MathMagic
Contest
目前：台灣升學
國際競賽
知識點
練習題
訂閱方案
目前：台灣升學
國際競賽
練習題庫
所有題目皆為原創擬真題，附繁中完整詳解。標有「免登入試做」的題不用登入就能做；登入後每日可免費練習 5 題。
更多篩選
已選 1 項
▾
年級
全部
高中
小學
國中
競賽
全部台灣升學
分科測驗（數學甲）
大學學科能力測驗（數學）
國小數學
國中教育會考
難度
全部
易
中
難
知識點
所有知識點（91）
整數四則與運算順序
位值、概數與估算
單位換算與時間計算
分數與小數運算
數論基礎（整除、質因數、餘數）
質因數分解與標準分解式
最大公因數與最小公倍數
餘數循環與週期規律
進位制與位數表示
數字與位數問題
整數解與不定方程
模運算與同餘
中國剩餘定理
因數個數與因數和
階乘的質因數次數
代數技巧（方程、不等式、數列）
巧設未知數與一次方程應用
等差數列與規律延伸
對稱式與代數恆等式
因式分解技巧（SFFT）
速率與工作問題
一次函數與圖形
指數與根式
二次函數與拋物線
多項式與因式餘式定理
不等式與絕對值
比例、速率與百分比
對數
複數
等比數列與無窮級數
函數概念與圖形變換
高斯取整函數
望遠鏡級數與裂項
遞迴數列
指數函數與指數方程
對數函數與對數方程
多項式函數與圖形
數列與級數
矩陣與線性變換
複數與多項式方程
幾何：角度與面積
角度追蹤
面積切割與補形
相似形與比例線段
畢氏定理與特殊直角三角形
幾何推理與證明
圓的性質
多邊形與正多邊形
立體幾何
坐標幾何
三角比與正餘弦定理
對稱與幾何變換
圓冪定理
圓錐曲線（截痕概念）
平面上的比例
二次曲線標準式
計數與機率
加法與乘法原理
系統列舉與分類討論
基礎機率
排列組合進階
容斥原理
期望值
幾何機率
遞迴與路徑計數
鴿籠原理與最壞情況
奇偶性與不變量
隔板法與重複組合
條件機率與貝氏
條件機率與貝氏定理
離散隨機變數
二項分布
幾何分布
邏輯推理與規律
統計圖表與資料判讀
平均數與加權平均
二維數據與相關
三角比與正餘弦定理
三角函數與和差角
三角函數建模
平面向量
空間向量
空間中的直線與平面
數列極限與收斂
無窮等比級數
函數極限與連續
導函數與微分法
微分應用（極值與圖形）
黎曼和與定積分
積分應用（面積與體積）
數線與絕對值
共
1572
題
・第 21／53 頁
清除全部篩選
國中教育會考
代數技巧（方程、不等式、數列）
開始練習 →
小晴解方程式
4
−
3
(
x
−
2
)
+
1
5
=
−
2
4-\frac{3(x-2)+1}{5}=-2
4
−
5
3
(
x
−
2
)
+
1
=
−
2
，寫出以下過程： 第一步：
−
3
(
x
−
2
)
+
1
5
=
−
6
-\frac{3(x-2)+1}{5}=-6
−
5
3
(
x
−
2
)
+
1
=
−
6
。 第二步：
3
(
x
−
2
)
+
1
=
30
3(x-2)+1=30
3
(
x
−
2
)
+
1
=
30
。 第三步：
x
−
2
=
30
3
−
1
=
9
x-2=\frac{30}{3}-1=9
x
−
2
=
3
30
−
1
=
9
。 第四步：
x
=
11
x=11
x
=
11
。 若每一步都必須與前一步等價，下列哪個選項正確指出最早出錯的步驟，並給出該步應改成的等式？
‹
1
…
20
21
22
…
53
›
國中教育會考
相似形與比例線段
開始練習 →
美術社製作兩款三角形反光貼紙，如圖（示意圖不按比例）。檢驗員針對
△
A
B
C
\triangle ABC
△
A
B
C
與
△
D
E
F
\triangle DEF
△
D
E
F
提出下列三項判斷： 甲：若
∠
A
=
∠
D
\angle A=\angle D
∠
A
=
∠
D
且
∠
B
=
∠
E
\angle B=\angle E
∠
B
=
∠
E
，則可用
A
A
\mathrm{AA}
AA
判定兩三角形相似。 乙：若
A
B
D
E
=
B
C
E
F
\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}
D
E
A
B
=
E
F
B
