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CEMC 滑鐵盧數學競賽
大學學科能力測驗（數學）
國中教育會考
難度
全部
易
中
難
知識點
所有知識點（91）
整數四則與運算順序
位值、概數與估算
單位換算與時間計算
分數與小數運算
數論基礎（整除、質因數、餘數）
質因數分解與標準分解式
最大公因數與最小公倍數
餘數循環與週期規律
進位制與位數表示
數字與位數問題
整數解與不定方程
模運算與同餘
中國剩餘定理
因數個數與因數和
階乘的質因數次數
代數技巧（方程、不等式、數列）
巧設未知數與一次方程應用
等差數列與規律延伸
對稱式與代數恆等式
因式分解技巧（SFFT）
速率與工作問題
一次函數與圖形
指數與根式
二次函數與拋物線
多項式與因式餘式定理
不等式與絕對值
比例、速率與百分比
對數
複數
等比數列與無窮級數
函數概念與圖形變換
高斯取整函數
望遠鏡級數與裂項
遞迴數列
指數函數與指數方程
對數函數與對數方程
多項式函數與圖形
數列與級數
矩陣與線性變換
複數與多項式方程
幾何：角度與面積
角度追蹤
面積切割與補形
相似形與比例線段
畢氏定理與特殊直角三角形
幾何推理與證明
圓的性質
多邊形與正多邊形
立體幾何
坐標幾何
三角比與正餘弦定理
對稱與幾何變換
圓冪定理
圓錐曲線（截痕概念）
平面上的比例
二次曲線標準式
計數與機率
加法與乘法原理
系統列舉與分類討論
基礎機率
排列組合進階
容斥原理
期望值
幾何機率
遞迴與路徑計數
鴿籠原理與最壞情況
奇偶性與不變量
隔板法與重複組合
條件機率與貝氏
條件機率與貝氏定理
離散隨機變數
二項分布
幾何分布
邏輯推理與規律
統計圖表與資料判讀
平均數與加權平均
二維數據與相關
三角比與正餘弦定理
三角函數與和差角
三角函數建模
平面向量
空間向量
空間中的直線與平面
數列極限與收斂
無窮等比級數
函數極限與連續
導函數與微分法
微分應用（極值與圖形）
黎曼和與定積分
積分應用（面積與體積）
數線與絕對值
共
1528
題
・第 34／51 頁
國中教育會考
對稱與幾何變換・幾何：角度與面積
開始練習 →
學校攝影社在操場上用兩根等長支架固定看板。如圖，
A
B
=
A
C
AB=AC
A
B
=
A
C
，點
D
D
D
是
B
C
BC
B
C
的中點，攝影社想證明
A
D
⊥
B
C
AD\perp BC
A
D
⊥
B
C
。下列哪一段推理最完整且正確？
‹
1
…
33
34
35
…
51
›
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何
開始練習 →
某市以坐標平面規劃 YouBike 補給車路線，兩站位置為
A
(
2
,
1
)
A(2,1)
A
(
2
,
1
)
、
B
(
8
,
5
)
B(8,5)
B
(
8
,
5
)
。補給車要從倉庫
C
(
1
,
6
)
C(1,6)
C
(
1
,
6
)
出發，走一條與連線
A
B
AB
A
B
垂直的直線道路。此道路的方程式為何？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何
開始練習 →
嘉義公園要畫一個花圃邊界，園藝師插兩支木樁
F
1
F_1
F
1
、
F
2
F_2
F
2
，相距
6
6
6
公尺。粉筆上連著兩條拉直細繩，分別接到兩支木樁，助手控制兩條繩子的長度總和一直是
14
14
14
公尺，再讓粉筆繞行畫線。下列哪個說明最符合這條邊界？
AMC 8
平均數與加權平均
開始練習 →
小柔前
5
5
5
次數學小考的平均分數是
82
82
82
分。第
6
6
6
次小考後，
6
6
6
次平均變成
85
85
85
分。她第
6
6
6
次小考得幾分？
AMC 8
比例、速率與百分比
開始練習 →
小晴從家走到早餐店花
8
8
8
分鐘，距離是
600
600
600
公尺；再從早餐店走到學校花
12
12
12
分鐘，距離是
1.2
1.2
1.2
公里。她從家經早餐店到學校的全程平均速率是多少公尺/分鐘？
國中教育會考
等差數列與規律延伸
開始練習 →
宜蘭某農場在假日推出採果體驗，第一梯次開放
18
18
18
人，之後每一梯次都比前一梯次多
5
5
5
人。若第
1
1
1
梯次到第
