MathMagic
Contest
目前：台灣升學
國際競賽
知識點
練習題
訂閱方案
目前：台灣升學
國際競賽
練習題庫
所有題目皆為原創擬真題，附繁中完整詳解。標有「免登入試做」的題不用登入就能做；登入後每日可免費練習 5 題。
更多篩選
已選 1 項
▾
年級
全部
高中
小學
國中
競賽
全部台灣升學
分科測驗（數學甲）
大學學科能力測驗（數學）
國小數學
國中教育會考
難度
全部
易
中
難
知識點
所有知識點（91）
整數四則與運算順序
位值、概數與估算
單位換算與時間計算
分數與小數運算
數論基礎（整除、質因數、餘數）
質因數分解與標準分解式
最大公因數與最小公倍數
餘數循環與週期規律
進位制與位數表示
數字與位數問題
整數解與不定方程
模運算與同餘
中國剩餘定理
因數個數與因數和
階乘的質因數次數
代數技巧（方程、不等式、數列）
巧設未知數與一次方程應用
等差數列與規律延伸
對稱式與代數恆等式
因式分解技巧（SFFT）
速率與工作問題
一次函數與圖形
指數與根式
二次函數與拋物線
多項式與因式餘式定理
不等式與絕對值
比例、速率與百分比
對數
複數
等比數列與無窮級數
函數概念與圖形變換
高斯取整函數
望遠鏡級數與裂項
遞迴數列
指數函數與指數方程
對數函數與對數方程
多項式函數與圖形
數列與級數
矩陣與線性變換
複數與多項式方程
幾何：角度與面積
角度追蹤
面積切割與補形
相似形與比例線段
畢氏定理與特殊直角三角形
幾何推理與證明
圓的性質
多邊形與正多邊形
立體幾何
坐標幾何
三角比與正餘弦定理
對稱與幾何變換
圓冪定理
圓錐曲線（截痕概念）
平面上的比例
二次曲線標準式
計數與機率
加法與乘法原理
系統列舉與分類討論
基礎機率
排列組合進階
容斥原理
期望值
幾何機率
遞迴與路徑計數
鴿籠原理與最壞情況
奇偶性與不變量
隔板法與重複組合
條件機率與貝氏
條件機率與貝氏定理
離散隨機變數
二項分布
幾何分布
邏輯推理與規律
統計圖表與資料判讀
平均數與加權平均
二維數據與相關
三角比與正餘弦定理
三角函數與和差角
三角函數建模
平面向量
空間向量
空間中的直線與平面
數列極限與收斂
無窮等比級數
函數極限與連續
導函數與微分法
微分應用（極值與圖形）
黎曼和與定積分
積分應用（面積與體積）
數線與絕對值
共
1572
題
・第 29／53 頁
清除全部篩選
大學學科能力測驗（數學）
多項式與因式餘式定理
開始練習 →
將
f
(
x
)
=
3
x
3
−
4
x
2
+
2
x
−
5
f(x)=3x^3-4x^2+2x-5
f
(
x
)
=
3
x
3
−
4
x
2
+
2
x
−
5
連續以
2
2
2
做綜合除法，每次均對前一次所得的商繼續操作，並將結果改寫為
f
(
x
)
=
a
(
x
−
2
)
3
+
b
(
x
−
2
)
2
+
c
(
x
−
2
)
+
d
f(x)=a(x-2)^3+b(x-2)^2+c(x-2)+d
f
(
x
)
=
a
(
x
−
2
)
3
+
b
(
x
−
2
)
2
+
c
(
x
−
2
)
+
d
。則
(
a
,
b
,
c
,
d
)
(a,b,c,d)
(
a
,
b
,
c
,
d
)
為何？
‹
1
…
28
29
30
…
53
›
國中教育會考
等差數列與規律延伸
開始練習 →
宜蘭某農場在假日推出採果體驗，第一梯次開放
18
18
18
人，之後每一梯次都比前一梯次多
5
5
5
人。若第
1
1
1
梯次到第
10
10
10
梯次都額滿，這
10
10
10
梯次共接待幾人？
國小數學
系統列舉與分類討論・加法與乘法原理
開始練習 →
園遊會結束後，四名同學
A
A
A
、
B
B
B
、
C
C
C
、
D
D
D
