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分科測驗（數學甲）
大學學科能力測驗（數學）
國小數學
國中教育會考
難度
全部
易
中
難
知識點
所有知識點（91）
整數四則與運算順序
位值、概數與估算
單位換算與時間計算
分數與小數運算
數論基礎（整除、質因數、餘數）
質因數分解與標準分解式
最大公因數與最小公倍數
餘數循環與週期規律
進位制與位數表示
數字與位數問題
整數解與不定方程
模運算與同餘
中國剩餘定理
因數個數與因數和
階乘的質因數次數
代數技巧（方程、不等式、數列）
巧設未知數與一次方程應用
等差數列與規律延伸
對稱式與代數恆等式
因式分解技巧（SFFT）
速率與工作問題
一次函數與圖形
指數與根式
二次函數與拋物線
多項式與因式餘式定理
不等式與絕對值
比例、速率與百分比
對數
複數
等比數列與無窮級數
函數概念與圖形變換
高斯取整函數
望遠鏡級數與裂項
遞迴數列
指數函數與指數方程
對數函數與對數方程
多項式函數與圖形
數列與級數
矩陣與線性變換
複數與多項式方程
幾何：角度與面積
角度追蹤
面積切割與補形
相似形與比例線段
畢氏定理與特殊直角三角形
幾何推理與證明
圓的性質
多邊形與正多邊形
立體幾何
坐標幾何
三角比與正餘弦定理
對稱與幾何變換
圓冪定理
圓錐曲線（截痕概念）
平面上的比例
二次曲線標準式
計數與機率
加法與乘法原理
系統列舉與分類討論
基礎機率
排列組合進階
容斥原理
期望值
幾何機率
遞迴與路徑計數
鴿籠原理與最壞情況
奇偶性與不變量
隔板法與重複組合
條件機率與貝氏
條件機率與貝氏定理
離散隨機變數
二項分布
幾何分布
邏輯推理與規律
統計圖表與資料判讀
平均數與加權平均
二維數據與相關
三角比與正餘弦定理
三角函數與和差角
三角函數建模
平面向量
空間向量
空間中的直線與平面
數列極限與收斂
無窮等比級數
函數極限與連續
導函數與微分法
微分應用（極值與圖形）
黎曼和與定積分
積分應用（面積與體積）
數線與絕對值
共
761
題
・第 8／26 頁
清除全部篩選
大學學科能力測驗（數學）
函數概念與圖形變換・巧設未知數與一次方程應用
開始練習 →
嘉義市集用手機叫號，實際排隊號碼
x
x
x
會轉成顯示碼
f
(
x
)
=
3
x
−
2
f(x)=3x-2
f
(
x
)
=
3
x
−
2
。志工看到顯示碼
40
40
40
，要還原實際排隊號碼；下列敘述何者正確？
‹
1
…
7
8
9
…
26
›
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・三角比與正餘弦定理
開始練習 →
自行車道平面圖以東向為
x
x
x
軸正向、北向為
y
y
y
軸正向，甲、乙兩段筆直車道所在直線的斜率分別為
1
1
1
與
−
3
-\sqrt{3}
−
3
。兩車道相交所形成的銳夾角為何？
大學學科能力測驗（數學）
指數函數與指數方程・坐標幾何
開始練習 →
如圖，
A
(
p
,
t
)
A(p,t)
A
(
p
,
t
)
、
B
(
q
,
4
t
)
B(q,4t)
B
(
q
,
4
t
)
為函數
y
=
2
x
y=2^x
y
=
2
x
圖形上的兩點，其中
t
>
0
t>0
t
>
0
。若線段
A
B
AB
A
B
的長度為
85
\sqrt{85}
85
，則
t
t
t
的值為何？
大學學科能力測驗（數學）
指數函數與指數方程・函數概念與圖形變換
開始練習 →
如圖，曲線為
y
=
2
x
y=2^x
y
=
2
x
。設
t
t
t
為實數，將此曲線上每一點的橫坐標加上
1
−
t
1-t
1
−
t
、縱坐標加上
t
2
−
4
t^2-4
t
2
−
4
，得到曲線
y
=
g
t
(
x
)
y=g_t(x)
y
=
g
t
(
x
)
。若方程式
g
t
(
x
)
=
2
x
g_t(x)=2^x
g
t
(
x
)
=
2
x
恰有一個實根，則
