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所有知識點（92）
整數四則與運算順序
位值、概數與估算
單位換算與時間計算
分數與小數運算
數論基礎（整除、質因數、餘數）
質因數分解與標準分解式
最大公因數與最小公倍數
餘數循環與週期規律
進位制與位數表示
數字與位數問題
整數解與不定方程
模運算與同餘
中國剩餘定理
因數個數與因數和
階乘的質因數次數
代數技巧（方程、不等式、數列）
巧設未知數與一次方程應用
等差數列與規律延伸
乘法公式與因式分解
對稱式與代數恆等式
因式分解技巧（SFFT）
速率與工作問題
指數與根式
一次函數與圖形
二次函數與拋物線
多項式與因式餘式定理
不等式與絕對值
對數
比例、速率與百分比
複數
等比數列與無窮級數
函數概念與圖形變換
高斯取整函數
望遠鏡級數與裂項
遞迴數列
指數函數與指數方程
對數函數與對數方程
多項式函數與圖形
數列與級數
矩陣與線性變換
複數與多項式方程
幾何：角度與面積
角度追蹤
面積切割與補形
相似形與比例線段
畢氏定理與特殊直角三角形
幾何推理與證明
圓的性質
多邊形與正多邊形
立體幾何
坐標幾何
三角比與正餘弦定理
對稱與幾何變換
圓冪定理
圓錐曲線（截痕概念）
平面上的比例
二次曲線標準式
計數與機率
加法與乘法原理
系統列舉與分類討論
基礎機率
排列組合進階
容斥原理
期望值
幾何機率
遞迴與路徑計數
鴿籠原理與最壞情況
奇偶性與不變量
隔板法與重複組合
條件機率與貝氏
條件機率與貝氏定理
離散隨機變數
二項分布
幾何分布
邏輯推理與規律
統計圖表與資料判讀
平均數與加權平均
二維數據與相關
三角比與正餘弦定理
三角函數與和差角
三角函數建模
平面向量
空間向量
空間中的直線與平面
數列極限與收斂
無窮等比級數
函數極限與連續
導函數與微分法
微分應用（極值與圖形）
黎曼和與定積分
積分應用（面積與體積）
數線與絕對值
共
3001
題
・第 53／101 頁
分科測驗（數學甲）
排列組合進階
開始練習 →
新竹某高中「數理探究社」期末聚餐訂了一張圓桌，桌邊共有
8
8
8
個座位（如圖），社員
5
5
5
位學長與
3
3
3
位學弟每人各坐一個座位。這裡只考慮各人的相對位置，也就是整桌一起旋轉後看起來相同的坐法視為同一種。若要求任兩位學弟都不相鄰，則共有多少種不同的坐法？
大學學科能力測驗（數學）
對數函數與對數方程・對數
開始練習 →
‹
1
…
52
53
54
…
101
›
已知芮氏規模每增加
1
1
1
級，地震釋放的能量變為原來的
32
32
32
倍，地震儀紀錄到的最大振幅變為原來的
10
10
10
倍。臺北某地震測站先後記錄到兩次地震，估算甲地震釋放的能量為乙地震的
10
6
10^6
1
0
6
倍，則在同一測站，甲地震的最大振幅約為乙地震的幾倍？（
log
2
≈
0.3
\log 2\approx 0.3
lo
g
2
≈
0.3
）
國中教育會考
單位換算與時間計算・分數與小數運算
開始練習 →
飲料工廠將
2.4
m
3
2.4\ \text{m}^3
2.4
m
3
的冬瓜茶全部裝入容量為
600
cc
600\ \text{cc}
600
cc
的瓶子。若每瓶都恰好裝滿，共可裝成多少瓶？
國中教育會考
坐標幾何・圓的性質
開始練習 →
如圖，某圓形廣場在座標地圖上的圓心為
C
(
2
,
1
)
C(2,1)
C
(
2
,
1
)
，半徑為
2
2
2
。市府規劃通過站點
P
(
0
,
4
)
P(0,4)
P
(
0
,
4
)
的筆直自行車路線，其所在直線為
ℓ
k
:
y
=
k
x
+
4
\ell_k:y=kx+4
ℓ
k
:
y
=
k
x
+
4
，其中
k
