MathMagic
Contest
台灣升學
目前：國際競賽
賽事
知識點
練習題
訂閱方案
台灣升學
目前：國際競賽
練習題庫
所有題目皆為原創擬真題，附繁中完整詳解。標有「免登入試做」的題不用登入就能做；登入後每日可免費練習 5 題。
更多篩選
年級 · 競賽 · 難度 · 知識點
▾
年級
全部
國中
高中
綜合
競賽
全部國際競賽
AMC 8
AMC 10
AMC 12
AIME
CEMC 滑鐵盧數學競賽
難度
全部
易
中
難
知識點
所有知識點（91）
整數四則與運算順序
位值、概數與估算
單位換算與時間計算
分數與小數運算
數論基礎（整除、質因數、餘數）
質因數分解與標準分解式
最大公因數與最小公倍數
餘數循環與週期規律
進位制與位數表示
數字與位數問題
整數解與不定方程
模運算與同餘
中國剩餘定理
因數個數與因數和
階乘的質因數次數
代數技巧（方程、不等式、數列）
巧設未知數與一次方程應用
等差數列與規律延伸
對稱式與代數恆等式
因式分解技巧（SFFT）
速率與工作問題
一次函數與圖形
指數與根式
二次函數與拋物線
多項式與因式餘式定理
不等式與絕對值
比例、速率與百分比
對數
複數
等比數列與無窮級數
函數概念與圖形變換
高斯取整函數
望遠鏡級數與裂項
遞迴數列
指數函數與指數方程
對數函數與對數方程
多項式函數與圖形
數列與級數
矩陣與線性變換
複數與多項式方程
幾何：角度與面積
角度追蹤
面積切割與補形
相似形與比例線段
畢氏定理與特殊直角三角形
幾何推理與證明
圓的性質
多邊形與正多邊形
立體幾何
坐標幾何
三角比與正餘弦定理
對稱與幾何變換
圓冪定理
圓錐曲線（截痕概念）
平面上的比例
二次曲線標準式
計數與機率
加法與乘法原理
系統列舉與分類討論
基礎機率
排列組合進階
容斥原理
期望值
幾何機率
遞迴與路徑計數
鴿籠原理與最壞情況
奇偶性與不變量
隔板法與重複組合
條件機率與貝氏
條件機率與貝氏定理
離散隨機變數
二項分布
幾何分布
邏輯推理與規律
統計圖表與資料判讀
平均數與加權平均
二維數據與相關
三角比與正餘弦定理
三角函數與和差角
三角函數建模
平面向量
空間向量
空間中的直線與平面
數列極限與收斂
無窮等比級數
函數極限與連續
導函數與微分法
微分應用（極值與圖形）
黎曼和與定積分
積分應用（面積與體積）
數線與絕對值
共
636
題
・第 20／22 頁
AIME
三角比與正餘弦定理・圓的性質
開始練習 →
台南夜市攤位示意圖中，從路口
A
A
A
到兩攤
B
,
C
B,C
B
,
C
的直線距離分別為
12
12
12
公尺與
6
6
6
公尺，且
∠
B
A
C
=
120
∘
\angle BAC=120^\circ
∠
B
A
C
=
12
0
∘
。攤車連線
B
C
BC
B
C
上有兩個掛燈點
D
,
E
D,E
D
,
E
，其中
∠
B
A
D
=
30
∘
\angle BAD=30^\circ
∠
B
A
D
=
3
0
∘
，且
A
E
AE
A
E
垂直於
A
B
AB
A
B
。設通過
A
,
D
,
E
A,D,E
A
,
D
,
E
的圓半徑為
R
R
R
。若
R
2
=
m
n
R^2=\frac{m}{n}
R
2
=
n
m
為最簡分數，求
m
+
n
m+n
m
+
n
。
‹
1
…
19
20
21
22
›
AMC 8
邏輯推理與規律・巧設未知數與一次方程應用
開始練習 →
校園園遊會的飲料分小杯、中杯、大杯，三種價格成等差，且大杯比小杯貴
20
20
20
元。某班一次買了
4
4
4
杯小杯、
6
6
6
杯中杯、
5
5
5
杯大杯，共付
715
715
715
元。中杯一杯多少元？