C
且
∠
A
=
∠
D
\angle A=\angle D
∠
A
=
∠
D
，則可用
S
S
A
\mathrm{SSA}
SSA
判定兩三角形相似。 丙：若
A
B
D
E
=
B
C
E
F
=
A
C
D
F
\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF}
D
E
A
B
=
E
F
B
C
=
D
F
A
C
，則可用
S
S
S
\mathrm{SSS}
SSS
判定兩三角形相似。 上述判斷何者正確？
國中教育會考
角度追蹤
開始練習 →
社區中庭有一塊三角形花圃
A
B
C
ABC
A
B
C
，其中
A
B
=
A
C
AB=AC
A
B
=
A
C
。工人把邊
B
C
BC
B
C
往
C
C
C
的方向延長到
D
D
D
，量得外角
∠
A
C
D
=
124
∘
\angle ACD=124^\circ
∠
A
C
D
=
12
4
∘
。求
∠
B
A
C
\angle BAC
∠
B
A
C
的度數。
國小數學
代數技巧（方程、不等式、數列）
開始練習 →
文具店一盒色筆賣
x
x
x
元。小安向媽媽借錢買了
2
2
2
盒色筆，所以他欠媽媽
2
2
2
盒色筆的錢。後來他在跳蚤市場賣手作書籤，賺到的錢剛好是
7
7
7
盒色筆的錢。他把欠媽媽的錢還清後，手上還剩多少元？
國中教育會考
比例、速率與百分比・巧設未知數與一次方程應用
開始練習 →
台南某便當店的雞腿便當原價為
x
x
x
元。暑假後先調漲
15
%
15\%
15%
，開學優惠時再以調漲後的價格打九折，優惠後售價為
103.5
103.5
103.5
元。原價
x
x
x
是多少元？
國小數學
圓的性質・巧設未知數與一次方程應用
開始練習 →
如圖，店家將
4
4
4
個大小相同的圓形杯墊排成一列，恰好放入長方形收納盤中；相鄰杯墊彼此相切，兩端的杯墊分別與收納盤的左右邊相切，每個杯墊也與收納盤的上下邊相切。收納盤的內部長邊比短邊多
24
cm
24\text{ cm}
24
cm
。若杯墊半徑為
r
r
r
，收納盤內部短邊長為
w
w
w
，則
(
r
,
w
)
(r,w)
(
r
,
w
)
為何？
國中教育會考
圓的性質
開始練習 →
如圖，三角形廣場的邊界為
△
A
B
C
\triangle ABC
△
A
B
C
。圓心為
O
O
O
的圓位於廣場外，與邊
B
C
BC
B
C
相切，並分別與
A
B
AB
A
B
、
A
C
AC
A
C
越過
B
B
B
、
C
C
C
的延長線相切。有人認為：「這個圓與三邊所在直線都相切，所以
O
O
O
就是內心。」下列哪一項判斷及理由正確？
國中教育會考
指數與根式・位值、概數與估算
開始練習 →
阿哲用十分逼近法尋找
31
\sqrt{31}
31
所在的相鄰百分位小數。他已寫出：由
5
2
<
31
<
6
2
5^2<31<6^2
5
2
<
31
<
6
2
，得
5
<
31
<
6
5<\sqrt{31}<6
5
<
31
<
6
；由
(
5.5
)
2
=
30.25
<
31
<
31.36
=
(
5.6
)
2
(5.5)^2=30.25<31<31.36=(5.6)^2
(
5.5
)
2
=
30.25
<
31
<
31.36
=
(
5.6
)
2
，得
5.5
<
31
<
5.6
5.5<\sqrt{31}<5.6
5.5
<
31
<
5.6
。下列哪一項可作為下一步的正確書寫？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何
開始練習 →
新竹市府在簡化地圖上以座標表示兩個公車站
A
(
2
,
1
)
A\left(2,1\right)
A
(
2
,
1
)
、
B
(
8
,
5
)
B\left(8,5\right)
B
(
8
,
5
)
。規劃一條新接駁線要通過
A
B
AB
A
B
的中點，並且與連線
A
B
AB
A
B
垂直。下列哪一個是新接駁線的方程式？
國中教育會考
多邊形與正多邊形
開始練習 →
小彤設計一個正多邊形桌墊，從中心連到相鄰兩個頂點形成的中心角是
