MathMagic
Contest
目前：台灣升學
國際競賽
知識點
練習題
訂閱方案
目前：台灣升學
國際競賽
練習題庫
所有題目皆為原創擬真題，附繁中完整詳解。標有「免登入試做」的題不用登入就能做；登入後每日可免費練習 5 題。
更多篩選
已選 1 項
▾
年級
全部
高中
小學
國中
競賽
全部台灣升學
分科測驗（數學甲）
大學學科能力測驗（數學）
國小數學
國中教育會考
難度
全部
易
中
難
知識點
所有知識點（91）
整數四則與運算順序
位值、概數與估算
單位換算與時間計算
分數與小數運算
數論基礎（整除、質因數、餘數）
質因數分解與標準分解式
最大公因數與最小公倍數
餘數循環與週期規律
進位制與位數表示
數字與位數問題
整數解與不定方程
模運算與同餘
中國剩餘定理
因數個數與因數和
階乘的質因數次數
代數技巧（方程、不等式、數列）
巧設未知數與一次方程應用
等差數列與規律延伸
對稱式與代數恆等式
因式分解技巧（SFFT）
速率與工作問題
一次函數與圖形
指數與根式
二次函數與拋物線
多項式與因式餘式定理
不等式與絕對值
比例、速率與百分比
對數
複數
等比數列與無窮級數
函數概念與圖形變換
高斯取整函數
望遠鏡級數與裂項
遞迴數列
指數函數與指數方程
對數函數與對數方程
多項式函數與圖形
數列與級數
矩陣與線性變換
複數與多項式方程
幾何：角度與面積
角度追蹤
面積切割與補形
相似形與比例線段
畢氏定理與特殊直角三角形
幾何推理與證明
圓的性質
多邊形與正多邊形
立體幾何
坐標幾何
三角比與正餘弦定理
對稱與幾何變換
圓冪定理
圓錐曲線（截痕概念）
平面上的比例
二次曲線標準式
計數與機率
加法與乘法原理
系統列舉與分類討論
基礎機率
排列組合進階
容斥原理
期望值
幾何機率
遞迴與路徑計數
鴿籠原理與最壞情況
奇偶性與不變量
隔板法與重複組合
條件機率與貝氏
條件機率與貝氏定理
離散隨機變數
二項分布
幾何分布
邏輯推理與規律
統計圖表與資料判讀
平均數與加權平均
二維數據與相關
三角比與正餘弦定理
三角函數與和差角
三角函數建模
平面向量
空間向量
空間中的直線與平面
數列極限與收斂
無窮等比級數
函數極限與連續
導函數與微分法
微分應用（極值與圖形）
黎曼和與定積分
積分應用（面積與體積）
數線與絕對值
共
1350
題
・第 41／45 頁
清除全部篩選
國中教育會考
角度追蹤・圓的性質
開始練習 →
公園內三座涼亭的位置分別為
A
A
A
、
B
B
B
、
C
C
C
。三點形成的三角形中，頂點
A
A
A
處與內角相鄰的外角，其大小為內角
B
B
B
的
5
2
\frac{5}{2}
2
5
倍，且內角
A
A
A
比內角
C
C
C
大
60
∘
60^\circ
6
0
∘
。管理員想找出與三座涼亭等距的位置
O
O
O
。如圖，五幅候選示意圖呈現不同的三角形形態與
O
O
O
的位置，圖中長度及角度不作精確量測。哪一幅能正確表示這些位置的關係？
‹
1
…
40
41
42
…
45
›
國中教育會考
坐標幾何・圓的性質
開始練習 →
如圖，河濱公園的圓形噴水池
C
C
C
，圓心為
(
2
,
−
1
)
(2,-1)
(
2
,
−
1
)
，半徑為
5
\sqrt{5}
5
個坐標單位。規劃中的直線護欄屬於直線族
2
x
−
y
=
k
2x-y=k
2
x
−
y
=
k
，其中
k
k
k
為實數。若護欄恰與噴水池外緣相切，則
k
k
k
的所有可能值為何？
國中教育會考
指數與根式・指數函數與指數方程
開始練習 →
設
k
k
k
為整數。若下式有意義且等於
32
32
32
，則
k
k
k
為何？
k
0
×
2
k
+
1
×
4
2
−
k
(
1
2
)
−
k