AIME
中國剩餘定理・模運算與同餘
開始練習 →
台南轉運站旁的飲料店把第
j
j
j
張收據的檢查值設為
2
j
+
1
2j+1
2
j
+
1
。某天從
j
=
0
j=0
j
=
0
到
j
=
998
j=998
j
=
998
共
999
999
999
張收據，結帳機的日終碼
C
C
C
定義為下列整數除以
1000
1000
1000
的餘數：
∑
j
=
0
998
(
2
j
+
1
)
2026
\sum_{j=0}^{998}(2j+1)^{2026}
∑
j
=
0
998
(
2
j
+
1
)
2026
。求
C
C
C
。
AMC 8
多邊形與正多邊形・對稱與幾何變換
開始練習 →
台南燈會的紙窗花是正
n
n
n
邊形。設計規定：每個內角比中心角的
4
4
4
倍還多
30
∘
30^\circ
3
0
∘
。這個窗花有幾條對稱軸？
AIME
複數・多項式與因式餘式定理
開始練習 →
台南花園夜市的燈飾設計圖畫在複數平面上。第
k
k
k
盞燈的位置為
L
k
=
3
+
2
i
+
(
1
−
i
)
ζ
k
L_k=3+2i+(1-i)\zeta^k
L
k
=
3
+
2
i
+
(
1
−
i
)
ζ
k
，其中
k
=
0
,
1
,
…
,
8
k=0,1,\ldots,8
k
=
0
,
1
,
…
,
8
，且
ζ
=
cos
2
π
9
+
i
sin
2
π
9
\zeta=\cos\frac{2\pi}{9}+i\sin\frac{2\pi}{9}
ζ
=
cos
9
2
π
+
i
sin
9
2
π
。攤位
P
P
P
的位置是
6
+
i
6+i
6
+
i
。設
N
=
∏
k
=
1
8
∣
P
−
L
k
∣
2
N=\prod_{k=1}^{8}|P-L_k|^2
N
=
∏
k
=
1
8
∣
P
−
L
k
∣
2
。求
N
N
N
除以
1000
1000
1000
的餘數。
AMC 12
高斯取整函數・餘數循環與週期規律
開始練習 →
台南某間文具店設計會員點數調整制度，消費與退貨都可能使點數變動。對於整數淨變動量
n
n
n
，店家比較兩種計算方式：甲方式記錄
⌊
n
7
⌋
+
⌊
n
11
⌋
\left\lfloor\frac{n}{7}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{n}{11}\right\rfloor
⌊
7
n
⌋
+
⌊
11
n
⌋
點，乙方式記錄
⌊
18
n
77
⌋
\left\lfloor\frac{18n}{77}\right\rfloor
⌊
77
18
n
⌋
點。其中，
⌊
x
⌋
\lfloor x\rfloor
⌊
x
⌋
表示不大於
x
x
x
的最大整數，負的記錄值表示扣點。若逐一測試所有滿足
−
19
≤
n
≤
2006
-19\le n\le 2006
−
19
≤
n
≤
2006
的整數，共有多少個測試值會使兩種方式記錄的點數相同？
AMC 8
鴿籠原理與最壞情況
開始練習 →
夜市遊戲攤的每張兌獎券都印有
6
6
6
種圖案之一，並使用
4
4
4
種底色之一。至少收集多少張兌獎券，才能保證「有至少
3
3
3
張圖案相同」或「有至少
4
4
4
張底色相同」其中一件事發生？
AMC 10
整數解與不定方程・因式分解技巧（SFFT）
開始練習 →
台中一間早餐店把每週兩項庫存調整量記為整數
x
,
y
x,y
x
,
y
，其中調整量可為負數或
0
0
0
。為了讓自動補貨表通過檢查，必須同時滿足
−
35
≤
x
≤
60
-35\le x\le 60
−