10
10
10
梯次都額滿，這
10
10
10
梯次共接待幾人？
大學學科能力測驗（數學）
多項式與因式餘式定理・多項式函數與圖形
開始練習 →
台南一間飲料店用多項式
P
(
x
)
P(x)
P
(
x
)
表示某週促銷後的庫存修正量。已知
P
(
x
)
P(x)
P
(
x
)
除以
x
−
2
x-2
x
−
2
的餘式為
5
5
5
，除以
x
+
1
x+1
x
+
1
的餘式為
−
4
-4
−
4
。若
P
(
x
)
P(x)
P
(
x
)
除以
(
x
−
2
)
(
x
+
1
)
(x-2)(x+1)
(
x
−
2
)
(
x
+
1
)
的餘式為
R
(
x
)
R(x)
R
(
x
)
，則
R
(
3
)
R(3)
R
(
3
)
等於多少？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何
開始練習 →
高雄港區的導航系統以直線族
L
k
:
(
k
−
1
)
x
+
(
k
+
2
)
y
=
k
−
3
L_k:(k-1)x+(k+2)y=k-3
L
k
:
(
k
−
1
)
x
+
(
k
+
2
)
y
=
k
−
3
表示不同參數
k
k
k
下的航線。所有使
L
k
L_k
L
k
不能直接寫成截距式
x
a
+
y
b
=
1
\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1
a
x
+
b
y
=
1
的
k
k
k
值所成集合為何？
大學學科能力測驗（數學）
圓的性質・畢氏定理與特殊直角三角形
開始練習 →
台中一個圓形花圃半徑
9
9
9
公尺，圓心為
O
O
O
。攤位電箱在花圃外點
P
P
P
，量得
O
P
=
15
OP=15
O
P
=
15
公尺。工作人員要從
P
P
P
拉兩條剛好切到花圃邊緣的直線燈條，切點為
A
,
B
A,B
A
,
B
。兩條燈條總長
P
A
+
P
B
PA+PB
P
A
+
P
B
為多少？
大學學科能力測驗（數學）
立體幾何・相似形與比例線段
開始練習 →
台中夜市推出圓錐形紙杯裝芒果冰，紙杯內部可近似為底面半徑
5
5
5
cm、高
12
12
12
cm 的直圓錐。店員先在尖端附近倒入煉乳，液面平行杯口，從尖端量到液面的高度為
6
6
6
cm。此時煉乳體積為多少
c
m
3
\mathrm{cm^3}
c
m
3
？
大學學科能力測驗（數學）
圓冪定理・相似形與比例線段
開始練習 →
某公園的圓形水池外有觀測點
P
P
P
。由
P
P
P
引兩條割線，第一條依序交水池邊界於
A
,
B
A,B
A
,
B
，第二條依序交於
C
,
D
C,D
C
,
D
。已知
P
A
=
4
PA=4
P
A
=
4
公尺、
P
B
=
24
PB=24
P
B
=
24
公尺、
P
D
=
16
PD=16
P
D
=
16
公尺，且連線
A
D
=
14
AD=14
A
D
=
14
公尺，則
C
B
CB
C
B
的長度為何？
AMC 10
因式分解技巧（SFFT）・整數解與不定方程
開始練習 →
台北捷運某站電子置物櫃在校正座標時，技師輸入兩個整數修正量
x
x
x
、
y
y
y
。為避免門號偏移過大，規定
−
20
≤
x
≤
20
-20 \le x \le 20
−
20
≤
x
≤
20
且
−
15
≤
y
≤
15
-15 \le y \le 15
−
15
≤
y
≤
15
。若系統測試式為
x
y
+
5
x
−
3
y
=
91
xy+5x-3y=91
x
y
+
5
x
−
3
y
=
91
，共有幾組有序整數對
(
x
,
y
)
(x,y)
(
x
,
y
)
可通過測試？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何
開始練習 →
台中一所校園的平面圖上，兩棟建築物的位置分別為
A
(
1
,
0
)
A(1,0)
A
(
1
,
0
)
、
B
(
5
,
3
)
B(5,3)
B
(
5
,
3
)
。校方將所有滿足
P
A
‾
:
P
B
‾
=
2
:
3
\overline{PA}:\overline{PB}=2:3
P
A
:
P
B
=
2
:
3
的位置
P
P
P
