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CEMC 滑鐵盧數學競賽
大學學科能力測驗（數學）
國中教育會考
難度
全部
易
中
難
知識點
所有知識點（91）
整數四則與運算順序
位值、概數與估算
單位換算與時間計算
分數與小數運算
數論基礎（整除、質因數、餘數）
質因數分解與標準分解式
最大公因數與最小公倍數
餘數循環與週期規律
進位制與位數表示
數字與位數問題
整數解與不定方程
模運算與同餘
中國剩餘定理
因數個數與因數和
階乘的質因數次數
代數技巧（方程、不等式、數列）
巧設未知數與一次方程應用
等差數列與規律延伸
對稱式與代數恆等式
因式分解技巧（SFFT）
速率與工作問題
一次函數與圖形
指數與根式
二次函數與拋物線
多項式與因式餘式定理
不等式與絕對值
比例、速率與百分比
對數
複數
等比數列與無窮級數
函數概念與圖形變換
高斯取整函數
望遠鏡級數與裂項
遞迴數列
指數函數與指數方程
對數函數與對數方程
多項式函數與圖形
數列與級數
矩陣與線性變換
複數與多項式方程
幾何：角度與面積
角度追蹤
面積切割與補形
相似形與比例線段
畢氏定理與特殊直角三角形
幾何推理與證明
圓的性質
多邊形與正多邊形
立體幾何
坐標幾何
三角比與正餘弦定理
對稱與幾何變換
圓冪定理
圓錐曲線（截痕概念）
平面上的比例
二次曲線標準式
計數與機率
加法與乘法原理
系統列舉與分類討論
基礎機率
排列組合進階
容斥原理
期望值
幾何機率
遞迴與路徑計數
鴿籠原理與最壞情況
奇偶性與不變量
隔板法與重複組合
條件機率與貝氏
條件機率與貝氏定理
離散隨機變數
二項分布
幾何分布
邏輯推理與規律
統計圖表與資料判讀
平均數與加權平均
二維數據與相關
三角比與正餘弦定理
三角函數與和差角
三角函數建模
平面向量
空間向量
空間中的直線與平面
數列極限與收斂
無窮等比級數
函數極限與連續
導函數與微分法
微分應用（極值與圖形）
黎曼和與定積分
積分應用（面積與體積）
數線與絕對值
共
724
題
・第 23／25 頁
清除全部篩選
大學學科能力測驗（數學）
遞迴數列
開始練習 →
宜蘭一間租車店以簡化模型估計某款電動自行車的每日可租數，設第
n
n
n
天可租數為
d
n
d_n
d
n
。已知
d
1
=
3
d_1=3
d
1
=
3
，且每一天的估計規則為
d
n
+
1
=
2
d
n
+
1
d_{n+1}=2d_n+1
d
n
+
1
=
2
d
n
+
1
。若店長只需要第
10
10
10
天的估計值，直接依規則遞推可得
d
10
d_{10}
d
10
為何？
‹
1
…
22
23
24
25
›
大學學科能力測驗（數學）
不等式與絕對值・二次函數與拋物線
開始練習 →
屏東某冰店做促銷，兩種配料的進貨量分別為
a
a
a
公斤與
b
b
b
公斤，且規定
a
>
0
a>0
a
>
0
、
b
>
0
b>0
b
>
0
、
a
+
b
=
18
a+b=18
a
+
b
=
18
。若當日預估成本中有一項為
a
b
ab
ab
，則
a
b
ab
ab
的最大可能值為何？
大學學科能力測驗（數學）
三角函數建模
開始練習 →
淡水河畔某觀景平台以正弦函數模擬潮位。設中午十二時後
t
t
t
小時的潮位為
h
(
t
)
h(t)
h
(
t
)
公分。觀測得潮位最高為
280
280
280
公分、最低為
160
160
160
公分，且每
12
12
12
小時完成一次週期。下午一時，也就是
t
=
1
t=1
t
=
1
時，潮位恰通過平均高度並持續上升。下列何者最適合表示
h
(
t
)
h(t)
h
(
t
)
？
大學學科能力測驗（數學）
三角比與正餘弦定理・三角函數與和差角
開始練習 →
嘉義布袋一處鹽田規劃三角形體驗區
O
A
B
OAB
O
A
B
。在平面地圖上，以正東為起始邊、逆時針為正方向；步道
O
A
OA
O
A
長
40
40
40
公尺，其方向角為
θ
\theta
θ
，已知
θ
\theta
θ
的終邊位於第二象限且
cos
θ
=
−
3
5
\cos\theta=-\frac{3}{5}