依序負責四個不同時段的整理工作，每人恰負責一個時段。規定
A
A
A
不得負責第一個時段，且
B
B
B
不得負責最後一個時段。如圖為依第一、第二個時段展開的部分樹狀圖，符合規定的安排共有多少種？
大學學科能力測驗（數學）
多項式與因式餘式定理・多項式函數與圖形
開始練習 →
台南一間飲料店用多項式
P
(
x
)
P(x)
P
(
x
)
表示某週促銷後的庫存修正量。已知
P
(
x
)
P(x)
P
(
x
)
除以
x
−
2
x-2
x
−
2
的餘式為
5
5
5
，除以
x
+
1
x+1
x
+
1
的餘式為
−
4
-4
−
4
。若
P
(
x
)
P(x)
P
(
x
)
除以
(
x
−
2
)
(
x
+
1
)
(x-2)(x+1)
(
x
−
2
)
(
x
+
1
)
的餘式為
R
(
x
)
R(x)
R
(
x
)
，則
R
(
3
)
R(3)
R
(
3
)
等於多少？
國中教育會考
代數技巧（方程、不等式、數列）・二次函數與拋物線
開始練習 →
將方程式
3
2
x
2
−
2
x
+
5
6
=
5
6
x
2
+
x
−
1
2
\frac{3}{2}x^2-2x+\frac{5}{6}=\frac{5}{6}x^2+x-\frac{1}{2}
2
3
x
2
−
2
x
+
6
5
=
6
5
x
2
+
x
−
2
1
的所有項移至左邊並合併同類項，再全式同除以二次項係數，整理成
x
2
+
p
x
=
q
x^2+px=q
x
2
+
p
x
=
q
。下列哪一組為
(
p
,
q
)
(p,q)
(
p
,
q
)
？
大學學科能力測驗（數學）
對數函數與對數方程・函數概念與圖形變換
開始練習 →
如圖，將函數
y
=
log
3
x
y=\log_3 x
y
=
lo
g
3
x
的圖形向右平移
h
h
h
單位（
h
>
0
h>0
h
>
0
）、再向上平移
1
1
1
單位，所得新圖形可寫成
y
=
log
3
(
a
x
+
b
)
y=\log_3(ax+b)
y
=
lo
g
3
(
a
x
+
b
)
，其中
a
a
a
、
b
b
b
為實數。已知新圖形與原圖形
y
=
log
3
x
y=\log_3 x
y
=
lo
g
3
x
的交點
P
P
P
的
x
x
x
坐標為
9
9
9
，求
a
+
b
a+b
a
+
b
的值。
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何
開始練習 →
高雄港區的導航系統以直線族
L
k
:
(
k
−
1
)
x
+
(
k
+
2
)
y
=
k
−
3
L_k:(k-1)x+(k+2)y=k-3
L
k
:
(
k
−
1
)
x
+
(
k
+
2
)
y
=
k
−
3
表示不同參數
k
k
k
下的航線。所有使
L
k
L_k
L
k
不能直接寫成截距式
x
a
+
y
b
=
1
\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1
a
x
+
b
y
=
1
的
k
k
k
值所成集合為何？
大學學科能力測驗（數學）
圓的性質・畢氏定理與特殊直角三角形
開始練習 →
台中一個圓形花圃半徑
9
9
9
公尺，圓心為
O
O
O
。攤位電箱在花圃外點
P
P
P
，量得
O
P
=
15
OP=15
O
P
=
15
公尺。工作人員要從
P
P
P
拉兩條剛好切到花圃邊緣的直線燈條，切點為
A
,
B
A,B
A
,
B
。兩條燈條總長
P
A
+
P
B
PA+PB
P
A
+
P
B
為多少？
大學學科能力測驗（數學）
立體幾何・相似形與比例線段
開始練習 →
台中夜市推出圓錐形紙杯裝芒果冰，紙杯內部可近似為底面半徑