標成一條圓形邊界。下列何者正確描述此圓的圓心與半徑？
大學學科能力測驗（數學）
圓的性質
開始練習 →
某公園有兩座圓形花圃，半徑分別為
9
9
9
公尺與
15
15
15
公尺。兩座花圃邊緣各取一段較短弧
A
B
AB
A
B
、
C
D
CD
C
D
，它們所對應的圓心角皆為
120
∘
120^{\circ}
12
0
∘
。判斷下列敘述：甲、兩段弧的度數相同；乙、兩段弧的弧長相同；丙、弧
C
D
CD
C
D
的弧長是弧
A
B
AB
A
B
的
5
3
\frac{5}{3}
3
5
倍；丁、弧
C
D
CD
C
D
的度數是弧
A
B
AB
A
B
的
5
3
\frac{5}{3}
3
5
倍。正確的敘述有哪些？
大學學科能力測驗（數學）
三角函數與和差角
開始練習 →
夜市旋轉招牌以正東方向為始邊，順時針旋轉
1130
∘
1130^\circ
113
0
∘
。若用
k
∈
Z
k\in\mathbb Z
k
∈
Z
表示所有同界角，則其標準寫法及終邊所在象限，何者正確？
AMC 8
平均數與加權平均
開始練習 →
小琳前
5
5
5
次數學小考的平均分數是
82
82
82
分。第
6
6
6
次小考後，
6
6
6
次的平均分數變成
85
85
85
分。小琳第
6
6
6
次小考考幾分？
大學學科能力測驗（數學）
二次曲線標準式・坐標幾何
開始練習 →
校方規劃一座圓形花圃，其邊界方程式為
(
a
+
1
)
x
2
+
(
2
a
−
b
)
x
y
+
(
5
−
a
)
y
2
−
6
x
+
8
y
−
20
=
0
(a+1)x^2+(2a-b)xy+(5-a)y^2-6x+8y-20=0
(
a
+
1
)
x
2
+
(
2
a
−
b
)
x
y
+
(
5
−
a
)
y
2
−
6
x
+
8
y
−
20
=
0
，其中
a
a
a
、
b
b
b
為實數。若此方程式表示一個圓，則
(
a
,
b
)
(a,b)
(
a
,
b
)
為何？
大學學科能力測驗（數學）
不等式與絕對值
開始練習 →
某飲料店冷藏設備進行校正測試，將設定溫度
x
x
x
代入檢測式。當
∣
9
−
2
x
∣
>
5
|9-2x|>5
∣9
−
2
x
∣
>
5
時，系統判定須重新校正。會被判定須重新校正的
x
x
x
範圍為何？
大學學科能力測驗（數學）
二次函數與拋物線
開始練習 →
桃園某捷運站出口的拱形裝飾可用
y
=
−
x
2
+
6
x
+
1
y=-x^2+6x+1
y
=
−
x
2
+
6
x
+
1
近似表示，地面可視為
y
=
0
y=0
y
=
0
。若只考慮裝飾與地面交會的位置，則此拱形裝飾與地面共有幾個交點？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何
開始練習 →
某停車場內兩條平行車道標線分別為
L
1
:
6
x
−
8
y
+
15
=
0
L_1:6x-8y+15=0
L
1
:
6
x
−
8
y
+
15
=
0
與
L
2
:
3
x
−
4
y
−
12
=
0
L_2:3x-4y-12=0
L
2
:
3
x
−
4
y
−
12
=
0
，座標平面以公尺為單位。兩條標線的最短距離為何？
大學學科能力測驗（數學）
等差數列與規律延伸
開始練習 →
某捷運站出口旁設置腳踏車停放格，第一段畫
12
12
12
格，第二段畫
17
17
17
格，第三段畫
22
22
22
格，之後依此規律增加。若從第一段到第九段全部畫完，共有幾個停放格？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・圓的性質
開始練習 →
某社區的三處防災據點在座標平面上的位置分別為
A
(
0
,
0
)
A(0,0)
A
(
0
,
0
)
、
B
(
6
,
0
)
B(6,0)
B
(
6
,
0
)
、
C
(
0
,
8
)
C(0,8)
C
(
0
,
8
)
，座標單位為百公尺。現要設置一座廣播站，使其到三處據點的直線距離相等。以下哪一組尺規作圖依據與廣播站座標皆正確？
國中教育會考
速率與工作問題・平均數與加權平均
開始練習 →
小芸騎腳踏車從家到圖書館，去程距離
6
6
6
公里，花
24
24
24
分鐘；回程沿原路返回，因逆風花
36
36
36
