MathMagic
Contest
目前：台灣升學
國際競賽
知識點
練習題
訂閱方案
目前：台灣升學
國際競賽
練習題庫
所有題目皆為原創擬真題，附繁中完整詳解。未登入可試做 Demo 題；登入後每日可免費練習 5 題。
更多篩選
年級 · 競賽 · 難度 · 知識點
▾
年級
全部
高中
國中
競賽
全部台灣升學
大學學科能力測驗（數學）
國中教育會考
難度
全部
易
中
難
知識點
所有知識點（91）
整數四則與運算順序
位值、概數與估算
單位換算與時間計算
分數與小數運算
數論基礎（整除、質因數、餘數）
質因數分解與標準分解式
最大公因數與最小公倍數
餘數循環與週期規律
進位制與位數表示
數字與位數問題
整數解與不定方程
模運算與同餘
中國剩餘定理
因數個數與因數和
階乘的質因數次數
代數技巧（方程、不等式、數列）
巧設未知數與一次方程應用
等差數列與規律延伸
對稱式與代數恆等式
因式分解技巧（SFFT）
速率與工作問題
一次函數與圖形
指數與根式
二次函數與拋物線
多項式與因式餘式定理
不等式與絕對值
比例、速率與百分比
對數
複數
等比數列與無窮級數
函數概念與圖形變換
高斯取整函數
望遠鏡級數與裂項
遞迴數列
指數函數與指數方程
對數函數與對數方程
多項式函數與圖形
數列與級數
矩陣與線性變換
複數與多項式方程
幾何：角度與面積
角度追蹤
面積切割與補形
相似形與比例線段
畢氏定理與特殊直角三角形
幾何推理與證明
圓的性質
多邊形與正多邊形
立體幾何
坐標幾何
三角比與正餘弦定理
對稱與幾何變換
圓冪定理
圓錐曲線（截痕概念）
平面上的比例
二次曲線標準式
計數與機率
加法與乘法原理
系統列舉與分類討論
基礎機率
排列組合進階
容斥原理
期望值
幾何機率
遞迴與路徑計數
鴿籠原理與最壞情況
奇偶性與不變量
隔板法與重複組合
條件機率與貝氏
條件機率與貝氏定理
離散隨機變數
二項分布
幾何分布
邏輯推理與規律
統計圖表與資料判讀
平均數與加權平均
二維數據與相關
三角比與正餘弦定理
三角函數與和差角
三角函數建模
平面向量
空間向量
空間中的直線與平面
數列極限與收斂
無窮等比級數
函數極限與連續
導函數與微分法
微分應用（極值與圖形）
黎曼和與定積分
積分應用（面積與體積）
數線與絕對值
共
1383
題
・第 27／47 頁
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・平面向量
開始練習 →
如圖，某自行車道座標圖中，休息站位於
A
(
−
3
,
2
)
A(-3,2)
A
(
−
3
,
2
)
與
B
(
5
,
4
)
B(5,4)
B
(
5
,
4
)
，補給站
C
(
t
,
−
1
)
C(t,-1)
C
(
t
,
−
1
)
位於縱軸右側。若連接
C
C
C
與兩休息站的道路互相垂直，則
t
t
t
的值為何？
‹
1
…
26
27
28
…
47
›
大學學科能力測驗（數學）
最大公因數與最小公倍數・中國剩餘定理
開始練習 →
某社區的甲、乙、丙三位保全皆在今天星期四休假。甲連續工作
3
3
3
天後休假
1
1
1
天，乙連續工作
5
5
5
天後休假
1
1
1
天，丙連續工作
8
8
8
天後休假
1
1
1
天，三人皆依各自規律循環。自今天之後，第一次再度三人同日休假且當天為星期一，是幾天後？
大學學科能力測驗（數學）
幾何：角度與面積・比例、速率與百分比
開始練習 →
如圖，某正方形屋頂花圃整建後仍為正方形，新邊長比原邊長增加原邊長的
1
5
\frac{1}{5}
5
1
。若整建後新增的面積為
396
396
396
平方公尺，則花圃原來的邊長為多少公尺？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・圓的性質
開始練習 →
校園廣場上有一個圓形噴水池，施工圖上的圓方程式為
x
2
+
y
2
−
8
x
+
6
y
−
11
=
0
x^2+y^2-8x+6y-11=0
x
2
+
y
2
−
8
x
+
6
y
−
11
=
0
，單位為公尺。若要在圓心插一支維修標示牌，標示牌的位置與噴水池半徑分別為何？
大學學科能力測驗（數學）
望遠鏡級數與裂項・指數與根式
開始練習 →
某校健走活動依序設置
50
50
50
個補水站，統計表中的一項指標為
T
=
