MathMagic
Contest
目前：台灣升學
國際競賽
知識點
練習題
訂閱方案
目前：台灣升學
國際競賽
練習題庫
所有題目皆為原創擬真題，附繁中完整詳解。標有「免登入試做」的題不用登入就能做；登入後每日可免費練習 5 題。
更多篩選
已選 1 項
▾
年級
全部
高中
小學
國中
競賽
全部台灣升學
分科測驗（數學甲）
大學學科能力測驗（數學）
國小數學
國中教育會考
難度
全部
易
中
難
知識點
所有知識點（91）
整數四則與運算順序
位值、概數與估算
單位換算與時間計算
分數與小數運算
數論基礎（整除、質因數、餘數）
質因數分解與標準分解式
最大公因數與最小公倍數
餘數循環與週期規律
進位制與位數表示
數字與位數問題
整數解與不定方程
模運算與同餘
中國剩餘定理
因數個數與因數和
階乘的質因數次數
代數技巧（方程、不等式、數列）
巧設未知數與一次方程應用
等差數列與規律延伸
對稱式與代數恆等式
因式分解技巧（SFFT）
速率與工作問題
一次函數與圖形
指數與根式
二次函數與拋物線
多項式與因式餘式定理
不等式與絕對值
比例、速率與百分比
對數
複數
等比數列與無窮級數
函數概念與圖形變換
高斯取整函數
望遠鏡級數與裂項
遞迴數列
指數函數與指數方程
對數函數與對數方程
多項式函數與圖形
數列與級數
矩陣與線性變換
複數與多項式方程
幾何：角度與面積
角度追蹤
面積切割與補形
相似形與比例線段
畢氏定理與特殊直角三角形
幾何推理與證明
圓的性質
多邊形與正多邊形
立體幾何
坐標幾何
三角比與正餘弦定理
對稱與幾何變換
圓冪定理
圓錐曲線（截痕概念）
平面上的比例
二次曲線標準式
計數與機率
加法與乘法原理
系統列舉與分類討論
基礎機率
排列組合進階
容斥原理
期望值
幾何機率
遞迴與路徑計數
鴿籠原理與最壞情況
奇偶性與不變量
隔板法與重複組合
條件機率與貝氏
條件機率與貝氏定理
離散隨機變數
二項分布
幾何分布
邏輯推理與規律
統計圖表與資料判讀
平均數與加權平均
二維數據與相關
三角比與正餘弦定理
三角函數與和差角
三角函數建模
平面向量
空間向量
空間中的直線與平面
數列極限與收斂
無窮等比級數
函數極限與連續
導函數與微分法
微分應用（極值與圖形）
黎曼和與定積分
積分應用（面積與體積）
數線與絕對值
共
1572
題
・第 31／53 頁
清除全部篩選
國中教育會考
位值、概數與估算・數線與絕對值
開始練習 →
捷運站工程人員設定某感測器的校正量為
c
=
−
22
c=-\sqrt{22}
c
=
−
22
毫米，且已知
4.69
<
22
<
4.70
4.69<\sqrt{22}<4.70
4.69
<
22
<
4.70
。若系統將
c
c
c
四捨五入到小數點後第二位，記錄值為何？
‹
1
…
30
31
32
…
53
›
國中教育會考
二次函數與拋物線・多項式與因式餘式定理
開始練習 →
已知甲、乙兩個關於
x
x
x
的二次方程式：甲為
a
x
2
+
b
x
+
12
=
0
ax^2+bx+12=0
a
x
2
+
b
x
+
12
=
0
，兩根為
−
2
-2
−
2
、
3
3
3
；乙為
c
(
x
−
1
)
2
+
d
(
x
−
1
)
+
6
=
0
c(x-1)^2+d(x-1)+6=0
c
(
x
−
1
)
2
+
d
(
x
−
1
)
+
6
=
0
，兩根為
0
0
0
、
3
3
3
。某生依兩式的形式選擇工具，準備求出
a
a
a
、
b
b
b
、
c
c
c
、
d
d
d
。下列哪一組起始處理皆正確？各選項中的反向假設等式均指對所有實數
x
x
x
成立。