cos
θ
=
−
5
3
。另一條步道
O
B
OB
O
B
長
50
50
50
公尺，方向角為
330
∘
330^\circ
33
0
∘
。三角形體驗區
O
A
B
OAB
O
A
B
的面積為多少平方公尺？
大學學科能力測驗（數學）
三角比與正餘弦定理・函數概念與圖形變換
開始練習 →
高雄輕軌某站的候車人潮可用
P
(
t
)
=
120
+
30
sin
π
t
4
P(t)=120+30\sin\frac{\pi t}{4}
P
(
t
)
=
120
+
30
sin
4
π
t
估計，其中
t
t
t
是上午
8
8
8
點後經過的小時數，
0
≤
t
≤
8
0\le t\le 8
0
≤
t
≤
8
。若人潮至少
135
135
135
人就需加派站務員，則在這
8
8
8
小時內，需要加派站務員的總時間長度為多少小時？
大學學科能力測驗（數學）
矩陣與線性變換・遞迴數列
開始練習 →
高雄港的工程師以座標標記貨櫃的位置，並用行向量的轉置形式記錄。每個校正循環會先做水平剪切變換
H
=
(
1
1
0
1
)
H=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}
H
=
(
1
0
1
1
)
，再做水平方向伸縮變換
D
=
(
2
0
0
1
)
D=\begin{pmatrix}2&0\\0&1\end{pmatrix}
D
=
(
2
0
0
1
)
。第
n
n
n
次檢修需執行的校正循環數為
c
n
c_n
c
n
，其中
c
1
=
1
c_1=1
c
1
=
1
、
c
2
=
2
c_2=2
c
2
=
2
，且
c
n
=
2
c
n
−
1
−
c
n
−
2
c_n=2c_{n-1}-c_{n-2}
c
n
=
2
c
n
−
1
−
c
n
−
2
。每次檢修均由原始座標
(
0
1
)
\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}
(
0
1
)
重新模擬。第
4
4
4
次檢修完成全部校正循環後，該座標標記會變成下列何者？
大學學科能力測驗（數學）
三角函數與和差角・函數概念與圖形變換
開始練習 →
社團把舊版集點模型
y
=
f
(
x
)
y=f(x)
y
=
f
(
x
)
的圖形做成新版顯示
y
=
g
(
x
)
y=g(x)
y
=
g
(
x
)
，規則為
g
(
x
)
=
3
−
2
f
(
x
−
4
2
)
g(x)=3-2f\left(\frac{x-4}{2}\right)
g
(
x
)
=
3
−
2
f
(
2
x
−
4
)
。若舊圖形上有一點
P
(
3
,
−
1
)
P(3,-1)
P
(
3
,
−
1
)
，則新版圖形上與
P
P
P
對應的點為何？
大學學科能力測驗（數學）
三角函數與和差角・不等式與絕對值
開始練習 →
小芸整理悠遊卡紀錄，發現某天通勤花費
x
x
x
元需同時符合
∣
x
−
72
∣
≤
18
|x-72|\le 18
∣
x
−
72∣
≤
18
，且因搭乘折扣規則又需符合
2
x
−
150
<
30
2x-150<30
2
x
−
150
<
30
。若
x
x
x
以整數元計，則可能的
x
x
x
有幾個？
大學學科能力測驗（數學）
三角比與正餘弦定理・函數概念與圖形變換
開始練習 →
台南一座橋上的兩個同頻振動感測器合成讀數為
S
(
t
)
=
5
sin
(
π
6
t
)
+
5
3
cos
(
π
6
t
)
S(t)=5\sin\left(\frac{\pi}{6}t\right)+5\sqrt{3}\cos\left(\frac{\pi}{6}t\right)
S
(
t
)
=
5
sin
(
6
π
t
)
+
5
3
cos
(
6
π
t
)
，其中
t
t
t
以秒計，且
0
≤
t
<
12
0\le t<12
0
≤
t
<
12
。讀數第一次達到最大值時，
t
t
t
為多少秒？
大學學科能力測驗（數學）
排列組合進階・對稱與幾何變換
開始練習 →
臺南夜市某攤要在可旋轉的圓形燈架上掛
9
9
9