24
∘
24^\circ
2
4
∘
。這個正多邊形的內角和是多少？
國中教育會考
單位換算與時間計算・整數四則與運算順序
開始練習 →
一場校際科學展演共有
14
14
14
組學生依序上台，每組展演時間皆為
8
8
8
分鐘。通常每兩組之間需用
3
3
3
分鐘重整器材；第
7
7
7
組結束後安排
18
18
18
分鐘休息，器材重整也在這段休息時間內完成，因此該處不另計
3
3
3
分鐘。這場展演從第一組開始到最後一組結束，共需多少分鐘？
大學學科能力測驗（數學）
指數函數與指數方程・函數概念與圖形變換
開始練習 →
函數
y
=
a
x
y=a^x
y
=
a
x
中，
a
a
a
為
2
2
2
或
3
3
3
。將其圖形依序作水平平移、鉛直平移，再對
x
x
x
軸作鏡射，得到如圖的曲線。圖中的
A
A
A
、
B
B
B
分別是原圖形上錨點
(
0
,
1
)
(0,1)
(
0
,
1
)
、
(
1
,
a
)
(1,a)
(
1
,
a
)
的對應點。下列哪一選項正確列出
a
a
a
的值與鏡射前的兩次平移？
大學學科能力測驗（數學）
對數・對數函數與對數方程
開始練習 →
園藝社檢測甲、乙、丙三份灌溉水樣，測得甲的氫離子濃度為丙的
20
20
20
倍，乙的氫離子濃度為丙的
0.5
0.5
0.5
倍。已知
p
H
=
−
log
[
H
+
]
\mathrm{pH}=-\log[\mathrm{H}^+]
pH
=
−
lo
g
[
H
+
]
，其中
log
\log
lo
g
為常用對數，氫離子濃度的單位為莫耳／公升。若取
log
2
=
0.3
\log 2=0.3
lo
g
2
=
0.3
，則乙的 pH 值減去甲的 pH 值為多少？
國中教育會考
指數與根式
開始練習 →
化簡下式，其值為何？
(
2
2
×
3
−
1
)
3
×
2
−
1
×
3
5
2
0
×
3
2
\frac{(2^2\times 3^{-1})^3\times 2^{-1}\times 3^5}{2^0\times 3^2}
2
0
×
3
2
(
2
2
×
3
−
1
)
3
×
2
−
1
×
3
5
國小數學
速率與工作問題・單位換算與時間計算
開始練習 →
下午 4 時 38 分，甲從步道上的集合點出發，以每分鐘
60
60
60
公尺的速率向前步行。此時乙在前方
900
900
900
公尺處等候；當甲走完兩人最初間距的
1
3
\frac{1}{3}
3
1
時，乙才以每分鐘
40
40
40
公尺的速率沿同方向步行。兩人皆保持速率不變，甲在下午幾時幾分追上乙？
國中教育會考
數線與絕對值・系統列舉與分類討論
開始練習 →
已知
a
∈
{
−
7
,
4
}
a\in\{-7,4\}
a
∈
{
−
7
,
4
}
、
b
∈
{
−
5
,
8
}
b\in\{-5,8\}
b
∈
{
−
5
,
8
}
、
c
∈
{
−
3
,
6
}
c\in\{-3,6\}
c
∈
{
−
3
,
6
}
，且三者可各自獨立取值。求
∣
a
−
b
+
c
∣
|a-b+c|
∣
a
−
b
+
c
∣
的最大值。
大學學科能力測驗（數學）
三角函數與和差角・二次函數與拋物線
開始練習 →
設
x
x
x
為實數且
sin
x
+
cos
x
≥
0
\sin x+\cos x\ge 0
sin
x
+
cos
x
≥
0
。若
y
=
2
sin
x
cos
x
−
4
(
sin
x
+
cos
x
)
+
3
y=2\sin x\cos x-4(\sin x+\cos x)+3
y
=
2
sin
x
cos
x
−
4
(
sin
x
+
cos
x
)
+
3
，則
y
y
y
的最小值為何？
大學學科能力測驗（數學）
立體幾何
開始練習 →
台南甜筒店做展示模型。師傅用一個斜刀面切開直立的圓錐形餅殼，刀面沒有通過尖端、不平行於底面，也不平行於任何一條母線；切線在同一側錐面上形成一圈封閉曲線。若只用學測範圍的截痕概念判斷，最合理的是？
大學學科能力測驗（數學）
多項式與因式餘式定理・多項式函數與圖形
開始練習 →
小芸用電腦繪圖軟體畫出函數