k^0\times\frac{2^{k+1}\times4^{2-k}}{\left(\frac{1}{2}\right)^{-k}}
k
0
×
(
2
1
)
−
k
2
k
+
1
×
4
2
−
k
國中教育會考
圓的性質・角度追蹤
開始練習 →
如圖，
O
O
O
為三角形
A
B
C
ABC
A
B
C
的外心，
∠
B
A
C
\angle BAC
∠
B
A
C
為鈍角，且
∠
O
B
C
=
24
∘
\angle OBC=24^\circ
∠
O
B
C
=
2
4
∘
。求
∠
B
A
C
\angle BAC
∠
B
A
C
。
國中教育會考
坐標幾何・圓的性質
開始練習 →
如圖，某校圓形廣場畫在坐標平面上，圓心為
O
O
O
。水平弦
A
B
‾
\overline{AB}
A
B
的端點為
A
(
0
,
4
)
A(0,4)
A
(
0
,
4
)
、
B
(
10
,
4
)
B(10,4)
B
(
10
,
4
)
；垂直弦
C
D
‾
\overline{CD}
C
D
的端點為
C
(
7
,
1
)
C(7,1)
C
(
7
,
1
)
、
D
(
7
,
t
)
D(7,t)
D
(
7
,
t
)
，其中
t
>
1
t>1
t
>
1
。若圓心
O
O
O
位於直線
y
=
x
+
1
y=x+1
y
=
x
+
1
上，則
t
t
t
為何？
國中教育會考
畢氏定理與特殊直角三角形・坐標幾何
開始練習 →
如圖，社區廣場的平面圖上每一座標單位代表
1
1
1
公尺，
A
(
1
,
1
)
A(1,1)
A
(
1
,
1
)
、
B
(
7
,
3
)
B(7,3)
B
(
7
,
3
)
、
C
(
−
2
,
10
)
C(-2,10)
C
(
−
2
,
10
)
構成以
A
A
A
為直角的三角形，並在三邊外側分別作正方形。以
A
B
AB
A
B
為邊的正方形鋪設其面積的
3
4
\frac{3}{4}
4
3
，以
A
C
AC
A
C
為邊的正方形鋪設其面積的
2
3
\frac{2}{3}
3
2
。若將這兩部分的鋪設面積合計，恰好等於以
B
C
BC
B
C
為邊的正方形中所鋪設的面積，則後者占該正方形面積的比例為何？
國中教育會考
立體幾何・整數四則與運算順序
開始練習 →
如圖，校慶入口的長方體裝置由邊長
2
2
2
公分的小正方體緊密堆成，沿三個方向分別排成
15
15
15
塊、
9
9
9
塊與
4
4
4
塊。將裝置的整個外表面噴漆，再移除所有至少一面著色的小正方體後，剩下部分的體積為多少立方公分？
國中教育會考
代數技巧（方程、不等式、數列）
開始練習 →
設
a
a
a
為實數。關於以
x
x
x
為未知數的方程式
(
a
−
1
)
(
a
+
2
)
x
=
a
−
1
(a-1)(a+2)x=a-1
(
a
−
1
)
(
a
+
2
)
x
=
a
−
1
，下列哪一項敘述正確？
國中教育會考
圓的性質・畢氏定理與特殊直角三角形
開始練習 →
如圖，某圓形廣場的圓心為
O
O
O
，半徑為
13
13
13
公尺。正方形展區
P
Q
R
S
PQRS
P
QR
S
的邊
P
Q
PQ
P
Q
與廣場的一條弦重合（
P
,
Q
P,Q
P
,
Q
在圓上），展區位在弦
P
Q
PQ
P
Q
遠離圓心
O
O
O
的一側，可以有一部分延伸到廣場外。圓心
O
O
O
到弦
P
Q
PQ
P
Q
的弦心距
O
M
OM
O
M
為
5
5
5
公尺。正方形展區的面積為多少平方公尺？
國中教育會考
代數技巧（方程、不等式、數列）・對稱式與代數恆等式
開始練習 →
將方程式
(
2
x
+
1
)
2
=
(
2
x
+
1
)
(
x
−
5
)
(2x+1)^2=(2x+1)(x-5)