5
5
5
cm、高
12
12
12
cm 的直圓錐。店員先在尖端附近倒入煉乳，液面平行杯口，從尖端量到液面的高度為
6
6
6
cm。此時煉乳體積為多少
c
m
3
\mathrm{cm^3}
c
m
3
？
大學學科能力測驗（數學）
圓冪定理・相似形與比例線段
開始練習 →
某公園的圓形水池外有觀測點
P
P
P
。由
P
P
P
引兩條割線，第一條依序交水池邊界於
A
,
B
A,B
A
,
B
，第二條依序交於
C
,
D
C,D
C
,
D
。已知
P
A
=
4
PA=4
P
A
=
4
公尺、
P
B
=
24
PB=24
P
B
=
24
公尺、
P
D
=
16
PD=16
P
D
=
16
公尺，且連線
A
D
=
14
AD=14
A
D
=
14
公尺，則
C
B
CB
C
B
的長度為何？
大學學科能力測驗（數學）
三角比與正餘弦定理・平面向量
開始練習 →
某公園設置一座平行四邊形花圃，相鄰兩邊長分別為
5
5
5
公尺與
10
10
10
公尺，兩條對角線的長度比為
1
:
2
1:2
1
:
2
。較長的對角線長為多少公尺？
國中教育會考
指數與根式
開始練習 →
設
x
x
x
為正整數，將
3
8
x
+
1
(
3
3
x
−
4
3
x
+
2
)
\frac{3^{8x+1}}{\left(\frac{3^{3x-4}}{3^{x+2}}\right)}
(
3
x
+
2
3
3
x
−
4
)
3
8
x
+
1
化為最簡的單一指數形式，下列何者正確？
國中教育會考
幾何：角度與面積・面積切割與補形
開始練習 →
如圖，河濱公園的一塊草地呈等腰梯形
A
B
C
D
ABCD
A
B
C
D
，其中
A
B
∥
C
D
AB\parallel CD
A
B
∥
C
D
、
A
D
=
B
C
AD=BC
A
D
=
B
C
，且兩底長分別為
16
16
16
公尺與
8
8
8
公尺。
E
E
E
、
F
F
F
、
G
G
G
、
H
H
H
分別為四邊的中點。已知四邊形
E
F
G
H
EFGH
E
F
G
H
的面積為
60
60
60
平方公尺，則原草地的高為何？
國中教育會考
數字與位數問題・代數技巧（方程、不等式、數列）
開始練習 →
園遊會攤位用數字卡排出一個兩位數，十位數字是
3
3
3
，個位數字是
x
x
x
，其中
x
∈
{
5
,
6
,
7
,
8
}
x\in\{5,6,7,8\}
x
∈
{
5
,
6
,
7
,
8
}
。工作人員先將兩張卡對調，再在兩張卡中間插入一張數字為
0
0
0
的卡，形成一個三位數。新數比原數大多少？
大學學科能力測驗（數學）
對數・指數與根式
開始練習 →
若
log
4
25
125
8
=
t
\log_{\frac{4}{25}}\frac{125}{8}=t
lo
g
25
4
8
125
=
t
，則
t
t
t
的值為何？
國中教育會考
代數技巧（方程、不等式、數列）
開始練習 →
校慶活動有兩筆紀錄。甲：某攤位售出
n
n
n
份小禮物，每份售價為
n
+
2
n+2
n
+
2
元，總收入為
7
7
7
元，其中
n
n
n
為正整數。乙：模型車從啟動到第
t
t
t
秒的累計行駛距離為
t
2
+
2
t
t^2+2t
t
2
+
2
t
公尺，紀錄顯示它曾行駛到
7
7
7
公尺，其中
t
>
0
t>0
t
>
0
。兩筆紀錄分別得到
n
2
+
2
n
−
7
=
0
n^2+2n-7=0
n
2
+
2
n
−
7
=
0
與
t
2
+
2
t
−
7
=
0
t^2+2t-7=0
t
2
+
2
t
−
7
=
0
。核對列式與整理過程均無誤後，仍無法用有理數係數的十字交乘法分解。下列判斷何者正確？