f
(
x
)
=
a
(
x
−
1
)
(
x
−
2
)
+
b
(
x
−
2
)
(
x
−
4
)
+
c
(
x
−
4
)
(
x
−
1
)
f(x)=a(x-1)(x-2)+b(x-2)(x-4)+c(x-4)(x-1)
f
(
x
)
=
a
(
x
−
1
)
(
x
−
2
)
+
b
(
x
−
2
)
(
x
−
4
)
+
c
(
x
−
4
)
(
x
−
1
)
的圖形，其中
a
,
b
,
c
a,b,c
a
,
b
,
c
為實數。如圖，她發現圖形上橫坐標為
2
\sqrt{2}
2
、
π
\pi
π
、
9
9
9
的三個點高度相同；另外，圖形與
y
y
y
軸交於點
(
0
,
24
)
(0,24)
(
0
,
24
)
。則
c
c
c
之值為何？
國中教育會考
因式分解技巧（SFFT）・代數技巧（方程、不等式、數列）
開始練習 →
方程式
(
x
−
4
)
(
2
x
+
1
)
=
5
(
x
−
4
)
(x-4)(2x+1)=5(x-4)
(
x
−
4
)
(
2
x
+
1
)
=
5
(
x
−
4
)
的所有實數解為何？
大學學科能力測驗（數學）
一次函數與圖形・函數概念與圖形變換
開始練習 →
小涵用平板上的繪圖 App 畫出直線
y
=
−
2
x
+
4
y=-2x+4
y
=
−
2
x
+
4
如圖，再把這條直線向上平移
5
5
5
單位。同學說：「這條新直線，其實也可以只由原直線左右平移得到。」請問原直線應如何左右平移，才能得到這條新直線？
大學學科能力測驗（數學）
函數概念與圖形變換
開始練習 →
某台南公車站以
x
=
12
x=12
x
=
12
表示中午十二時，閘門校正量為
Q
(
x
)
Q(x)
Q
(
x
)
。若
Q
(
x
)
Q(x)
Q
(
x
)
的圖形以點
(
12
,
5
)
(12,5)
(
12
,
5
)
為對稱中心（即圖形繞該點旋轉
180
∘
180^\circ
18
0
∘
後與自己重合，對稱中心本身不一定落在圖形上），下列哪一個模型可能符合此條件？各函數皆取其自然定義域。
國小數學
分數與小數運算・代數技巧（方程、不等式、數列）
開始練習 →
表中各欄的數值，是將該欄的
x
x
x
值代入左欄代數式所得的結果。如表，依序列出
a
a
a
、
b
b
b
的值，何者正確？
x
−
3
2
−
2
3
2
x
−
1
3
a
−
7
9
1
−
3
x
2
13
4
b
\begin{array}{c|cc}x&-\frac{3}{2}&-\frac{2}{3}\\\hline \frac{2x-1}{3}&a&-\frac{7}{9}\\1-\frac{3x}{2}&\frac{13}{4}&b\end{array}
x
3
2
x
−
1
1
−
2
3
x
−
2
3
a
4
13
−
3
2
−
9
7
b
國中教育會考
二次函數與拋物線・代數技巧（方程、不等式、數列）
開始練習 →
一元二次方程式
(
2
x
−
3
)
2
=
12
(2x-3)^2=12
(
2
x
−
3
)
2
=
12
的所有實數解為何？
大學學科能力測驗（數學）
對數・指數與根式
開始練習 →
已知
a
=
(
1
3
)
5
a=\left(\frac1{\sqrt3}\right)^{\sqrt5}
a
=
(
3
1
)
5
，判斷下列三個敘述： 甲：
log
3
a
=
−
5
2
\log_3 a=-\frac{\sqrt5}{2}
lo
g
3
a
=
−
2
5
。 乙：
log
a
3
=
−
1
5
\log_a\sqrt3=-\frac1{\sqrt5}
lo
g
a
3
=
−
5
1
。 丙：
log
1
3
a
=
5
2
\log_{\frac13}\sqrt a=\frac{\sqrt5}{2}
lo
g
3
1
a
=
2
5
。 正確的敘述有哪些？
國中教育會考
二次函數與拋物線・代數技巧（方程、不等式、數列）
開始練習 →
已知
b
b
b
是方程式
(
x
−
2
)
2
−
3
(
x
−
2
)
−
5
=
0
(x-2)^2-3(x-2)-5=0
