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所有知識點（91）
整數四則與運算順序
位值、概數與估算
單位換算與時間計算
分數與小數運算
數論基礎（整除、質因數、餘數）
質因數分解與標準分解式
最大公因數與最小公倍數
餘數循環與週期規律
進位制與位數表示
數字與位數問題
整數解與不定方程
模運算與同餘
中國剩餘定理
因數個數與因數和
階乘的質因數次數
代數技巧（方程、不等式、數列）
巧設未知數與一次方程應用
等差數列與規律延伸
對稱式與代數恆等式
因式分解技巧（SFFT）
速率與工作問題
一次函數與圖形
指數與根式
二次函數與拋物線
多項式與因式餘式定理
不等式與絕對值
比例、速率與百分比
對數
複數
等比數列與無窮級數
函數概念與圖形變換
高斯取整函數
望遠鏡級數與裂項
遞迴數列
指數函數與指數方程
對數函數與對數方程
多項式函數與圖形
數列與級數
矩陣與線性變換
複數與多項式方程
幾何：角度與面積
角度追蹤
面積切割與補形
相似形與比例線段
畢氏定理與特殊直角三角形
幾何推理與證明
圓的性質
多邊形與正多邊形
立體幾何
坐標幾何
三角比與正餘弦定理
對稱與幾何變換
圓冪定理
圓錐曲線（截痕概念）
平面上的比例
二次曲線標準式
計數與機率
加法與乘法原理
系統列舉與分類討論
基礎機率
排列組合進階
容斥原理
期望值
幾何機率
遞迴與路徑計數
鴿籠原理與最壞情況
奇偶性與不變量
隔板法與重複組合
條件機率與貝氏
條件機率與貝氏定理
離散隨機變數
二項分布
幾何分布
邏輯推理與規律
統計圖表與資料判讀
平均數與加權平均
二維數據與相關
三角比與正餘弦定理
三角函數與和差角
三角函數建模
平面向量
空間向量
空間中的直線與平面
數列極限與收斂
無窮等比級數
函數極限與連續
導函數與微分法
微分應用（極值與圖形）
黎曼和與定積分
積分應用（面積與體積）
數線與絕對值
共
1307
題
・第 44／44 頁
清除全部篩選
大學學科能力測驗（數學）
三角比與正餘弦定理・幾何：角度與面積
開始練習 →
澎湖某碼頭
O
O
O
要估算兩個浮標與碼頭圍成的警戒水域。浮標
A
A
A
距離碼頭
4
4
4
公里，方位角為
015
∘
015^\circ
01
5
∘
；浮標
B
B
B
距離碼頭
7
7
7
公里，方位角為
075
∘
075^\circ
07
5
∘
。若方位角以正北順時針量，則三角形
O
A
B
OAB
O
A
B
的面積為多少？
‹
1
…
43
44
›
大學學科能力測驗（數學）
圓的性質・畢氏定理與特殊直角三角形
開始練習 →
某校把圓形中庭的圓心記為
O
O
O
，半徑為
12
12
12
公尺。校門口標示牌在點
P
P
P
，且
O
P
=
24
OP=24
O
P
=
24
公尺；從
P
P
P
拉兩條直線步道分別切中庭於
A
A
A
、
B
B
B
。若觀景點
C
C
C
在圓周上且位於較大的弧
A
B
AB
A
B
上，則
∠
A
C
B
\angle ACB
∠
A
C
B
為多少？
大學學科能力測驗（數學）
三角比與正餘弦定理
開始練習 →
嘉義布袋港的兩座岸上觀測站
A
A
A
、
B
B
B
位於同一條東西向堤岸，
A
A
A
在
B
B
B
的正西方，且
A
B
=
1.2
AB=1.2
A
B
=
1.2
公里。一艘漁船位於堤岸北側的
C
C
C
點。從
A
A
A
觀測，
C
C
C
的方位為北偏東
35
∘
35^\circ
3
5
∘
；從
B
B
B
觀測，
C
C
C
的方位為北偏西
50
∘
50^\circ
5
0
∘
。若
1
1
1
平方公里等於
100
100
100
公頃，則三角形
A
B
C
ABC
A
B
C
所圍海域的面積為多少公頃？
大學學科能力測驗（數學）
三角函數建模
開始練習 →
台中逢甲商圈在某時段的人流量可用週期模型估計。設
t
t
t
為觀測開始後的小時數，入口
X
X
X
每小時人流量為
N
X
(
t
)
=
300
+
120
sin
(
π
6
(
t
−
1
)
)
N_X(t)=300+120\sin\left(\frac{\pi}{6}(t-1)\right)
N
X
(
t
)
=
300
+
120
sin
(
6
π
(
t
−
1
)
)
。人潮由入口
X
X
X
移動到入口
Y
Y
Y
的波峰約延遲
2
2
2
小時；入口
Y
Y
Y
的平均人流量比入口
X
X
X
多
40
40
40
人次，而相對平均值的變動幅度比入口
X
X
X
少
25
%
25\%
25%
。依此模型，
N
Y
(
6
)
N_Y(6)
N
Y
(
6
)
約為多少人次？
大學學科能力測驗（數學）
條件機率與貝氏定理・三角函數建模
開始練習 →
基隆港的波高可近似為
H
(
t
)
=
2
+
sin
(
π
6
(
t
−
1
)
)