∑
k
=
1
50
1
2
k
−
1
+
2
k
+
1
T=\displaystyle\sum_{k=1}^{50}\frac{1}{\sqrt{2k-1}+\sqrt{2k+1}}
T
=
k
=
1
∑
50
2
k
−
1
+
2
k
+
1
1
。求
T
T
T
的值。
大學學科能力測驗（數學）
指數與根式・指數函數與指數方程
開始練習 →
已知正數
a
,
b
,
c
a,b,c
a
,
b
,
c
滿足
9
a
=
27
b
=
3
2
c
9^a=27^b=3^{2c}
9
a
=
2
7
b
=
3
2
c
，且
1
a
+
1
b
+
1
c
=
7
6
\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{7}{6}
a
1
+
b
1
+
c
1
=
6
7
，則
27
a
⋅
9
b
⋅
81
c
27^a\cdot 9^b\cdot 81^c
2
7
a
⋅
9
b
⋅
8
1
c
的值為何？
大學學科能力測驗（數學）
因式分解技巧（SFFT）・代數技巧（方程、不等式、數列）
開始練習 →
將
2
x
2
y
−
5
x
y
−
3
y
−
3
x
2
+
18
x
−
27
2x^2y-5xy-3y-3x^2+18x-27
2
x
2
y
−
5
x
y
−
3
y
−
3
x
2
+
18
x
−
27
完全因式分解，結果為何？
國中教育會考
對稱式與代數恆等式
開始練習 →
阿哲整理悠遊卡消費紀錄，發現某兩天的消費金額分別為
x
x
x
元與
y
y
y
元，且
x
+
y
=
120
x+y=120
x
+
y
=
120
、
x
y
=
3500
xy=3500
x
y
=
3500
。他想知道兩天消費金額相差多少元，應為下列何者？
大學學科能力測驗（數學）
三角函數建模・三角比與正餘弦定理
開始練習 →
高雄某校要測量旗竿高度。學生在與旗竿底端
B
B
B
同一直線的地面點
A
A
A
測得旗竿頂端仰角為
60
∘
60^\circ
6
0
∘
，再沿遠離旗竿的方向走到點
C
C
C
，測得仰角為
30
∘
30^\circ
3
0
∘
。已知
A
C
=
20
AC=20
A
C
=
20
公尺，且地面水平、儀器高度忽略不計，則旗竿高度為多少公尺？
大學學科能力測驗（數學）
因式分解技巧（SFFT）
開始練習 →
設
Q
(
x
)
=
(
x
2
−
2
x
)
3
−
9
(
x
2
−
2
x
)
Q(x)=(x^2-2x)^3-9(x^2-2x)
Q
(
x
)
=
(
x
2
−
2
x
)
3
−
9
(
x
2
−
2
x
)
。將
Q
(
x
)
Q(x)
Q
(
x
)
在整係數範圍內完全因式分解後，若一次不可約因式有
m
m
m
個、二次不可約因式有
n
n
n
個，且重複因式照次數計，則
(
m
,
n
)
(m,n)
(
m
,
n
)
為何？
大學學科能力測驗（數學）
三角函數與和差角・函數概念與圖形變換
開始練習 →
台北捷運月台測試儀器的週期校正讀值可用函數
y
=
6
tan
(
a
x
−
9
)
+
11
y=6\tan(ax-9)+11
y
=
6
tan
(
a
x
−
9
)
+
11
描述，其中
x
x
x
的單位為秒。已知此函數的最小正週期為
7
π
2
\frac{7\pi}{2}
2
7
π
秒，且
a
<
0
a<0
a
<
0
，則
a
a
a
為何？
大學學科能力測驗（數學）
相似形與比例線段・畢氏定理與特殊直角三角形
開始練習 →
如圖，校慶布置使用直角三角形支架
△
P
Q
R
\triangle PQR
△
P
QR
，其中
∠
P
R
Q
=
90
∘
\angle PRQ=90^\circ
∠
P
R
Q
=
9
0
∘
。支架內的補強桿
R
S
RS
R
S
垂直於斜邊
P
Q
PQ
P
Q
，已知
P
R
=
15
c
m
PR=15\,\mathrm{cm}
P
R
=
15
cm
、
R
S
=
12
c
m
RS=12\,\mathrm{cm}
R
S
=
12
cm
，則
R
Q
RQ
R
Q
的長度為何？
大學學科能力測驗（數學）
圓的性質・畢氏定理與特殊直角三角形
開始練習 →
如圖，某圓形廣場的圓心為
O
O
O
，半徑為
10
10
10
公尺，
A