國中教育會考
代數技巧（方程、不等式、數列）・等差數列與規律延伸
開始練習 →
七張號碼牌上的號碼為七個連續正奇數，依號碼由小到大排列。前三張號碼的平方和加上
359
359
359
，等於最後兩張號碼的平方和。若設第四張的號碼為
x
x
x
，將上述等量關係展開、移項，並整理成二次項係數為
1
1
1
、右式為
0
0
0
的方程式，應得到下列何者？
國小數學
速率與工作問題
開始練習 →
兩列火車在平行的直線軌道上等速相向行駛，甲車長
90
90
90
公尺，乙車長
150
150
150
公尺，速率分別為每秒
12
12
12
公尺與每秒
18
18
18
公尺。從兩車車頭相遇，到兩車車尾恰好錯開、兩車完全分開，共經過幾秒？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何
開始練習 →
台中一所校園的平面圖上，兩棟建築物的位置分別為
A
(
1
,
0
)
A(1,0)
A
(
1
,
0
)
、
B
(
5
,
3
)
B(5,3)
B
(
5
,
3
)
。校方將所有滿足
P
A
‾
:
P
B
‾
=
2
:
3
\overline{PA}:\overline{PB}=2:3
P
A
:
P
B
=
2
:
3
的位置
P
P
P
標成一條圓形邊界。下列何者正確描述此圓的圓心與半徑？
國中教育會考
指數與根式・位值、概數與估算
開始練習 →
某台灣電商平台一年的瀏覽次數為
4,080,000,000
4{,}080{,}000{,}000
4
,
080
,
000
,
000
次。小明先寫成
40.8
×
10
8
40.8 \times 10^8
40.8
×
1
0
8
，但此形式不符合科學記號中
1
≤
a
<
10
1 \le a < 10
1
≤
a
<
10
的規定。將它修正為合規的科學記號，應為何者？
國中教育會考
圓的性質
開始練習 →
某公園有兩座圓形花圃，半徑分別為
9
9
9
公尺與
15
15
15
公尺。兩座花圃邊緣各取一段較短弧
A
B
AB
A
B
、
C
D
CD
C
D
，它們所對應的圓心角皆為
120
∘
120^{\circ}
12
0
∘
。判斷下列敘述：甲、兩段弧的度數相同；乙、兩段弧的弧長相同；丙、弧
C
D
CD
C
D
的弧長是弧
A
B
AB
A
B
的
5
3
\frac{5}{3}
3
5
倍；丁、弧
C
D
CD
C
D
的度數是弧
A
B
AB
A
B
的
5
3
\frac{5}{3}
3
5
倍。正確的敘述有哪些？
大學學科能力測驗（數學）
圓的性質・畢氏定理與特殊直角三角形
開始練習 →
如圖，公園平面圖中的圓形水池以
O
(
2
,
3
)
O(2,3)
O
(
2
,
3
)
為圓心，座標長度單位為公尺。點
P
(
a
,
3
)
P(a,3)
P
(
a
,
3
)
滿足
a
>
2
a>2
a
>
2
，直線步道
P
T
PT
P
T
與水池相切於
T
T
T
，且
T
T
T
位於通過
O
O
O
的水平線上方。已知直線
P
T
PT
P
T
的斜率為
−
5
12
-\frac{5}{12}
−
12
5
，而
O
P
OP
O
P
的長度比
P
T
PT
P
T
的長度多
3
3
3
公尺，則
a
a
a
的值為何？
國中教育會考
代數技巧（方程、不等式、數列）・不等式與絕對值
開始練習 →
如圖，手作課將一條緞帶剪成兩段，兩段長度分別為
(
x
+
5
)
(x+5)
(
x
+
5
)
公分與
(
9
−
x
)
(9-x)
(
9
−
x
)
公分，且均大於
0
0
0
。已知兩段長度的差滿足
[
(
x
+
5
)
−
(
9
−
x
)
]
2
=
100
[(x+5)-(9-x)]^2=100
