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大學學科能力測驗（數學）
國中教育會考
難度
全部
易
中
難
知識點
所有知識點（91）
整數四則與運算順序
位值、概數與估算
單位換算與時間計算
分數與小數運算
數論基礎（整除、質因數、餘數）
質因數分解與標準分解式
最大公因數與最小公倍數
餘數循環與週期規律
進位制與位數表示
數字與位數問題
整數解與不定方程
模運算與同餘
中國剩餘定理
因數個數與因數和
階乘的質因數次數
代數技巧（方程、不等式、數列）
巧設未知數與一次方程應用
等差數列與規律延伸
對稱式與代數恆等式
因式分解技巧（SFFT）
速率與工作問題
一次函數與圖形
指數與根式
二次函數與拋物線
多項式與因式餘式定理
不等式與絕對值
比例、速率與百分比
對數
複數
等比數列與無窮級數
函數概念與圖形變換
高斯取整函數
望遠鏡級數與裂項
遞迴數列
指數函數與指數方程
對數函數與對數方程
多項式函數與圖形
數列與級數
矩陣與線性變換
複數與多項式方程
幾何：角度與面積
角度追蹤
面積切割與補形
相似形與比例線段
畢氏定理與特殊直角三角形
幾何推理與證明
圓的性質
多邊形與正多邊形
立體幾何
坐標幾何
三角比與正餘弦定理
對稱與幾何變換
圓冪定理
圓錐曲線（截痕概念）
平面上的比例
二次曲線標準式
計數與機率
加法與乘法原理
系統列舉與分類討論
基礎機率
排列組合進階
容斥原理
期望值
幾何機率
遞迴與路徑計數
鴿籠原理與最壞情況
奇偶性與不變量
隔板法與重複組合
條件機率與貝氏
條件機率與貝氏定理
離散隨機變數
二項分布
幾何分布
邏輯推理與規律
統計圖表與資料判讀
平均數與加權平均
二維數據與相關
三角比與正餘弦定理
三角函數與和差角
三角函數建模
平面向量
空間向量
空間中的直線與平面
數列極限與收斂
無窮等比級數
函數極限與連續
導函數與微分法
微分應用（極值與圖形）
黎曼和與定積分
積分應用（面積與體積）
數線與絕對值
共
492
題
・第 16／17 頁
清除全部篩選
大學學科能力測驗（數學）
條件機率與貝氏
開始練習 →
某社團統計社員通勤方式與是否準時到社課。社員中
40
%
40\%
40%
搭捷運，
35
%
35\%
35%
騎腳踏車，其餘步行。搭捷運者準時率為
90
%
90\%
90%
，騎腳踏車者準時率為
80
%
80\%
80%
，步行者準時率為
72
%
72\%
72%
。若隨機選一位社員，已知他今天準時到社課，則他是步行的機率為何？
‹
1
…
15
16
17
›
國中教育會考
對稱與幾何變換・坐標幾何
開始練習 →
高雄河濱公園的一段筆直河岸可視為
x
x
x
軸。阿亮在
A
(
1
,
4
)
A(1,4)
A
(
1
,
4
)
，朋友在
B
(
9
,
2
)
B(9,2)
B
(
9
,
2
)
，他必須先走到河岸上一點
T
T
T
裝水，再走到
B
B
B
。若步道可視為直線距離，則
A
T
+
T
B
AT+TB
A
T
+
T
B
的最小值為多少？
大學學科能力測驗（數學）
圓的性質・坐標幾何
開始練習 →
台南市區地圖以座標平面表示，兩個共享雨傘站的位置為
A
(
1
,
2
)
A(1,2)
A
(
1
,
2
)
與
B
(
7
,
6
)
B(7,6)
B
(
7
,
6
)
。一個圓形服務範圍需同時經過
A
,
B
A,B
A
,
B
，且圓心位在道路
x
+
y
=
7
x+y=7
x
+
y
=
7
上。此服務範圍的圓方程式為何？
大學學科能力測驗（數學）
對數・二次函數與拋物線
開始練習 →
某飲料店用簡化指標
x
x
x
描述兩種香氣的濃度，資料只在
x
−
1
>
0
x-1>0
x
−
1
>
0
與
x
+
3
>
0
x+3>0
x
+
3
>
0
時有意義。若調香師設定
log
2
(
x
−
1
)
+
log
2
(
x
+
3
)
=
3
\log_2(x-1)+\log_2(x+3)=3
lo
g
2
(
x
−
1