t
t
t
的範圍為何？
大學學科能力測驗（數學）
三角函數建模・三角函數與和差角
開始練習 →
嘉義某夜市攤位統計冰沙銷售量，發現一週內每天晚上的銷售量近似週期變化，約每
7
7
7
天重複一次。週三賣出最多
190
190
190
杯，一週中銷售量最少的一天為
110
110
110
杯。令
t
t
t
表示從週一開始後經過的天數，且週一為
t
=
0
t=0
t
=
0
（所以週三為
t
=
2
t=2
t
=
2
），每日銷售量為
S
(
t
)
S(t)
S
(
t
)
杯。下列模型何者最合理？
大學學科能力測驗（數學）
三角函數與和差角・平面向量
開始練習 →
台南一場廟會的兩條遊行道路形成一個轉角
θ
\theta
θ
，其中
π
2
<
θ
<
π
\frac{\pi}{2}<\theta<\pi
2
π
<
θ
<
π
且
cos
θ
=
−
7
25
\cos\theta=-\frac{7}{25}
cos
θ
=
−
25
7
。工作人員從轉角頂點沿內角平分線拉出一條長
15
15
15
公尺的布幕拉索。若第一條道路指向正東，第二條道路由正東逆時針轉過
θ
\theta
θ
，則拉索末端向北的位移比向東的位移多多少公尺？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・二次函數與拋物線
開始練習 →
如圖為圓與
y
y
y
軸相切的示意圖。設方程式
x
2
+
y
2
+
(
k
−
4
)
x
+
(
k
−
2
)
y
+
a
−
3
k
=
0
x^2+y^2+(k-4)x+(k-2)y+a-3k=0
x
2
+
y
2
+
(
k
−
4
)
x
+
(
k
−
2
)
y
+
a
−
3
k
=
0
，其中
a
a
a
為固定實數，
k
k
k
為實數參數。若恰有兩個不同的
k
k
k
值，使此方程式代表半徑大於零的圓，且該圓與
y
y
y
軸相切，則
a
a
a
的取值範圍為何？
大學學科能力測驗（數學）
圓錐曲線（截痕概念）
開始練習 →
台南一間科學咖啡館用雙圓錐模型做燈影裝置。店員說：甲切面只穿過上半個圓錐，且不平行底面也不平行母線；乙切面與某一條母線平行；丙切面同時穿過上下兩半圓錐。若只依截痕概念與基本焦點性質判斷，下列哪一張說明卡正確？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・圓的性質
開始練習 →
某圓形自行車練習場的邊界圓心為
C
(
12
,
5
)
C(12,5)
C
(
12
,
5
)
，半徑為
20
20
20
。場內有一固定感應點
A
A
A
，每條通過
A
A
A
的弦，其中點
M
(
x
,
y
)
M(x,y)
M
(
x
,
y
)
的軌跡方程式為
(
x
−
4
)
2
+
(
y
−
5
)
2
=
64
(x-4)^2+(y-5)^2=64
(
x
−
4
)
2
+
(
y
−
5
)
2
=
64
。在所有通過
A
A
A
的弦中，長度最短的弦所在直線方程式為何？
大學學科能力測驗（數學）
函數概念與圖形變換・坐標幾何
開始練習 →
如圖，圓
C
C
C
的方程式為
x
2
+
y
2
=
4
x^2+y^2=4
x
2
+
y
2
=
4
，且
U
=
(
0
,
2
)
U=(0,2)
U
=
(
0
,
2
)
、
V
=
(
0
,
−
2
)
V=(0,-2)
V
=
(
0
,
−
2
)
。將圓上的點依下列方式保留，未符合條件的點全部移除。哪一種方式所得的軌跡可以作為單一函數
y
=
f
(
x
)
y=f(x)
y
=
f
(
x
)
的圖形？各軌跡的定義域取為其所有點的橫座標所成的集合。
大學學科能力測驗（數學）
對稱與幾何變換・坐標幾何
開始練習 →
高雄夜市攤位設計三角形貼紙，頂點
A
(
1
,
1
)
A(1,1)
A
(
1
,
1
)
、
B
(
4
,
1
)
B(4,1)
B
(
4
,
1
)
、
C