H(t)=2+\sin\left(\frac{\pi}{6}(t-1)\right)
H
(
t
)
=
2
+
sin
(
6
π
(
t
−
1
)
)
公尺，週期為
12
12
12
小時。系統從完整週期中等可能地隨機抽取一個時刻；若當時
H
(
t
)
≥
2.5
H(t)\ge2.5
H
(
t
)
≥
2.5
，便定義為危險時刻。警示器在危險時刻發出警示的機率為
9
10
\frac9{10}
10
9
，在非危險時刻誤發警示的機率為
3
20
\frac3{20}
20
3
。已知警示器發出警示，該時刻實際危險的機率為何？
大學學科能力測驗（數學）
三角函數建模
開始練習 →
高雄港邊一座摩天輪以等速轉動。某車廂在
t
=
0
t=0
t
=
0
分鐘時位於最低點，高度為
2
2
2
公尺；在
t
=
6
t=6
t
=
6
分鐘時位於最高點，高度為
42
42
42
公尺；並在
t
=
12
t=12
t
=
12
分鐘時回到最低點。在第
1
1
1
圈中，該車廂高度至少為
32
32
32
公尺的時間範圍為何？
大學學科能力測驗（數學）
角度追蹤・幾何：角度與面積
開始練習 →
夜市攤位的三角形招牌骨架如圖，
A
B
=
A
C
AB=AC
A
B
=
A
C
。點
D
D
D
在邊
A
C
AC
A
C
上（
D
D
D
與
C
C
C
不重合），並且
B
D
=
B
C
BD=BC
B
D
=
B
C
。若
∠
A
B
D
=
24
∘
\angle ABD=24^\circ
∠
A
B
D
=
2
4
∘
，求
∠
B
A
C
\angle BAC
∠
B
A
C
。
大學學科能力測驗（數學）
三角函數與和差角
開始練習 →
台中港一座風機的安全燈由兩個感測元件共同控制。啟動後第
t
t
t
秒的合成訊號為
S
(
t
)
=
2
sin
(
π
t
4
)
+
2
3
cos
(
π
t
4
)
S(t)=2\sin\left(\frac{\pi t}{4}\right)+2\sqrt{3}\cos\left(\frac{\pi t}{4}\right)
S
(
t
)
=
2
sin
(
4
π
t
)
+
2
3
cos
(
4
π
t
)
，其中
0
≤
t
≤
16
0\le t\le 16
0
≤
t
≤
16
。當
S
(
t
)
≥
2
3
S(t)\ge 2\sqrt{3}
S
(
t
)
≥
2
3
時，安全燈會亮起。這段時間內，安全燈亮起的總時間為何？
大學學科能力測驗（數學）
三角函數建模
開始練習 →
澎湖一處潮間帶步道的積水深度可用正弦函數近似。以午夜後
t
t
t
小時表示時間，觀測到上午
2
2
2
時水深通過平均水位
2
2
2
公尺且正在上升，上午
5
5
5
時達最高水位
2.8
2.8
2.8
公尺，上午
11
11
11
時達最低水位
1.2
1.2
1.2
公尺。下列何者最適合作為水深
d
(
t
)
d(t)
d
(
t
)
的模型？
大學學科能力測驗（數學）
多項式與因式餘式定理
開始練習 →
設
f
(
x
)
=
256
x
4
+
256
x
3
+
96
x
2
+
28
x
+
5
f(x)=256x^4+256x^3+96x^2+28x+5
f
(
x
)
=
256
x
4
+
256
x
3
+
96
x
2
+
28
x
+
5
。不使用計算機，選用一次除式，將
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
按該除式的冪次展開，以代入後的微小量估算
f
(
−
0.249
)
f(-0.249)
f
(
−
0.249
)
。下列哪一組「除式、估計值」正確？估計值取至小數點後第四位。
大學學科能力測驗（數學）
三角比與正餘弦定理・坐標幾何
開始練習 →
鹿港廟口燈球在平面座標圖上移動，東方為正
x
x
x
軸、北方為正
y
y
y
軸，方向角由正
x
x
x
軸逆時針量起。燈球先從
O
O
O
沿方向角
θ
\theta
θ
移動
26
26
26
公尺，其中
θ
\theta
θ
在第二象限且
sin
θ
=
5
13
\sin\theta=\frac{5}{13}
sin
θ
=
13
5
；接著再沿方向角
θ
+
60
∘
\theta+60^\circ
θ
+
6
0
∘
移動
26
26
26
公尺。求最後位置的
x
x
x
座標。
大學學科能力測驗（數學）
三角函數與和差角
開始練習 →
高雄港一座橋梁進行振動測試，兩個致動器產生的訊號分別為
u
1
(
t
)
=
sin
(
π
3
t
)
u_1(t)=\sin\left(\frac{\pi}{3}t\right)
u
1
(
t
)
=
sin
(
3
π
t
)
與
u
2
(
t
)
=
sin
(
π
3
(
t
−
τ
)
)