k
k
為實數。若路線須與廣場圓周有兩個交點，則
k
k
k
的範圍為何？
大學學科能力測驗（數學）
函數概念與圖形變換・指數函數與指數方程
開始練習 →
如圖為函數
y
=
2
x
y=2^x
y
=
2
x
的圖形。將此圖形依序作下列變換：向右平移
2
2
2
；沿水平方向伸長為原來的
3
3
3
倍（以
y
y
y
軸為基準）；向上平移
1
1
1
；最後將各點的縱座標乘以
−
2
-2
−
2
。所得圖形的函數式為何？
大學學科能力測驗（數學）
三角函數與和差角・函數概念與圖形變換
開始練習 →
已知三個函數為
f
(
x
)
=
3
sin
2
x
+
cos
2
x
f(x)=3\sin 2x+\cos 2x
f
(
x
)
=
3
sin
2
x
+
cos
2
x
、
g
(
x
)
=
3
sin
x
+
cos
x
g(x)=3\sin x+\cos x
g
(
x
)
=
3
sin
x
+
cos
x
、
h
(
x
)
=
sin
x
+
cos
x
h(x)=\sin x+\cos x
h
(
x
)
=
sin
x
+
cos
x
。如圖，三幅圖使用相同的水平與鉛直比例，分別呈現這三個函數，虛線標示各圖的最大值。圖
I
\mathrm{I}
I
、
I
I
\mathrm{II}
II
、
I
I
I
\mathrm{III}
III
依序對應哪一組函數？
國中教育會考
圓的性質・巧設未知數與一次方程應用
開始練習 →
一個圓形腳踏車輪框的圓心為
O
O
O
，半徑為
12
12
12
公分，
A
A
A
、
B
B
B
、
C
C
C
、
D
D
D
為輪框上的點。已知劣弧
A
B
^
\widehat{AB}
A
B
與劣弧
C
D
^
\widehat{CD}
C
D
等弧，
△
A
O
B
\triangle AOB
△
A
O
B
的周長為
39
39
39
公分，且弦
C
D
‾
\overline{CD}
C
D
的長為
(
3
x
−
6
)
(3x-6)
(
3
x
−
6
)
公分，則
x
x
x
的值為何？
國中教育會考
對稱式與代數恆等式・代數技巧（方程、不等式、數列）
開始練習 →
台南某國中園藝社把校園角落整理成兩個正方形花圃。若兩個花圃的邊長分別為
x
x
x
公尺與
y
y
y
公尺，已知兩邊長的和是
17
17
17
公尺，且用同樣兩邊長圍成的長方形面積是
60
60
60
平方公尺。請問兩個正方形花圃面積總和是多少平方公尺？
國中教育會考
圓的性質・角度追蹤
開始練習 →
某圓形廣場的圓周上依序有四個座位點
A
A
A
、
B
B
B
、
C
C
C
、
D
D
D
，並連接對角線
A
C
AC
A
C
。已知
∠
D
A
B
=
(
2
x
+
20
)
∘
\angle DAB=(2x+20)^\circ
∠
D
A
B
=
(
2
x
+
20
)
∘
、
∠
B
C
A
=
(
x
+
10
)
∘
\angle BCA=(x+10)^\circ
∠
B
C
A
=
(
x
+
10
)
∘
、
∠
A
C
D
=
(
x
+
30
)
∘
\angle ACD=(x+30)^\circ
∠
A
C
D
=
(
x
+
30
)
∘
，求
∠
B
C
A
\angle BCA
∠
B
C
A
的度數。
國中教育會考
圓的性質・畢氏定理與特殊直角三角形
開始練習 →
如圖，某校園花圃的外框為等腰梯形，上底長
6
6
6
公尺、下底長
18
18
18
公尺、兩腰各長
12
12
12
公尺，四邊皆與同一圓形花壇相切。此圓形花壇的半徑為多少公尺？
國小數學
立體幾何・面積切割與補形
開始練習 →
兩個邊長均為
4
cm
4\text{ cm}
4
cm