盞小燈，位置等距。紅燈
4
4
4
盞、藍燈
3
3
3
盞、綠燈
2
2
2
盞，同色燈完全相同。若整個燈架旋轉後看起來相同視為同一種配置，但不把翻面視為相同，問共有幾種配置？
大學學科能力測驗（數學）
三角比與正餘弦定理・函數概念與圖形變換
開始練習 →
台北捷運月台導引燈的亮度相位用
x
x
x
表示，一次循環內
0
≤
x
<
2
π
0\le x<2\pi
0
≤
x
<
2
π
。某燈條亮度模型為
I
(
x
)
=
1
+
2
sin
(
x
+
π
6
)
I(x)=1+2\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)
I
(
x
)
=
1
+
2
sin
(
x
+
6
π
)
。當亮度等於
1
+
3
1+\sqrt{3}
1
+
3
時，
x
x
x
的所有可能值為何？
大學學科能力測驗（數學）
圓的性質・畢氏定理與特殊直角三角形
開始練習 →
新竹一座圓形親水廣場的半徑為
6
6
6
公尺，圓心為
O
O
O
。工程師在圓周上選兩點
A
,
B
A,B
A
,
B
，使
∠
A
O
B
=
120
∘
\angle AOB=120^\circ
∠
A
O
B
=
12
0
∘
，並在
A
,
B
A,B
A
,
B
兩點各作切線，兩切線交於
P
P
P
。若要在
P
A
PA
P
A
與
P
B
PB
P
B
兩段切線上裝燈條，總長是多少公尺？
大學學科能力測驗（數學）
餘數循環與週期規律・最大公因數與最小公倍數
開始練習 →
台中車站前的臨時市集有三個補貨點。米食攤每
18
18
18
天補一次、茶飲攤每
24
24
24
天補一次、文創攤每
30
30
30
天補一次。某次三攤在星期四同一天補貨；下次三攤再次同一天補貨會是星期幾？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・單位換算與時間計算
開始練習 →
校園園遊會規劃一塊四邊形攤位區，平面圖的四個角依序為
A
(
1
,
1
)
A(1,1)
A
(
1
,
1
)
、
B
(
6
,
2
)
B(6,2)
B
(
6
,
2
)
、
C
(
5
,
5
)
C(5,5)
C
(
5
,
5
)
、
D
(
2
,
4
)
D(2,4)
D
(
2
,
4
)
，每
1
1
1
個坐標單位代表
2
2
2
公尺。若每平方公尺最多安排
1
1
1
人，依面積估算最多可同時安排多少人？
大學學科能力測驗（數學）
多項式與因式餘式定理・多項式函數與圖形
開始練習 →
臺中一間冷鏈物流站以
x
x
x
表示冷藏櫃內溫度與設定溫度的差值，感測器允許的範圍為
−
3
≤
x
≤
5
-3\le x\le 5
−
3
≤
x
≤
5
。系統的校正指標為首項係數是
1
1
1
的三次多項式
P
(
x
)
P(x)
P
(
x
)
。已知以
(
x
−
2
)
(
x
−
3
)
(x-2)(x-3)
(
x
−
2
)
(
x
−
3
)
除
P
(
x
)
P(x)
P
(
x
)
，所得餘式為
−
4
x
+
8
-4x+8
−
4
x
+
8
，且
P
(
−
1
)
=
0
P(-1)=0
P
(
−
1
)
=
0
。當
P
(
x
)
<
0
P(x)<0
P
(
x
)
<
0
時，系統會啟動保護模式。請問在允許範圍內，哪些
x
x
x
值會使系統啟動保護模式？
大學學科能力測驗（數學）
排列組合進階・容斥原理
開始練習 →
高雄某高中園遊會有
8
8
8
個不同攤位排成一直線，其中米粉攤與湯圓攤必須相鄰；兩個飲料攤因動線考量不可相鄰。其餘
4
4
4
個攤位沒有額外限制。問共有幾種排法？
大學學科能力測驗（數學）
三角函數與和差角・函數概念與圖形變換
開始練習 →
某校園餐車用函數
f
f
f
將排隊人數換算成等候指數，且
f
f
f
為一對一函數。已知
f
(
2
)
=
5
f(2)=5
f
(
2
)
=
5
、
f
(
6
)
=
13
f(6)=13
f
(
6
)
=
13
。新版系統把輸入先扣掉
3
3
3
人，再把指數放大並校正，定義
g
(
x
)
=
2
f