35
≤
x
≤
60
、
−
20
≤
y
≤
80
-20\le y\le 80
−
20
≤
y
≤
80
，且
1
x
+
4
+
1
y
−
3
=
1
18
\frac{1}{x+4}+\frac{1}{y-3}=\frac{1}{18}
x
+
4
1
+
y
−
3
1
=
18
1
，其中分母需有意義。共有幾組有序整數對
(
x
,
y
)
(x,y)
(
x
,
y
)
可以通過檢查？
AMC 8
指數與根式・質因數分解與標準分解式
開始練習 →
台中一間招牌店把燈箱設計稿的縮放量記為
r
=
8316
21
r=\frac{\sqrt{8316}}{\sqrt{21}}
r
=
21
8316
。將
r
r
r
化為最簡根式後，下列何者正確？
AMC 8
因數個數與因數和・質因數分解與標準分解式
開始練習 →
花蓮一間伴手禮店以正整數
N
N
N
編排貨架，已知
N
=
2
a
×
3
b
×
5
N=2^a\times3^b\times5
N
=
2
a
×
3
b
×
5
，其中
a
a
a
、
b
b
b
都是正整數。若
N
N
N
恰有
24
24
24
個正因數，且
N
15
\frac{N}{15}
15
N
是完全平方數，則
N
N
N
為何？
AMC 8
系統列舉與分類討論
開始練習 →
珍珠奶茶店要把
7
7
7
張杯套貼紙排成一列，其中茶色貼紙
3
3
3
張、芒果色貼紙
2
2
2
張、海鹽色貼紙
2
2
2
張。同色貼紙只看顏色不分彼此，要求兩張芒果色貼紙不相鄰，且最左邊不能是海鹽色。共有幾種不同色序？
AMC 8
系統列舉與分類討論
開始練習 →
嘉義公車集章活動的票號從
1
1
1
到
200
200
200
。若一個票號的十進位表示中不出現數字
0
0
0
，且任兩個相鄰數字的差至少為
2
2
2
，則這樣的票號共有幾個？
AMC 10
遞迴與路徑計數・容斥原理
開始練習 →
彰化一個棋盤狀巷弄以座標表示交叉路口。阿凱從早餐店
S
=
(
0
,
0
)
S=(0,0)
S
=
(
0
,
0
)
走到飲料店
T
=
(
9
,
7
)
T=(9,7)
T
=
(
9
,
7
)
，每一步只能向東或向北走一格，且必須走最短路徑。施工中的三個路口
A
=
(
3
,
2
)
A=(3,2)
A
=
(
3
,
2
)
、
B
=
(
5
,
4
)
B=(5,4)
B
=
(
5
,
4
)
、
C
=
(
7
,
5
)
C=(7,5)
C
=
(
7
,
5
)
不能經過。共有多少種走法？
AMC 12
對數函數與對數方程・代數技巧（方程、不等式、數列）
開始練習 →
台中某高中數學社設計校慶闖關題。對正實數
x
≠
1
x\ne 1
x
=
1
，令
t
=
log
2
x
+
log
x
2
t=\log_2 x+\log_x 2
t
=
lo
g
2
x
+
lo
g
x
2
。若解鎖條件為
log
3
(
t
2
−
6
t
+
5
)
+
log
3
(
t
2
−
6
t
+
7
)
=
1
\log_3(t^2-6t+5)+\log_3(t^2-6t+7)=1
lo
g
3
(
t
2
−
6
t
+
5
)
+
lo
g
3
(
t
2
−
6
t
+
7
)
=
1
，將所有符合條件的
x
x
x
所對應的
(
log
2
x
)
2
(\log_2 x)^2
(
lo
g
2
x
)
2
相加，結果為何？
AMC 12
遞迴與路徑計數・容斥原理
開始練習 →
台中柳川旁有一片棋盤式巷弄，阿澤從咖啡店
S
=
(
0
,
0
)
S=(0,0)
S
=
(
0
,
0
)
走到甜點店
T
=
(
9
,