(
1
,
3
)
C(1,3)
C
(
1
,
3
)
依
A
→
B
→
C
A\to B\to C
A
→
B
→
C
的方向為逆時針。設計軟體先以原點為中心將整個圖形逆時針旋轉
90
∘
90^\circ
9
0
∘
，再對
y
y
y
軸鏡射。完成後，頂點
C
C
C
的座標與
A
→
B
→
C
A\to B\to C
A
→
B
→
C
的定向為何？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・圓的性質
開始練習 →
如圖，圓
C
C
C
的方程式為
(
x
−
1
)
2
+
(
y
−
2
)
2
=
9
(x-1)^2+(y-2)^2=9
(
x
−
1
)
2
+
(
y
−
2
)
2
=
9
，圓心為
O
(
1
,
2
)
O(1,2)
O
(
1
,
2
)
（圖中的
O
O
O
是圓心，不是原點），圓外點為
P
(
4
,
6
)
P(4,6)
P
(
4
,
6
)
。小安將過
P
P
P
的切線設為
y
−
6
=
m
(
x
−
4
)
y-6=m(x-4)
y
−
6
=
m
(
x
−
4
)
，利用圓心到直線的距離等於半徑求解，卻只得到一個斜率。下列哪一選項完整列出過
P
P
P
的所有圓
C
C
C
的切線？
大學學科能力測驗（數學）
不等式與絕對值・坐標幾何
開始練習 →
里辦公處在社區座標地圖上標示施工管制區。管制區的直線邊界通過
(
0
,
3
)
(0,3)
(
0
,
3
)
與
(
2
,
0
)
(2,0)
(
2
,
0
)
，且管制區包含邊界及位於
(
0
,
0
)
(0,0)
(
0
,
0
)
的里民活動中心。下列何者為正確表示？
大學學科能力測驗（數學）
不等式與絕對值・代數技巧（方程、不等式、數列）
開始練習 →
設
f
(
x
)
=
x
−
3
+
9
x
−
3
f(x)=x-3+\frac{9}{x-3}
f
(
x
)
=
x
−
3
+
x
−
3
9
，其中
x
≠
3
x\ne 3
x
=
3
。使用算幾不等式分別分析
x
>
3
x>3
x
>
3
與
x
<
3
x<3
x
<
3
的情形，下列何者正確？
大學學科能力測驗（數學）
幾何：角度與面積・代數技巧（方程、不等式、數列）
開始練習 →
一塊平行四邊形農地的兩條相鄰邊長合計為
17
17
17
公尺，兩邊的夾角為
60
∘
60^\circ
6
0
∘
，面積為
30
3
30\sqrt3
30
3
平方公尺。此農地較長的邊長為多少公尺？
大學學科能力測驗（數學）
巧設未知數與一次方程應用・代數技巧（方程、不等式、數列）
開始練習 →
一家手搖飲店推出大杯紅茶與中杯奶茶的組合優惠。第
1
1
1
筆訂單買
2
2
2
杯大杯紅茶與
1
1
1
杯中杯奶茶，共
135
135
135
元；第
2
2
2
筆訂單買
1
1
1
杯大杯紅茶與
2
2
2
杯中杯奶茶，共
150
150
150
元。若設大杯紅茶單價為
x
x
x
元，中杯奶茶單價為
y
y
y
元，且用矩陣方程
A
(
x
y
)
=
(
135
150
)
A\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}135\\150\end{pmatrix}
A
(
x
y
)
=
(
135
150
)
表示，則
x
+
y
x+y
x
+
y
為多少？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・圓的性質
開始練習 →
臺南某社區公園的平面施工圖以每格
10
10
10
公尺建立坐標系。圓形灑水區的邊界通過步道上的兩點
A
(
1
,
2
)
A(1,2)
A
(
1
,
2
)
、
B
(
7
,
6
)
B(7,6)
B
(
7
,
6
)
，圓心位於通過水管標記點
D
(
0
,
4
)
D(0,4)
D
(
0
,
4
)
、
E
(
4
,
2