分鐘。小芸這趟來回的平均速率是多少公里／小時？
大學學科能力測驗（數學）
代數技巧（方程、不等式、數列）
開始練習 →
設
P
(
x
)
=
(
x
−
2
)
7
+
(
x
−
2
)
6
P(x)=(x-2)^7+(x-2)^6
P
(
x
)
=
(
x
−
2
)
7
+
(
x
−
2
)
6
，則
P
(
x
)
P(x)
P
(
x
)
的
x
4
x^4
x
4
項係數為何？
大學學科能力測驗（數學）
圓的性質
開始練習 →
某校園遊會的圓形燈帶上，五個控制點依順時針方向依序為
A
A
A
、
B
B
B
、
C
C
C
、
D
D
D
、
E
E
E
。相鄰控制點間的劣弧度數分別為
m
A
B
⌢
=
50
∘
m\overset{\frown}{AB}=50^\circ
m
A
B
⌢
=
5
0
∘
、
m
B
C
⌢
=
70
∘
m\overset{\frown}{BC}=70^\circ
m
B
C
⌢
=
7
0
∘
、
m
C
D
⌢
=
80
∘
m\overset{\frown}{CD}=80^\circ
m
C
D
⌢
=
8
0
∘
、
m
D
E
⌢
=
60
∘
m\overset{\frown}{DE}=60^\circ
m
D
E
⌢
=
6
0
∘
、
m
E
A
⌢
=
100
∘
m\overset{\frown}{EA}=100^\circ
m
E
A
⌢
=
10
0
∘
。燈光程式指定點亮
A
C
E
⌢
\overset{\frown}{ACE}
A
C
E
⌢
，被點亮部分的弧度數為何？
AMC 8
系統列舉與分類討論
開始練習 →
台北河濱的 YouBike 鎖碼活動規定：密碼是三位數，從
0
,
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
0,1,2,3,4,5,6
0
,
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
中選出
3
3
3
個不同數字，百位不可為
0
0
0
。若百位數字小於個位數字，且三個數字和為奇數，符合規定的密碼共有幾個？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・不等式與絕對值
開始練習 →
某夜市行動餐車沿直線路線移動，位置為
P
(
t
)
=
(
t
,
1
2
t
)
P(t)=(t,\frac{1}{2}t)
P
(
t
)
=
(
t
,
2
1
t
)
，其中
0
≤
t
≤
4
0\le t\le 4
0
≤
t
≤
4
。當位置
(
x
,
y
)
(x,y)
(
x
,
y
)
滿足
(
x
+
y
−
1
)
(
2
x
−
y
−
4
)
>
0
(x+y-1)(2x-y-4)>0
(
x
+
y
−
1
)
(
2
x
−
y
−
4
)
>
0
時，餐車位於可營業區域。餐車位於可營業區域時，參數
t
t
t
的範圍為何？
大學學科能力測驗（數學）
指數與根式・分數與小數運算
開始練習 →
某高中園遊會攤位的四筆帳目調整合計（單位：百元）記為
−
9
(
−
2
)
3
+
−
3
(
−
2
)
4
−
5
(
−
2
)
2
+
1
(
−
2
)
-\frac{9}{(-2)^3}+\frac{-3}{(-2)^4}-\frac{5}{(-2)^2}+\frac{1}{(-2)}
−
(
−
2
)
3
9
+
(
−
2
)
4
−
3
−
(
−
2
)
2
5
+
(
−
2
)
1
，其值為何？
AMC 8
平均數與加權平均
開始練習 →
一桶冬瓜茶原有
6
6
6
公升，甜度平均為每公升含糖
42
42
42
公克。老闆又加入
4
4
4
公升較淡的冬瓜茶後，整桶變成每公升含糖
34
34
34
公克。加入的較淡冬瓜茶平均每公升含糖幾公克？
大學學科能力測驗（數學）
單位換算與時間計算・立體幾何
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一個長方體飲料桶的內部長、寬、高分別為
30
30
30
公分、
20
20
20
公分、
15
15
15
公分，桶內已有
3.6
3.6
3.6
公升的飲料。若不考慮桶壁厚度，最多還能加入多少 cc 的飲料？