)
+
lo
g
2
(
x
+
3
)
=
3
，下列哪一個
x
x
x
符合設定？
國中教育會考
畢氏定理與特殊直角三角形・三角比與正餘弦定理
開始練習 →
捷運站出口有一座直線斜坡，側面可看成直角三角形。斜坡與水平地面夾角為
30
∘
30^\circ
3
0
∘
，入口平台比地面高
2.4
2.4
2.4
公尺。若斜坡長為
L
L
L
公尺，則
L
L
L
為多少？
大學學科能力測驗（數學）
圓的性質・坐標幾何
開始練習 →
高雄一個圓形花圃在平面圖上的邊界為
(
x
−
4
)
2
+
(
y
−
3
)
2
=
25
(x-4)^2+(y-3)^2=25
(
x
−
4
)
2
+
(
y
−
3
)
2
=
25
。施工隊要在花圃上點
P
(
1
,
7
)
P(1,7)
P
(
1
,
7
)
處設置一段筆直護欄，使護欄剛好與花圃相切。護欄所在直線為何？
大學學科能力測驗（數學）
圓的性質・角度追蹤
開始練習 →
宜蘭童玩節的四個燈柱
A
,
B
,
C
,
D
A,B,C,D
A
,
B
,
C
,
D
依序落在同一個圓上。工作人員量得
∠
A
B
C
=
105
∘
\angle ABC=105^\circ
∠
A
B
C
=
10
5
∘
，且斜拉線
A
C
AC
A
C
使
∠
A
C
B
=
32
∘
\angle ACB=32^\circ
∠
A
C
B
=
3
2
∘
。若
A
C
AC
A
C
同時平分
∠
D
A
B
\angle DAB
∠
D
A
B
，則
∠
A
C
D
\angle ACD
∠
A
C
D
為多少？
大學學科能力測驗（數學）
三角比與正餘弦定理・函數概念與圖形變換
開始練習 →
淡水河岸一排智慧燈的亮度指標會隨音樂循環變化。啟動後
t
t
t
分鐘的指標為
L
(
t
)
=
12
+
2
sin
(
π
6
t
)
+
2
3
cos
(
π
6
t
)
L(t)=12+2\sin(\frac{\pi}{6}t)+2\sqrt{3}\cos(\frac{\pi}{6}t)
L
(
t
)
=
12
+
2
sin
(
6
π
t
)
+
2
3
cos
(
6
π
t
)
，其中
0
≤
t
≤
12
0\le t\le 12
0
≤
t
≤
12
。在啟動後第一次達到最大亮度是在第幾分鐘？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・平均數與加權平均
開始練習 →
某高中在校園平面圖上以公尺為單位標出三處樹穴：
A
(
2
,
1
)
A(2,1)
A
(
2
,
1
)
、
B
(
10
,
3
)
B(10,3)
B
(
10
,
3
)
、
C
(
4
,
11
)
C(4,11)
C
(
4
,
11
)
。灑水器
P
P
P
在
A
B
‾
\overline{AB}
A
B
上，且
A
P
:
P
B
=
3
:
1
AP:PB=3:1
A
P
:
P
B
=
3
:
1
；感測器
Q
Q
Q
在
A
C
‾
\overline{AC}
A
C
上，且
A
Q
:
Q
C
=
1
:
2
AQ:QC=1:2
A
Q
:
QC
=
1
:
2
。若控制盒裝在
△
P
B
Q
\triangle PBQ
△
P
B
Q
的重心，控制盒座標為何？
大學學科能力測驗（數學）
三角比與正餘弦定理・坐標幾何
開始練習 →
花蓮某社區把三個燈柱
A
A
A
、
B
B
B
、
C
C
C
拉成三角形燈串，已知
A
B
‾
=
12
\overline{AB}=12
A
B
=
12
公尺、
A
C
‾
=
9
\overline{AC}=9
A
C
=
9
公尺，且
∠
B
A
C
=
120
∘
\angle BAC=120^\circ
∠
B
A
C
=
12
0
∘
。若無線控制器放在
△
A
B
C
\triangle ABC
△
A
B
C
的重心
G
G
G
，從
A
A
A
拉到
G
G
G