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・不等式與絕對值
開始練習 →
某夜市行動餐車沿直線路線移動，位置為
P
(
t
)
=
(
t
,
1
2
t
)
P(t)=(t,\frac{1}{2}t)
P
(
t
)
=
(
t
,
2
1
t
)
，其中
0
≤
t
≤
4
0\le t\le 4
0
≤
t
≤
4
。當位置
(
x
,
y
)
(x,y)
(
x
,
y
)
滿足
(
x
+
y
−
1
)
(
2
x
−
y
−
4
)
>
0
(x+y-1)(2x-y-4)>0
(
x
+
y
−
1
)
(
2
x
−
y
−
4
)
>
0
時，餐車位於可營業區域。餐車位於可營業區域時，參數
t
t
t
的範圍為何？
大學學科能力測驗（數學）
指數函數與指數方程・不等式與絕對值
開始練習 →
同時滿足
(
1
2
)
x
−
1
<
4
x
+
1
≤
32
\left(\frac{1}{2}\right)^{x-1}<4^{x+1}\le 32
(
2
1
)
x
−
1
<
4
x
+
1
≤
32
的所有實數
x
x
x
為何？
大學學科能力測驗（數學）
平面向量・三角函數與和差角
開始練習 →
如圖，公園的圓形廣場可視為坐標平面上以
O
O
O
為圓心、半徑
3
3
3
的圓
C
C
C
，一條筆直的自行車道可視為通過
O
O
O
的直線
L
L
L
。在圓
C
C
C
上取兩點
P
P
P
、
Q
Q
Q
放置路燈，要求
O
P
→
\overrightarrow{OP}
O
P
與
L
L
L
夾銳角
20
∘
20^\circ
2
0
∘
，
O
Q
→
\overrightarrow{OQ}
O
Q
與
L
L
L
夾銳角
40
∘
40^\circ
4
0
∘
（圖中只畫出其中一種擺法）。在所有符合條件的擺法中，內積
O
P
→
⋅
O
Q
→
\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OQ}
O
P
⋅
O
Q
的最小值為何？
大學學科能力測驗（數學）
對數函數與對數方程・不等式與絕對值
開始練習 →
設
0
<
a
<
1
0<a<1
0
<
a
<
1
、
0
<
u
<
v
0<u<v
0
<
u
<
v
。如圖，
A
=
(
u
,
log
a
u
)
A=(u,\log_a u)
A
=
(
u
,
lo
g
a
u
)
、
B
=
(
v
,
log
a
v
)
B=(v,\log_a v)
B
=
(
v
,
lo
g
a
v
)
，
M
M
M
為線段
A
B
AB
A
B
的中點，
P
P
P
為函數
g
(
t
)
=
log
a
t
g(t)=\log_a t
g
(
t
)
=
lo
g
a
t
圖形上與
M
M
M
橫坐標相同的點。令
r
=
log
a
u
r=\log_a u
r
=
lo
g
a
u
、
s
=
log
a
v
s=\log_a v
s
=
lo
g
a
v
。若利用指數函數的算術幾何平均不等式證明此對數函數的凹向，下列哪一項推論正確？
國中教育會考
代數技巧（方程、不等式、數列）・巧設未知數與一次方程應用
開始練習 →
三袋米原有重量分別為
x
x
x
、
y
y
y
、
z
z
z
公斤。若分別加入
1
6
\frac{1}{6}
6
1
、
5
12
\frac{5}{12}
12
5
、
1
4
\frac{1}{4}
4
1
公斤的米後，三袋重量恰好相同。已知三袋米原有的總重量為
49
6
\frac{49}{6}
6
49
公斤，則原本最輕的一袋重多少公斤？
國中教育會考
一次函數與圖形・坐標幾何