A
A
為圓周上一點。廣場旁的攤位位於
B
B
B
點，測得
A
B
=
24
AB=24
A
B
=
24
公尺、
O
B
=
26
OB=26
O
B
=
26
公尺。關於直線
A
B
AB
A
B
與圓的位置關係，下列何者正確？
大學學科能力測驗（數學）
對數・數字與位數問題
開始練習 →
某雲端備份系統可使用的檔案編號總數為正整數
x
x
x
。已知
70
<
log
2
x
<
70.5
70<\log_2 x<70.5
70
<
lo
g
2
x
<
70.5
，且
log
2
≈
0.3010
\log 2\approx0.3010
lo
g
2
≈
0.3010
，則
x
x
x
是幾位數？
大學學科能力測驗（數學）
二次函數與拋物線
開始練習 →
台中某共享機車公司推出短程租借方案。租借
t
t
t
小時的優惠費用可用
C
(
t
)
=
20
t
2
−
120
t
+
260
C(t)=20t^2-120t+260
C
(
t
)
=
20
t
2
−
120
t
+
260
表示，單位為元，且
0
≤
t
≤
5
0\le t\le 5
0
≤
t
≤
5
。小安想知道費用是否可能低於
100
100
100
元。下列判斷何者正確？
大學學科能力測驗（數學）
排列組合進階
開始練習 →
嘉義某咖啡攤把
6
6
6
張圓形口味貼紙貼在圓桌邊緣等距位置，貼紙顏色為
2
2
2
張紅色、
2
2
2
張藍色、
1
1
1
張黃色、
1
1
1
張綠色。同一種貼法若只是整個圓桌旋轉後相同，視為同一種；翻面看到的順序不同，視為不同種。共有幾種貼法？
大學學科能力測驗（數學）
面積切割與補形
開始練習 →
如圖，高雄某公園有一塊四邊形鋪面
A
B
C
D
ABCD
A
B
C
D
。
E
E
E
、
F
F
F
、
G
G
G
、
H
H
H
分別為
A
B
AB
A
B
、
B
C
BC
B
C
、
C
D
CD
C
D
、
D
A
DA
D
A
的中點；
P
P
P
、
Q
Q
Q
、
R
R
R
、
S
S
S
又分別為
E
F
EF
E
F
、
F
G
FG
F
G
、
G
H
GH
G
H
、
H
E
HE
H
E
的中點。若四邊形
P
Q
R
S
PQRS
P
QR
S
的面積為
27
m
2
27\,\mathrm{m}^2
27
m
2
，則鋪面
A
B
C
D
ABCD
A
B
C
D
的面積為何？
大學學科能力測驗（數學）
指數與根式
開始練習 →
雷射切割機以直式開平方法計算正方形壓克力價牌的邊長，被開方數為
0.05363856
0.05363856
0.05363856
。計算時已依序使用
05
05
05
與
36
36
36
兩組，為求商的後續各位，接下來應依序放下哪幾組數字？
大學學科能力測驗（數學）
指數與根式・不等式與絕對值
開始練習 →
夜市攤商製作兩款正方形杯墊，甲、乙的邊長（公分）分別為
x
=
13
−
3
x=\sqrt{13}-3
x
=
13
−
3
與
y
=
4
−
13
y=4-\sqrt{13}
y
=
4
−
13
。下列敘述何者正確？
大學學科能力測驗（數學）
立體幾何
開始練習 →
飲料攤有甲、乙兩個長方體盛水盒。甲盒內底長
8
8
8
公分、寬
5
5
5
公分，原有水深
2
2
2
公分；乙盒內底長
6
6
6
公分、寬
5
5
5
公分，原有水深
4
4
4
公分。將乙盒中的水全部倒入甲盒，且沒有水灑出，甲盒此時的水深為多少公分？
大學學科能力測驗（數學）
數線與絕對值・系統列舉與分類討論
開始練習 →
如圖，夜市直線型步道以入口
O
O
O
為座標原點，服務台
P
P
P
的座標為
2
2
2
。攤位
A
A
A
與
P
P
P
的距離為
6
6
6
公尺，將
A
A
A
的可能位置由左至右標為
A
1
A_1
A
1
、
A
2
A_2
A
2
。指示牌
B
B
B
與
A
A
A
的距離為
3
3
3
公尺。下列何者完整記錄所有可能位置及其對應關係？
大學學科能力測驗（數學）
相似形與比例線段・畢氏定理與特殊直角三角形
開始練習 →
如圖，公園中的步道邊界為四邊形
A
B
C
D
ABCD
A
B
C
D
，且
A
C
‾
=
12
\overline{AC}=12
A
C
=
12
公尺、
B
D
‾
=
16
\overline{BD}=16