[(
x
+
5
)
−
(
9
−
x
)
]
2
=
100
，則
x
x
x
的所有可能值為何？
大學學科能力測驗（數學）
三角函數與和差角
開始練習 →
夜市旋轉招牌以正東方向為始邊，順時針旋轉
1130
∘
1130^\circ
113
0
∘
。若用
k
∈
Z
k\in\mathbb Z
k
∈
Z
表示所有同界角，則其標準寫法及終邊所在象限，何者正確？
國小數學
巧設未知數與一次方程應用
開始練習 →
文具店裡每枝原子筆的價錢都一樣。買
7
7
7
枝原子筆的錢，比買
3
3
3
枝原子筆再加一個
40
40
40
元的膠台合起來，還多
12
12
12
元。一枝原子筆多少元？
大學學科能力測驗（數學）
二次曲線標準式・坐標幾何
開始練習 →
校方規劃一座圓形花圃，其邊界方程式為
(
a
+
1
)
x
2
+
(
2
a
−
b
)
x
y
+
(
5
−
a
)
y
2
−
6
x
+
8
y
−
20
=
0
(a+1)x^2+(2a-b)xy+(5-a)y^2-6x+8y-20=0
(
a
+
1
)
x
2
+
(
2
a
−
b
)
x
y
+
(
5
−
a
)
y
2
−
6
x
+
8
y
−
20
=
0
，其中
a
a
a
、
b
b
b
為實數。若此方程式表示一個圓，則
(
a
,
b
)
(a,b)
(
a
,
b
)
為何？
大學學科能力測驗（數學）
不等式與絕對值
開始練習 →
某飲料店冷藏設備進行校正測試，將設定溫度
x
x
x
代入檢測式。當
∣
9
−
2
x
∣
>
5
|9-2x|>5
∣9
−
2
x
∣
>
5
時，系統判定須重新校正。會被判定須重新校正的
x
x
x
範圍為何？
大學學科能力測驗（數學）
函數概念與圖形變換・二次函數與拋物線
開始練習 →
如圖為函數
y
=
x
2
+
3
x
y=x^2+3x
y
=
x
2
+
3
x
的圖形。阿哲在手機繪圖 App 中，把某函數
y
=
g
(
x
)
y=g(x)
y
=
g
(
x
)
的圖形向左平移
2
2
2
單位、再向上平移
1
1
1
單位後，恰好得到如圖的圖形。則
g
(
x
)
g(x)
g
(
x
)
為下列何者？
國中教育會考
奇偶性與不變量・數論基礎（整除、質因數、餘數）
開始練習 →
設
x
,
y
,
z
x,y,z
x
,
y
,
z
為正整數，滿足
x
+
y
=
z
x+y=z
x
+
y
=
z
與
y
>
x
>
2
y>x>2
y
>
x
>
2
。若
x
−
1
x-1
x
−
1
、
y
−
1
y-1
y
−
1
、
z
−
2
z-2
z
−
2
均為質數，則
x
x
x
為何？
國中教育會考
幾何推理與證明
開始練習 →
校慶場地的三組三角形標示牌如圖。已知
A
B
=
D
E
AB=DE
A
B
=
D
E
、
B
C
=
E
F
BC=EF
B
C
=
E
F
、
C
A
=
F
D
CA=FD
C
A
=
F
D
；
G
H
=
J
K
GH=JK
G
H
=
J
K
、
H
I
=
K
L
HI=KL
H
I
=
K
L
、
G
I
=
J
L
GI=JL
G
I
=
J
L
；以及
M
N
=
P
Q
MN=PQ
M
N
=
P
Q
、
N
O
=
Q
R
NO=QR
N
O
=
QR
、
∠
M
N
O
=
∠
P
Q
R
\angle MNO=\angle PQR
∠
M
N
O
=
∠
P
QR
。某生已由 SSS 全等性質證得
△
A
B
C
≅
△
D
E
F
\triangle ABC\cong\triangle DEF
△
A
B
C
≅
△
D
E
F
。若要繼續證明另外兩組三角形全等，下列哪一段書寫能適當使用「同理」，並完整交代不同的推理理由？