開始練習 →
如圖，市區自行車道的中心線方程式為
2
x
−
3
y
=
12
2x-3y=12
2
x
−
3
y
=
12
，此直線與
x
x
x
軸交於
P
P
P
點，與
y
y
y
軸交於
Q
Q
Q
點。若號誌設置在路段
P
Q
‾
\overline{PQ}
P
Q
的中點
M
M
M
，則
M
M
M
的坐標為何？
國中教育會考
數線與絕對值
開始練習 →
手機益智遊戲顯示五筆分數變化，負號代表扣分。下列哪一筆的數值最小（也就是扣分最多）？
國中教育會考
最大公因數與最小公倍數・質因數分解與標準分解式
開始練習 →
園遊會準備兩批點券，第一批有
12
n
12n
12
n
張，第二批有
75600
75600
75600
張，其中
n
n
n
為正整數。若兩批點券張數的最大公因數為
360
360
360
，則下列何者可能是
n
n
n
的值？
國中教育會考
指數與根式・位值、概數與估算
開始練習 →
校慶園遊會的試算表以公式
T
=
10
n
+
1156
T=\sqrt{10n}+\sqrt{1156}
T
=
10
n
+
1156
產生檢核值，其中
n
n
n
為正整數。已知平方根表的部分資料為
7
≈
2.645751
\sqrt{7}\approx 2.645751
7
≈
2.645751
、
20
≈
4.472136
\sqrt{20}\approx 4.472136
20
≈
4.472136
、
70
≈
8.366600
\sqrt{70}\approx 8.366600
70
≈
8.366600
，且試算表顯示
T
≈
38.472136
T\approx 38.472136
T
≈
38.472136
。則
n
n
n
為何？
國中教育會考
指數與根式・分數與小數運算
開始練習 →
某高中園遊會攤位的四筆帳目調整合計（單位：百元）記為
−
9
(
−
2
)
3
+
−
3
(
−
2
)
4
−
5
(
−
2
)
2
+
1
(
−
2
)
-\frac{9}{(-2)^3}+\frac{-3}{(-2)^4}-\frac{5}{(-2)^2}+\frac{1}{(-2)}
−
(
−
2
)
3
9
+
(
−
2
)
4
−
3
−
(
−
2
)
2
5
+
(
−
2
)
1
，其值為何？
國中教育會考
二次函數與拋物線・代數技巧（方程、不等式、數列）
開始練習 →
設
c
∈
{
1
,
2
,
3
,
4
,
5
}
c\in\{1,2,3,4,5\}
c
∈
{
1
,
2
,
3
,
4
,
5
}
。針對方程式
2
x
2
−
6
x
+
c
=
0
2x^2-6x+c=0
2
x
2
−
6
x
+
c
=
0
，某份解題紀錄包含兩項內容：一是對每個允許的
c
c
c
都成立的配方等式；二是使原方程式有實數解，但左側無法寫成兩個整係數一次式乘積的所有
c
c
c
值。下列哪份紀錄的兩項內容都正確？
國小數學
立體幾何
開始練習 →
市集攤位的三層階梯形陳列座如圖。這幅透視圖的實線部分已全部畫妥，但所有被遮住的邊皆尚未畫出。若將每一條被遮住的邊各補成一段虛線，應補幾段虛線？完成後，此立體共有多少個面？同一平面上連成一片的外表面只算一個面。
大學學科能力測驗（數學）
指數與根式・指數函數與指數方程
開始練習 →
設
a
a
a
、
b
b
b
為實數，且
2
a
+
2
⋅
2
b
−
1
2
2
b
+
4
=
4
2
\dfrac{2^{a+2}\cdot 2^{b-1}}{2^{2b+4}}=4\sqrt{2}
2
2
b
+
4
2
a
+
2
⋅
2
b
−
1
=
4
2
，則
a
−
b
a-b
a
−