(
x
−
3
)
+
1
g(x)=2f(x-3)+1
g
(
x
)
=
2
f
(
x
−
3
)
+
1
。若新版等候指數為
27
27
27
，則對應的排隊人數
g
−
1
(
27
)
g^{-1}(27)
g
−
1
(
27
)
為多少？
大學學科能力測驗（數學）
隔板法與重複組合・容斥原理
開始練習 →
某高中園遊會準備
15
15
15
枚完全相同的抽獎貼紙，分給數學攤、英文攤、自然攤、社團攤、服務台共
5
5
5
個攤位。每個攤位至少
1
1
1
枚，其中自然攤至少
3
3
3
枚，服務台至多
4
4
4
枚。問共有幾種分法？
大學學科能力測驗（數學）
三角比與正餘弦定理・坐標幾何
開始練習 →
嘉義沿海有兩座觀測站
A
,
B
A,B
A
,
B
，
B
B
B
在
A
A
A
的正東方，且
A
B
=
200
3
AB=200\sqrt{3}
A
B
=
200
3
公尺。某風箏的位置為
T
T
T
。觀測員在
A
A
A
量到
T
T
T
的方位是北偏東
45
∘
45^\circ
4
5
∘
，在
B
B
B
量到
T
T
T
的方位是北偏西
15
∘
15^\circ
1
5
∘
。若把海岸線
A
B
AB
A
B
視為一直線，
T
T
T
到海岸線的垂直距離是多少公尺？
大學學科能力測驗（數學）
三角比與正餘弦定理
開始練習 →
台東海堤旁有兩個測量點
A
A
A
、
B
B
B
，沿直線海堤相距
300
300
300
公尺。救生浮臺
P
P
P
在海堤同一側，從
A
A
A
看
P
P
P
與方向
A
B
AB
A
B
的夾角為
75
∘
75^\circ
7
5
∘
，從
B
B
B
看
P
P
P
與方向
B
A
BA
B
A
的夾角為
45
∘
45^\circ
4
5
∘
。若繩索沿直線從
A
A
A
拉到
P
P
P
，長度為多少？
大學學科能力測驗（數學）
立體幾何・相似形與比例線段
開始練習 →
彰化燈會做一個截頭圓錐燈罩。它由一個底半徑
9
9
9
公分、高
12
12
12
公分的正圓錐，從頂端用平行底面的平面切去高
4
4
4
公分的小圓錐而成。若只在剩下燈罩的外側曲面與上方小圓口貼透明膜，不貼下方大圓口，透明膜面積為多少？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・三角比與正餘弦定理
開始練習 →
台中一處斜交廣場用兩個基底向量
u
⃗
,
v
⃗
\vec u,\vec v
u
,
v
表示地面格線，兩方向夾角為
60
∘
60^\circ
6
0
∘
，且
∣
u
⃗
∣
=
∣
v
⃗
∣
=
10
|\vec u|=|\vec v|=10
∣
u
∣
=
∣
v
∣
=
10
公尺。以
A
A
A
為原點，攤位
B
,
C
B,C
B
,
C
的位置向量分別為
B
=
6
u
⃗
B=6\vec u
B
=
6
u
、
C
=
2
u
⃗
+
6
v
⃗
C=2\vec u+6\vec v
C
=
2
u
+
6
v
。工作人員在
A
B
AB
A
B
上取
P
P
P
使
A
P
:
P
B
=
2
:
1
AP:PB=2:1
A
P
:
P
B
=
2
:
1
，在
A
C
AC
A
C
上取
Q
Q
Q
使
A
Q
:
Q
C
=
1
:
2
AQ:QC=1:2
A
Q
:
QC
=
1
:
2
。若臨時活動區為四邊形
B
P
Q
C
BPQC
B
P
QC
，其實際面積為多少平方公尺？
大學學科能力測驗（數學）
三角比與正餘弦定理・巧設未知數與一次方程應用
開始練習 →
台南鹽田木棧道旁有一座觀景塔。木棧道上兩點
A
,
B
A,B
A
,
B
與塔腳
F
F
F
在同一直線上，且順序為
A
,
B
,
F
A,B,F
A
,
B
,
F
，
A
B
=
40
AB=40
A
B
=
40
公尺。從
A
A
A
看塔頂
T
T
T
的仰角為
30
∘
30^\circ
3
0
∘
，從
B
B
B
看塔頂
T
T
T
的仰角為
45
∘
45^\circ
4
5
∘
，忽略觀測者眼高，塔高
T
F
TF
T
F
為多少公尺？
大學學科能力測驗（數學）