(
2
x
+
1
)
2
=
(
2
x
+
1
)
(
x
−
5
)
的兩邊完全展開後移項，化為首項係數為正且各項係數互質的整係數方程式
P
(
x
)
=
0
P(x)=0
P
(
x
)
=
0
。設其兩根為
a
<
b
a<b
a
<
b
，則下列何者依序為
P
(
x
)
=
0
P(x)=0
P
(
x
)
=
0
，以及以
a
+
b
a+b
a
+
b
、
a
b
ab
ab
為兩根且各項係數互質的整係數二次方程式？
國中教育會考
奇偶性與不變量・數論基礎（整除、質因數、餘數）
開始練習 →
校慶園遊會的電子闖關系統以整數
p
p
p
設定通關分數。已知
p
p
p
同時為偶數與質數，通關分數為
2
p
2
+
p
+
3
2p^2+p+3
2
p
2
+
p
+
3
，則通關分數是多少？
國中教育會考
最大公因數與最小公倍數・數論基礎（整除、質因數、餘數）
開始練習 →
校慶攤位有
899
899
899
張餐券與
527
527
527
張飲料券，要分裝成最多份內容完全相同的券包，且兩種券都恰好用完。小芸以輾轉相除法寫出第一步：
899
=
527
⋅
1
+
372
899=527\cdot1+372
899
=
527
⋅
1
+
372
。下列有序三元組中，前兩個數依序代表接下來兩次除法所得的餘數，第三個數代表最多可分成的券包數。何者正確？
國中教育會考
巧設未知數與一次方程應用・整數四則與運算順序
開始練習 →
某班園遊會攤位核對帳目時，某筆結餘（單位：元）記為
3
x
−
[
25
−
(
x
−
8
)
+
(
14
−
5
)
]
3x-\left[25-\left(x-8\right)+\left(14-5\right)\right]
3
x
−
[
25
−
(
x
−
8
)
+
(
14
−
5
)
]
。若這筆結餘為
86
86
86
元，則
x
x
x
的值為何？
國中教育會考
對稱式與代數恆等式・代數技巧（方程、不等式、數列）
開始練習 →
若整數
m
m
m
、
n
n
n
使等式
2
(
x
−
3
)
2
−
7
(
x
2
−
9
)
−
4
(
x
+
3
)
2
=
[
2
(
x
−
3
)
+
m
(
x
+
3
)
]
[
(
x
−
3
)
+
n
(
x
+
3
)
]
2(x-3)^2-7(x^2-9)-4(x+3)^2=[2(x-3)+m(x+3)][(x-3)+n(x+3)]
2
(
x
−
3
)
2
−
7
(
x
2
−
9
)
−
4
(
x
+
3
)
2
=
[
2
(
x
−
3
)
+
m
(
x
+
3
)]
[(
x
−
3
)
+
n
(
x
+
3
)]
對所有實數
x
x
x
都成立，則有序數對
(
m
,
n
)
(m,n)
(
m
,
n
)
為何？
國中教育會考
巧設未知數與一次方程應用・平均數與加權平均
開始練習 →
某水上活動中心安排
7
7
7
位參加者共用
4
4
4
張立式划槳板，每張板同時只能由
1
1
1
人使用。活動共進行
105
105
105
分鐘，期間所有板皆持續有人使用，且忽略交換所需時間。若每位參加者使用划槳板的累計時間相同，則每人可使用多少分鐘？
國中教育會考
指數與根式・整數解與不定方程
開始練習 →
某超商取貨櫃的編號
n
n
n
為
10
10
10
至
100
100
100
的整數。若
n
\sqrt{n}
n
與
n
+
45
\sqrt{n+45}
n
+
45
都是整數，則
n
n
n
為何？
國中教育會考
圓的性質・畢氏定理與特殊直角三角形
開始練習 →
如圖，公園入口有一座半圓形花圃，直徑
A
B
AB
A
B
長
30
30
30
公尺。花圃內另有兩個半圓形植栽區，其直徑分別為