的實心正方體木塊，以一整個面完全貼合黏成長方體，如圖。再從此長方體的一個頂角切除一個邊長為
2
cm
2\text{ cm}
2
cm
的小正方體，則剩餘立體的表面積為何？
國小數學
速率與工作問題
開始練習 →
甲、乙在河濱公園一圈長
480
480
480
公尺的環狀跑道上，以各自固定的速率沿同一方向跑步。甲跑完一圈需
4
4
4
分鐘，乙跑完一圈需
6
6
6
分鐘。甲先從起點出發，經過
2
2
2
分鐘後，乙才從同一起點出發。乙的速率與乙出發後
10
10
10
分鐘內兩人的相遇次數，依序為何？速率以公尺／分鐘為單位，僅計算乙出發後的相遇；乙出發滿
10
10
10
分鐘當下若相遇則計入。
大學學科能力測驗（數學）
指數函數與指數方程・對數函數與對數方程
開始練習 →
如圖，曲線
C
C
C
為
y
=
2
x
+
1
y=2^x+1
y
=
2
x
+
1
的圖形，曲線
D
D
D
為
y
=
log
2
(
x
−
1
)
y=\log_2(x-1)
y
=
lo
g
2
(
x
−
1
)
的圖形，虛線分別為
x
=
1
x=1
x
=
1
與
y
=
1
y=1
y
=
1
。考慮兩曲線的完整圖形，下列敘述何者正確？
國中教育會考
畢氏定理與特殊直角三角形・圓的性質
開始練習 →
如圖，公園有一塊三角形草地
A
B
C
ABC
A
B
C
，三邊長分別為
A
B
=
13
AB=13
A
B
=
13
公尺、
A
C
=
20
AC=20
A
C
=
20
公尺、
B
C
=
11
BC=11
B
C
=
11
公尺。
A
A
A
到直線
B
C
BC
B
C
的垂足
H
H
H
位於
B
C
BC
B
C
通過
B
B
B
的延長線上。草地內規劃一個與三邊皆相切的圓形花壇，其半徑為
r
r
r
公尺。數對
(
B
H
,
r
)
(BH,r)
(
B
H
,
r
)
為何？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・圓的性質
開始練習 →
三角形
A
B
C
ABC
A
B
C
的三頂點為
A
=
(
0
,
0
)
A=(0,0)
A
=
(
0
,
0
)
、
B
=
(
15
,
0
)
B=(15,0)
B
=
(
15
,
0
)
、
C
=
(
63
5
,
16
5
)
C=\left(\dfrac{63}{5},\dfrac{16}{5}\right)
C
=
(
5
63
,
5
16
)
。下列何者為其內切圓的方程式？
國中教育會考
比例、速率與百分比・分數與小數運算
開始練習 →
某校園活動的場地費占總經費的
1
4
\frac{1}{4}
4
1
；器材費是場地費的
3
5
\frac{3}{5}
5
3
；宣傳費是器材費的
4
3
\frac{4}{3}
3
4
；保險費是宣傳費的
1
8
\frac{1}{8}
8
1
。支付上述四項費用後，其餘經費全數作為備用金。備用金占總經費的比例為何？
大學學科能力測驗（數學）
二次函數與拋物線・三角函數與和差角
開始練習 →
某遊樂設施的平衡指標可表示為
f
(
x
)
=
−
sin
2
x
+
1
2
sin
x
f(x)=-\sin^2x+\frac{1}{2}\sin x
f
(
x
)
=
−
sin
2
x
+
2
1
sin
x
，其中
x
x
x
為實數。則
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
的最大值為何？
大學學科能力測驗（數學）
函數概念與圖形變換・分數與小數運算
開始練習 →
花蓮某社區辦接駁服務，行車
m
m
m
分鐘後，距離估計為
d
(
m
)
=
m
4
+
1
d(m)=\frac{m}{4}+1
