
(
7
)
(h\circ f)(7)
(
h
∘
f
)
(
7
)
的值是多少？