的訊號線長度應是多少公尺？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・巧設未知數與一次方程應用
開始練習 →
夜市入口要新增一支指示箭頭。以入口為原點，兩條既有動線向量分別為
a
⃗
=
(
6
,
2
)
\vec a=(6,2)
a
=
(
6
,
2
)
與
b
⃗
=
(
1
,
5
)
\vec b=(1,5)
b
=
(
1
,
5
)
。設新箭頭方向為
a
⃗
+
t
b
⃗
\vec a+t\vec b
a
+
t
b
，為避免指向攤位後方，規定它必須與
a
⃗
−
b
⃗
\vec a-\vec b
a
−
b
垂直。
t
t
t
應為多少？
大學學科能力測驗（數學）
比例、速率與百分比・幾何：角度與面積
開始練習 →
一張夜市攤位平面圖的比例尺為
1
:
250
1:250
1
:
250
。圖上某長方形攤區長
4.8
4.8
4.8
公分、寬
3.2
3.2
3.2
公分。主辦單位將同一攤區改畫在另一張比例尺為
1
:
200
1:200
1
:
200
的圖上。若形狀不變，則新圖上此攤區的面積約為多少平方公分？
大學學科能力測驗（數學）
坐標幾何・幾何：角度與面積
開始練習 →
台南一場文創市集用平面座標規劃地貼區，主舞台在
A
(
1
,
1
)
A(1,1)
A
(
1
,
1
)
，咖啡車在
B
(
9
,
3
)
B(9,3)
B
(
9
,
3
)
，拍照點在
C
(
4
,
8
)
C(4,8)
C
(
4
,
8
)
。地貼的一角
P
P
P
是從
C
C
C
沿著往
B
B
B
的方向走完整段
C
B
‾
\overline{CB}
C
B
的
1
4
\frac{1}{4}
4
1
後到達的位置。若地貼區是
△
A
B
P
\triangle ABP
△
A
B
P
，面積是多少平方單位？
國中教育會考
圓的性質・畢氏定理與特殊直角三角形
開始練習 →
嘉義一座圓形花圃的圓心為
O
O
O
，半徑為
5
5
5
公尺。志工從告示牌
P
P
P
拉兩條直線燈串到花圃，分別在
A
A
A
、
B
B
B
兩點與花圃相切。已知
O
P
=
13
OP=13
O
P
=
13
公尺，若兩條燈串分別沿
P
A
PA
P
A
、
P
B
PB
P
B
掛設，總長是多少公尺？
大學學科能力測驗（數學）
條件機率與貝氏
開始練習 →
某早餐店推出兩種套餐：飯糰套餐占訂單的
70
%
70\%
70%
，蛋餅套餐占
30
%
30\%
30%
。飯糰套餐中有
20
%
20\%
20%
會加購豆漿，蛋餅套餐中有
50
%
50\%
50%
會加購豆漿。店員隨機看到一張訂單，若已知該訂單有加購豆漿，則它是蛋餅套餐的機率為何？
大學學科能力測驗（數學）
三角函數與和差角・函數概念與圖形變換
開始練習 →
夜市攤位用人流估計式
f
(
u
)
=
u
+
5
f(u)=\sqrt{u+5}
f
(
u
)
=
u
+
5
表示基本擁擠指標。新系統使用
g
(
x
)
=
3
−
2
f
(
x
−
4
)
g(x)=3-2f(x-4)
g
(
x
)
=
3
−
2
f
(
x
−
4
)
作為螢幕上的顯示值。若
x
x
x
是新系統輸入值，
g
g
g
的定義域與值域為何？
大學學科能力測驗（數學）
條件機率與貝氏
開始練習 →
某校高一、高二學生共同參加校園志工。高一學生占全體志工的
60
%
60\%
60%
，其中
30
%
30\%
30%
選擇整理圖書；高二學生中有
45
%
45\%
45%
選擇整理圖書。若從所有志工中隨機抽出一人，已知此人選擇整理圖書，則此人是高二學生的機率為何？
國中教育會考
圓的性質・角度追蹤
開始練習 →
新竹一座圓形操場邊依序設有四個打卡點
A
A
A
、
B
B
B
、
C
C
C
、
D
D
D
，連成一個圓內接四邊形。活動手冊把兩個角寫成
∠
D
A
B
=
(
2
x
+
18
)
∘
\angle DAB=(2x+18)^\circ
∠
D
A
B
=
(
2
x
+
18
)
∘