多項式與因式餘式定理・因式分解技巧（SFFT）
開始練習 →
台中某共享腳踏車站用多項式
P
(
x
)
=
x
4
−
2
x
3
−
4
x
2
+
10
x
−
5
P(x)=x^4-2x^3-4x^2+10x-5
P
(
x
)
=
x
4
−
2
x
3
−
4
x
2
+
10
x
−
5
估計尖峰時段車位差，
P
(
x
)
=
0
P(x)=0
P
(
x
)
=
0
代表供需平衡。站長只看整數測試點時發現
P
(
1
)
=
0
P(1)=0
P
(
1
)
=
0
，下列關於平衡點與正負的敘述何者正確？
大學學科能力測驗（數學）
二次函數與拋物線・坐標幾何
開始練習 →
台南老街入口有一座拱門，側面內緣可用座標模型
y
=
−
x
2
+
6
x
−
5
y=-x^2+6x-5
y
=
−
x
2
+
6
x
−
5
表示，單位為公尺，地面為
y
=
0
y=0
y
=
0
。策展人要在高度
k
k
k
公尺處水平掛一條燈帶，燈帶與拱門內緣的兩個固定點水平距離剛好為
2
2
2
公尺。
k
k
k
應為多少？
大學學科能力測驗（數學）
圓的性質・角度追蹤
開始練習 →
台南某圓形市集在邊緣設了四個燈點
A
A
A
、
B
B
B
、
C
C
C
、
D
D
D
，依序在同一圓周上。工作人員測得
∠
A
B
C
=
102
∘
\angle ABC=102^\circ
∠
A
B
C
=
10
2
∘
，且
∠
C
A
D
=
33
∘
\angle CAD=33^\circ
∠
C
A
D
=
3
3
∘
。若要調整從
C
C
C
指向
D
D
D
與
A
A
A
的燈束夾角，則
∠
D
C
A
\angle DCA
∠
D
C
A
應為多少？
大學學科能力測驗（數學）
三角比與正餘弦定理
開始練習 →
海巡人員在筆直海堤上取兩點
A
A
A
、
B
B
B
，兩點相距
100
100
100
公尺。從
A
A
A
觀測海上浮標
T
T
T
，視線與
A
B
AB
A
B
的夾角為
45
∘
45^\circ
4
5
∘
；從
B
B
B
觀測
T
T
T
，視線與
B
A
BA
B
A
的夾角為
60
∘
60^\circ
6
0
∘
。若三點在同一水平面上，則
B
B
B
到浮標
T
T
T
的距離為多少？
大學學科能力測驗（數學）
圓的性質・畢氏定理與特殊直角三角形
開始練習 →
社區圓形花圃半徑為
13
13
13
公尺，兩條平行步道在花圃邊界上分別留下弦
A
B
AB
A
B
與弦
C
D
CD
C
D
。已知
A
B
=
24
AB=24
A
B
=
24
公尺、
C
D
=
10
CD=10
C
D
=
10
公尺，且兩條步道位在圓心
O
O
O
的相反兩側，則兩條步道之間的距離為多少？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・立體幾何
開始練習 →
臺南一所學校在屋頂裝三角形太陽能板，三個固定點在空間座標為
A
(
1
,
2
,
3
)
A(1,2,3)
A
(
1
,
2
,
3
)
、
B
(
5
,
2
,
4
)
B(5,2,4)
B
(
5
,
2
,
4
)
、
C
(
2
,
6
,
5
)
C(2,6,5)
C
(
2
,
6
,
5
)
，單位公尺。維修吊點
D
(
3
,
3
,
8
)
D(3,3,8)
D
(
3
,
3
,
8
)
要垂直降到太陽能板所在平面。若忽略吊鉤大小，吊點到該平面的最短距離為何？
大學學科能力測驗（數學）
立體幾何・面積切割與補形
開始練習 →
新竹一間木工社做一個長方體展示座，尺寸為長
8
8
8
公分、寬
7
7
7
公分、高
6
6
6
公分。從同一個角
O
O
O
出發，沿長、寬、高三條棱分別量到
A
A
A
、
B
B
B
、
C
C
C
，其中
O
A
=
4
OA=4
O
A
=
4
公分、
O
B
=
3
OB=3
O
B
=
3
公分、
O
C
=
6
OC=6
O
C
=
6
公分，再用通過
A
,
B
,
C
A,B,C
A
,
B
,
C
的平面把角
O
O
O
切掉。切割後剩下立體的表面積為多少平方公分？