b
的值為何？
國小數學
單位換算與時間計算・立體幾何
開始練習 →
一個長方體飲料桶的內部長、寬、高分別為
30
30
30
公分、
20
20
20
公分、
15
15
15
公分，桶內已有
3.6
3.6
3.6
公升的飲料。若不考慮桶壁厚度，最多還能加入多少 cc 的飲料？
大學學科能力測驗（數學）
對數・對數函數與對數方程
開始練習 →
小傑在數學社的白板上寫了三個數
a
=
2
53
a=2^{53}
a
=
2
53
、
b
=
3
34
b=3^{34}
b
=
3
34
、
c
=
5
23
c=5^{23}
c
=
5
23
，請社員排出它們的大小。已知
log
2
=
0.3010
\log 2=0.3010
lo
g
2
=
0.3010
、
log
3
=
0.4771
\log 3=0.4771
lo
g
3
=
0.4771
，則下列何者正確？
國中教育會考
最大公因數與最小公倍數・數論基礎（整除、質因數、餘數）
開始練習 →
某飲料店回收了
n
n
n
個環保杯。若每
24
24
24
個裝一箱或每
40
40
40
個裝一箱，都能恰好裝完，且
300
≤
n
≤
960
300\le n\le960
300
≤
n
≤
960
，則符合條件的正整數
n
n
n
共有幾個？
國小數學
巧設未知數與一次方程應用
開始練習 →
停車場原本只有汽車與機車，機車比汽車多
9
9
9
輛。後來有
2
2
2
輛汽車離開、
3
3
3
輛機車進入，此時場內車輛的輪子共有
100
100
100
個。每輛汽車有
4
4
4
個輪子，每輛機車有
2
2
2
個輪子。若設原本汽車有
x
x
x
輛，依後來的輪子總數列式並正確展開括號後，可得到下列哪一個方程式？
國中教育會考
圓的性質・圓冪定理
開始練習 →
如圖，公園內兩座大小不同的圓形噴水池相切於
Q
Q
Q
，並與同一直線護欄分別相切於
A
A
A
、
B
B
B
。兩圓在
Q
Q
Q
處的公切線與護欄交於
P
P
P
，且
A
A
A
、
P
P
P
、
B
B
B
依序位於同一直線上。已知
A
B
=
5
x
+
2
AB=5x+2
A
B
=
5
x
+
2
公尺、
P
Q
=
2
x
+
8
PQ=2x+8
P
Q
=
2
x
+
8
公尺，其中
x
>
0
x>0
x
>
0
，則
x
x
x
為何？
大學學科能力測驗（數學）
三角函數與和差角
開始練習 →
台南某高中布置校慶燈飾，兩支長度皆為
4
4
4
公尺的直線燈條分別與水平地面成
15
∘
15^\circ
1
5
∘
、
75
∘
75^\circ
7
5
∘
。若兩支燈條的鉛直高度增量相加，結果為何？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・對稱與幾何變換
開始練習 →
高雄某校的平行四邊形活動場地，在平面座標上的四個頂點依序為
A
(
0
,
0
)
A(0,0)
A
(
0
,
0
)
、
B
(
8
,
0
)
B(8,0)
B
(
8
,
0
)
、
C
(
10
,
6
)
C(10,6)
C
(
10
,
6
)
、
D
(
2
,
6
)
D(2,6)
D
(
2
,
6
)
。下列哪一條直線可確定將此場地分成面積相等的兩部分？
國中教育會考
幾何推理與證明・圓的性質
開始練習 →
如圖，社團要畫出通過三角形標誌三個頂點
A
A
A
、
B
B
B
、
C
C
C
的圓，已正確作出
A
B
AB
A
B
的中垂線
ℓ
\ell
ℓ
，其中
M
M
M
是
A
B
AB
A
B
的中點。某同學接著記錄以下作圖程序：以
A
A
A
為圓心、
3
4
A
C