(
x
−
2
)
2
−
3
(
x
−
2
)
−
5
=
0
的一個解，則
2
(
b
+
1
)
(
b
−
8
)
+
51
\sqrt{2(b+1)(b-8)+51}
2
(
b
+
1
)
(
b
−
8
)
+
51
的值為何？
大學學科能力測驗（數學）
三角比與正餘弦定理
開始練習 →
一塊三角形帆布
A
B
C
ABC
A
B
C
中，
P
P
P
位於線段
B
C
BC
B
C
上，且
A
P
AP
A
P
平分
∠
B
A
C
\angle BAC
∠
B
A
C
。已知
∠
B
A
C
=
60
∘
\angle BAC=60^\circ
∠
B
A
C
=
6
0
∘
、
A
B
+
A
C
=
14
AB+AC=14
A
B
+
A
C
=
14
公尺、
A
P
=
24
3
7
AP=\frac{24\sqrt3}{7}
A
P
=
7
24
3
公尺，則這塊帆布的面積為何？
大學學科能力測驗（數學）
對數函數與對數方程
開始練習 →
不等式
log
3
(
2
x
−
1
)
<
log
3
(
8
−
x
)
\log_3(2x-1)<\log_3(8-x)
lo
g
3
(
2
x
−
1
)
<
lo
g
3
(
8
−
x
)
的實數解為何？
國中教育會考
幾何推理與證明
開始練習 →
如圖，校園遮雨棚的三角形支架
A
B
C
ABC
A
B
C
滿足
A
B
=
A
C
AB=AC
A
B
=
A
C
、
∠
B
A
C
=
α
\angle BAC=\alpha
∠
B
A
C
=
α
，其中
90
∘
<
α
<
180
∘
90^\circ<\alpha<180^\circ
9
0
∘
<
α
<
18
0
∘
。點
E
E
E
在
B
A
BA
B
A
越過
A
A
A
的延長線上，點
F
F
F
在
C
A
CA
C
A
越過
A
A
A
的延長線上，且
C
E
⊥
A
B
CE\perp AB
C
E
⊥
A
B
、
B
F
⊥
A
C
BF\perp AC
B
F
⊥
A
C
。直線
C
E
CE
C
E
、
B
F
BF
B
F
交於
D
D
D
，各點順序分別為
C
,
E
,
D
C,E,D
C
,
E
,
D
與
B
,
F
,
D
B,F,D
B
,
F
,
D
。 為證明
B
D
=
C
D
BD=CD
B
D
=
C
D
，某份證明保留了三個空格：「由
∠
B
A
F
=
∠
C
A
E
=
\angle BAF=\angle CAE=
∠
B
A
F
=
∠
C
A
E
=
＿＿①＿＿、
∠
A
F
B
=
∠
A
E
C
=
90
∘
\angle AFB=\angle AEC=90^\circ
∠
A
F
B
=
∠
A
E
C
=
9
0
∘
及
A
B
=
A
C
AB=AC
A
B
=
A
C
，依 AAS（角角邊）得
△
A
B
F
≅
△
A
C
E
\triangle ABF\cong\triangle ACE
△
A
B
F
≅
△
A
C
E
，故
A
F
=
A
E
AF=AE
A
F
=
A
E
且
B
F
=
C
E
BF=CE
B
F
=
C
E
。接著，
△
A
D
E
\triangle ADE
△
A
D
E
與
△
A
D
F
\triangle ADF
△
A
D
F
都是直角三角形，利用
A
E
=
A
F
AE=AF
A
E
=
A
F
及共同斜邊＿＿②＿＿，依 RHS（斜邊直角邊）得兩三角形全等，故
D
E
=
D
F
DE=DF
D
E
=
D
F
。最後由
B
D
=
BD=
B
D
=
＿＿③＿＿及
C
D
=
C
E
+
E
D
CD=CE+ED
C
D
=
C
E
+
E
D
，得到
B
D
=
C
D
BD=CD
B
D
=
C
D
。」 ①、②、③依序應填入哪一組，才能完成這份證明？
大學學科能力測驗（數學）
對數
開始練習 →
設正實數
u
,
v
u,v
u
,
v
滿足
log
2
u
=
v
\log_2 u=v
lo
g
2
u
=
v
與
log
3
v
=
2
\log_3 v=2
lo
g
3
v
=
2
，則
u
u
u
等於下列何者？