6
)
T=(9,6)
T
=
(
9
,
6
)
。每次只能向東或向北走一個街口，因此走到
T
T
T
的路線都是最短路線。現在三個路口
P
=
(
3
,
2
)
P=(3,2)
P
=
(
3
,
2
)
、
Q
=
(
6
,
4
)
Q=(6,4)
Q
=
(
6
,
4
)
、
R
=
(
5
,
1
)
R=(5,1)
R
=
(
5
,
1
)
正在施工，不能經過。阿澤共有多少種最短走法？
AMC 12
遞迴數列・質因數分解與標準分解式
開始練習 →
台南某夜市攤位設計了一款數字闖關遊戲。遊戲使用數列
a
0
,
a
1
,
a
2
,
…
a_0,a_1,a_2,\ldots
a
0
,
a
1
,
a
2
,
…
，其中
a
0
=
1
a_0=1
a
0
=
1
、
a
1
=
6
a_1=6
a
1
=
6
，且對所有非負整數
n
n
n
，都有
a
n
+
2
=
6
a
n
+
1
−
9
a
n
a_{n+2}=6a_{n+1}-9a_n
a
n
+
2
=
6
a
n
+
1
−
9
a
n
。編號從
1
1
1
到
2026
2026
2026
的關卡中，若
a
n
a_n
a
n
是完全平方數，第
n
n
n
關就被標為獎勵關。這些關卡中共有多少個獎勵關？
AMC 8
質因數分解與標準分解式
開始練習 →
新竹一間米店有
7560
7560
7560
包試吃米，店員想把包數增加為原來的
k
k
k
倍，使總包數
7560
k
7560k
7560
k
成為完全平方數。若
k
k
k
為正整數，則最小的
k
k
k
是多少？
AMC 8
系統列舉與分類討論
開始練習 →
新竹夜市炸物攤把抽籤牌編成三位數。號碼的三個數字互不相同，三個數字和為
12
12
12
，號碼是
6
6
6
的倍數，且百位數字小於個位數字。共有幾個這樣的號碼？
AMC 8
因數個數與因數和・質因數分解與標準分解式
開始練習 →
台中一間社團要把
360
n
360n
360
n
顆徽章排成正方形陣列，且希望這個總數剛好有
75
75
75
個正因數。若
n
n
n
是滿足條件的最小正整數，則
n
n
n
等於多少？
AMC 8
數字與位數問題・數論基礎（整除、質因數、餘數）
開始練習 →
花蓮早餐店的取餐號是一個三位數
N
N
N
，百位、十位、個位數字互不相同。把
N
N
N
的三個數字倒過來後仍是三位數，且
N
N
N
比倒過來的數大
297
297
297
；又知
N
N
N
是
9
9
9
的倍數。所有可能的
N
N
N
相加是多少？
AMC 8
因數個數與因數和・質因數分解與標準分解式
開始練習 →
台南廟會準備了
453600
453600
453600
張祈福卡。若每袋裝相同張數且恰好裝完，則每一個正因數都代表一種可能的每袋張數。共有多少種不同的裝袋方式？
AMC 8
多邊形與正多邊形
開始練習 →
佳佳設計了一個拼貼圖案，只使用正六邊形和正方形。她想讓這些多邊形在某個點完美接合，不留任何空隙也不重疊。請問，如果一個點周圍已經放置了
1
1
1
個正六邊形，且最後仍要完美接合，那麼在同一個點周圍還必須再放置幾個正六邊形？
AMC 8
鴿籠原理與最壞情況
開始練習 →
飲料店當日發票的整數金額可能是
1
1
1
元到
41
41
41
元。至少選出多少個互不相同的金額，才能保證其中有兩個不同金額的和為
42
42
42
元？
AMC 10
排列組合進階・容斥原理
開始練習 →
台南夜市某攤把甜點口味貼紙貼在圓形轉盤邊緣的
11
11
11
個等距位置上，其中芋頭記為
T
T
T
有
4
4
4
張，抹茶記為
M
M
M
有
3
3
3
張，花生記為
P
P