A
C
=
12
AC=12
A
C
=
12
公尺與
C
B
=
18
CB=18
C
B
=
18
公尺。三段圓弧之間設置一個圓形噴水區，且噴水區與三段圓弧皆相切。此圓形噴水區的半徑為多少公尺？
國中教育會考
數字與位數問題・數論基礎（整除、質因數、餘數）
開始練習 →
圖書館有
20
20
20
張臨時借閱證，編號為
1520
1520
1520
至
1539
1539
1539
的所有整數，每個編號各有一張。館員挑出個位數不為
0
0
0
，且編號能被自己的個位數整除的借閱證。在挑出的借閱證中，有幾種個位數恰好只出現一次？
國中教育會考
坐標幾何・圓的性質
開始練習 →
某園區平面圖以公尺為單位。兩個圓形花圃
C
1
C_1
C
1
、
C
2
C_2
C
2
的圓心分別為
O
1
(
−
4
,
4
)
O_1(-4,4)
O
1
(
−
4
,
4
)
、
O
2
(
6
,
−
5
)
O_2(6,-5)
O
2
(
6
,
−
5
)
，半徑分別為
4
5
\frac{4}{5}
5
4
、
2
5
\frac{2}{5}
5
2
。直線
ℓ
:
3
x
+
4
y
=
0
\ell:3x+4y=0
ℓ
:
3
x
+
4
y
=
0
同時與兩花圃相切，如圖。下列對
ℓ
\ell
ℓ
的分類及理由，何者正確？
國中教育會考
圓的性質・畢氏定理與特殊直角三角形
開始練習 →
河濱公園有一座圓形花圃，
O
O
O
為圓心，半徑為
5
5
5
公尺。志工從花圃外的點
P
P
P
拉一條直線步道到切點
T
T
T
，步道剛好與花圃相切。若
O
P
=
13
OP=13
O
P
=
13
公尺，則切線段
P
T
PT
P
T
長多少公尺？
國中教育會考
整數四則與運算順序
開始練習 →
某電子支付帳戶上午與下午的餘額變動分別為
−
125
-125
−
125
元與
−
78
-78
−
78
元。將這兩筆變動合併記錄後，餘額的總變動為多少元？
國中教育會考
角度追蹤
開始練習 →
如圖，
I
I
I
為
△
A
B
C
\triangle ABC
△
A
B
C
的內心，延長
B
I
BI
B
I
至
D
D
D
，使
B
B
B
、
I
I
I
、
D
D
D
依序共線。若
∠
B
A
C
=
x
∘
\angle BAC=x^\circ
∠
B
A
C
=
x
∘
，且
∠
D
I
C
=
(
2
x
−
15
)
∘
\angle DIC=(2x-15)^\circ
∠
D
I
C
=
(
2
x
−
15
)
∘
，則
x
x
x
的值為何？
國中教育會考
指數與根式
開始練習 →
某空氣採樣器測得一份微粒質量為
0.0000063
0.0000063
0.0000063
公克。阿哲依照先建立格式、再移動小數點的方法，寫出
0.0000063
=
0.0000063
×
10
p
=
6.3
×
10
q
0.0000063=0.0000063\times 10^p=6.3\times 10^q
0.0000063
=
0.0000063
×
1
0
p
=
6.3
×
1
0
q
若整串等式皆成立，則
(
p
,
q
)
(p,q)
(
p
,
q
)
應為下列何者？
國中教育會考
面積切割與補形・平面上的比例
開始練習 →
如圖，社區活動使用一面三角形旗幟
A
B
C
ABC
A
B
C
，在底邊
B
C
BC
B
C
上取點
D
,
E
D,E
D
,
E
，使
B
,
D
,
E
,
C
B,D,E,C
B
,
D
,
E
,
C
依序共線，且
B
D
=
4
BD=4
B
D
=
4
公分、
D
E
=
6
DE=6
D
E
=
6
公分、
E
C
=
8
EC=8
E
C
=
8
公分。由線段