)
E(4,2)
E
(
4
,
2
)
的直線上。下列何者為此灑水區的圓方程？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・圓的性質
開始練習 →
某公共自行車服務區的邊界，在平面座標圖上以方程式
x
2
+
y
2
−
2
(
a
+
1
)
x
+
4
(
a
−
2
)
y
+
6
a
2
−
16
a
+
9
=
0
x^2+y^2-2(a+1)x+4(a-2)y+6a^2-16a+9=0
x
2
+
y
2
−
2
(
a
+
1
)
x
+
4
(
a
−
2
)
y
+
6
a
2
−
16
a
+
9
=
0
表示，其中
a
a
a
為實數。下列敘述何者正確？
大學學科能力測驗（數學）
對數
開始練習 →
已知
p
=
log
2
3
p=\log_2 3
p
=
lo
g
2
3
，則
log
12
18
\log_{12}18
lo
g
12
18
等於下列何者？
分科測驗（數學甲）
期望值・離散隨機變數
開始練習 →
臺中某高中園遊會的攤位上放了一個不透明箱子，裡面裝有
4
4
4
顆紅球與
3
3
3
顆白球（同色球視為完全相同）。玩家把箱中
7
7
7
顆球以不放回的方式一顆一顆取出，並依取出的先後由左至右排成一列。這一列
7
7
7
顆球共形成
6
6
6
個相鄰位置，令隨機變數
X
X
X
表示其中「左右兩球顏色不同」的相鄰位置個數。如圖為其中一種可能的排列（
R
R
R
表紅球、
W
W
W
表白球），圖中以粗線標記的相鄰位置即為顏色不同者，此時
X
=
4
X=4
X
=
4
。試求
X
X
X
的期望值
E
(
X
)
=
?
E(X)=?
E
(
X
)
=
?
大學學科能力測驗（數學）
三角函數與和差角
開始練習 →
如圖，捷運站藝術燈牆上兩條光帶的高度分別為
y
=
cos
t
y=\cos t
y
=
cos
t
與
y
=
sin
2
t
y=\sin 2t
y
=
sin
2
t
。當
0
≤
t
≤
2
π
0\leq t\leq 2\pi
0
≤
t
≤
2
π
時，兩條光帶交會處的所有
t
t
t
值為何？
大學學科能力測驗（數學）
三角函數建模
開始練習 →
台北某捷運站旁的共享單車租借站，以平滑模型估計上午時段的可借車輛數：
N
(
t
)
=
18
+
6
sin
(
π
4
(
t
−
1
)
)
N(t)=18+6\sin\left(\frac{\pi}{4}(t-1)\right)
N
(
t
)
=
18
+
6
sin
(
4
π
(
t
−
1
)
)
，其中
t
t
t
為上午
6
6
6
時後經過的小時數，且
0
≤
t
≤
8
0\leq t\leq 8
0
≤
t
≤
8
。下列敘述何者正確？
大學學科能力測驗（數學）
三角函數與和差角
開始練習 →
已知
8
sin
2
x
+
15
cos
2
x
8\sin 2x+15\cos 2x
8
sin
2
x
+
15
cos
2
x
取得最大值，則
sin
(
4
x
+
π
2
)
\sin\left(4x+\frac{\pi}{2}\right)
sin
(
4
x
+
2
π
)
的值為何？
大學學科能力測驗（數學）
函數概念與圖形變換
開始練習 →
某台南活動的接駁車站用函數
f
(
t
)
f(t)
f
(
t
)
表示開站後
t
t
t
小時的借傘需求指數，資料只在
0
≤
t
≤
6
0\le t\le 6
0
≤
t
≤
6
有效，且
f
f
f
的值域恰為
8
≤
f
(
t
)
≤
20
8\le f(t)\le 20
8
≤
f
(
t
)
≤
20
（最小值
8
8
8
與最大值
20
20
20
都會出現）。隔天系統改用
g
(
t
)
=
3
2
f
(
t
+
1
)
−
4
g(t)=\frac{3}{2}f(t+1)-4
g
(
t
)
=
2
3
f
(
t
+
1
)
−
4
顯示，其中
t
t
t
只是
g