d
(
m
)
=
4
m
+
1
公里；距離
x
x
x
公里的補貼金額為
c
(
x
)
=
30
+
6
x
c(x)=30+6x
c
(
x
)
=
30
+
6
x
元。若表單輸入行車時間
m
m
m
，系統應用哪個函數表示補貼，且
m
=
12
m=12
m
=
12
時補貼多少元？
大學學科能力測驗（數學）
對數
開始練習 →
已知
log
3
6
=
a
\log_3 6=a
lo
g
3
6
=
a
，則
log
12
18
\log_{12}18
lo
g
12
18
以
a
a
a
表示為何？
國中教育會考
指數與根式・位值、概數與估算
開始練習 →
台灣一家口罩工廠的濾材設計孔徑為
0.00000012
0.00000012
0.00000012
公尺，但生產檔案記成
1.2
×
10
−
5
1.2\times 10^{-5}
1.2
×
1
0
−
5
公尺。將設計值統一改寫成科學記號後，下列哪一項核對結果正確？
大學學科能力測驗（數學）
三角函數與和差角
開始練習 →
將
2
sin
(
x
+
π
6
)
−
2
3
cos
(
x
+
π
6
)
2\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)-2\sqrt{3}\cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)
2
sin
(
x
+
6
π
)
−
2
3
cos
(
x
+
6
π
)
改寫為
4
sin
(
x
+
K
)
4\sin(x+K)
4
sin
(
x
+
K
)
，且
0
≤
K
<
2
π
0\le K<2\pi
0
≤
K
<
2
π
，則
K
K
K
為何？
國中教育會考
指數與根式・整數四則與運算順序
開始練習 →
某連鎖超商物流中心原有
3
12
3^{12}
3
12
張集點貼紙，配送給兩間門市，每間各配送
3
11
3^{11}
3
11
張。配送後，物流中心還剩多少張集點貼紙？
大學學科能力測驗（數學）
平面向量・不等式與絕對值
開始練習 →
設實數
x
,
y
x,y
x
,
y
滿足
x
2
+
y
2
=
20
x^2+y^2=20
x
2
+
y
2
=
20
。當
x
+
2
y
x+2y
x
+
2
y
有最小值時，
x
−
3
y
x-3y
x
−
3
y
的值為何？
國中教育會考
多項式與因式餘式定理
開始練習 →
設多項式
P
(
x
)
=
(
x
+
4
)
[
(
2
x
−
1
)
2
−
(
x
+
3
)
2
]
P(x)=(x+4)[(2x-1)^2-(x+3)^2]
P
(
x
)
=
(
x
+
4
)
[(
2
x
−
1
)
2
−
(
x
+
3
)
2
]
，
Q
(
x
)
=
(
x
+
4
)
[
(
x
+
3
)
2
−
(
2
x
−
1
)
2
]
Q(x)=(x+4)[(x+3)^2-(2x-1)^2]
Q
(
x
)
=
(
x
+
4
)
[(
x
+
3
)
2
−
(
2
x
−
1
)
2
]
。在多項式整除的意義下，
P
(
x
)
÷
Q
(
x
)
P(x)\div Q(x)
P
(
x
)
÷
Q
(
x
)
的商為何？
國中教育會考
相似形與比例線段・平面上的比例
開始練習 →
小芸站在水平地面上，以直立木棒測量電線桿高度，如圖。她的眼睛
E
E
E
離地
154
154
154
公分，眼睛到木棒的水平距離為
70
70
70
公分。握棒處
F
F
F
比眼睛所在的水平線低
18
18
18
公分，木棒上端
S
S
S
高出握棒處
39
39
39
公分。已知眼睛所在鉛直線與電線桿的水平距離為
10.5
10.5