u_2(t)=\sin\left(\frac{\pi}{3}(t-\tau)\right)
u
2
(
t
)
=
sin
(
3
π
(
t
−
τ
)
)
，其中
t
t
t
與延遲量
τ
\tau
τ
均以秒為單位，且
0
<
τ
<
3
0<\tau<3
0
<
τ
<
3
。若合成訊號
u
(
t
)
=
u
1
(
t
)
+
u
2
(
t
)
u(t)=u_1(t)+u_2(t)
u
(
t
)
=
u
1
(
t
)
+
u
2
(
t
)
的振幅恰為
1
1
1
，則
τ
\tau
τ
與合成訊號第一次達到最大值的正時刻
t
0
t_0
t
0
所成的有序對
(
τ
,
t
0
)
(\tau,t_0)
(
τ
,
t
0
)
為何？
大學學科能力測驗（數學）
三角函數建模・三角函數與和差角
開始練習 →
宜蘭一座滯洪池以感測器記錄水位，啟動後第
t
t
t
小時的水位模型為
h
(
t
)
=
2
+
sin
(
π
6
(
t
−
1
)
)
h(t)=2+\sin\left(\frac{\pi}{6}(t-1)\right)
h
(
t
)
=
2
+
sin
(
6
π
(
t
−
1
)
)
公尺，其中
0
≤
t
<
24
0\le t<24
0
≤
t
<
24
。清理機器人只會在水位恰為
5
2
\frac{5}{2}
2
5
公尺，且水位正由低於
5
2
\frac{5}{2}
2
5
公尺變為高於
5
2
\frac{5}{2}
2
5
公尺時啟動。機器人的啟動時刻為何？
大學學科能力測驗（數學）
三角比與正餘弦定理・幾何：角度與面積
開始練習 →
台南某校園有三個路口
A
,
B
,
C
A,B,C
A
,
B
,
C
，其中
A
B
=
300
AB=300
A
B
=
300
公尺、
A
C
=
500
AC=500
A
C
=
500
公尺，且兩條路在
A
A
A
夾角為
120
∘
120^\circ
12
0
∘
。校方要在
B
,
C
B,C
B
,
C
之間畫一條直線導引路線，求路口
A
A
A
到直線
B
C
BC
B
C
的最短距離。
大學學科能力測驗（數學）
三角函數建模
開始練習 →
花蓮一座溫室的人工照明功率每
12
12
12
小時重複一次，並以正弦函數近似。單一週期內，最高功率為
900
900
900
瓦，最低功率為
100
100
100
瓦。以午夜後
t
t
t
小時表示時間，感測器在
t
=
7
t=7
t
=
7
時測得功率為
500
500
500
瓦，且當時功率正在下降。於
1
≤
t
≤
13
1\le t\le13
1
≤
t
≤
13
期間，功率恰為
300
300
300
瓦的時刻是哪兩個？
大學學科能力測驗（數學）
多項式與因式餘式定理
開始練習 →
設
f
(
x
)
=
729
x
6
+
2916
x
5
+
4860
x
4
+
4320
x
3
+
2205
x
2
+
630
x
+
87
f(x)=729x^6+2916x^5+4860x^4+4320x^3+2205x^2+630x+87
f
(
x
)
=
729
x
6
+
2916
x
5
+
4860
x
4
+
4320
x
3
+
2205
x
2
+
630
x
+
87
。不使用計算機，選用一次除式，將
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
按該除式的冪次展開，估算
f
(
−
0.666
)
−
f
(
−
2
3
)
−
0.666
+
2
3
\frac{f(-0.666)-f(-\frac{2}{3})}{-0.666+\frac{2}{3}}
−
0.666
+
3
2
f
(
−
0.666
)
−
f
(
−
3
2
)
。下列哪一組「除式、估計值」正確？估計值取至小數點後第三位。
大學學科能力測驗（數學）
空間向量・立體幾何
開始練習 →
臺南一座展館使用長方體壓克力箱保護模型。以箱子的一個底面頂點
O
O
O
為原點，底面上兩條相鄰邊的向量為
O
A
→
=
(
2
,
2
,
1
)
\overrightarrow{OA}=(2,2,1)
O
A
=
(
2
,
2
,
1
)
、
O
B
→
=
(
4
,
−
2
,
−
4
)
\overrightarrow{OB}=(4,-2,-4)
O
B
=
(
4
,
−
2
,
−
4
)
，每一座標單位代表
10
cm
10\text{ cm}
10
cm
。箱子的第三條邊垂直於底面，內部體積為
162000
cm
3
162000\text{ cm}^3
162000
cm
3
。設
P
P
P
為與
O
O
O
相對的頂點。現要將一條感測光纖從
O
O
O
沿箱子外表面拉至
P
P
P
，光纖可以跨越稜，但不得離開表面或穿過箱子內部。忽略光纖粗細，其所需的最短長度為何？