g
g
的輸入變數。若只考慮
g
(
t
)
g(t)
g
(
t
)
有意義的時段，
g
g
g
的定義域與值域為何？
大學學科能力測驗（數學）
多項式與因式餘式定理
開始練習 →
數學社社課上，社長出了一道題：已知
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
為三次多項式，
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
除以
x
2
−
1
x^2-1
x
2
−
1
的餘式為
5
x
−
3
5x-3
5
x
−
3
，
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
除以
x
2
+
1
x^2+1
x
2
+
1
的餘式為
3
x
+
1
3x+1
3
x
+
1
。試問
f
(
3
)
f(3)
f
(
3
)
的值為何？
大學學科能力測驗（數學）
指數函數與指數方程・指數與根式
開始練習 →
方程式
2
x
−
8
⋅
2
−
x
=
2
2^x-8\cdot2^{-x}=2
2
x
−
8
⋅
2
−
x
=
2
的所有實數解所成的集合為何？
分科測驗（數學甲）
二次曲線標準式・矩陣與線性變換
開始練習 →
高雄某捷運站的地面磚以橢圓圖樣設計。原始圖樣是坐標平面上的橢圓
C
:
x
2
9
+
y
2
4
=
1
C:\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1
C
:
9
x
2
+
4
y
2
=
1
（如圖）。設計師在繪圖軟體中，先把
C
C
C
對直線
y
=
x
y=x
y
=
x
鏡射，得到的圖形再水平拉伸為原來的
2
2
2
倍（鉛直方向不變）。已知鏡射的矩陣為
M
=
(
0
1
1
0
)
M=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}
M
=
(
0
1
1
0
)
，水平拉伸的矩陣為
S
=
(
2
0
0
1
)
S=\begin{pmatrix}2&0\\0&1\end{pmatrix}
S
=
(
2
0
0
1
)
，平面上的點
P
(
x
,
y
)
P(x,y)
P
(
x
,
y
)
以
2
×
1
2\times 1
2
×
1
矩陣
(
x
y
)
\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}
(
x
y
)
表示，作變換時將矩陣乘在左邊。則最後得到的曲線，其離心率為下列何者？
大學學科能力測驗（數學）
平面向量・平面上的比例
開始練習 →
一塊三角形展示板的頂點為
A
A
A
、
B
B
B
、
C
C
C
，重心為
G
G
G
。已知
B
C
=
14
BC=14
B
C
=
14
公分、
G
B
=
9
GB=9
GB
=
9
公分、
G
C
=
13
GC=13
GC
=
13
公分，則
A
G
AG
A
G
長為多少公分？
大學學科能力測驗（數學）
二次函數與拋物線
開始練習 →
小安在電腦課用繪圖軟體畫拋物線
y
=
x
2
+
k
x
+
4
y=x^2+kx+4
y
=
x
2
+
k
x
+
4
，並拖動滑桿改變實數
k
k
k
的值。如圖為
k
=
0
k=0
k
=
0
時的圖形。若要讓拋物線與
x
x
x
軸有兩個交點，則
k
k
k
的範圍為下列何者？
大學學科能力測驗（數學）
三角函數建模
開始練習 →
屏東一座溫室的室內溫度每天近似呈正弦變化。凌晨
5
5
5
時最低溫為
18
∘
C
18^\circ\mathrm{C}
1
8
∘
C
，下午
17
17
17
時最高溫為
30
∘
C
30^\circ\mathrm{C}
3
0
∘
C
，且每天重複相同模式。令
t
t
t
表示午夜後經過的小時數，則下列哪一個模型最適合表示溫度
T
(
t
)
T(t)
T
(
t
)
？