10.5
公尺；小芸調整站位，使
E
E
E
、
S
S
S
與電線桿頂端
P
P
P
三點共線。則電線桿高約為多少公尺？
國中教育會考
邏輯推理與規律・分數與小數運算
開始練習 →
某高中園遊會服務台有一批餐券。第
k
k
k
輪發放時，發出當時剩餘餐券的
1
k
\frac{1}{k}
k
1
，依序進行第
2
2
2
輪、第
3
3
3
輪，直到第
20
20
20
輪。所有輪次結束後，剩餘餐券數量是原來的多少倍？
國中教育會考
圓的性質・巧設未知數與一次方程應用
開始練習 →
阿哲用四根木條釘成一個四邊形木框
A
B
C
D
ABCD
A
B
C
D
，框內放進一個圓形時鐘，時鐘的邊緣恰好與木框的四條邊都相切（即四邊形
A
B
C
D
ABCD
A
B
C
D
外切於圓）。如圖，各邊長（單位：公分）為
A
B
‾
=
x
+
2
\overline{AB}=x+2
A
B
=
x
+
2
、
B
C
‾
=
2
x
−
1
\overline{BC}=2x-1
B
C
=
2
x
−
1
、
C
D
‾
=
9
\overline{CD}=9
C
D
=
9
、
D
A
‾
=
x
+
4
\overline{DA}=x+4
D
A
=
x
+
4
，則木框
A
B
C
D
ABCD
A
B
C
D
的周長是多少公分？
大學學科能力測驗（數學）
三角函數與和差角
開始練習 →
嘉義某太陽能板的方位校正系統以銳角
θ
\theta
θ
表示面板的偏轉角，且
sin
θ
=
3
5
\sin\theta=\frac{3}{5}
sin
θ
=
5
3
、
cos
θ
=
4
5
\cos\theta=\frac{4}{5}
cos
θ
=
5
4
。系統的校正係數
K
=
2
sin
(
180
∘
−
θ
)
+
cos
(
90
∘
+
θ
)
cos
(
180
∘
−
θ
)
K=\frac{2\sin(180^\circ-\theta)+\cos(90^\circ+\theta)}{\cos(180^\circ-\theta)}
K
=
c
o
s
(
18
0
∘
−
θ
)
2
s
i
n
(
18
0
∘
−
θ
)
+
c
o
s
(
9
0
∘
+
θ
)
，則
K
K
K
的值為何？
國中教育會考
最大公因數與最小公倍數・質因數分解與標準分解式
開始練習 →
為了保證正整數
A
A
A
能被
1
1
1
到
10
10
10
的每個整數整除，原本只檢查
6
,
7
,
8
,
9
,
10
6,7,8,9,10
6
,
7
,
8
,
9
,
10
是否都是
A
A
A
的因數。現在要從這五個檢查條件中再刪去一個，只要通過其餘四個條件，就仍須保證原本的整除要求。下列哪一組「可刪去的因數條件、通過其餘四個條件的
A
A
A
的最小值」正確？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・圓的性質
開始練習 →
如圖，圓
C
C
C
的方程式為
(
x
−
a
)
2
+
(
y
−
1
)
2
=
16
(x-a)^2+(y-1)^2=16
(
x
−
a
)
2
+
(
y
−
1
)
2
=
16
，其中
a
>
0
a>0
a
>
0
。已知直線
L
1
:
y
=
−
3
4
x
+
2
L_1:y=-\frac{3}{4}x+2
L
1
:
y
=
−
4
3
x
+
2
與圓
C
C
C
相切。若另一條與
L
1
L_1
L
1
平行的切線為
L
2
:
y
=
−
3
4
x
+
b
L_2:y=-\frac{3}{4}x+b
L
2
:
y
=
−
4
3
x
+
b
，且
b
≠
2
b\ne2
b
=
2
，則
b
b
b
為何？