P
有
2
2
2
張，芝麻記為
S
S
S
有
2
2
2
張；同口味貼紙視為相同。要求兩張芝麻必須相鄰，任意兩張芋頭不得相鄰，且兩張花生不得相鄰。只因旋轉而相同的貼法視為同一種，左右翻面不視為同一種。共有幾種貼法？
AMC 8
系統列舉與分類討論・加法與乘法原理
開始練習 →
某間台南文創店的鑰匙圈編號有
4
4
4
位，依序記為
a
,
b
,
c
,
d
a,b,c,d
a
,
b
,
c
,
d
。每一位都從
1
1
1
到
7
7
7
選出，且四個數字互不相同。若編號滿足
a
+
b
=
c
+
d
a+b=c+d
a
+
b
=
c
+
d
且
a
<
d
a<d
a
<
d
，共有幾個不同編號？
AMC 8
餘數循環與週期規律・數論基礎（整除、質因數、餘數）
開始練習 →
高雄夜市的飲料杯有數字碼與顏色標籤。第
1
1
1
杯的數字碼是
0
0
0
，之後每一杯的數字碼沿著
0
0
0
到
6
6
6
的圓環順時針移動，步數依序為
1
,
2
,
4
,
1
1,2,4,1
1
,
2
,
4
,
1
並不斷重複；顏色則依序為紅、藍、綠、黃、白並不斷重複，第
1
1
1
杯是紅色。第一杯杯號大於
2026
2026
2026
，且數字碼為
3
3
3
、顏色為綠色的是第幾杯？
AMC 8
計數與機率・系統列舉與分類討論
開始練習 →
台南夜市有一個丟圈圈遊戲，每圈若套中不同區域可得
4
4
4
分、
7
7
7
分或
9
9
9
分。小榆恰好丟
5
5
5
圈，且每圈都套中某一區域。她最後的總分可能有多少種不同數值？
AMC 12
圓冪定理・圓的性質
開始練習 →
如圖，某社區規劃一座直角三角形庭園，
∠
A
C
B
=
90
∘
\angle ACB=90^\circ
∠
A
C
B
=
9
0
∘
，
C
A
=
15
CA=15
C
A
=
15
公尺、
C
B
=
20
CB=20
C
B
=
20
公尺。庭園的內切圓與
A
B
AB
A
B
相切於
D
D
D
；射線
C
D
CD
C
D
與三角形的外接圓再次相交於
P
P
P
。從
P
P
P
向內切圓作切線，切點為
T
T
T
。若各線段長度均以公尺為單位，則
P
T
2
PT^2
P
T
2
等於多少？
AMC 8
系統列舉與分類討論
開始練習 →
台北市立圖書館在六月舉辦閱讀打卡，小安要選三個不同日期，依早到晚記為
a
<
b
<
c
a<b<c
a
<
b
<
c
。三個日期的和為
42
42
42
，且最晚日期與最早日期相差不超過
10
10
10
天。共有幾種選法？
AIME
高斯取整函數・模運算與同餘
開始練習 →
淡水夜市有一台集點機，對每個正整數
n
n
n
定義驗證碼
C
(
n
)
C(n)
C
(
n
)
為
C
(
n
)
=
∑
k
=
0
46
⌊
3
n
+
19
k
−
5
47
⌋
+
∑
k
=
0
42
⌊
2
n
+
17
k
+
8
43
⌋
C(n)=\sum_{k=0}^{46}\left\lfloor\frac{3n+19k-5}{47}\right\rfloor+\sum_{k=0}^{42}\left\lfloor\frac{2n+17k+8}{43}\right\rfloor
C
(
n
)
=
∑
k
=
0
46
⌊
47
3
n
+
19
k
−
5
⌋
+
∑
k
=
0
42
⌊
43
2
n
+
17
k
+
8
⌋
。 若
1
≤
n
≤
900
1\le n\le 900
1
≤
n
≤
900
，且
n
+
30
n+30
n
+
30
整除
C
(
n
)
C(n)
C
(
n
)
，求所有符合條件的
n
n
n
之和。