\frac{3}{4}AC
4
3
A
C
為半徑畫弧，再以
C
C
C
為圓心、
2
3
A
C
\frac{2}{3}AC
3
2
A
C
為半徑畫弧，兩弧交於相異兩點
P
P
P
、
Q
Q
Q
；連結
P
Q
PQ
P
Q
，取
T
=
ℓ
∩
P
Q
T=\ell\cap PQ
T
=
ℓ
∩
P
Q
，最後以
T
T
T
為圓心、
T
M
TM
T
M
為半徑畫圓。下列哪一項修改能使這套程序正確？各選項未提及的步驟均維持原作法；重新作圖後，
P
P
P
、
Q
Q
Q
、
T
T
T
均以新位置為準。
國小數學
巧設未知數與一次方程應用
開始練習 →
班長到文具店購買筆記本與原子筆，筆記本每本
40
40
40
元，原子筆每支
20
20
20
元。結帳後，他將其中
2
2
2
本筆記本按原價退貨，並加買
5
5
5
支原子筆。最後帶回的筆記本與原子筆合計
18
18
18
件，兩次交易合計實付
480
480
480
元（已扣除退貨收到的退款）。假設第一次購買筆記本
x
x
x
本、原子筆
y
y
y
支，下列哪一組列式與求得的原購買數量正確？
大學學科能力測驗（數學）
指數函數與指數方程
開始練習 →
已知
x
x
x
是大於
1
1
1
的固定常數，
t
t
t
是可取任意正實數的自變數。下列哪個函數符合指數函數「以固定常數為底數、自變數為指數」的定義？
大學學科能力測驗（數學）
函數概念與圖形變換・不等式與絕對值
開始練習 →
台灣某手搖飲店以函數
g
(
x
)
=
x
−
1
x
+
2
g(x)=\sqrt{\frac{x-1}{x+2}}
g
(
x
)
=
x
+
2
x
−
1
將實數校正參數
x
x
x
轉換為校正值。下列哪一個依序為
g
g
g
的定義域和值域？
國中教育會考
最大公因數與最小公倍數・單位換算與時間計算
開始練習 →
如圖，台灣某食品工廠有一塊長方體米糕，長、寬、高分別為
2.7
2.7
2.7
公尺、
162
162
162
公分、
1.08
1.08
1.08
公尺。工廠要將它完整切成大小相同且邊長為整數公分的正方體，不得有剩料。若每個正方體要盡可能大，最少會切成多少塊？
大學學科能力測驗（數學）
平面向量・坐標幾何
開始練習 →
某三角形公園的頂點為
A
A
A
、
B
B
B
、
C
C
C
，其中
M
M
M
是邊
B
C
BC
B
C
的中點。已知三角形的重心為
G
(
4
,
1
)
G(4,1)
G
(
4
,
1
)
，且
M
(
8
,
5
)
M(8,5)
M
(
8
,
5
)
，則頂點
A
A
A
的座標為何？
大學學科能力測驗（數學）
多項式與因式餘式定理
開始練習 →
設多項式
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
滿足
f
(
x
)
=
(
x
2
−
x
+
2
)
(
x
+
1
)
+
(
x
+
3
)
f(x)=(x^2-x+2)(x+1)+(x+3)
f
(
x
)
=
(
x
2
−
x
+
2
)
(
x
+
1
)
+
(
x
+
3
)
。將
x
2
f
(
x
)
x^2f(x)
x
2
f
(
x
)
除以
x
2
−
x
+
2
x^2-x+2
x
2
−
x
+
2
，所得的商與餘式依序為何？
大學學科能力測驗（數學）
指數函數與指數方程・不等式與絕對值
開始練習 →
不等式
(
4
x
−
6
⋅
2
x
+
10
)
(
2
x
−
4
)
≥
0
(4^x-6\cdot 2^x+10)(2^x-4)\geq 0
(
4
x
−
6
⋅
2
x
+
10
)
(
2
x
−
4
)
≥
0
的實數解為何？