B
D
=
16
公尺，兩條對角線互相垂直。
E
,
F
,
G
,
H
E,F,G,H
E
,
F
,
G
,
H
依序為
A
B
‾
,
B
C
‾
,
C
D
‾
,
D
A
‾
\overline{AB},\overline{BC},\overline{CD},\overline{DA}
A
B
,
B
C
,
C
D
,
D
A
的中點，則
E
G
‾
\overline{EG}
E
G
的長度為何？
大學學科能力測驗（數學）
對數函數與對數方程
開始練習 →
高雄某高中科展小組以兩筆資料定義
x
x
x
、
y
y
y
：
log
(
x
−
1
)
=
2
\log(x-1)=2
lo
g
(
x
−
1
)
=
2
，且
log
2
(
y
+
1
)
=
3
\log_2(y+1)=3
lo
g
2
(
y
+
1
)
=
3
。則
x
−
y
x-y
x
−
y
的值為何？
大學學科能力測驗（數學）
圓的性質・角度追蹤
開始練習 →
嘉義文化公園有一座圓形水池，圓心為
O
O
O
。水池邊緣上有三個標記點
A
,
B
,
C
A,B,C
A
,
B
,
C
，其中小弧
A
B
AB
A
B
的圓心角
∠
A
O
B
\angle AOB
∠
A
O
B
為
128
∘
128^\circ
12
8
∘
，且
C
C
C
位於大弧
A
B
AB
A
B
上。若攝影師站在
C
C
C
對準
A
,
B
A,B
A
,
B
拍攝，夾角
∠
A
C
B
\angle ACB
∠
A
C
B
為多少？
大學學科能力測驗（數學）
統計圖表與資料判讀・函數概念與圖形變換
開始練習 →
阿辰記錄台南某飲料店
12
12
12
個時段的排隊人數
x
x
x
與平均等候時間
y
y
y
分鐘，資料中
x
x
x
介於
4
4
4
到
28
28
28
。最小平方法得到迴歸直線
y
=
0.72
x
+
1.8
y=0.72x+1.8
y
=
0.72
x
+
1.8
，相關係數
r
=
0.84
r=0.84
r
=
0.84
。下列敘述何者最適當？
大學學科能力測驗（數學）
圓的性質・畢氏定理與特殊直角三角形
開始練習 →
苗栗某圓形水池半徑為
13
13
13
m，水池內有一條直線步道
A
B
AB
A
B
，圓心
O
O
O
到步道
A
B
AB
A
B
的垂直距離為
5
5
5
m。步道在圓內的長度
A
B
AB
A
B
為多少 m？
大學學科能力測驗（數學）
不等式與絕對值
開始練習 →
台北某外送員的實際送達時間為中午
12
12
12
時後
t
t
t
分鐘，其中
t
t
t
為
0
0
0
至
30
30
30
的整數。平台定義偏差指標
S
=
∣
∣
t
−
12
∣
−
5
∣
S=\bigl||t-12|-5\bigr|
S
=
∣
t
−
12∣
−
5
。若
S
≤
8
S\le 8
S
≤
8
，符合條件的
t
t
t
共有多少個？
大學學科能力測驗（數學）
分數與小數運算・最大公因數與最小公倍數
開始練習 →
家政課製作麵包時，五包麵粉的重量依序為
5
24
\frac{5}{24}
24
5
公斤、
3
24
\frac{3}{24}
24
3
公斤、
5
6
\frac{5}{6}
6
5
公斤、
3
4
\frac{3}{4}
4
3
公斤及
2
9
\frac{2}{9}
9
2
公斤。若先合併前兩包並約分，再以其餘分母的最小公倍數通分，這些麵粉共重多少公斤？
大學學科能力測驗（數學）
函數概念與圖形變換・巧設未知數與一次方程應用
開始練習 →
嘉義市集用手機叫號，實際排隊號碼
x
x
x
會轉成顯示碼
f
(
x
)
=
3
x
−
2
f(x)=3x-2
f
(
x
)
=
3
x
−
2
。志工看到顯示碼
40
40
40
，要還原實際排隊號碼；下列敘述何者正確？
大學學科能力測驗（數學）
圓的性質・系統列舉與分類討論
開始練習 →
校園內有兩個圓形活動區，圓心分別為
P
P
P
、
Q
Q
Q
，半徑分別為
8
m
8\mathrm{m}
8
m
、
r
m
r\mathrm{m}
r
m
，圓心距為
10
m
10\mathrm{m}
10
m
，其中
r
r
r
為正整數。如圖為不按比例繪製的示意圖。若兩圓的交點數與公切線總數皆為正整數，且兩者相等，則
r
r
r
的可能值共有幾個？