A
D
,
A
E
AD,AE
A
D
,
A
E
分成三區；若兩側的
△
A
B
D
\triangle ABD
△
A
B
D
與
△
A
E
C
\triangle AEC
△
A
E
C
面積和為
36
36
36
平方公分，則中間的
△
A
D
E
\triangle ADE
△
A
D
E
面積為何？
國中教育會考
代數技巧（方程、不等式、數列）・二次函數與拋物線
開始練習 →
已知方程式
(
4
−
3
x
)
2
=
k
(4-3x)^2=k
(
4
−
3
x
)
2
=
k
的兩個相異實根為
a
a
a
、
b
b
b
，且
a
>
b
a>b
a
>
b
。若
a
=
4
+
10
3
a=\frac{4+\sqrt{10}}{3}
a
=
3
4
+
10
，則有序數對
(
k
,
b
)
(k,b)
(
k
,
b
)
為何？
國中教育會考
最大公因數與最小公倍數・質因數分解與標準分解式
開始練習 →
校慶數學闖關卡上的得分碼為
[
(
84
,
126
)
,
n
]
[(84,126),n]
[(
84
,
126
)
,
n
]
，其中
(
a
,
b
)
(a,b)
(
a
,
b
)
表示最大公因數，
[
a
,
b
]
[a,b]
[
a
,
b
]
表示最小公倍數，且
n
n
n
為正整數。若得分碼等於
210
210
210
，則
n
n
n
的最小可能值為何？
國中教育會考
相似形與比例線段・幾何推理與證明
開始練習 →
如圖，公園的三角形步道為
△
A
B
C
\triangle ABC
△
A
B
C
，
M
M
M
、
N
N
N
分別是
A
B
‾
\overline{AB}
A
B
、
A
C
‾
\overline{AC}
A
C
的中點。從
M
M
M
經過
N
N
N
延伸至
D
D
D
，使得
N
D
‾
=
M
N
‾
\overline{ND}=\overline{MN}
N
D
=
M
N
。若要證明四邊形
M
B
C
D
MBCD
M
B
C
D
為平行四邊形，下列哪一段論證正確且理由完整？
國中教育會考
幾何推理與證明・相似形與比例線段
開始練習 →
河堤無障礙坡道的三角支架側面如圖。
△
P
Q
R
\triangle PQR
△
P
QR
中，
∠
P
Q
R
=
90
∘
\angle PQR=90^\circ
∠
P
QR
=
9
0
∘
，點
S
S
S
位於
P
R
‾
\overline{PR}
P
R
上，且
Q
S
‾
⊥
P
R
‾
\overline{QS}\perp\overline{PR}
QS
⊥
P
R
。欲證明
Q
R
2
=
S
R
⋅
P
R
QR^2=SR\cdot PR
Q
R
2
=
S
R
⋅
P
R
，下列哪一項同時正確列出目標比例、用於判定相似的兩組等角，以及相似三角形的頂點順序？
國中教育會考
單位換算與時間計算・指數與根式
開始練習 →
台北夜市的電子支付系統一天產生
2.4
×
10
6
2.4\times10^6
2.4
×
1
0
6
筆交易紀錄，每筆紀錄占用
125
b
y
t
e
s
125\,\mathrm{bytes}
125
bytes
。若
1
G
B
=
10
9
b
y
t
e
s
1\,\mathrm{GB}=10^9\,\mathrm{bytes}
1
GB
=
1
0
9
bytes
，則這些交易紀錄共占用多少
G
B
\mathrm{GB}
GB
？
國中教育會考
圓的性質・畢氏定理與特殊直角三角形
開始練習 →
早餐店把菜單貼在半徑
10
10
10
公分的圓形磁鐵板上，菜單上緣剛好是一條長
16
16
16
公分的弦。若要從圓心
O
O
O
垂直量到這條弦，距離應是多少公分？