，
∠
B
C
D
=
(
5
x
−
6
)
∘
\angle BCD=(5x-6)^\circ
∠
B
C
D
=
(
5
x
−
6
)
∘
。請問
x
x
x
的值為多少？
大學學科能力測驗（數學）
三角比與正餘弦定理・坐標幾何
開始練習 →
某河濱公園以租借站
O
O
O
為起點，直線步道到補水站
A
A
A
的位移為
O
A
→
\overrightarrow{OA}
O
A
，到觀景點
B
B
B
的位移為
O
B
→
\overrightarrow{OB}
O
B
。已知
∣
O
A
→
∣
=
60
|\overrightarrow{OA}|=60
∣
O
A
∣
=
60
公尺、
∣
O
B
→
∣
=
40
|\overrightarrow{OB}|=40
∣
O
B
∣
=
40
公尺，且兩步道夾角為
60
∘
60^\circ
6
0
∘
。導覽牌
P
P
P
的位置滿足
O
P
→
=
O
A
→
−
1
2
O
B
→
\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}-\frac{1}{2}\overrightarrow{OB}
O
P
=
O
A
−
2
1
O
B
。請問
P
P
P
距離租借站
O
O
O
多遠？
大學學科能力測驗（數學）
最大公因數與最小公倍數
開始練習 →
新竹兩個社區共用智慧濾水器管理系統。甲社區每
140
140
140
天更換濾芯一次，乙社區每
x
x
x
天更換一次。已知兩社區更換週期的最大公因數是
28
28
28
天，且從某次同日更換後，下一次同日更換相隔
840
840
840
天。乙社區的更換週期
x
x
x
是多少天？
大學學科能力測驗（數學）
遞迴數列
開始練習 →
宜蘭一間租車店以簡化模型估計某款電動自行車的每日可租數，設第
n
n
n
天可租數為
d
n
d_n
d
n
。已知
d
1
=
3
d_1=3
d
1
=
3
，且每一天的估計規則為
d
n
+
1
=
2
d
n
+
1
d_{n+1}=2d_n+1
d
n
+
1
=
2
d
n
+
1
。若店長只需要第
10
10
10
天的估計值，直接依規則遞推可得
d
10
d_{10}
d
10
為何？
大學學科能力測驗（數學）
不等式與絕對值・二次函數與拋物線
開始練習 →
屏東某冰店做促銷，兩種配料的進貨量分別為
a
a
a
公斤與
b
b
b
公斤，且規定
a
>
0
a>0
a
>
0
、
b
>
0
b>0
b
>
0
、
a
+
b
=
18
a+b=18
a
+
b
=
18
。若當日預估成本中有一項為
a
b
ab
ab
，則
a
b
ab
ab
的最大可能值為何？
大學學科能力測驗（數學）
三角函數建模
開始練習 →
淡水河畔某觀景平台以正弦函數模擬潮位。設中午十二時後
t
t
t
小時的潮位為
h
(
t
)
h(t)
h
(
t
)
公分。觀測得潮位最高為
280
280
280
公分、最低為
160
160
160
公分，且每
12
12
12
小時完成一次週期。下午一時，也就是
t
=
1
t=1
t
=
1
時，潮位恰通過平均高度並持續上升。下列何者最適合表示
h
(
t
)
h(t)
h
(
t
)
？
大學學科能力測驗（數學）
三角比與正餘弦定理・三角函數與和差角
開始練習 →
嘉義布袋一處鹽田規劃三角形體驗區
O
A
B
OAB
O
A
B
。在平面地圖上，以正東為起始邊、逆時針為正方向；步道
O
A
OA
O
A
長
40
40
40
公尺，其方向角為
θ
\theta
θ
，已知
θ
\theta
θ
的終邊位於第二象限且
cos
θ
=
−
3
5
\cos\theta=-\frac{3}{5}
cos
θ
=
−
5
3
。另一條步道
O
B
OB
O
B
長
50
50
50
公尺，方向角為
330
∘
330^\circ
33
0
∘
。三角形體驗區
O
A
B
OAB
O
A
B
的面積為多少平方公尺？
大學學科能力測驗（數學）
三角比與正餘弦定理・函數概念與圖形變換
開始練習 →
高雄輕軌某站的候車人潮可用
P
(
t
)
=
120
+
30
sin
π
t
4
P(t)=120+30\sin\frac{\pi t}{4}
P
(
t
)
=
120
+
30
sin
4
π
t
估計，其中
t
t
t
是上午
8
8
8
點後經過的小時數，
0
≤
t
≤
8
0\le t\le 8
0
≤
t
≤
8
。若人潮至少
135
135
135
人就需加派站務員，則在這
8
8
8
小時內，需要加派站務員的總時間長度為多少小時？
大學學科能力測驗（數學）
矩陣與線性變換・遞迴數列
開始練習 →
高雄港的工程師以座標標記貨櫃的位置，並用行向量的轉置形式記錄。每個校正循環會先做水平剪切變換
H
=
(
1
1
0
1
)
H=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}
H
=
(
1
0
1
1
)
，再做水平方向伸縮變換
D
=
(
2
0
0
1
)
D=\begin{pmatrix}2&0\\0&1\end{pmatrix}
D
=
(
2
0
0
1
)
。第
n
n
n
次檢修需執行的校正循環數為
c
n
c_n
c
n
，其中
c
1
=
1
c_1=1
c
1
=
1
、
c
2
=
2
c_2=2
c
2
=
2
，且
c
n
=
2
c
n
−
1
−
c
n
−
2
c_n=2c_{n-1}-c_{n-2}
c
n
=
2
c
n
−
1
−
c
n
−
2
。每次檢修均由原始座標
(
0
1
)
\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}
(
0
1
)
重新模擬。第
4
4
4
次檢修完成全部校正循環後，該座標標記會變成下列何者？
國中教育會考
平均數與加權平均
開始練習 →
一間國中調查兩個年級學生本週使用校園飲水機次數。七年級有
24
24
24
人，平均每人
6
6
6
次；八年級有
36
36
36
人，平均每人
11
11
11
次。若把兩個年級合併計算，平均每人使用幾次？
大學學科能力測驗（數學）
三角函數與和差角・函數概念與圖形變換
開始練習 →
社團把舊版集點模型
y
=
f
(
x
)
y=f(x)
y
=
f
(
x
)
的圖形做成新版顯示
y
=
g
(
x
)
y=g(x)
y
=
g
(
x
)
，規則為
g
(
x
)
=
3
−
2
f
(
x
−
4
2
)
g(x)=3-2f\left(\frac{x-4}{2}\right)
g
(
x
)
=
3
−
2
f
(
2
x
−
4
)
。若舊圖形上有一點
P
(
3
,
−
1
)
P(3,-1)
P
(
3
,
−
1
)
，則新版圖形上與
P
P
P
對應的點為何？
大學學科能力測驗（數學）
三角函數與和差角・不等式與絕對值
開始練習 →
小芸整理悠遊卡紀錄，發現某天通勤花費
x
x
x
元需同時符合
∣
x
−
72
∣
≤
18
|x-72|\le 18
∣
x
−
72∣
≤
18
，且因搭乘折扣規則又需符合
2
x
−
150
<
30
2x-150<30
2
x
−
150
<
30
。若
x
x
x
以整數元計，則可能的
x
x
x
有幾個？
大學學科能力測驗（數學）
三角比與正餘弦定理・函數概念與圖形變換
開始練習 →
台南一座橋上的兩個同頻振動感測器合成讀數為
S
(
t
)
=
5
sin
(
π
6
t
)
+
5
3
cos
(
π
6
t
)
S(t)=5\sin\left(\frac{\pi}{6}t\right)+5\sqrt{3}\cos\left(\frac{\pi}{6}t\right)
S
(
t
)
=
5
sin
(
6
π
t
)
+
5
3
cos
(
6
π
t
)
，其中
t
t
t
以秒計，且
0
≤
t
<
12
0\le t<12
0
≤
t
<
12
。讀數第一次達到最大值時，
t
t
t
為多少秒？